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International audience; Cet article traite de la commande prédictive pour un système linéaire hyperbolique de lois de conservation. Tout d'abord, une preuve complète de la stabilité exponentielle de cette commande est établie pour les systèmes linéaires décrits sous la forme abstraite à condition qu'une fonction de coût appropriée soit utilisée. L'approche est ensuite appliquée à notre système en utilisant la fonction de Lyapunov proposée précédemment comme fonction de coût. Pour la mise en oeuvre, le calcul variationnel est utilisé pour dériver les états adjoints du système et la méthode de Boltzmann sur réseaux est utilisée pour résoudre à la fois les équations aux dérivées partielles directes et adjointes . Cette approche est finalement validée en simulation.

In this work, we study hyperbolic systems of balance laws. The first part is devoted to compressible fluid dynamics, and particularly to the lifespan of smooth or piecewise smooth solutions. After presenting the state of art, we show an extension to more general gases of a theorem by Grassin.We also study shock waves solutions: first, we extend T. T. Li's approach to estimate the time of existence in the isentropic spherical case; second, we develop Whitham's ideas to obtain an approximated equation satisfied by the discontinuity surface. In the second part, we set up a new model for a roundabout. This leads us to study a multi-class extension of the macroscopic Lighthill-Whitham-Richards' model. We study the traffic on an infinite road, with some points of junction. We distinguish vehicles according to their origin and destination and add some boundary conditions at the junctions. We obtain existence and uniqueness of a weak entropy solution for the Riemann problem. As a complement, we provide numerical simulations that exhibit solutions with a long time of existence. Finally, the Cauchy problem is tackled by the front tracking method. In the last part, we are interested in scalar hyperbolic balance laws. The first question addressed is the control of the total variation and the stability of entropy solutions with respect to flow and source. With this result, we can study equations with non-local flow, which do not fit into the framework of classical theorems. We show here that these kinds of equations are well posed and we show the Gâteaux-differentiability with respect to initial conditions, which is important to characterize maxima or minima of a given cost functional., On étudie dans ce travail des systèmes de lois de conservation hyperboliques. La première partie étudie le temps d'existence des solutions régulières et régulières par morceaux de la dynamique des fluides compressibles. Après avoir présenté l'état de l'art en matière de solutions régulières, on montre une extension d'un théorème de Grassin à des gaz de Van der Waals. On étudie ensuite les solutions ondes de chocs : on poursuit l'approche de T. T. Li pour estimer leur temps d'existence dans le cas isentropique à symétrie sphérique, et l'approche de Whitham afin d'obtenir une équation approchée vérifiée par la surface de discontinuité. Dans une deuxième partie, motivée par la modélisation d'un rond-point en trafic routier, on étudie une extension multi-classe du modèle macroscopique de Lighthill-Whitham-Richards sur une route infinie avec des jonctions. On différencie les véhicules selon leur origine et leur destination et on introduit des conditions aux bords adaptées au niveau des jonctions. On obtient existence et unicité d'une solution au problème de Riemann pour ce modèle. Des simulations numériques attestent que les solutions obtenues existent en temps long. On aborde enfin le problème de Cauchy par la méthode de front tracking. La dernière partie concerne les lois de conservation scalaires. La première question abordée est le contrôle de la variation totale de la solution et la stabilité des solutions faibles entropiques par rapport au flux et à la source. Ce résultat nous permet d'étudier des équations avec flux non-local. Une fois établi leur caractère bien posé, on montre la Gâteaux-différentiabilité du semi-groupe obtenu par rapport aux conditions initiales.

