Study of the Bloch-Torrey equation associated to diffusion magnetic resonance imaging

Diffusion magnetic resonance imaging (dMRI) is an experimental technique which aims at unraveling the microstructural properties of a sample well below the conventional spatial resolution of ``classic'' MRI. Although this technique has been proposed and applied in various contexts for several decades, many theoretical points remain to be clarified, even more with the permanent improvement of MRI scanners and experimental protocols. Notably, the understanding of the signal formation at high gradients is largely incomplete, in spite of the ``natural'' tendency to increase the gradient in order to probe finer and finer structural scales.We first revisit anisotropy effects. While micro- and macroscopic anisotropy have been largely studied over past years, the intermediate, ``mesocopic'' scale had not been investigated in a systematic way. We have obtained a generalized Mitra formula which improves significantly surface-to-volume ratio estimations for arbitrary domains and gradient waveforms.In a second chapter, we investigate permeability effects, that are crucial for biomedical applications. We critically revise three classical models of exchange for dMRI. Moreover, we obtain a general and flexible numerical and theoretical method to study diffusion trough several parallel permeable membranes.The last chapter is the heart of the thesis and contains a non-perturbative study of Bloch-Torrey equation, which governs the evolution of dMRI signal. At high gradient strength, we reveal theoretically, numerically, and experimentally the universality of the localization phenomenon, which opens promising perspectives to improve the sensitivity of the signal to the microstructure.
L'imagerie de résonance magnétique nucléaire pondérée par diffusion (dMRI) est une technique expérimentale qui a pour but d'indentifier les propriétés microstructurales d'un échantillon bien en-dessous de la résolution conventionnelle de l'IRM "classique''. Bien que cette technique ait été introduite et appliquée dans divers contextes depuis plusieurs décennies, de nombreux éléments théoriques restent à élucider, et ce d'autant plus avec l'amélioration constante des appareils d'imagerie et des techniques expérimentales. Notablement, les mécanismes de formation du signal d'IRM aux forts gradients sont encore largement incompris, malgré une tendance ``naturelle'' à l'augmentation des gradients pour sonder des échelles structurales de plus en plus fines.Nous revisitons dans un premier temps les effets d'anisotropie géométrique. Tandis que l'anisotropie aux échelles micro- et macroscopiques a été l'objet de beaucoup d'attention ces dernières années, l'échelle intermédiaire, ``mésoscopique'', n'avait pas encore été étudiée systématiquement. Nous avons obtenu une généralisation de la formule de Mitra qui permet d'améliorer significativement l'estimation du rapport surface-volume de domaines arbitraires quelle que soit la séquence de gradient utilisée.Dans un second temps, nous étudions les effets de perméabilité, qui sont cruciaux pour les applications biomédicales. Nous proposons une analyse critique de trois modèles classiques de l'effet de l'échange sur le signal d'IRM de diffusion. De plus, nous formulons une méthode numérique et théorique générale et flexible pour étudier la diffusion à travers plusieurs membranes perméables parallèles.Le dernier chapitre constitue le cœur de la thèse et aborde l'étude non-perturbative de l'équation de Bloch-Torrey qui régit l'évolution du signal d'IRM de diffusion. Aux forts gradients, nous montrons théoriquement, numériquement, et expérimentalement l'universalité du phénomène de localisation, qui ouvre des perspectives prometteuses pour augmenter la sensibilité du signal d'IRM à la microstructure.