Search

Preserver is a transformation (a map) that preserves a certain property, or a quantity, or a set, or a relation, etc. of some given structure. One usually wants to determine the general form of such maps. Our focus is on preservers that leave invariant relations among the elements of a given structure $mathcal{S}$. By relations we mean partial orders and by structure $mathcal{S}$ we mean the set of all real positive semidefinite (and the set of all Hermitian, i.e. symmetric in the real case) matrices. Partial orders of our interest are the L{"{o}}wner partial order, the minus partial order, and the star partial order. Motivated by some applications in statistics, especially in the theory of linear models, we investigated new characterizations of these orders and searched for general forms of maps that preserve the mentioned partial orders on $mathcal{S}$ in both directions. We say that the map $Phi:mathcal{S}rightarrowmathcal{S}$ preserves the partial order $leq_{G} $ in both directions (or is a bi-preserver of $leq_{G}$) when for every $A,Binmathcal{S} $, begin{equation*} Aleq_{G} Bquadtext{if and only if}quadPhi(A)leq_{G} Phi(B). end{equation*} A variance-covariance matrix is a generalization of variance of a single random variable to variance of an arranged collection of random variables, i.e. to variance of random vectors. It is known that every variance-covariance matrix is a positive-semidefinite matrix (and vice versa). In the first chapter we recall the notion and basic concepts of linear models such as estimation of parameters and vector linear parametric functions (vector LPFs). For an unbiased linear estimator to be the best one, i.e. to be the BLUE, the estimator must have the smallest variance. In the world of the BLUEs of vector LPFs the textquotedblleft smallest variancetextquotedblright condition among the variance-covariance matrices of the unbiased linear estimators can be expressed in terms of the L{"{o}}wner partial order. This leads to other applications of the L{"{o}}wner partial order in the theory of linear models, such as in the theory of comparison of linear models, and hence our motivation to study this partial order along with the minus and the star partial order that also have applications in statistics. Besides recalling basic notions regarding the linear models, in the first chapter we introduce the above mentioned partial orders and the notion of their preservers. We also recall the notion of generalized inverses since the minus and the star partial orders can be induced by them and since some matrix generalized inverses are also used as a tool in the theory of linear models. We provide the research hypothesis and methods of research, i.e. some well known theorems that we use in the proofs of our main results (result of Rothaus, Legiv{s}a's result about the form of adjacency preserving maps, and the spectral theorem). Our objectives were investigating the mentioned partial orders and finding new properties and equivalent definitions of these orders on the cone of all positive semidefinite real matrices. Also, the aim was to study preserver problems regarding these orders on the same set along with searching for new applications of these orders in statistics, especially