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This thesis is dedicated to the study of propagation properties of various reaction–diffusion systems coming from population dynamics. In the first part, we study the strong competition limit of competition–diffusion systems with two species. Thanks to the spatial segregation, we determine the sign of the speed of the bistable traveling wave. The generalization to bistable pulsating fronts in spatially periodic media is then considered in order to study the role of spatial heterogeneity. We find a condition sufficient for the existence of such fronts as well as a condition sufficient for the existence of stable steady states which might on the contrary block the propagation. Then we show that whenever a family of strongly competing pulsating fronts exists, we can establish a result very similar to the one obtained in homogeneous media. In the second part, systems of KPP type with any number of species are considered. We study the existence of steady states and traveling waves, the qualitative properties of these solutions as well as the asymptotic speed of spreading of certain solutions of the Cauchy problem. This settles several open questions on the prototypical KPP systems that are mutation–competition–diffusion systems. In the third part, we go back to competition–diffusion systems with two species. Considering this time the monostable case, we study the asymptotic speeds of spreading of certain solutions of the Cauchy problem. By so doing, we show the existence of propagating terraces describing the invasion of an uninhabited territory by a weak but fast competitor followed by the invasion by a strong but slow competitor.; Cette thèse est dédiée à l’étude des propriétés de propagation de systèmes de réaction – diffusion issus de la dynamique des populations. Dans la première partie, on étudie la limite de forte compétition de systèmes à deux espèces. À l’aide de la ségrégation spatiale, on détermine le signe de la vitesse de l’onde progressive bistable. La généralisation aux ondes pulsatoires bistables en milieu spatialement périodique est ensuite envisagée afin d’étudier le rôle de l’hétérogénéité spatiale. Après avoir donné une condition suffisante pour l’existence de telles ondes ainsi qu’une condition suffisante pour l’existence d’états stationnaires stables susceptibles au contraire de bloquer l’invasion, on suppose qu’une famille d’ondes pulsatoires existe et on prouve un résultat semblable à celui obtenu en milieu homogène. Dans la seconde partie, des systèmes de type KPP à un nombre arbitraire d’espèces sont considérés. On étudie l’existence d’états stationnaires et d’ondes progressives, les propriétés qualitatives de ces solutions ainsi que la vitesse asymptotique de propagation de certaines solutions du problème de Cauchy. Cela résout des questions ouvertes sur les systèmes de mutation – compétition – diffusion, qui constituent le prototype de système de type KPP. Dans la troisième partie, on revient aux systèmes à deux espèces. Considérant cette fois-ci le cas monostable, on étudie les vitesses asymptotiques de propagation de certaines solutions du problème de Cauchy et, ce faisant, on montre l’existence de solutions décrivant l’invasion d’un territoire inhabité par un compétiteur faible mais rapide suivie de l’invasion de ce territoire par un compétiteur fort mais lent.

The outer membrane of the Gram-negative bacteria cell wall is composed of lipopolysaccharide (LPS) molecules. Being released to the blood flow during sepsis, LPS induce strong immune response accompanied by pathological blood clotting. Blood coagulation is activated both due to the vessel wall damage, and the activation of the contact pathway. The details of the mechanisms involved remain obscure despite the extensive experimental studies. In the present work we develop theoretical models of the different time and space scales to elucidate the details of the LPS-induced blood coagulation during the Gram-negative sepsis. In the first two chapters we provide the state of the art of the problem and describe the methods we use. The third chapter is devoted to the analysis of the mathematical models of blood coagulation. We determine the conditions of the existence of the traveling wave solutions in the model of the self-sustained clot growth, estimate the speed of their propagation and demonstrate existence of the pulse solution determining the critical value of the initial condition. Then, we consider the model of blood coagulation under flow conditions and determine the critical size of the damaged zone leading to the complete vessel occlusion by the clot. Finally, we develop and analyze the model of the contact system activation by the LPS aggregates. In the fourth chapter we model the LPS supramolecular structure, which has crucial impact on the LPS biological activity. We develop molecular dynamics models of the LPS molecules, their aggregates and LPS-containing membranes of different composition and analyze LPS conformational behavior in different environment.; Lipopolysaccharides (LPS) représentent le composant principal de la membrane externe des bactéries Gram-négatives. Étant libérés dans le flux sanguin, les LPS induisent une forte réponse immunitaire accompagnée d'une coagulation intensifiée du sang activée à la fois par l'endommagement de la paroi vasculaire et par l'activation de la voie de contact. Dans cette thèse, nous développons des modèles théoriques pour élucider les détails de la coagulation sanguine induite par les molécules LPS. Dans les deux premiers chapitres, nous décrivons l'état de l'art du problème et les méthodes utilisées. Le troisième chapitre est consacré à l'analyse des modèles mathématiques de la coagulation sanguine. Nous déterminons les conditions de l'existence de solutions en ondes progressives dans le modèle de la croissance du caillot, estimons la vitesse de leur propagation et démontrons l'existence de la solution en forme de pulse déterminante la valeur critique de la condition initiale qui assure le processus de coagulation. Ensuite, nous étudions le modèle de la formation de caillot dans l'écoulement sanguin et déterminons la taille critique de la zone endommagée conduisante à l'occlusion complète du vaisseau par le caillot. Enfin, nous développons et analysons le modèle de l'activation du système de contact par les agrégats des LPS. Dans le quatrième chapitre, nous modélisons la structure supramoléculaire des LPS, qui a un impact crucial sur leur activité biologique. Nous développons des modèles de la dynamique moléculaire des LPS, de leurs agrégats et des membranes des compositions variées, et analysons le comportement conformationnel des LPS en fonction de leur environnement.

