Search

Ačkoli se s kulovitou Zemí můžeme v antické kosmologii s naprostou jistotou setkat až u Aristotela, Diogenés Laertios ji přisuzuje jako prvním Pýthagorovi a Parmenidovi. V obou případech však de facto nemáme k dispozici další adekvátní podklady. Změny, k nimž došlo v kosmologiích mezi 6. a 5. stoletím př. Kr., nicméně naznačují, že jsou důsledkem nového kosmologického pojetí. To se zakládalo právě na kulovité Zemi ve středu sférického nebe – univerza. Pokud byla koncepce kulovité Země navíc produktem metafyzické spekulace, zprávy zmiňující představitele italské větve filosofie budou adekvátní. Vzhledem k nedostatečnému zachování rané pýthagorejské tradice a významnému vlivu Parmenida na následující myslitele se lze domnívat, že právě Parmenidés nahlédl kulovitý tvar Země jako první. Although it is not until we get to Aristotle that we can be absolutely certain of finding a spherical Earth in ancient cosmology, Diogenes Laertios considers it to have been first conceived by Pythagoras and Parmenides. In both cases, however, we in point of fact do not have at our disposal any additional, adequate sources. Nevertheless, the changes that took place in cosmologies between the 6th and 5th centuries BCE suggest that they are the result of a new cosmological concept. This was based on just precisely a spherical Earth being at the center of the spherical heaven – the universe. Moreover, so far as the concept of a spherical Earth was the product of metaphysical speculation, reports by the representatives of the Italian branch of philosophy would be adequate. Due to an insufficient preservation of the works of the early Pythagorean tradition and the significant influence of Parmenides on the thinkers that followed, it can be presumed that it was Parmenides who was the first to visualize a spherical shape for the Earth.

Ovaj rad bavi se poznatim problemom: ”Lovac kreće iz svog šatora i hoda 10 km prema jugu. Nakon toga skreće i hoda 10 km prema zapadu. Onda skreće prema sjeveru i hoda 10 km. Nakon prehodanih 30 km nalazi se na mjestu s kojeg je krenuo, pred svojim šatorom, no ne može ući jer je unutra medvjed. Koje je boje medvjed?” U prvom poglavlju opisani su osnovni pojmovi sferne geometrije te su navedeni osnovni teoremi i definicije toga područja. U drugom su poglavlju opisana rješenja navedenog zadatka na različitim rotacijskim plohama: sferi, kružnom valjku i kružnom stošcu. Na kraju se spominje postojanost rješenja na općenitoj rotacijskoj plohi. This paper presents a well-known problem: ”A hunter started from his tent and went 10 km strictly south. After that he turns and walks 10 km strictly west. Then he turns to the north and walks 10 km. After walking 30 km he is in front of his tent, but he can’t enter because there is a bear inside. What color is the bear? ” The first chapter presents the basic concepts, definitions and theorems of spherical geometry. The second chapter describes the answers of this problem on different rotational surfaces: a sphere, a cylinder and a cone, and in the end, on general rotational surfaces.

Maqolada sfera sirtida joylashgan uchburchak tushunchasi, uni yechish masalasi qaralgan. Sferada joylashgan geometrik figuralarning xarakterli munosabatlarini trigonometrik formulalar orqali izohlash astonomiya va geodeziyada ahamiyatga ega.

