Échantillonnage des sous-espaces à l'aide des processus ponctuels déterminantaux

Determinantal point processes are probabilistic models of repulsion.These models were studied in various fields: random matrices, quantum optics, spatial statistics, image processing, machine learning and recently numerical integration.In this thesis, we study subspace sampling using determinantal point processes. This problem takes place within the intersection of three sub-domains of approximation theory: subset selection, kernel quadrature and kernel interpolation. We study these classical topics, through a new interpretation of these probabilistic models: a determinantal point process is a natural way to define a random subspace. Beside giving a unified analysis to numerical integration and interpolation under determinantal point processes, this new perspective allows to work out the theoretical guarantees of several approximation algorithms, and to prove their optimality in some settings.; Les processus ponctuels déterminantaux sont des modèles probabilistes de répulsion. Ces modèles ont été étudié dans différents domaines: les matrices aléatoires, l’optique quantique, les statistiques spatiales, le traitement d’images, l’apprentissage automatique et récemment les quadratures.Dans cette thèse, on étudie l’échantillonnage des sous-espaces à l’aide des processus ponctuels déterminantaux. Ce problème se trouve à l’intersection de trois branches de la théorie d’approximation: la sous sélection dans les ensembles discrets, la quadrature à noyau et l’interpolation à noyau. On étudie ces questions classiques à travers une nouvelle interprétation de ces modèles aléatoires: un processus ponctuel déterminantal est une façon naturelle de définir un sous-espace aléatoire. En plus de donner une analyse unifiée de l’intégration et l’interpolation numériques sous les DPPs, cette nouvelle approche permet de développer les garanties théoriques de plusieurs algorithmes à base de DPPs, et même de prouver leur optimalité pour certains problèmes.