We consider organisms that mix sexual and asexual reproduction, in a situation where sexual reproduction involves both spatial dispersion and mate finding limitation. We propose a model that involves two coupled equations, the first one being an ordinary differential equation of logistic type, the second one being a reaction diffusion equation. According to realistic values of the various coefficients, the second equation turns out to involve a fast time scale, while the first one involves a separated slow time scale. First we show existence and uniqueness of solutions to the original system. Second, in the limit where the fast time scale is considered infinitely fast, we show the convergence towards a reduced quasi steady state dynamics, whose correctors can be computed at any order. Third, using monotonicity properties of our cooperative system, we show the existence of traveling wave solutions in a particular region of the parameter space (monostable case)., On considère des organismes qui mixent reproduction sexuée et asexuée, dans une situation où la reproduction sexuée fait intervenir à la fois de la dispersion spatiale et de la limitation d'appariement. Nous proposons un modèle qui implique deux équations couplées, la première étant une équation différentielle ordinaire de type logistique, la seconde étant une équation de réaction-diffusion. Grâce à des valeurs réalistes des différents coefficients, il s'avère que la deuxième équation fait intervenir une échelle de temps rapide, alors que la première fait intervenir une échelle de temps lente. Dans un premier temps, on montre l'existence et l'unicité de solutions au système original. Dans un second temps, dans la limite où l'échelle de temps rapide est considérée infiniment rapide, on montre la convergence vers une dynamique réduite d'état d'équilibre, dont les termes correctifs peuvent être calculés à tout ordre. Troisièmement, en utilisant des propriétés de monotonie de notre système coopératif, on montre l'existence d'ondes progressives dans une région particulière de l'espace des paramètres (cas monostable).

This thesis is devoted to mathematical modeling in neuroscience and mathematical analysis of coupled Hodgkin-Huxley (HH) systems. Two aspects were studied separately. The first focuses on the (HH) model when we take into account only the differential system (ODE), the second on the corresponding reaction-diffusion model (PDE).Therefore, firstly, a bifurcation analysis of the system is made, using the cur- rent of injection as a parameter. For this aim, we use a strong spectral method (called method of harmonic balance) to detect stable and unstable solutions. This help us in finding, in a more effective way, all the periodic solutions of the ODE (HH) system for various values of the parameter (i.e. current of injection). Secondly, we study the PDE-(HH) system as well as complex systems obtained by coupling many PDE-(HH). The existence and uniqueness of global solutions for initial functions from a Banach space are proved, and the proof of the existence of global attractor is also done. The last chapter gives a numerical study based on classical methods of discretization (finite differences and finite elements) coupled with a splitting method.; Ce travail de thèse est consacré `a la modélisation mathématique en neuroscience et `a l’analyse mathématique de systèmes couplés de type Hodgkin-Huxley (HH). La thèse s’articule sur deux volets. Le premier concerne le modèle (HH) sous sa forme différentielle (EDO), l’autre le modèle `a réaction-diffusion correspondant (EDP). Tout d’abord, une analyse de bifurcation par rapport `a un paramètre (ici le courant d’injection dans le modèle) est faite. Celle-ci utilise une méthode spectrale robuste (dite méthode de bilan harmonique) pour détecter les solutions stables et instables. Nous avons alors pu trouver, d’une manière plus efficace, toutes les solutions périodiques du système pour différentes va- leurs du paramètre courant d’injection. Ensuite, sur le deuxième volet, nous abordons l’analyse mathématique pour les systèmes des ́équations aux dérivées partielles non-linéaires couplées de type Hodgkin-Huxley. Nous utilisons alors la théorie des semi-groupes pour montrer l’existence et l’unicité des solutions dans différents espaces de Banach, et étudions leur comportement asymptotique pour montrer enfin l’existence d’un attracteur global. Cette deuxième partie est complétée par une étude numérique détaillée basée sur des méthodes classiques de discrétisation (différences finies et éléments finis) couplées avec une méthode de coupe (splitting).

