Calcul par analyse intervalle de certificats de barrière pour les systèmes dynamiques hybrides

This thesis addresses the problem of proving the safety of systems described by non-linear dynamical models and hybrid dynamical models. A system is said to be safe if all trajectories of its state do not reach an unsafe region. Proving the safety of systems by explicitly computing all its trajectories when its dynamic is non-linear or when its behavior is described by an hybrid model with non-linear dynamics remains a challenging task. This thesis considers the barrier function approach to prove the safety of a system. A barrier function, when it exists, partitions the state space and isolates the trajectories of the system starting from any possible initial values of the state and the unsafe part of the state space. The set of constraints, which have to be satisfied by a barrier function are usually non-convex, rendering the search of satisfying barrier functions hard. Previously, only polynomial barrier functions were taken in consideration and for systems with polynomial dynamics. This thesis considers relatively general dynamical systems with generic non-linear barrier functions. The solutions presented are based on template barrier functions, constraint satisfaction problems, and interval analysis. The first part of the thesis focuses on non-linear dynamical systems. The barrier function design problem is formulated as a constraint satisfaction problem that can be solved using tools from interval analysis. This formulation allows one to prove the safety of a non-linear dynamical system by finding the parameters of a template barrier function such that all constraints are satisfied using the FPS-CSC algorithm, which has been adapted and supplemented with contractors to improve its efficiency. The second part of the thesis is dedicated to the design of barrier functions for systems described by hybrid dynamical models. Safety properties have to be proven during the continuous-time evolution of the system, but also during transitions. This leads to additional constraints that have to be satisfied by candidate barrier functions. Solving all the constraints simultaneously to find all the barrier functions is usually computationally intractable. In the proposed approach, the algorithm explores all the locations sequentially. Transition constraints are introduced progressively between the already explored locations. Backtracking to previous location is considered when transition constraints are not satisfied. The efficiency of the proposed approaches has been compared with state-of-the-art solutions.
Cette thèse développe des outils permettant de prouver qu’un système dynamique est sûr. En supposant qu’une partie de l’espace d’état est dangereuse, un système dynamique est dit sûr lorsque son état n’atteint jamais cette partie dangereuse au cours du temps, quel que soit l’état initial appartenant à un ensemble d’états initiaux admissibles et quel que soit le niveau de perturbation restant dans un domaine admissible. Les outils proposés cherchent à établir des preuves de sûreté pour des systèmes décrits par des modèles dynamiques non-linéaires et des modèles dynamiques hybrides. Prouver qu’un système dynamique est sûr en calculant explicitement l’ensemble des trajectoires possibles du système lorsque le modèle dynamique est non-linéaire et perturbé reste une tâche très difficile. C’est pourquoi cette thèse aborde ce problème à l’aide de fonctions barrières paramétrées. Une barrière, lorsqu’elle existe, permet de partitionner l’espace d’état et d’isoler l’ensemble des trajectoires possibles de l’état du système de la partie dangereuse de l’espace d’état. La fonction paramétrique décrivant la barrière doit satisfaire un certain nombre de contraintes impliquant la dynamique du modèle, l’ensemble des états initiaux possibles, et l’ensemble dangereux. Ces contraintes ne sont pas convexes en général, ce qui complique la recherche de fonctions barrières satisfaisantes. Précédemment, seules des fonctions barrières polynomiales ont été considérées pour des modèles dynamiques polynomiaux. Cette thèse considère des systèmes dynamiques relativement généraux avec des barrières paramétriques quelconques. Les solutions présentées exploitent des outils de satisfaction de contraintes sur des domaines continus et des outils issus de l’analyse par intervalles. Dans un premier temps, cette thèse considère des systèmes dynamiques non-linéaires à temps continu. Le problème de conception d’une barrière paramétrique est formulé comme un problème de satisfaction des contraintes sur des domaines réels avec des variables quantifiées de manière existentielle et universelle. L’algorithme CSC-FPS a été adapté afin de résoudre le problème de synthèse de barrière. Cet algorithme combine une exploration de l’espace des paramètres de la barrière et une phase de vérification des propriétés de la barrière. A l’aide de contracteurs, il est possible de significativement accélérer la recherche de solutions. Dans un second temps, ces résultats sont étendus au cas de systèmes décrits par des modèles dynamiques hybrides. La propriété de sûreté doit être prouvée lors de l’évolution à temps continu du système dynamique, mais aussi pendant les transitions du système. Ceci nécessite l’introduction de contraintes supplémentaires qui lient les fonctions barrières associées à chaque mode à temps continu entre elles. Réaliser la synthèse de toutes les fonctions barrières pour les différents modes simultanément n’est envisageable que pour des systèmes de très petite dimension avec peu de modes. Une approche séquentielle a été proposée. Les contraintes liées aux transitions sont introduites progressivement entre les modes pour lesquels une barrière a déjà été obtenue. Lorsque certaines contraintes de transition ne sont pas satisfaites, une méthode de backtracking doit être mise en œuvre afin de synthétiser des barrières offrant une meilleure prise en compte des contraintes de transition non satisfaites. Ces approches ont été évaluées et comparées avec des techniques de l’état de l’art sur des systèmes décrits par des modèles à temps continu et des modèles hybrides.