Géométrie complexe globale et infinitésimale de l'espace des twisteurs d'une variété hyperkählérienne

The purpose of this thesis is to construct geometric objects on a manifold C parametrizing rational curves in the twistor space of a hyperkähler manifold. We shall establish a correspondence between the complex geometry of the twistor space and some differential properties of C (differential operators and curvature of a complex riemannian structure inherited from the base hyperkähler manifold). The first chapters gather some classical results of the theory of hyperkähler manifolds and their twistor spaces. In the chapters 4, 5 and 6, we construct an equivalence of categories between bundles on the twistor space which are trivial on each line and bundles with a connexion of C satisfying certain curvature conditions. The chapter 7 extends this correspondence on the cohomological level whereas the chapter 8 explores its infinitesimal version ; it links curvature of the connexion with thickening (in the sense of LeBrun) of the bundle along the lines.
L'objet de cette thèse est la construction d'objets géométriques sur une variété C paramétrant des courbes rationnelles dans l'espace des twisteurs d'une variété hyperkählérienne. On établira une correspondance entre la géométrie complexe de l'espace des twisteurs et des propriétés différentielles sur C (opérateurs différentiels et courbure de la structure riemanienne complexe héritée de la variété hyperkählérienne). Les premiers chapitres précisent le cadre et les résultats connus. Dans les chapitres 4, 5 et 6 on établit une équivalence de catégories entre fibrés triviaux en restriction à chaque droite de l'espace des twisteurs et les fibrés à connexion sur C satisfaisant une condition de courbure. Le chapitre 7 prolonge cette correspondance sur le plan cohomologique tandis que le chapitre 8 en fait l'étude infinitésimale en reliant la courbure de la connexion avec les épaississements infinitésimaux des fibrés le long des droites.