On the design of networks with unicyclic connected components

In this thesis, we use the polyhedral approach to solve combinatorial problems in telecommunications context. First, we introduce the problem of network design with unicyclic connected components. We recall that without other constraints, our problem is easy to solve, and we propose a study with new technical constraints. We start our study by adding constraints on the size of cycles. We aim to obtain unicyclic components such that the size of each cycle is not lower than a certain p. This problem is NP-Hard. We describe some valid inequalities for the design of unicyclic graphs with girth constraints. The faces induced by these valid inequalities are also studied. Some of them can be separated in polynomial time. A cutting plane algorithm based on these inequalities is implemented to solve the problem. Furthermore, we focus on a Steiner type problem, which consists in partitioning the graph to unicyclic components, such that some given vertices belong to a cycle. We prove then that our problem is easy to solve, and we propose an exact extended formulation and a partial description of the convex hull of the incidence vectors of our Steiner network problem. Polynomial time separation algorithms are described. One of them is a generalization of the Padberg&Rao algorithm to separate blossom inequalities. Other technical constraints are proposed such as degree constraints, a bound of the number of unicyclic components, constraints related to whether some given pairs of vertices belong to the same component or to different components. Finally, we study the spectra of two specified classes of unicyclic graphs.
Cette thèse s'inscrit dans le domaine de l'optimisation combinatoire. Elle utilise l'approche polyèdrale pour résoudre des problèmes combinatoires qui se posent dans le contexte des réseaux de télécommunications. Nous introduisons et étudions le problème de synthèse de réseaux à composantes connexes unicycliques. Après avoir rappelé que le problème est facile à résoudre en absence d'autres contraintes, nous étudions de nouvelles variantes en intégrant de nouvelles contraintes techniques. Nous commençons par une contrainte portant sur la taille des cycles. Nous souhaitons interdire tous les cycles contenant au plus p sommets. Le problème est alors NP-Difficile. Des inégalités valides sont alors proposées pour ce problème. On montre sous des conditions bien précises que ces inégalités peuvent être des facettes. Plusieurs algorithmes polynomiaux ont été proposés pour la séparation des inégalités valides. Ces algorithme sont mis en oeuvre et des résultats numériques sont donnés. Nous nous focalisons par la suite sur un nouveau problème dit de Steiner consistant à partitionner un réseau en composantes unicycliques tout en imposant que certains sommets soient sur les cycles. On montre alors que ce problème est facile au sens de la complexité algorithmique en proposant un algorithme polynomial et une formulation étendue du problème. On présente également une description partielle de l'enveloppe convexe des vecteurs d'incidence de ces réseaux. La séparation des inégalités est également étudiée. Nous proposons notamment une généralisation de l'algorithme de Padberg-Rao pour séparer les inégalités Blossom. D'autres contraintes techniques sont prises en compte : contraintes de degrés, contrainte sur le nombre de composantes connexes, appartenance de certains sommets à une même composante connexe et enfin la séparation de certains sommets qui doivent être sur des composantes différentes. Enfin, nous faisons une étude spectrale de deux classes spécifiques de graphes unicycliques. Mots clés : Optimisation Combinatoire, Polyèdres, Algorithme à Plans Coupants, Graphes