Random Structured Phylogenies

This thesis consists of four self-contained chapters whose motivations stem from population genetics and evolutionary biology, and related to the theory of fragmentation or coalescent processes. Chapter 2 introduces an infinite random binary tree equipped with Poissonian mutations along its branches and with a finite measure on its boundary. The allelic partition – partition of the boundary into groups carrying the same combination of mutations – is defined and its intensity measure is described. Chapters 3 and 4 are devoted to the study of nested – i.e. taking values in the space of nested pairs of partitions – coalescent and fragmentation processes, respectively. These Markov processes are analogs of Λ-coalescents and homogeneous fragmentations. Nested coalescents are characterized in terms of Kingman coefficients and coagulation measures; nested fragmentations are characterized in terms of erosion coefficients and dislocation measures. Chapter 5 gives a construction of fragmentation processes with speed marks, which are fragmentation processes where each fragment is given a mark that speeds up or slows down its rate of fragmentation, and where the marks evolve as positive self-similar Markov processes. A Lévy-Khinchin representation of these generalized fragmentation processes is given, as well as sufficient conditions for their absorption in finite time to a frozen state.; Cette thèse est constituée de quatre chapitres indépendants, puisant leur origine en génétique des populations et en biologie évolutive, et liés à la théorie des processus de fragmentation ou de coalescence. Le chapitre 2 traite d'un arbre aléatoire binaire infini équipé de mutations le long de ses branches et d'une mesure sur sa frontière. La partition allélique – partition de la frontière en parties qui portent la même combinaison de mutations – est définie et sa mesure d'intensité est explicitée. Les chapitres 3 et 4 sont dédiés à l'étude de processus de coalescence et de fragmentation emboîtés – i.e. à valeurs dans les couples de partitions emboîtées –, analogues des Λ-coalescents et des fragmentations homogènes. Les coalescents emboîtés sont caractérisés par leurs coefficients de Kingman et mesures de coagulation ; les fragmentations emboîtées sont caractérisées par leurs coefficients d'érosion et mesures de dislocation. Le chapitre 5 pose la construction de processus de fragmentation à vitesses aléatoires, des processus de fragmentation où chaque fragment possède une marque qui modifie son taux de fragmentation, et où les marques évoluent comme des processus de Markov positifs auto-similaires. Une caractérisation de type Lévy-Khintchine de ces processus de fragmentation généralisés est donné, ainsi que des conditions suffisantes pour l'absorption dans un état gelé.