Tema ovog rada je numerička analiza fermentacijskog spremnika za proizvodnju piva. Na početku rada dan je kratki uvod o proizvodnji piva te o spremnicima za fermentaciju istog. Za odabrani spremnik iskoristivog volumena 1000 l i ukupnog volumena 1200 l izvršen je analitički i numerički proračun. Geometrija odabranog spremnika sastavljena je od konusne, sferne i dvije cilindrične ljuske te od tanke kružne ploče. Prije samog proračuna dan je kratki teorijski uvod o tankim kružnim pločama i ljuskama te o metodi konačnih elemenata (MKE). Analitički proračun proveden je primjenom jednadžbi izvedenih iz teorije tankih kružnih ploča i ljuski. Za svaki dio spremnika određeni su i u dijagramu prikazani radijalni pomaci i zakreti. Također, određena su naprezanja na kritičnim mjestima spremnika. Primjenom Trescine teorije čvrstoće na tim mjestima određena su ekvivalentna naprezanja te je na osnovu najvećeg dobivenog naprezanja provjerena čvrstoća spremnika u odnosu na granicu elastičnosti odabranog materijala spremnika. Numerički proračun izveden je primjenom programskog paketa Abaqus® koji se temelji na metodi konačnih elemenata (MKE). Verifikacija konačnih elemenata za ovu analizu napravljena je na primjeru jedne cilindrične ljuske opterećene konstantnih tlakom. Različitim vrstama konačnih elemenata i različitim gustoćama mreže prikazana je konvergencija rješenja te je na taj način opravdana upotreba konačnih elemenata za glavni proračun. Provedbom glavnog proračuna određeni su radijalni pomaci i zakreti svakog dijela spremnika te ekvivalentna naprezanja na kritičnim mjestima. Radijalni pomaci i zakreti prikazani su u dijagramima te grafički na cijelom spremniku i u detaljnijem pogledu u blizini spojeva. Ekvivalentna naprezanja određena su primjenom Trescine i von Misesove teorije čvrstoće te su ista prikazana grafički na cijelom spremniku i u detaljnijem pogledu za svako kritično mjesto. Za najveće naprezanje dobiveno Trescinom teorijom čvrstoće provjerena je čvrstoća spremnika u odnosu na granicu elastičnosti odabranog materijala spremnika. Rezultati dobiveni primjenom obje metode uspoređeni su. Radijalni pomaci i zakreti uspoređeni su u preklopljenim dijagramima, a ekvivalentna naprezanja dobivena primjenom Trescine teorije čvrstoće uspoređena su tablično te je prikazana relativna pogreška numeričkog rješenja. The topic of this paper is the numerical analysis of the fermentation tank for beer production. At the beginning of the paper, a brief introduction was presented on the production of beer and fermentation tanks. Analytical and numerical calculations were performed for the selected tank with a usable volume of 1000 l and a total volume of 1200 l. The geometry of the selected tank consists of one conical, one spherical and two cylindrical shell and a thin circular plate. Before the calculation, a brief theoretical introduction on thin circular plates and shells and on the finite element method (FEM) was presented. Analytical calculation was performed using equations derived from the theory of thin circular plates and shells. Radial displacements and rotations were determined for each part of the tank and shown in the diagram. Also, stresses were determined at critical places of the tank. By applying Tresca’s failure theory, equivalent stresses were determined at these places, and based on the highest stress obtained, the strength of the tank was examined in relation to the elastic limit of the selected tank material. Numerical calculation was performed using the Abaqus® software package based on the finite element method (FEM). Verification of finite elements for this analysis was made on the example of one cylindrical shell loaded with constant pressure. Different types of finite elements and different mesh densities show the convergence of solutions, thus justifying the use of finite elements for the main calculation. By applying main calculation radial displacements and rotations were determined for each part of the tank as well as the equivalent stresses at critical places. Radial displacements and rotations are shown in diagrams and graphically throughout the tank and in a more detailed view near the joints. Equivalent stresses were determined using Tresca’s and von Mises failure theory and are shown graphically throughout the tank and in more detailed view for each critical place. For the highest stress obtained by Tresca’s failure theory, the strength of the tank in relation to the elastic limit of the selected tank material was examined. The results obtained using both methods were compared. Radial displacements and rotations are compared in overlapping diagrams and the equivalent stresses obtained by applying Tresca’s failure theory are compared by the means of table and the relative error of the numerical solution is shown.

U ovom diplomskom radu smo kroz četiri poglavlja obradili osnovne rezultate sferne geometrije izgradene na \(\mathbb{R}^3\). U drugom poglavlju smo definirali osnovne pojmove: sfera, velika kružznica, antipodalne točke i udaljenost izmedu dviju točaka. U trećem poglavlju smo proučavali sfernu trigonometriju. Definirali smo sferni trokut i dokazali analogone kosinusova, sinusova i Pitagorina poučka. Potom smo pokazali nekoliko rezultata za pravokutni sferni trokut i dualni teorem o kosinusu koji nema analogona u euklidskoj geometriji. U petom poglavlju smo obradili grupu izometrija sfere. Definirali smo izometriju na sferi, ortogonalni operator na \(\mathbb{R}^3\) i pokazali da je grupa izometrija na sferi izomorfna ortogonalnoj grupi na \(\mathbb{R}^3\). Zatim smo definirali osnu simetriju i pokazali da se svaka izometrija sfere može prikazati kao kompozicija najviše tri osne simetrije. Na samom kraju smo dokazali da na sferi, uz standardne teoreme o sukladnosti trokuta, vrijedi i \( KKK\) teorem o sukladnosti. In this thesis divided in four chapters we studied fundamental results of spherical geometry considered as a subset of \(\mathbb{R}^3\). In the second chapter we defined elementary terms: sphere, great circles, antipodal points and the distance between two points. In the third chapter we studied spherical trigonometry. We defined the spherical triangle and proved analogues of the cosine theorem, the sine theorem and the Pythagoras' theorem. Then, we proved several results about right-angled triangles and proved the dual cosine theorem which doesn't have an analogue in Euclidean geometry. In the fifth chapter we studied the isometry group of the sphere. We defined the isometry of sphere, orthogonal operator on \(\mathbb{R}^3\) and proved that there is a isomorphism between the isometry group of sphere and the orthogonal group of \(\mathbb{R}^3\): Then, we defined reactions and proved that every isometry of the sphere can be represented as the composition of at most three reactions. At the end we proved that besides ordinary congruence criteria for triangles, on the sphere the \( AAA\) criteria also holds.

U ovom radu, autor ��e prikazati filozofiju prirode (kosmologiju) ��ordana Bruna, u kojoj se ideja ontologije beskona��nosti suprotstavlja shvatanju svemira kao kona��nog, ili ograni��enog sistema. Za po��etak, osvrnu��emo se na Brunov stil i metodu, kao i uticaje koji su odredili smer njegovom mi��ljenju. Zatim, bi��e iznet Brunov stav po pitanju Kopernikove ideje heliocentizma, kao i razlozi koji su podstakli Bruna da kritikuje i prevazi��e Kopernikovu ideju. Jedan od bitnijih razloga koji je udaljio Bruna od Kopernika jeste razlika u poimanju veli��ine univerzuma. Bruno u kopernikanskoj ideji vidi ostatke tradicionalne nauke u pogledu metodskog pristupa, te ��e se sr�� Brunove kritike Kopernikovog u��enja i onog sholasti��kog odnositi na poimanje svemira kao ograni��enog, tj. geometrijski ure��enog. Geometrijska metoda, prema Brunu, ograni��ava svemir, te se postavlja pitanje prirode i smisla granice, kao i odnosa granice i praznine. Bruno ��e geometrijsku metodu zameniti tzv. prirodnom filozofijom ��ija je su��tina izra��ena u intuitivnom i spekulativnom sagledavanju op��teg ontolo��kog stava beskona��nosti. U poslednjem paragrafu ��e biti prikazana Brunova ontologija prirode kao struktura beskona��nog. Zaklju��ak ili cilj rada odnosi se na su��eljavanje ograni��enih sistema svemira i svemira kao beskona��nog prostranstva i izraza bo��anske mo��i.

