High-order numerical methods for unstructured grids and sliding mesh

Les méthodes numériques d’ordre élevé se sont avérées être un outil essentiel pour améliorer la précision des simulations concernant des écoulements turbulents par la résolution des lois de conservation. Ces écoulements se trouvent dans une grande variété d’applications industrielles et leur prédiction et modélisation est cruciale pour améliorer l’efficacité des procès. Cette thèse met en oeuvre et analyse différents types de schémas de discrétisation spatiale d’ordre élevé pour des maillages non structurés afin d’évaluer et de quantifier leur précision dans les simulations d’écoulements turbulents. En particulier, les méthodes de volumes finis (FVM) d’ordre élevé basées sur les opérateurs de déconvolution des moindres carrés et entièrement contraints sont considérées. De plus, leur précision est évaluée par une analyse analytique et pour des cas linéaires et non linéaires. Une attention spéciale est portée à la comparaison des FVM de second ordre et d’ordre élevé, montrant que la première peut surpasser la seconde en termes de précision et de performance de calcul dans des configurations sous-résolues. Les méthodes d’éléments spectraux (SEM) d’ordre élevé, y compris Spectral Difference (SD) et Flux Reconstruction (FR), sont comparées dans différentes configurations linéaires et non linéaires. De plus, un solveur SD basé sur GPU est développé et ses performances par rapport `a d’autres solveurs basés sur CPU seront discutées, montrant ainsi que le solveur développé basé sur GPU surpasse d’autres solveurs basés sur CPU en termes de performance économique et énergétique. La précision et le comportement des SEM avec de l’aliasing sont évalués dans des cas de test linéaires à l’aide d’outils analytiques. L’utilisation de grilles avec des cellules d’ordre élevé, qui permettent de mieux d’écrire les surfaces d’intérêt des simulations, en combinaison avec le SEM est également analysée. Cette dernière analyse démontre qu’un traitement particulier doit être implémenté pour assurer une précision numérique appropriée lors de l’utilisation de mailles avec ces éléments. Ce document présente également le développement et l’analyse de la méthode Spectral Difference Raviart-Thomas (SDRT) pour les éléments bidimensionnels et tridimensionnels de type produit tensoriel et simplex. Cette méthode est équivalente à la formulation SD pour les éléments de produit tensoriel et peut être considérée comme une extension naturelle de la formulation SD pour les éléments de type simplex. En outre, une nouvelle famille de méthodes FR, équivalente à la méthode SDRT dans certaines circonstances, est décrite. Tous ces développements ont été implémentés dans le solveur open-source PyFR et sont compatibles avec les architectures CPU et GPU. Dans le contexte des simulations d’ordre élevé d’écoulements turbulents trouvés dans les cas d’interaction rotor-stator, une méthode de maillage glissant (qu’implique des grilles non-conformes et le mouvement des maillages) spécifiquement adaptée aux simulations massivement parallèles est implémenté dans un solveur basé sur CPU. La méthode développée est compatible avec FVM et SEM de second ordre et d’ordre élevé. D’autre part, le mouvement de la grille, nécessaire pour simuler les cas d’essai rotor-stator `a cause du mouvement relatif de chaque zone du domaine, est traité à l’aide de la formulation Arbitrary-Lagrangian-Eulerian (ALE). L’analyse de cette formulation montre son influence importante sur la précision numérique et la stabilité des simulations numériques avec du mouvement de maillage. High-order numerical methods have proven to be an essential tool to improve the accuracy of simulations involving turbulent flows through the solution of conservation laws. Such flows appear in a wide variety of industrial applications and its correct prediction is crucial to reduce the power consumption and improve the efficiency of these processes. The present study implements and analyzes different types of high-order spatial discretization schemes for unstructured grids to assess and quantify their accuracy in simulations of turbulent flows. In particular, high-order Finite Volume methods (FVM) based on least squares and fully constrained deconvolution operators are considered and their accuracy is evaluated in a variety of linear and non-linear test cases and throughanalytical analysis. Special emphasis is placed on the comparison of formally second-order and high-order FVM, showing that the former can over-perform the latter in terms of accuracy and computational performance in under-resolved configurations. High-order Spectral Element methods (SEM), including Spectral Difference (SD) and Flux Reconstruction (FR), are compared in different linear and non-linear configurations. Furthermore, a SD GPU-based solver (based on the open-source PyFR solver) is developed and its performance with respect to other state of the art CPU-based solvers will be discussed, showing that the developed GPU-based solver outperforms other state of the art CPU-based solvers in terms of performance-per-euro and performance-per-watt. The accuracy and behavior of SEM under aliasing are assessed in linear test cases using analytical tools. The use of grids with high-order cells, which allow to better describe the surfaces of interests of a given simulation, in combination with SEM is also analyzed. The latter analysis demonstrates that special care must be taken to ensure appropriate numerical accuracy when utilizing meshes with such elements. This document also presents the development and the analysis of the Spectral Difference Raviart-Thomas (SDRT) method for two and three-dimensional tensor product and simplex elements. This method is equivalent to the SD formulation for tensor product elements and it can be considered as a natural extension of the SD formulation for simplex elements. Additionally, a new family of FR methods, which is equivalent to the SDRT method under certain circumstances, is described. All these developments were implemented in the open-source PyFR solver and are compatible with CPU and GPU architectures. In the context of high-order simulations of turbulent flows found in rotor-stator interaction test cases, a sliding mesh method (which involves non-conformal grids and mesh motion) specifically tailored for massivelyparallel simulations is implemented within a CPU-based solver. The developed method is compatible with second-order and high-order FVM and SEM. Grid movement, needed to simulate rotor-stator test cases due to the relative movement of each domain zone, is treated using the Arbitrary-Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation. The analysis of such formulation depicts its important influence on the numerical accuracy and stability of numerical simulations with mesh motion. Moreover, specific non-conformal discretization methodscompatible with second-order and high-order FVM and SEM are developed and their accuracy is assessed on different non-linear test cases. The parallel scalability of the method is assessed with up to 11000 cores, proving appropriate computational efficiency. The accuracy of the implementation is assessed through a set of linear and non-linear test cases. Preliminary results of the turbulent flow around a DGEN 380 fan stage in an under-resolved configuration are shown and compared to available experimental data.