in the theory of linear models. Let $H_{n}^{+}(mathbb{F})$, where $mathbb{F}=mathbb{R}$ or $mathbb{F}=mathbb{C}$, be the cone of all $ntimes n$ positive semidefinite real or complex matrices, respectively. In Chapter 3 we study surjective maps on $H_{n}^{+}(mathbb{F})$ that preserve the L{"{o}}wner partial order in both directions. Let us mention that Moln'{a}r has already described in cite{Molnar1} the form of bijective maps on the cone of all positive semidefinite $ntimes n$ complex matrices that preserve the L{"{o}}wner partial order in both directions. We show that a similar result holds also in the real case, i.e. we characterize surjective maps (omitting the injectivity assumption) on $H_{n}^{+}(mathbb{R})$, $ngeq2$, that preserve the L{"{o}}wner partial order in both directions. As a corollary to this result we describe the form of all surjective bi-preservers of the L{"{o}}wner partial order on the set of all $ntimes n$, $ngeq2$, (real) symmetric matrices. We also present a new application of the L{"{o}}wner partial order bi-preservers in the theory of comparison of linear statistical models. In Chapter 4 we give a new characterization of the minus partial order on $H_{n}^{+}(mathbb{F})$, present some new applications of this matrix partial order in statistics, and describe the form of all surjective, additive maps on $H_{n}^{+}(mathbb{R})$, $ngeq3$, that preserve the minus partial order in both directions. Motivated by another two applications from statistics, we study in Chapter 5 the star partial order and characterize surjective, additive bi-preservers of the star partial order on $H_{n}^{+}(mathbb{R})$, $ngeq3$. We first introduce a family of partial orders on $H_{n}^{+}(mathbb{F})$ that satisfy some (general) conditions, study preservers of such orders on $H_{n}^{+}(mathbb{R})$, and then show that the star partial order belongs to this family. In the last chapter we give an overview of our original scientific results. We also give closure to the dissertation with suggestions for further research. V priv{c}ujov{c}em delu obravnavamo probleme ohranjevalcev, ki se nanav{s}% ajo na vprav{s}anje karakterizacije vseh transformacij na dani strukturi $% mathcal{S}$, ki (na primer) ohranjajo koliv{c}ino, ki se nanav{s}a na elemente v $mathcal{S}$, ali dolov{c}eno mnov{z}ico elementov v $mathcal{% S}$ ali dano relacijo med elementi v $mathcal{S}$. Naj bo $mathbb{F}$ polje vseh realnih ali kompleksnih v{s}tevil (torej $mathbb{F}=mathbb{R}$ ali $mathbb{F}=mathbb{C}$) in oznav{c}imo z $M_{m,n}(mathbb{F})$ mnov{z}% ico vseh $mtimes n$ matrik z elementi iz $mathbb{F}$. v{C}e je $m=n$, potem oznav{c}imo $M_{n}(mathbb{F})=M_{n,n}(mathbb{F})$. Prvi primer re% v{s}itve problema ohranjevalcev sega v leto 1897, ko je Frobenius opisal obliko vseh linearnih preslikav $Phi :M_{n}(mathbb{C})rightarrow M_{n}(% mathbb{C})$, ki ohranjajo determinanto, to je begin{equation*} det Phi (A)=det A end{equation*}% za vsak $Ain M_{n}(mathbb{C})$. V zadnjih desetletjih so mnogi avtorji raziskovali razne (ne nujno linearne) ohranjevalce. V doktorski disertaciji se osredotov{c}amo na ohranjevalce, ki ohranjajo ustrezne relacije med elementi dane strukture $mathcal{S}$, pri v{c}emer je $mathcal{S}$ mno% v{z}ica (oziroma stov{z}ec) vseh realnih pozitivno semidefinitnih (simetri% v{c}nih) matrik, obravnavamo pa tudi mnov{z}ico vseh simetriv{c}nih (realnih) matrik. Nav{s}a motivacija za v{s}tudij problemov ohranjevalcev izhaja iz statistike. Varianv{c}no-kovarianv{c}na matrika je posplov{s}% itev pojma variance sluv{c}ajne spremenljivke na varianco urejenega nabora sluv{c}ajnih spremenljivk, to je na varianco sluv{c}ajnega vektorja. Znano je, da je vsaka varianv{c}no-kovarianv{c}na matrika pozitivno semidefinitna matrika in da je vsaka pozitivno semidefinitna matrika (lahko) varianv{c}no-kovarianv{c}na matrika neke multivariacijske porazdelitve (to je nekega sluv{c}ajnega vektorja). Relacije, ki nas zanimajo, so delne urejenosti (to so urejenosti, ki so refleksivne, antisimetriv{c}ne in tranzitivne), ki imajo aplikacije v statistiki, predvsem v teoriji linearnih statistiv{c}nih modelov. Gre za L"{o}wnerjevo delno urejenost, minus delno urejenost in zvezdica delno urejenost. Naj bo $H_{n}(mathbb{F)}$ mnov{z}ica vseh hermitskih (simetriv{c}nih v realnem primeru) matrik v $M_{n}(mathbb{F})$ in $H_{n}^{+}(mathbb{F})$ mno% v{z}ica (stov{z}ec) vseh $ntimes n$ pozitivno semidefinitnih (realnih oziroma kompleksnih) matrik v $H_{n}(mathbb{F)}$. Za $A,Bin H_{n}(mathbb{F})$ pravimo, da je $A$ pod $B$ (oziroma je dominirana z $B$) glede na L{"{o}}% wnerjevo delno urejenost in zapiv{s}emo begin{equation*} Aleq ^{L}B,quad text{v{c}e je}quad B-Ain H_{n}^{+}(mathbb{F})text{.} end{equation*}% Drugi dve omenjeni delni urejenosti lahko definiramo na celi mnov{z}ici $% M_{m,n}(mathbb{F})$. Vpeljemo ju lahko s pomov{c}jo matriv{c}nih posplo% v{s}enih inverzov. Spomnimo se, da je posplov{s}eni inverz ali psevdoinverz matrike $Ain M_{m,n}(mathbb{F})$ matrika, ki ime nekatere (vendar ne nujno vse) lastnosti obiv{c}ajnega inverza (matrike $Ain M_{n}(% mathbb{F})$ z neniv{c}elno determinanto). Eden najbolj znanih posplov{s}% enih inverzov je Moore-Penroseov inverz. Naj bo $A^{ast }in M_{n,m}(mathbb{F})$ konjugirano transponirana matrika matrike $Ain M_{m,n}(% mathbb{F})$. Pravimo, da je $Xin M_{n,m}(mathbb{F})$ Moore-Penroseov inverz matrike $Ain M_{m,n}(mathbb{F})$, v{c}e je zadov{s}v{c}eno naslednjim v{s}tirim matriv{c}nim enav{c}bam:% begin{equation*} AXA=A,qquad XAX=X,qquad (AX)^{ast }=AXqquad text{inqquad }(XA)^{ast }=XA. end{equation*}% Izkav{z}e se, da ima vsaka matrika $Ain M_{m,n}(mathbb{F})$ Moore-Penroseov inverz $X=A^{dagger }$ in da je $A^{dagger }$ enoliv{c}no dolov{c}en. Omenimo v{s}e en tip posplov{s}enih inverzov. Pravimo, da je $% X=A^{-}in M_{n,m}(mathbb{F})$ posplov{s}eni notranji inverz matrike $Ain M_{m,n}(mathbb{F})$, v{c}e je zadov{s}v{c}eno enav{c}bi $AXA=A$. Vsaka matrika $Ain M_{m,n}(mathbb{F})$ ima posplov{s}eni notranji inverz $A^{-}$% , ki pa ni nujno enoliv{c}no dolov{c}en. Tako Moore-Penroseov inverz kot tudi posplov{s}eni notranji inverz se pogosto uporabljata v statistiki (primer aplikacije bomo predstavili v prvem poglavju). Zapiv{s}imo sedaj definicijo minus delne urejenosti in zvezdica delne urejenosti. Pravimo, da je $Ain M_{m,n}(mathbb{F})$ pod $% Bin M_{m,n}(mathbb{F})$ (oziroma je dominirana z $B$) glede na minus delno urejenost in zapiv{s}emo begin{equation*} Aleq ^{-}B,qquad text{v{c}e je}qquad