This thesis is devoted to mathematical modeling in neuroscience and mathematical analysis of coupled Hodgkin-Huxley (HH) systems. Two aspects were studied separately. The first focuses on the (HH) model when we take into account only the differential system (ODE), the second on the corresponding reaction-diffusion model (PDE).Therefore, firstly, a bifurcation analysis of the system is made, using the cur- rent of injection as a parameter. For this aim, we use a strong spectral method (called method of harmonic balance) to detect stable and unstable solutions. This help us in finding, in a more effective way, all the periodic solutions of the ODE (HH) system for various values of the parameter (i.e. current of injection). Secondly, we study the PDE-(HH) system as well as complex systems obtained by coupling many PDE-(HH). The existence and uniqueness of global solutions for initial functions from a Banach space are proved, and the proof of the existence of global attractor is also done. The last chapter gives a numerical study based on classical methods of discretization (finite differences and finite elements) coupled with a splitting method.; Ce travail de thèse est consacré `a la modélisation mathématique en neuroscience et `a l’analyse mathématique de systèmes couplés de type Hodgkin-Huxley (HH). La thèse s’articule sur deux volets. Le premier concerne le modèle (HH) sous sa forme différentielle (EDO), l’autre le modèle `a réaction-diffusion correspondant (EDP). Tout d’abord, une analyse de bifurcation par rapport `a un paramètre (ici le courant d’injection dans le modèle) est faite. Celle-ci utilise une méthode spectrale robuste (dite méthode de bilan harmonique) pour détecter les solutions stables et instables. Nous avons alors pu trouver, d’une manière plus efficace, toutes les solutions périodiques du système pour différentes va- leurs du paramètre courant d’injection. Ensuite, sur le deuxième volet, nous abordons l’analyse mathématique pour les systèmes des ́équations aux dérivées partielles non-linéaires couplées de type Hodgkin-Huxley. Nous utilisons alors la théorie des semi-groupes pour montrer l’existence et l’unicité des solutions dans différents espaces de Banach, et étudions leur comportement asymptotique pour montrer enfin l’existence d’un attracteur global. Cette deuxième partie est complétée par une étude numérique détaillée basée sur des méthodes classiques de discrétisation (différences finies et éléments finis) couplées avec une méthode de coupe (splitting).

Since 1998 and the seminal work of Jordan, Kinderlehrer and Otto, it is well known that a large class of parabolic equations can be seen as gradient flows in the Wasserstein space. This thesis is devoted to extensions of this theory to equations and systems which do not have exactly a gradient flow structure. We study different kind of couplings. First, we treat the case of nonlocal interactions in the drift. Then, we study cross diffusion systems which model congestion for several species. We are also interested in reaction-diffusion systems as diffusive prey-predator systems or tumor growth models. Finally, we introduce a new class of systems where the interaction is given by a multi-marginal transport problem. In many cases, we give numerical simulations to illustrate our theorical results.; Depuis l’article fondateur de Jordan, Kinderlehrer et Otto en 1998, il est bien connu qu’une large classe d’équations paraboliques peuvent être vues comme des flots de gradient dans l’espace de Wasserstein. Le but de cette thèse est d’étendre cette théorie à certaines équations et systèmes qui n’ont pas exactement une structure de flot de gradient. Les interactions étudiées sont de différentes natures. Le premier chapitre traite des systèmes avec des interactions non locales dans la dérive. Nous étudions ensuite des systèmes de diffusions croisées s’appliquant aux modèles de congestion pour plusieurs populations. Un autre modèle étudié est celui où le couplage se trouve dans le terme de réaction comme les systèmes proie-prédateur avec diffusion ou encore les modèles de croissance tumorale. Nous étudierons enfin des systèmes de type nouveau où l’interaction est donnée par un problème de transport multi-marges. Une grande partie de ces problèmes est illustrée de simulations numériques.