Si richiamano alcuni concetti su vettori e tensori. Si discute la metrica ed infine la curvatura di Gauss ed il tensore di Riemann. Esempi vari sono proposti.&nbsp

[ES] La presente tesis doctoral lleva por título La estampa líquida. El tensioactivo como medio de expresión artístico. Reúne la investigación de diversos artistas, cuyas obras surgen a partir de las posibilidades creativas de un químico tensor. Son el reflejo de nuevas estrategias y de la incorporación de nuevos materiales como medio creativo contemporáneo, y que tomamos como referentes para la invención de un nuevo método de entintado calcográfico. Esta indagación toma como punto de partida los conceptos de tiempo y espacio, dos términos inherentes y complementarios, consecuencia directa del rastro y la huella derivada de una realidad social. La Modernidad líquida, categoría que define este estado actual y figura de cambio constante y de interinidad, acuñada por el sociólogo Zygmunt Bauman, nos sirve como metáfora para la interpretación de estos nuevos recursos. Del mismo modo, este ensayo recoge un análisis del diálogo permanente entre aquellos detalles cotidianos y desapercibidos, receptáculos contenedores de un devenir en forma de esfera, representación que adoptamos del filósofo Peter Sloterdijk. Realizamos también, una aproximación a lo que fue una revolución en las vanguardias en el mundo de la gráfica: La técnica de la simultaneidad del color, inventada por el artista británico Stanley William Hayter y proceso primigenio del que surge esta tesis. Asimismo, se examinan aquellas técnicas de creación pictóricas, afines a nuestro estudio experimental, de las cuales nos imbuimos directamente. Como resultado del estudio del efecto de transitoriedad tensioactiva, esta tesis propicia nuestra producción artística personal: Recuerdo del trayecto, que ilustra dicha evolución química a través del tiempo inmortalizado en forma de estampa., [CA] La present tesi doctoral porta per títol L'estampa líquida. El tensioactiu com a mitjà d'expressió artístic. Reunix la investigació de diversos artistes, les obres dels quals sorgixen a partir de les possibilitats creatives d'un químic tensor. Són el reflex de noves estratègies i de la incorporació de nous materials com a mitjà d'expressió artístic contemporani, i que prenem com a referents per a la invenció d'un nou mitjà d'entintat calcogràfic. Aquesta indagació pren com a punt d'eixida els conceptes de temps i espai, dos termes inherents i complementaris, conseqüència directa del rastre i la petjada derivada d'una realitat social. La Modernitat líquida, categoria que defineix aquest estat actual i figura de canvi constant i de interinitat, encunyada pel sociòleg Zygmunt Bauman, ens servix com a metàfora per a la interpretació d'aquests nous recursos. De la mateixa manera, aquest assaig recull una anàlisi del diàleg permanent entre aquells detalls quotidians i desapercebuts, receptacles contenidors d'un esdevenir en forma d'esfera, representació que adoptem del filòsof Peter Sloterdijk. Realitzem també una aproximació al que va ser una revolució a les Avantguardes en el món de la gràfica: La tècnica de la simultaneitat del color, inventada per l'artista britànic Stanley William Hayter i procés primigeni del que sorgeix aquesta tesi. Així mateix, s'examinen aquelles tècniques de creació pictòriques, afins al nostre estudi experimental, de les quals ens inbuïm directament. Com a resultat de l'estudi de l'efecte de transitorietat tensioactiva, aquesta tesi propicia la nostra producció artística personal: Recuerdo del trayecto, que il·lustra l'esmentada evolució química a través del temps immortalitzat en forma d'estampa., [IT] La presente tesi di dottorato si intitola La stampa liquida. Il tensioattivo come mezzo di espressione artistica. Nel nostro lavoro intendiamo riunire le ricerche di vari artisti, le cui opere nascono dalle possibilità creative di un tensore chimico. Esse riflettono le nuove strategie e l'incorporazione di nuovi materiali come mezzo creativo contemporaneo, che prendiamo come riferimento per l'invenzione di un nuovo metodo per inchiostrare la matrice calcografica. Questa indagine prende come punto di partenza i concetti di tempo e spazio, due termini intrinseci e complementari, conseguenze dirette e prodotti derivanti da una determinata realtà sociale. La Modernità Liquida, categoria riferita allo status quo della società contemporanea, che rappresenta in costante cambiamento e una condizione ad interim, coniata dal sociologo Zygmunt Bauman, serve come metafora per l'interpretazione di queste nuove risorse. Allo stesso modo, questo saggio cattura un'analisi del dialogo permanente tra quei dettagli quotidiani e inosservati, i contenitori di un divenire in forma di sfera, così come apprendiamo dal filosofo Peter Sloterdijk. Abbiamo anche operato un'approssimazione a quella che è stata una rivoluzione nel mondo della grafica: la tecnica della concorrenza del colore, la cui partenità si ascrive all'artista britannico Stanley William Hayter, primo processo da cui nasce questa tesi. Inoltre, il nostro alvoro esamina anche quelle tecniche di creazione pittorica, simili al nostro studio sperimentale e di cui il nostro lavoro è fortemente impregnato. Come risultato dello studio dell'effetto della transitorietà surfattante, questa tesi promuove la nostra personale produzione artistica, Recuerdo del trayecto, che illustra questa evoluzione chimica attraverso il tempo immortalato sotto forma di stampa., [EN] This doctoral thesis is named La estampa líquida. El tensioactivo como medio de expresión artístico (The Liquid Print. Surfactant as a resource of artistic expression). It gathers the investigation of different artists whose works arise from the creative possibilities of a tensor chemical. They are the reflection of new strategies and of the incorporation of new materials as a contemporary creative resource, and they are considered an example for the invention of a new chalcographic inking method. This investigation takes the concepts of time and space as a starting point. These concepts are inherent and complementary, a direct consequence of the trace and the print that stem from a social reality. The Liquid Modernity, a category which defines this current state and a symbol of constant change and temporariness, coined by sociologist Zygmunt Bauman, acts as a metaphor for the interpretation of these new resources. Likewise, this essay gathers an analysis of the permanent dialogue between those daily and unnoticed details, containing receptacles of a spherical future, a representation adopted from philosopher Peter Sloterdijk. We also carry out an approximation to what was a revolution in Avant-garde in the world of graphic arts: the technique of viscosity printing, invented by British artist Stanley William Hayter, an original process from which this thesis stems. Additionally, we examine those pictorial techniques of creation, related to our experimental study and from which we are directly influenced. As a result of the study of the effect of surfactant transience, this thesis fosters our personal artistic production: Recuerdo del trayecto, which illustrates this chemical evolution through the time immortalized in the shape of a print.