A^{-}A=A^{-}Bqquad text{inqquad }AA^{-}=BA^{-} end{equation*}% za nek posplov{s}eni notranji inverz $A^{-}$ matrike $A$. Podobno za $% A,Bin M_{m,n}(mathbb{F})$ zapiv{s}emo begin{equation*} Aleq ^{ast }B,quad text{v{c}e je}quad A^{ast }A=A^{ast }Btext{ in }% AA^{ast }=BA^{ast } end{equation*}% in imenujemo relacijo $leq ^{ast }$textit{ }zvezdica delna urejenost. Izkav{z}e se, da za $A,Bin M_{m,n}(mathbb{F})$ velja begin{equation*} Aleq ^{ast }Bquad text{natanko tedaj, ko je}quad A^{dagger }A=A^{dagger }Btext{ in }AA^{dagger }=BA^{dagger }, end{equation*}% kjer je $A^{dagger }in M_{n,m}(mathbb{F})$ Moore-Penroseov inverz matrike $A$. Naj bo $mathcal{S}$ podmnov{z}ica $M_{n}(mathbb{F})$ in naj bo $leq _{G}$ ena od omenjenih matriv{c}nih delnih urejenosti (to je $leq ^{L}$, $leq ^{-},$ $leq ^{ast }$) na $mathcal{S}$. Pravimo, da preslikava $Phi :% mathcal{S}rightarrow mathcal{S}$ ohranja delno urejenost $leq _{G}$ v obe smeri (oziroma je bi-ohranjevalec delne urejenosti $leq _{G}$), v{c}e za vsak par matrik $A,Bin mathcal{S}$ velja, da je begin{equation*} Aleq _{G}Bquad text{natanko tedaj, ko je}quad Phi (A)leq _{G}Phi (B). end{equation*}% L"{o}wnerjeva delna urejenost $leq^{L}$ ima v{s}tevilne aplikacije v statistiki, na primer v teoriji linearnega ocenjevaja, v teoriji primerjave linearnih statistiv{c}nih modelov in pri v{s}tudiju verjetnostnih mer. V nekatrih aplikacijah se pojavljajo preslikave, katerih definicijsko obmov{c}% je je mov{z}ica $H_{n}^{+}(mathbb{R})$ in ki imajo textquotedblleft lastnost ohranjanja L{"{o}}wnerjeve delne urejenostitextquotedblright. Tako si je naravno zastaviti nalogo karakterizacije transformacij na $H_{n}^{+}(mathbb{R})$, ki imajo lastnost ohranjanja L{"{o}}wnerjeve delne urejenosti in morda v{s}e kakv{s}no dodatno lastnost. Velja poudariti, da se v moderni teoriji verjetnosti in statistiki pogosto uporablja razne transformacije na elementih varianv{c}no-kovarian% v{c}nih matrik s ciljem, da se s tem pridobijo regularizirane cenilke s textquotedblleft privlav{c}nimitextquotedblright lastnostmi (kot je redkost matrike, dobro v{s}tevilo obv{c}utljivosti itn.). Dobljene matrike pogosto sluv{z}ijo kot sestavine statistiv{c}nih procesov, pri katerih morajo biti (realne) matrike pozitivno semidefinitne. V prvem poglavju predstavimo pojem linearnega statistiv{c}nega modela in njegove osnovne koncepte, kot sta ocenjevanje parametrov in vektorska linearna parametriv{c}na funkcija (vektroska LPF). Najboljv{s}a linearna nepristranska cenilka, za katero uporabjamo kratico BLUE, je linearna nepristranska cenilka z najmanjv{s}o varianco. V primeru, ko gre za BLUE vektorske LPF, izrazimo pogoj textquotedblleft najmanjv{s}e variancetextquotedblright med varianv{c}no-kovarianv{c}nimi matrikami nepristranskih linearnih cenilk s pomov{c}jo L{"{o}}wnerjeve delne urejenosti. To vodi do drugih aplikacij L{"{o}}wnerjeve delne urejenosti v teoriji linearnih modelov, kot je teorija primerjave linearnih modelov, od koder izvira nav{s}a glavna motivacija za v{s}tudij tako L{"{o}}wnerjeve delne urejenosti, kot tudi minus delne urejenosti in zvezdica delne urejenosti. Poleg predstavitve koncepta linearnih modelov definiramo v prvem poglavju omenjene delne urejenosti in njihove ohranjevalce. Predstavimo