Ecoulements de fluides miscibles à forte différence de densité

National audience; On s'intéresse à des écoulements régis par le couplage d'une équation de convection-diffusion de la composition du mélange $\Phi$, qui prescrit localement la densité $\rho = 1 + \alpha\Phi$, où $\alpha=\dfrac{\rho_d-\rho_\ell}{\rho_\ell}$ donne la différence des densités des constituants et n'est pas négligeable, et des équations de continuité et du mouvement, qui diffèrent des équations usuelles de Navier-Stokes incompressible non-homogènes car, du fait de la diffusion entre constituants de densité très différente, on a $\nabla\cdot\mathbf{u} = - \dfrac1\varrho\dfrac{D\varrho}{Dt} \neq0$ (et ce en dépit de l'incompressibilité de chaque constituant). Une approche courante consiste à introduire une autre inconnue $\mathbf{v}$ reliée à la vitesse et telle que $\nabla\cdot\mathbf{v}=0$, mais les équations obtenues réclament des fermetures et imposer les conditions aux limites physiques sur $\mathbf{u}$ au travers de $\mathbf{v}$ semble difficile. On présente une méthode numérique traitant le problème dans sa forme originelle (en $\mathbf{u}$), utilisant la méthode des caractéristiques pour la discrétisation en temps couplée à des éléments finis sur des maillages généraux, ce qui implique un algorithme efficace de localisation des pieds de caractéristique. Pour résoudre les couches limites raides que présentent les problèmes à forte différence de densité, on utilise un raffinement de maillage adaptatif à chaque itération en temps. L'estimation d'erreur a priori est complétée par des comparaisons systématiques avec des expériences d'écoulements d'échange (en anglais, lock-exchange) jusqu'à $\alpha \simeq 20$ et avec deś etudes asymptotiques au-delà (simulations jusqu'à $\alpha = 100$). Les avalanches de neige poudreuse fournissent un exemple d'écoulement régi par ces équations, pour $\alpha$ d'ordre 10, et pour lequel les simulations numériques apportent des résultats pertinents.