U radu smo se ograničili na proučavanje prodora valjaka, stožaca i sfera. Najprije smo razmotrili koje krivulje dobijemo kao presjek tih ploha ravninom, a nakon toga kakve krivulje dobijemo u prodoru spomenutih ploha. Upoznali smo metode koje koristimo pri konstrukciji prodornih krivulja dviju ploha u Mongeovoj projekciji. Prva metoda je metoda presjeka s pramenom ravnina. Pomoćne ravnine mogu, ali i ne moraju biti međusobno paralelne. Presjek jedne plohe i pomoćne ravnine je neka krivulja, presjek druge plohe i iste pomoćne ravnine je neka krivulja. Sjecišta tih dviju presječnih krivulja točke su prodorne krivulje. Postupak se ponavlja dok ne dobijemo dovoljan broj točaka koje na kraju spojimo. Druga metoda je metoda presjeka s koncentričnim sferama. Za njezinu primjenu trebaju biti zadovoljena dva uvjeta: plohe trebaju biti rotacijske, osi ploha se trebaju sjeći. Sjecište osi ploha središte je pomoćnih sfera i zbog toga govorimo o koncentričnim sferama. Ako je dan prodor ploha i zadovoljena su oba uvjeta za rad s metodom, sjecišta prodornih krivulja jedne plohe i pomoćne sfere te prodornih krivulja druge plohe i te iste pomoćne sfere daju točke tražene prodorne krivulje ploha. Postupak ponavljamo uzimajući neku drugu sferu koja s plohama ima zajedničke točke. Na kraju rada spomenuta je i tangenta prodorne krivulje. Tangenta u nekoj točki prodorne krivulje presječnica je tangencijalnih ravnina ploha u toj točki. In this thesis, we focus on studying the penetration of cylinders, cones and spheres. To begin with, we have considered which curve is the result of a cross section of these three surfaces with a plane, and after that which curves we get as a result of penetration of the surfaces. We familiarize with the methods used to construct penetrating curves of two of surfaces in Monge’s projection. The first method is a cross section method with a streak of plane. Auxiliary planes could, but don’t have to, be parallel. A cross section of a surface and an auxiliary plane is a curve, whereas a cross section of another surface and the same auxiliary plane is another curve. Intersection of these two curves are points of penetrating curve. The process is repeated until there are enough points to merge them in the end. The second method is a cross section method with concentric spheres. To apply this method, two conditions have to be met: surfaces need to be rotational, and axes of surfaces have to intersect. The intersection of axes is the center of auxiliary spheres and that is the reason why we are talking about concentric spheres. If the penetration of surfaces is known and both conditions to work with the method are met, the intersections of penetrating curves one of a surface and auxiliary sphere, and penetrating curves of another surface and the same auxiliary sphere give points of looked-for penetrating curve of the surfaces. The process is repeated by choosing another sphere which shares some common points with the surfaces. In the end of the thesis, the tangent of penetrating curve is mentioned. The tangent in some point of penetrating curve is a transversal of tangential plane of surfaces in the mentioned point.