tudi pojem matriv{c}nih posplov{s}enih inverzov, saj lahko, kot že vemo, po eni strani tako minus kot tudi zvezdica delno urejenost definiramo s pomov{c}jo posplov{s}enih inverzov, po drugi strani pa se nekateri posplov{s}eni inverzi pogosto uporabljajo v teoriji linearnih modelov. V zakljuv{c}ku prvega poglavja definiramo problem ter predstavimo cilje, raziskovalne hipoteze in metode raziskovanja. Pri tem zapiv{s}emo nekaj znanih izrekov, ki jih uporabljamo v dokazih glavnih rezultatov (Rothausov izrek, Legiv{s}in rezultat o preslikavah, ki ohranjajo sosednost, in spektralni izrek). Cilja doktorske disertacije sta raziskati lastnosti in poiskati nove karakterizacije (to je ekvivalentne definicije) omenjenih urejenosti na stov{z}cu $H_{n}^{+}(% mathbb{R})$ vseh pozitivno semidefinitnih realnih matrik. Cilja sta tudi v{s}% tudirati probleme ohranjevalcev teh urejenosti na mnov{z}ici $H_{n}^{+}(% mathbb{R})$ in iskati nove aplikacije dobljenih rezultatov v statistiki, v{s}e posebej v teoriji linearnih modelov. V tretjem poglavju raziskujemo surjektivne preslikave na $H_{n}^{+}(mathbb{F% })$, ki ohranjajo L{"{o}}wnerjevo delno urejenost v obe smeri. Moln'{a}r je v cite{Molnar1} opisal obliko bijektivnih bi-ohranjevalcev na stov{z}cu vseh pozitivno semidefinitnih $ntimes n$ kompleksnih matrik. Z glavnim rezultatom tretjega poglavja, ki sledi, pokav{z}emo, da velja podoben rezultat tudi v realnem primeru. Preslikava $varphi :H_{n}^{+}(mathbb{R}% )rightarrow H_{n}^{+}(mathbb{R})$, $ngeq 2$, je surjektivni bi-ohranjevalec L{"{o}}wnerjeve delne urejenosti $leq ^{L}$, v{c}e in samo v{c}e obstaja obrnljiva matrika $Sin M_{n}(mathbb{R)}$, da je begin{equation*} varphi (A)=SAS^{t}quad text{za vsak }Ain H_{n}^{+}(mathbb{R}). end{equation*}% Kot posledico tega rezultata opiv{s}emo obliko vseh surjektivnih bi-ohranjevalcev L{"{o}}wnerjeve delne urejenosti na mnov{z}ici $H_{n}(% mathbb{R})$ vseh $ntimes n$, $ngeq 2$, (realnih) simetriv{c}nih matrik. Predstavimo tudi novo aplikacijo bi-ohranjevalcev L{"{o}}wnerjeve delne urejenosti v teoriji primerjave linearnih statistiv{c}nih modelov. V v{c}etrtem poglavju predstavimo najprej novo karakterizacijo minus delne urejenosti na mnov{z}ici $H_{n}^{+}(mathbb{F})$ in prikav{z}emo nekaj novih aplikacij minus delne urejenosti v statistiki. Opiv{s}emo tudi obliko vseh surjektivnih, aditivnih preslikav na $H_{n}^{+}(mathbb{R})$, $ngeq 3$% , ki ohranjajo minus delno urejenost v obe smeri. Izkav{z}e se, da je preslikava $% varphi :H_{n}^{+}(mathbb{R})rightarrow H_{n}^{+}(mathbb{R})$, $ngeq 3$, surjektivni, aditivni bi-ohranjevalec minus delne urejenosti $leq ^{-},$ v{c}e in samo v{c}e obstaja obrnljiva matrika $Sin M_{n}(mathbb{R)}$, da je begin{equation*} varphi (A)=SAS^{t}quad text{za vsak }Ain H_{n}^{+}(mathbb{R}). end{equation*} Motivirani s v{s}e dvema aplikacijama v statistiki raziskujemo v petem poglavju zvezdica delno urejenost in karakteriziramo surjektivne, aditivne bi-ohranjevalce zvezdica delne urejenosti na $H_{n}^{+}(mathbb{R})$, $ngeq 3$. Najprej vpeljemo druv{z}ino delnih urejenosti, ki zadov{s}v{c}a nekim (splov{s}nim) pogojem, raziv{s}v{c}emo ohranjevalce delnih urejenosti iz te druv{z}ine in dokav{z}emo, da zvezdica delna urejenost pripada tej