Since 1998 and the seminal work of Jordan, Kinderlehrer and Otto, it is well known that a large class of parabolic equations can be seen as gradient flows in the Wasserstein space. This thesis is devoted to extensions of this theory to equations and systems which do not have exactly a gradient flow structure. We study different kind of couplings. First, we treat the case of nonlocal interactions in the drift. Then, we study cross diffusion systems which model congestion for several species. We are also interested in reaction-diffusion systems as diffusive prey-predator systems or tumor growth models. Finally, we introduce a new class of systems where the interaction is given by a multi-marginal transport problem. In many cases, we give numerical simulations to illustrate our theorical results.; Depuis l’article fondateur de Jordan, Kinderlehrer et Otto en 1998, il est bien connu qu’une large classe d’équations paraboliques peuvent être vues comme des flots de gradient dans l’espace de Wasserstein. Le but de cette thèse est d’étendre cette théorie à certaines équations et systèmes qui n’ont pas exactement une structure de flot de gradient. Les interactions étudiées sont de différentes natures. Le premier chapitre traite des systèmes avec des interactions non locales dans la dérive. Nous étudions ensuite des systèmes de diffusions croisées s’appliquant aux modèles de congestion pour plusieurs populations. Un autre modèle étudié est celui où le couplage se trouve dans le terme de réaction comme les systèmes proie-prédateur avec diffusion ou encore les modèles de croissance tumorale. Nous étudierons enfin des systèmes de type nouveau où l’interaction est donnée par un problème de transport multi-marges. Une grande partie de ces problèmes est illustrée de simulations numériques.

In this thesis, we are interested in the mathematical and numericalanalysis of nonlinear degenerate parabolic systems arising eitherfrom modeling the chemotaxis process, or from modelingcompressible flows in porous media. The proposed chemotaxismodel (Keller-Segel model) is a model of population dynamicsdescribing the spatio-temporel evolution of the cell density and thechemical concentration. For this model, we study the patternformation using the linear stability analysis as well as the principle ofTuring. Then, we propose a numerical scheme (CVFE scheme) foran anisotropic Keller-Segel model. The construction of the schemeis based on the use of each of the finite element scheme for thediffusion term and the upwind finite volume scheme for theconvective term. We show that the scheme is consistent andensures the discrete maximum principle in the case where all thetransmissibility coefficients are nonnegative. Thereafter, overgeneral triangular meshes, we propose and analyze a nonlinearCVFE scheme. This scheme is based on the use of the Godunovflux function for the diffusion term, while the convective term isapproximated by parts using an upwind finite volume scheme and aGodunov flux function. First, the upwind finite volume schemeallows of having the discrete maximum principle. On the other hand,the Godunov scheme ensures the boundedness of the discretesolutions without restrictions on the mesh nor on the transmissibilitycoefficients. Using this scheme, we realize some numericalsimulations to illustrate the effectiveness of the scheme. Finally, weare interested in a degenerate parabolic equation containingdegenerate terms of order 0 and 1 and describing achemotaxis-fluid model or a displacement of compressible flows.Classical weak formulation is often possible in the absence ofdegenerate terms of order 0 and 1; while in the general case, weobtain weak solutions in the sense of verifying a weightedformulation. The definition of weak solutions is adapted to thenature of the degeneracy of the dissipative terms.; Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’analyse mathématiqueet numérique des systèmes paraboliques non linéaires dégénérésdécoulant, soit de la modélisation de la chimiotaxie, soit de lamodélisation des fluides compressibles. Le modèle de chimiotaxie(Keller-Segel) proposé est un modèle de dynamique despopulations décrivant l’évolution spatio-temporelle de la densitécellulaire et de la concentration chimiotactique. Pour ce modèle,nous étudions la formation de patterns en utilisant l’analyse destabilité linéaire et le principe de Turing. Nous proposons ensuite unschéma numérique CVFE pour un modèle anisotrope deKeller-Segel. La construction de ce schéma est basée sur laméthode des éléments finis pour le terme de diffusion et sur laméthode des volumes finis classique pour le terme de convection.Nous montrons que ce schéma assure le principe de maximumdiscret et qu’il est consistent dans le cas où tous les coefficients detransmissibilité sont positifs. Par la suite, sur des maillagestriangulaires généraux, nous proposons et analysons un schémanumérique CVFE non linéaire. Ce schéma est basé sur l’utilisationd’un flux numérique de Godunov pour le terme de diffusion, tandisque le terme de convection est approché au moyen d’un décentrageamont et d’un flux de Godunov. D’une part, le décentrage amontpermet d’avoir le principe de maximum. D’autre part, le flux deGodunov assure que les solutions discrètes soient bornées sansrestriction sur le maillage du domaine spatial ni sur les coefficientsde transmissibilité. Nous réalisons différentes simulationsnumériques bi-dimensionnelles pour illustrer l’efficacité du schémaà tenir compte des hétérogénéités. Enfin, nous nous intéressons àune équation parabolique dégénérée contenant des termesdégénérés d’ordre 0 et 1 et décrivant un modèle dechimiotaxie-fluide ou l’écoulement d’un fluide compressible. Uneformulation faible classique est souvent possible en absence destermes dégénérés d’ordre 0 et 1 ; tandis que dans le cas général,nous obtenons des solutions dans un sens affaibli vérifiant uneformulation de type inégalité variationnelle. La définition dessolutions faibles est adaptée à la nature de la dégénérescence destermes de dissipation.