Oble plohe čije smo međusobne prodore promatrali u ovom radu su stožac, valjak i sfera. Spomenute plohe su plohe 2. reda, a njihovim prodorom nastaju prostorne krivulje 4. reda. Razlikujemo prave i raspadnute prostorne krivulje, a kakva krivulja nastaje prodorom dviju ploha ovisi o njihovom međusobnom položaju. Prave prostorne krivulje možemo klasificirati na jednodijelne, dvodijelne te krivulje s dvostrukom točkom. Ukoliko dođe do raspada, prostorna se krivulja 4. reda raspada na krivulje nižih redova, ali tako da je zbroj redova tih krivulja jednak 4. Općenito, možemo govoriti o raspadu na četiri pravca, raspadu na dvije krivulje 2. reda, raspadu na krivulju 3. reda i pravac te raspadu na krivulju 2. reda i dva pravca. Projekcije oblih ploha i njihovih prodornih krivulja prikazivali smo pomoću Mongeove metode i aksonometrije u programu za 3D modeliranje Rhinoceros, ali primjenom klasičnih metoda presječnih ravnina. Kod prodora valjaka i/ili stožaca presječne ravnine odabiru se tako da obje plohe sijeku duž njihovih izvodnica dok se kod prodora sa sferom presječne ravnine odabiru tako da su najpogodnije za tu drugu plohu. Premda prikazivanje prodora stožaca, valjaka i sfera izgleda i zvuči komplicirano, njihova primjena je široka, a pronalazimo je u svakodnevnom životu. Jednostavniji primjeri prodora su spajanje cijevi, ograde, loptice... Ozbiljniji i kreativniji primjeri prodora su pojedini svodovi i kupole. Curved solids whose intersections have been described in this thesis are a cone, a cylinder and a sphere. Mentioned solids are solids of the 2nd order and their intersection is space curve of the 4th order. We differentiate between proper space curves and degenerated space curves and which one appears depends on the position of solids that we intersect. Proper space curves are classified as one-branch, two-branch and curves with one double point. If there comes to decomposition, a space curve of the 4th order is decomposed into curves of lower order but so that the sum of their orders equals 4. Generally, we can talk about following decompositions: four lines, two curves of the 2nd order, a curve of the 3rd order and a line, a curve of the 2nd order and two lines. Projections of curved solids and their intersection have been represented by Monge’s method and axonometry in the program for 3D modeling Rhinoceros but also with classical methods of cutting planes. In case of intersecting cylinders and/or cones, we choose cutting planes that intersect both solids along their generatrices. When one of the two solids is a sphere, we choose cutting planes that cut the other solid in the simplest possible curves. Although intersections of curved solids seem and sound complicated, their application is wide and can be found in everyday life. Here are some simple examples of their application: connecting tubes, fences, balls...Serious and creative examples are some domes and vaults.

V diplomskem delu si ogledamo nekaj dejstev o obstoju neničelnega zveznega tangentnega vektorska polja na $n$-dimenzionalnih sferah. Najprej eksplicitno pokažemo konstrukcijo oz. nakažemo neobstoj takega vektorskega polja pri nižjih dimenzijah, nato pa idejo posplošimo na višje dimenzije. Pri dveh dimenzijah si ogledamo tudi druge objekte in nakažemo indikator, ki določi število izoliranih točk, kjer vektorsko polje izgine. Kot posledico glavnega izreka dokažemo tudi Browerjev izrek o negibni točki. In this thesis we show some facts about existence of a non vanishing continuous tangent vector field on a $n$-dimensional sphere. At first we explicitly construct such vector field or we indicate the non existence of such vector field at low dimensions and then we generalize the idea to higher dimensions. In the two-dimensional case we also examine other objects and point out the indicator that sets the number of isolated points at which the vector field vanishes. As a consequence of our main theorem we also prove the Brower fixed-point theorem.

Cilj ovoga diplomskog rada je prikazati mogućnosti multimedijskih kartografskih prikaza na nestandardnim medijima. Za nestandardni medij se odabrala sfera (pilates lopta promjera 70 cm). Sfera i projektor su se postavili u određeni položaj (konfiguraciju) za projekcijsko preslikavanje, te se primijenila određena matematička osnova perspektivne projekcije. Korišteni su filmovi/slike Zemlje u ekvidistantnoj cilindričnoj projekciji i transformirani u perspektivnu projekciju sfere te uz pomoć jednog projektora dobiven je prikaz odabranih filmova/slika na jednom dijelu sfere. Model projekcije izrađen je u programskom alatu Blender te je pravilan prikaz projekcije na dijelu sfere izveden uz pomoć programskog alata Splash.

U ovom radu opisujemo vektorsku metodu te pomoću nje dokazujemo mnoge dobro poznate planimetrijske i stereometrijske probleme. Rad je podijeljen na osam poglavlja. U prvom poglavlju donosimo pregled osnovnih definicija i tvrdnji vezanih uz vektore i vektorski račun. U drugom poglavlju definiramo radijvektor točke u ravnini i prostoru te dokazujemo geometrijske tvrdnje koristeći radijvektore. U trećem, četvrtom i petom poglavlju definiramo operacije skalarnog, vektorskog i mješovitog množenja, dokazujemo njihova bitna svojstva te iskazujemo neke posljedice tih svojstava. Primjenom definicija i svojstava ovih operacija dokazujemo mnoge tvrdnje iz elementarne geometrije. Posljednja tri poglavlja su posvećena primjeni vektorske metode na trokut, četverokut i kružnicu te tetraedar, paralelepiped i sferu. In this thesis, we describe the vector method and we prove many well-known planimetric and stereometric problems by using it. Thesis is divided into eight chapters. In the first chapter, we provide an overview of basic definitions and claims related to vectors and operations on them. In the second chapter, we define radius vectors in the plane and in the space and we prove some planimetric problems by applying them. In the third, the fourth and the fifth chapter, we define the inner, vector (cross) and mixed (scalar triple) products of vectors. We also apply these operations to solve some geometric problems. In last three chapters, we show the application of the vector method to triangle, quadrilateral, circle, tetrahedron, parallelepiped and sphere.

