On the Additive Theory of Prime Numbers.

The undecidability of the additive theory of prime numbers (with identity) as well as the theory Th(N, +, n ↦ p_n), where pn denotes the (n + 1)-th prime, are open questions. In a first part, we show the undecidability of Th(N, +, n ↦ nf(n)) where f is a good approximation of the enumeration n ↦ p_n/n. In a second part, as a possible approach, we extend the former theory by adding some extra function. In this direction we show the undecidability of the existential part of the theory Th(N, +, n ↦ p_n, n ↦ r_n), where r_n is the remainder of pn divided by n in the euclidian division. L'indécidabilité de la théorie additive des nombres premiers ainsi que de la théorie Th(N, +, n ↦ p_n), où p_n désigne le (n+1)-ième premier, sont deux questions ouvertes. Dans une première partie, nous montrons l'indécidabilité de Th(N, +, n ↦ nf(n)) où f est une bonne approximation de la fonction n ↦ p_n/n des nombres premiers. Dans une seconde partie, nous étendons la première théorie en lui ajoutant une fonction supplémentaire et nous montrons l'indécidabilité de la théorie Th(N, +, n ↦ p_n, n ↦ r_n), où r_n désigne le reste de p_n dans la division euclidienne de p_n par n, et même de sa seule partie existentielle. [ABSTRACT FROM AUTHOR]