¿Dónde está el fotógrafo? Utilizando el álgebra de Grassmann-Cayley

En los inicios de la invención de la fotografía, las personas se subían a los techos de los edificios para capturar imágenes panorámicas de las ciudades. Una de las preguntas que se hicieron los científicos de la época, a partir del uso de la información que brinda la fotografía, fue: ¿Cómo saber desde que lugar fue tomada? Este se ha convertido en uno de los problemas clásicos dentro de las áreas de fotogrametría y visión por computadora (Grunert, 1841; Haralick et al., 1994; Quan y Lan, 1999). El enfoque más popular para resolver dicho problema, consiste en realizar una calibración basada en un principio geométrico (Faugeras y Toscani, 1986, 1987; Tsai, 1987). Este procedimiento consiste en calcular una matriz de calibración, y a partir de sus parámetros, determinar la posición de la cámara. La desventaja de este enfoque es que los parámetros de la calibración son muy sensibles a cambios de temperatura, choques mecánicos e incluso a un cambio en el enfoque de la lente; lo cual hace necesaria una nueva calibración. Además, la posición de ciertos puntos en la escena debe ser conocida con exactitud. En el presente trabajo, se presenta un método para resolver este problema utilizando un enfoque no-calibrado (Morin, 1993; Criminisi, 2001). Para ésto, se hace uso de propiedades proyectivas ligadas al modelo de proyección de la cámara. Este enfoque permite obtener la posición de la cámara en un espacio tridimensional proyectivo, afín ó Euclideano. En particular, haciendo uso del Algebra de Grassmann-Cayley, se desarrollan las ecuaciones matemáticas que permiten implementar este método en un sistema computacional. Finalmente, se presenta un análisis estadístico de la precisión y exactitud del método presentado, y se realiza una comparación contra los resultados obtenidos con el enfoque calibrado. As soon as photography was invented, some people began to reproduce panoramic photographs of cities. Then, a question arose between some scientists of the nineteenth century: how can we determine, from a photograph, the position of the camera that took the picture? This has turned into a classic problem within photogrammetry and computer vision communities (Grunert, 1841; Haralick et al., 1994; Quan y Lan, 1999). The most popular approach to solve this problem, is a calibrated method (Faugeras y Toscani, 1986, 1987; Tsai, 1987). It consists in calculating a calibration matrix, that models the transformation between the objects within a tridimensional world and their projection on a photograph. Thus, it is said that the parameters of the calibration matrix contains information about the position of the camera; however, they are sensitive to temperature variations, mechanical shocks, or even a small change of focus makes necessary a new calibration. In addition, the position of certain points of the scene must be accurately known. In this work, we present a method to solve this problem using a non-calibrated approach (Morin, 1993; Criminisi, 2001). We model a camera as a projective device, that permits to solve the problem by applying projective geometry properties. On the other hand, this pproach makes possible to calculate the position of the camera in a tridimensional projective, affine, or Euclidean space. In particular, we use the Grassmann-Cayley algebra to develop the equations that make possible to implement our method as a computational system. Finally, we present statistical analysis to evaluate the accuracy and precision of this method, and compare the results with those obtained with the calibrated approach.