Cilj ovog rada je analizirati Schmittov koncept neprijatelja s obzirom na povijesnu pozadinu koncepta neprijateljstva kao i moderne pomake u vidu nadogradnje na Schmittovu teoriju. Schmitt razvija svoju dijalektiku i uspostavlja kriterij političkog neprijateljstva kao osnovu političkog djelovanja. Agamben i Mouffe razvijaju Schmittove koncepte, no ne bez teorijskih nejasnoća. Schmitt pruža jedinstveno razumijevanje politike u svojoj ontološkoj i egzistencijalnoj iteraciji. Pojam tehnike politike, kako ga se razumje u ovom radu, osnova je s koje se može krenuti u daljnju politološku, praktičnu analizu., The aim of this work is to analyze Schmitt`s concept of the enemy with regards to both the historical foundations of the concept of the enemy and the modern progress of Schmittian thought. Schmitt develops his dialectics and establishes a criteria of political enmity as a basis for political action. Agamben and Mouffe develop Schmittian concepts further but not without some theoretical ambiguity. Schmitt offers a unique understanding of the political in its ontological and existential iteration. The concept of the technical politics, as it is understood in this paper is a foundation from which one can embark into further practical analysis of politics.

Cilj ovog rada je analizirati Schmittov koncept neprijatelja s obzirom na povijesnu pozadinu koncepta neprijateljstva kao i moderne pomake u vidu nadogradnje na Schmittovu teoriju. Schmitt razvija svoju dijalektiku i uspostavlja kriterij političkog neprijateljstva kao osnovu političkog djelovanja. Agamben i Mouffe razvijaju Schmittove koncepte, no ne bez teorijskih nejasnoća. Schmitt pruža jedinstveno razumijevanje politike u svojoj ontološkoj i egzistencijalnoj iteraciji. Pojam tehnike politike, kako ga se razumje u ovom radu, osnova je s koje se može krenuti u daljnju politološku, praktičnu analizu. The aim of this work is to analyze Schmitt`s concept of the enemy with regards to both the historical foundations of the concept of the enemy and the modern progress of Schmittian thought. Schmitt develops his dialectics and establishes a criteria of political enmity as a basis for political action. Agamben and Mouffe develop Schmittian concepts further but not without some theoretical ambiguity. Schmitt offers a unique understanding of the political in its ontological and existential iteration. The concept of the technical politics, as it is understood in this paper is a foundation from which one can embark into further practical analysis of politics.

Datorspēļu izstrādātāji bieži sastopas ar problēmām, kad ir nepieciešama liela izmēra pasaule vai ļoti daudz dažādas pasaules. Cilvēks nevar manuāli tās izveidot un tāpēc izstrādātāji pielieto procedurālo pasauļu ģenerēšanu. Lai pasaule būtu reālistiska, tai jābūt sfēriskai. Sfēriska reljefa ģenerēšana ir netriviāla problēma, kuras risināšanai pašlaik eksistē salīdzinoši maz algoritmu, tāpēc savā darbā es aplūkoju jau eksistējošus algoritmus - plaknes un sfēriska reljefa ģenerēšanu. Uz to bāzes tika izveidots jauns algoritms, kas ir pielietojams gan plaknes, gan sfēras reljefam, un ģenerē augstas kvalitātes reljefus. Tika implementēti daži no eksistējošajiem algoritmiem un arī jauns algoritms, lai parādītu to darbību., Computer games’ developers often have problems, when they need huge world or too many different worlds. Human cannot manually create them and because of that developers use procedural world generation. To be realistic, world should be spherical. However, spherical terrain generation is non-trivial task, which at current time has comparatively few algorithms to be solved with. Therefore, in this work existing algorithms for plane and sphere terrain generation are reviewed to build on top of them new algorithm, which can be used for plane and sphere terrain and generate high quality terrains. Some of existing algorithms along with new algorithm were implemented to show their functioning.

Geometrijsko ploskev lahko približno opišemo s končnim vzorcem njenih točk. V delu se ukvarjamo z vprašanjem, s koliko točkami, glede na način vzorčenja in rod ploskve, lahko zanesljivo rekonstruiramo originalno geometrijsko ploskev. Najprej opišemo različne načine vzorčenja točk s ploskve, kaj je enakomerni in kaj je slučajni vzorec točk z izbrane ploskve. Vzorce lahko obravnavamo s topološkimi metodami, natančneje metodami vztrajne homologije. Iz vzorca točk s programskim paketom Javaplex konstruiramo filtracijo Vietoris-Ripsovih simplicialnih kompleksov in opazujemo črtni diagram Bettijevih števil. V zaključku predstavimo računske rezultate za sfero in torus glede na različna modela vzorčenja, ter nekaj možnosti za nadaljnje izboljšave. A geometric surface can be approximately described using a finite point-sample. The main question of this thesis is the following: how many points, depending on the sampling model and surface genus, are needed to confidently reconstruct the original geometric surface. First we present different sampling models of surface points — the uniform and the random sample. We use topological methods, in particular persistent homology, to process our data. Using Javaplex software package we construct a filtration with Vietoris-Rips simplicial complexes and consider the bar-code diagram of its Betti numbers. Finally we present our computational results for both the sphere and the geometric torus with respect to the two sampling models , and several options for further improvements.