In this work, we study hyperbolic systems of balance laws. The first part is devoted to compressible fluid dynamics, and particularly to the lifespan of smooth or piecewise smooth solutions. After presenting the state of art, we show an extension to more general gases of a theorem by Grassin. We also study shock waves solutions: first, we extend T. T. Li's approach to estimate the time of existence in the isentropic spherical case; second, we develop Whitham's ideas to obtain an approximated equation satisfied by the discontinuity surface. In the second part, we set up a new model for a roundabout. This leads us to study a multi-class extension of the macroscopic Lighthill-Whitham-Richards' model. We study the traffic on an infinite road, with some points of junction. We distinguish vehicles according to their origin and destination and add some boundary conditions at the junctions. We obtain existence and uniqueness of a weak entropy solution for the Riemann problem. As a complement, we provide numerical simulations that exhibit solutions with a long time of existence. Finally, the Cauchy problem is tackled by the front tracking method. In the last part, we are interested in scalar hyperbolic balance laws. The first question addressed is the control of the total variation and the stability of entropy solutions with respect to flow and source. With this result, we can study equations with non-local flow, which do not fit into the framework of classical theorems. We show here that these kinds of equations are well posed and we show the Gâteaux-differentiability with respect to initial conditions, which is important to characterize maxima or minima of a given cost functional., On étudie dans ce travail des systèmes de lois de conservation hyperboliques. La première partie étudie le temps d'existence des solutions régulières et régulières par morceaux de la dynamique des fluides compressibles. Après avoir présenté l'état de l'art en matière de solutions régulières, on montre une extension d'un théorème de Grassin à des gaz de Van der Waals. On étudie ensuite les solutions ondes de chocs : on poursuit l'approche de T. T. Li pour estimer leur temps d'existence dans le cas isentropique à symétrie sphérique, et l'approche de Whitham afin d'obtenir une équation approchée vérifiée par la surface de discontinuité. Dans une deuxième partie, motivée par la modélisation d'un rond-point en trafic routier, on étudie une extension multi-classe du modèle macroscopique de Lighthill-Whitham-Richards sur une route infinie avec des jonctions. On différencie les véhicules selon leur origine et leur destination et on introduit des conditions aux bord adaptées au niveau des jonctions. On obtient existence et unicité d'une solution au problème de Riemann pour ce modèle. Des simulations numériques attestent que les solutions obtenues existent en temps long. On aborde enfin le problème de Cauchy par la méthode de front tracking. La dernière partie concerne les lois de conservation scalaires. La première question abordée est le contrôle de la variation totale de la solution et la stabilité des solutions faibles entropiques par rapport au flux et à la source. Ce résultat nous permet d'étudier des équations avec flux non-local. Une fois établi leur caractère bien posé, on montre la Gâteaux-différentiabilité du semi-groupe obtenu par rapport aux conditions initiales.

We are interested in the stability of shock waves solutions to multidimensional hyperbolic systems of conservation laws. This problem was addressed by Andrew Majda under the so-called uniform stability assumption. This assumption is crucial in Majda's analysis, but is not met by several examples, for instance liquid-vapor phase transitions. We examine here the stability of those interfaces that do not satisfy the uniform stability assumption, and show how Majda's results extend to such discontinuities.We first show the linear stability of weakly stable planar shocks, using a degenerate Kreiss' symmetrizer that takes the neutrally unstable modes into account. This first step states precisely the losses of derivatives in the energy estimates. Next, we show that these estimates remain valid when dealing with the linear stability of nonplanar interfaces that are close to a planar shock. The use of paradifferential calculus allows us to deal with low regularity perturbations of the reference planar shock. Under a smallness assumption on the global behavior of the bicharacteristic curves, we show an energy estimate that is similar to the one derived for the constant coefficients linearized problem. This result should enable us to prove the nonlinear stability of weakly stable shock waves., On s'interesse dans ce travail a la stabilite des ondes de choc pour des systemes hyperboliques de lois de conservation multidimensionnels. Ce probleme a ete traite par Andrew Majda sous une hypothese, dite de stabilite uniforme, qui intervient de facon cruciale dans son analyse. Cette hypothese est cependant mise en defaut dans certains exemples, par exemple dans l'etude des transitions de phase liquide-vapeur. Nous examinons ici la stabilite des interfaces qui ne verifient pas l'hypothese de stabilite uniforme, et montrons comment les resultats de Majda s'etendent a de telles discontinuites. On commence par montrer la stabilite lineaire des chocs plans faiblement stables, a l'aide d'un symetriseur de Kreiss degenere qui tient compte des modes neutralement instables. Cette premiere etape etablit un compte precis des pertes de derivees intervenant dans les estimations d'energie. Dans un second temps, nous montrons que ces estimations d'energie demeurent valables lorsque l'on etudie la stabilite des interfaces (non planes) proches d'un choc plan. L'utilisation du calcul paradifferentiel nous permet de traiter des perturbations peu regulieres du choc plan initial. Sous une hypothese de petitesse sur le comportement global des courbes bicaracteristiques, nous montrons une estimation d'energie semblable a celle etablie pour le probleme linearise a coefficients constants. Ce resultat devrait permettre de montrer la stabilite non lineaire des ondes de choc faiblement stables.