The purpose of this thesis is the mathematical and numerical study of a system of several species competing for a single resource in a heterogeneous environment. When the environment is homogeneous, it is known that such a system, called chemostat system, satisfies the so-called competitive exclusion principle: no more than one species can survive. We propose two spatially structured models and study the role of spatial heterogeneity in the coexistence phenomena. The first model is a system of matrix equations, the second one is a reaction-diffusion system. Our first contribution is to show that the solutions of the reaction-diffusion system are uniformly bounded in time and space in L infinity norm. Next, we study the case of small migration rate in the discrete model and show that the coexistence of several species is possible. Lastly, in the case of high migration rates, we use the center manifold theorem to show in each of the two models that the principle of competitive exclusion holds. Then, we construct stationary coexistence solutions for two species using a method of global bifurcations. This construction leads to the identification of a coexistence domain in the parameter space. In the final chapters, we illustrate and extend numerically the previous results. In particular, we show how the coexistence domain depends on the migration rate and on the spatial heterogeneity., L'objet de cette thèse est l'étude mathématique et numérique d'un système de compétition de plusieurs espèces pour une ressource dans un milieu hétérogène. Lorsque le milieu est homogène, il est connu qu'un tel système, appelé système de chemostat, vérifie le principe d'exclusion compétitive : au plus une espèce peut survivre. Nous proposons deux modèles spatialement structurés et étudions le rôle de l'hétérogénéité spatiale dans les phénomènes de coexistence. Le premier modèle est un système d'équations matricielles et le second un système de réaction-diffusion. Notre première contribution est de montrer que les solutions du système de réaction-diffusion sont uniformément bornées en temps et en espace en norme L infini. Nous étudions ensuite le cas des petits taux de migration dans le modèle discret et montrons que la coexistence est possible. Dans le cas des grands taux de migration, nous montrons à l'aide du théorème de la variété centrale que pour chacun des deux modèles, le principe d'exclusion compétitive est vérifié. Nous construisons finalement des solutions stationnaires de coexistence pour deux espèces à l'aide d'une méthode de bifurcations globales. Cette construction nous amène à définir la notion de domaine de coexistence dans l'espace des paramètres. Dans les derniers chapitres, nous illustrons et étendons numériquement les résultats précédents. Nous montrons en particulier comment le domaine de coexistence dépend du taux de migration et de l'hétérogénéité spatiale.

We are interested in the study of numerical methods for reaction-diffusion systems. We first consider the Residual Smoothing Scheme and its extrapolations; this scheme uses a spatial preconditioner for the time discretization. We prove the stability of this method for the usual norm and its convergence in energy norm and we apply this scheme to the preconditioning of spectral methods by finite elements methods. For this application, we need to compute precise asymptotic formulas of Legendre polynomials and of their extrema. Then, we study a semi-discretization in time of a splitting scheme, called the Peaceman-Rachford approximation and we show that this scheme is convergent and of order two. Eventually, we apply these methods to the simulation of a parabolic non linear equation modelizing grain growth and to the computation of solutions of a non local parabolic equation coming from statistical mechanics and modelizing the fermionic self-gravitating systems., On s'intéresse dans cette thèse à l'étude de méthodes numériques pour les systèmes de réaction-diffusion. Tout d'abord, on étudie le schéma par régularisation du résidu et ses extrapolations; ce schéma introduit un préconditionneur en espace lors de la discrétisation en temps. On prouve la stabilité en norme usuelle et la convergence en norme d'énergie de cette méthode et on l'applique au préconditionnement de méthodes spectrales par des méthodes d'éléments finis. Cette application nécessite le calcul d'asymptotiques précises des polynômes de Legendre et de leurs extrema. On prouve aussi la convergence et l'ordre deux d'une méthode de splitting semi-discrétisée en temps pour les systèmes de réaction-diffusion, l'approximation de Peaceman-Rachford. Enfin, on applique ces méthodes à la simulation d'une équation parabolique non linéaire pour modéliser la croissance de grains et à une équation parabolique non locale venant de la mécanique statistique et modélisant les systèmes autogravitants de fermions.