U ovom radu je obrađena primjena računalnog vida u medicinske svrhe. Primjena je demonstrirana na volumenu kojim je prikazana čovjekova glava, a zadatak je bio pronaći postavljeni sferni objekt. Opisana je Houghova transformacija i njena primjena u rješavanju ovog problema. U radu se postepeno, obrađivanjem jednostavnijih primjera upotrebe Houghove transformacije dolazi do njene primjene za lokalizaciju sfernog objekta u volumetrijskom prostoru. In this paper is explained usage of computer vision in medical field. It is demonstrated on the given volume of human head, and goal was to localize sphere object on the head. The Hough transform is introduced and explained, and it is shown how it can be used in solving this particular problem. In this paper, usage of Hough transform is shown starting with the simplest example, and finishing with the usage in volumetric images.

Definizione-Etimologia Da quadro, sec. XIX, dal latino quădru(m), quattro. Le quadriche sono superfici algebriche di secondo ordine: cono, cilindro, sfera, ellissoide, iperboloide a due falde, paraboloide ellittico, iperboloide a una falda e paraboloide iperbolico. Generalità Le quadriche possiedono un centro (proprio o improrio) e tre assi principali che a coppie formano i piani principali di simmetria ortogonale. Una retta può incontrare una quadriche in due punti distinti ( secante ), in un punto (tangente) o in nessun punto (esterna). Le quadriche possono essere distinte in base al comportamento di un piano che può esser esterno, secante o tangente. Perciò esistono quadriche a punti ellittici le quali non contengono rette e sono dette anche quadriche non rigate: per esempio la sfera. Un piano rispetto alle quadriche ellittiche può essere esterno; può essere secante secondo una conica; infine può essere tangente e avere solo un punto di contatto. Le quadriche a punti iperbolici, invece, sono le quadriche rigate, cioè le superficie che contengono infinite rette distribuite secondo due famiglie, e sono di due tipi: iperboloide ad una falda e il paraboloide iperbolico (Fig. 1). Un piano rispetto ad una quadriche rigata sarà sempre secante o tangente e non sarà mai esterno. Un piano è secante le quadriche quando incontra tutte le rette secondo una conica. Invece è tangente quando incontra la quadriche secondo due rette e il punto di contatto è il punto in comune alle due rette. I cilindri e i coni sono quadriche a punti parabolici Queste quadriche sono formate anch'esse da infinite generatrici rette ma il piano tangente incontra la superficie secondo una retta e i punti di contatto sono gli infiniti punti della generatrice retta. Sono le uniche superfici quadriche sviluppabili vale a dire che possono essere distese nel piano senza strappi o sovrapposizioni, limitatamente a regioni opportune. Le quadriche possono essere classificate secondo la curvatura Gaussiana. Perciò le quadriche ellittiche hanno curvatura positiva; le quadriche iperboliche hanno curvatura negativa. Infine le quadriche sviluppabili hanno curvatura uguale a zero.

Budući da nema vrhova, ni bridova, te su sve točke koje leže na njegovom rubu jednako udaljene od njegovog središta, krug je vjerojatno najjednostavniji od svih ravninskih likova. U svojoj jednostavnosti on krije mnoga zanimljiva svojstva. Svi krugovi međusobno su slični, razlikuju se po veličini, ali ne i oblikom. Pri dijeljenju opsega kruga s promjerom, neovisno o njegovoj veličini dobiva se uvijek jednaka konstanta proporcionalnosti čija je poznata približna vrijednost 3.14. U našoj je okolini mnogo predmeta koji svoju funkcionalnost duguju tom savršeno jednostavnom kružnom obliku. U prostoru tu ulogu savršenstva preuzima kugla. Svakodnevni je život upotpunjen mnogim igrama koje uključuju kugle različitih veličina - za nogomet, bejzbol, biljar, itd. Pojmove kruga i kugle često susrećemo u matematičkim zadacima. Za njihovo rješavanje potrebni su složeni izrazi koje ne volimo pamtiti. No, memoriranje takvih izraza nije uvijek neophodno. Često se u osnovne ideje može jednostavno ugraditi metoda i tehnika rješavanja koja će nas dovesti do potrebnih izraza, tako da sve zajedno postane učenicima zanimljivo i dovoljno važno da mogu upamtiti. Upravo su na taj način u ovom radu predstavljeni izrazi za računanje površine i opsega kruga, te volumena i površine kugle. Poznate i vrlo jednostavne tvrdnje dovele su nas do onih nepoznatih i složenijih s ciljem da učenici i sami razviju potrebu traganja za dokazom. Načinjene su poveznice i uočene analogije između planimetrije i stereometrije kako bi se navedena tema doživjela u svom punom opsegu.

L'articolo presenta una ricognizione sistematica della terminologia della spazialità nei testi kantiani. Proprio perché non si può dare una teoria della spazialità in Kant, è necessario anche in un'indagine lessicografica stabilire le condizioni di una contestualizzazione degli usi filosofici e metafilosofici dei termini spaziali, ovvero collocarli rispetto al loro orizzonte sistematico. L'analisi ripercorre quindi la stessa architettonica kantiana: dalla topica della tavola delle categoria, allo spazio come forma dell'intuizione o intuizione formale, al rapporto tra spazio e tempo, alla geografia razionale delle facoltà a quella empirica che prepara alla conoscenza pragmatica del mondo.

