Hybrid discontinuous Galerkin methods coupled with hybrid explicit/implicit schemes for the unsteady Maxwell's equations

In this thesis, we study and develop different families of time integration schemes combined with a hybrid discontinuous Galerkin (HDG) discretization in space for Maxwell’s equations. After presenting a review of HDG methods for Poisson equation, time-harmonic Maxwell’s equations and for the time-domain Maxwell’s equations with a fully implicit time discretization in the first part, we construct a fully explicit HDGTD method for the 3D time-domain Maxwell’s equations in the second part. This HDGTD method is high order accurate in both space and time and can be seen as a generalization of the classical DGTD scheme based on upwind fluxes. In particular, it coincides with the latter scheme for a particular choice of the stabilization parameter introduced in the definition of numerical traces in the HDG framework. We provide numerical results aiming at assessing its numerical convergence properties. Then we propose a novel postprocessing technique for the latter method that we couple with an explicit Runge-Kutta time-marching scheme. The postprocessed electromagnetic field converges one order faster than the unpostprocessed solution in the H(curl) -norm. The proposed approach is local, in the sense that the enhanced solution is computed independently in each cell of the computational mesh, and at each time step of interest. As a result, it is inexpensive to compute, especially if the region of interest is localized, either in time or space. We present several numerical experiments that highlight the superconvergence properties of the postprocessed electromagnetic fields. Pursuing our aim, we propose a methodology to construct hybrid explicit/implicit (IMEX) HDGTD methods for Maxwell’s equations in the last part. We present the IMEX HDGTD methods obtained from dividing the semi-discrete formulation into coarse and fine parts and then applying three different IMEX time-marching of three different orders (less or equal to 3). We present numerical results for various test cases. An L shape domain where we have a singularity in the solution, a heterogeneous domain where we have an important variation of the wave speed, and a crystal photonic device where the spheres made of silicium are too close to each other. In these cases, the locally refined meshes are a must for the accuracy of the approximated solution and the and the obtained numerical results demonstrate that our methods are efficient in terms of accuracy and CPU time metrics.obtained numerical results demonstrate that our methods are efficient in terms of accuracy and CPU time metrics.; Dans cette thèse, nous étudions et développons différentes familles de schémas d’intégration en temps combinés avec une méthode Galerkin disontinue hybride (GDH) en espace pour les équations de Maxwell. Après avoir passé en revue les méthodes GDH pour l’équation de Poisson, les équations de Maxwell en domaine fréquentiel et les équations de Maxwell en domaine temporel avec une discrétisation temporelle totalement implicite dans la première partie, nous construisons une méthode GDH totalement explicite en temps pour les équations de Maxwell en 3D en domaine temporel dans la deuxième partie. Cette méthode est précise avec un ordre élevé en espace et en temps et peut être vue comme une généralisation d’un schéma GD classique basé sur des flux décentrés. En particulier, elle coïncide avec ce schéma pour un choix particulier du paramètre de stabilisation introduit dans la définition des traces numériques dans le cadre GDH. Nous présentons des résultats numériques visant à évaluer ses propriétés de convergence. Nous proposons ensuite une nouvelle technique de post-traitement pour cette dernière méthode que nous couplons avec un schéma de Runge-Kutta explicite. Le champ électromagnétique post-traité converge plus vite d’un ordre que la solution non post-traitée en norme H(curl) . L’approche proposée est locale, c’est-à-dire que la solution améliorée est calculée indépendamment dans chaque cellule du maillage, et à chaque pas de temps nécessaire. En conséquence, son calcul n’est pas coûteux, surtout si la région d’intérêt est localisée, soit dans le temps, soit dans l’espace. Nous présentons plusieurs expériences numériques mettant en évidence les propriétés de superconvergence du champs électromagnétique post-traité. Dans la dernière partie, nous proposons une méthodologie pour construire des méthodes hybrides explicites/implicites (IMEX) pour les équations de Maxwell. Nous présentons ces méthodes IMEX obtenues en séparant la formulation semidiscrète en parties grossières et fines, puis en appliquant trois schémas en temps différents, d’ordre allant de 1 à 3. Nous présentons des résultats numériques montrant que nos méthodes sont efficaces en terme de précision et en terme de temps de calcul. Nous choisissons des cas où les maillages localement raffinés sont indispensables pour la précision de la solution approchée : un domaine en forme de L où la solution présente une singularité, un domaine hétérogène avec une variation importante de la vitesse de l’onde et un dispositif de cristaux photoniques où les sphères en silicium sont très proches les unes des autres.