Nello scritto seguente vogliamo confrontarci con il pensiero maturo di uno tra i più appassionanti e innovativi filosofi contemporanei, il tedesco Peter Sloterdijk. La nostra ricognizione si soffermerà sull’originale ritratto dell’uomo che emerge dal confronto tra la prospettiva del nostro autore con quelle, rispettivamente, di Martin Heidegger e di Arnold Gehlen. In particolare, desideriamo rinvenire ed esplorare i diversi aspetti del rapporto tra il concetto di sfera e quell’essere vivente che noi stessi siamo., In the following writing we desire to converse with the mature thought of one of the most absorbing and creative living philosopher, the German Peter Sloterdijk. Our expedition will investigate his original portrait of the man, as it emerges by a confrontation among the perspective of the author himself with those of Martin Heidegger and Arnold Gehlen, respectively. In particular, our intent is to explore the different aspects of the relationship between the concept of sphere and this living being that we are.

Si esamina il passaggio dal concetto tridimensionale a quello bidimensionale vale a dire cartografico della Terra, svolgendo le relative implicazioni di ordine ontologico e filosofico.

Questo lungo contributo è uno studio critico sul ruolo cruciale che il pensiero sulla sfera ha svolto nella geografia del Cinquecento. La sfera, e l’idea di unità/totalità che essa implica, rappresenta non solo l’armatura su cui è stata costruita l’immagine del nuovo globo terracqueo della Modernità, ma anche una diversa prospettiva da cui riconsiderare il rapporto fra il pensiero rinascimentale sul mondo e la tradizione classica e medievale che lo ha preceduto. Ciò viene qui argomentato reinterpretando la stagione fiorentina del cosmografo Egnazio Danti e la produzione che l’ha contraddistinta – dalla traduzione di testi antichi alle realizzazioni più famose, ossia il globo e le mappe della sala della Guardaroba a Palazzo Vecchio – e riscoprendo in particolare l’influenza, tanto fondamentale quanto sinora negletta, che la filosofia platonica ha esercitato sul pensiero geografico di Danti.

U ovom radu obrađuje se tema nebeska zviježđa i promjene njihovih položaja. Sukladno, opisuju se nebeska sfera, način prikaza nebeskih tijela na sferi, stvarna kretanja nebeskih tijela, ali i ona prividna, tj. ona koja opažač vidi sa Zemlje.

Si descrive l'irriducibilità topologica della tavola, cioè della mappa, e della sfera come modelli di rappresentazione del mondo, alla luce dei problemi posti dall'analisi del processo di globalizzazione.

Osnovni problem teme diplomskog rada dolazi iz kartografije - predočavanja Zemlje (ravninskim) kartama. Sa stanovišta matematike, preciznije diferencijalne geometrije, pokazuje se da ne postoje izometrična preslikavanja. Stoga je važno proučiti i drugačija preslikavanja - konformna tj. preslikavanja koja čuvaju kutove, te preslikavanja koja čuvaju površinu.

U radu je dat način proračuna postizanja približno stacionarnog stanja za cilindričnu i sferičnu stijenku istih polumjera, izrađenih iz triju različitih materijala - bakra, čelika i opeke, uz iste početne i rubne (temperaturne) uvjete. Diferencijalna jednadžba provođenja topline diskretizirana je za slučaj nestacionarnog jednodimenzijskog provođenja topline kroz cilindričnu i sferičnu stijenku, a problem je riješen numerički, metodom kontrolnih volumena.Rezultati proračuna prikazani su u dijagramima temperatura - polumjer, uz parametar vrijeme, za obje promatrane gemetrije.

Autor opisuje literackie spotkania poetów, prozaików i krytyków literackich z Koła Młodych przy Krakowskim Oddziale Stowarzyszeniu Pisarzy Polskich. Tekst jest rodzajem posłowia do czasopisma i ogólnego raportu z wydarzeń literackich. Te regularne spotkania miesięczne młodych pisarzy zorganizował prof. Bogusław Żurakowski, w tym czasie - wiceprezes (1992-1996) krakowskiego Oddziału Stowarzyszenia Pisarzy Polskich (SPP). The author describes literary meetings of poets, novrlists and literary criticians from the Circle of Young Writers at Cracow Branch of the Polish Writers Association. The text id a kind of post-word to the peridocal "Sfera" (The Sphere) and a general report from literary events. The regular monthly meetings of young writers were organized by prof. Boguslaw Zurakowski, in this time - the vicep-president (1992-1996) of the Cracow Branch he Polish Writers Association (Stowarzyszenie Pisarzy Polskich, SPP).

Istražuje se primjena trigonometrijskih redova za određivanje geografske širine pri ekvidistantnom preslikavanju po meridijanima sfere na rotacijski elipsoid i rotacijskog elipsoida na sferu. Umjesto primjene redova sinusa višestrukih kutova, predlažu se odgovarajući redovi potencija kosinusa dvostrukoga kuta., The paper investigates the application of trigonometric series in determination of geographic latitude in equidistant mapping along meridians of the rotational ellipsoid onto a sphere and vice versa. Instead of the application of sines of multiple angles it has been proposed to use the series in powers of double angle cosines.