dru% v{z}ini. Tako dokav{z}emo naslednji rezultat. Preslikava $varphi :H_{n}^{+}(mathbb{R})rightarrow H_{n}^{+}(mathbb{R})$, $ngeq 3$, je surjektivni, aditivni bi-ohranjevalec zvezdica delne urejenosti, v{c}e in samo v{c}e obstajata ortogonalna matrika $Rin M_{n}(mathbb{R})$ in $lambda >0$, da je begin{equation*} varphi (A)=lambda RAR^{t}quad text{za vsak }Ain H_{n}^{+}(mathbb{R}). end{equation*} V zadnjem poglavju podamo pregled nav{s}ih izvirnih znanstvenih rezultatov. Doktorsko disertacijo zakljuv{c}imo s predlogi za nadaljnje raziskave. bigskip Rezultati so objavljeni v naslednjih dveh izvirnih znanstvenih v{c}lankih, ki sta bila objavljena oziroma sprejeta v objavo v uglednih mednarodnih revijah s faktorjem vpliva, in v enem preglednem znanstvenem v{c}lanku. I. Golubi'{c}, J. Marovt, Preservers of partial orders on the set of all variance-covariance matrices, Filomat textbf{34} (2020), No. 9, 3015–3030. I. Golubi'{c}, J. Marovt, Monotone transformations on the cone of all positive semidefinite real matrices, Math. Slovaca textbf{70} (2020), No. 3, 733--744. I. Golubi'{c}, J. Marovt, On some applications of matrix partial orders in statistics, International Journal of Management, Knowledge and Learning textbf{9} (2020), No. 2, 221--233.

V magistrskem delu je obravnavan problem določitve cp-ranga dane popolnoma pozitivne matrike. Uvodoma so opisane osnovne lastnosti pozitivno semidefinitnih matrik in predstavljeni so konveksni stožci evklidskega prostora V. V osrednjem delu se osredotočimo na popolnoma pozitivne matrike. Matrika A je popolnoma pozitivna, če jo lahko zapišemo kot A=BB^{T} za neko nenegativno matriko B. Dokažemo osnovne lastnosti popolnoma pozitivnih matrik ter definiramo diagonalno dominantne in primerjalne matrike. Delo zaključimo z obravnavo problema določitve cp-ranga popolnoma pozitivne matrike. Obravnavamo primer za matrike manjše velikosti ter določimo zgornjo mejo za cp-rang matrike danega ranga in matrike dane velikosti. In the master thesis the problem of determining the cp-rank of a given completely positive matrix is discussed. In the introduction the basic properties of positive semidefinite matrices are described and convex cones in euclidean space V are presented. In the main part we focus on completely positive matrices. Matrix A is completely positive if it can be decomposed as A=BB^{T}, where B is a nonnegative matrix. We prove the basic properties of totally positive matrices and define diagonally dominant and comparative matrix. The thesis is concluded with a discussion of a problem of determining the cp-rank of a completely positive matrix. We consider a case of a matrix of a smaller size and set an upper bound for cp-rank matrix of a given rank and a matrix of a given order.

Glavna tema magistrske naloge so popolnoma pozitivne matrike, ki so posebni primer pozitivno semidefinitnih matrik. Vsaka realna pozitivno semidefinitna matrika A se lahko zapiše kot A=BB^T, kjer je B realna matrika. V primeru, da je B nenegativna matrika, je matrika A popolnoma pozitivna. Na začetku predstavimo osnovne pojme in definicije realnih matrik, s poudarkom na pozitivno semidefinitnih matrikah. Podamo nekaj primerov in dokažemo osnovne lastnosti teh matrik. V nadaljevanju obravnavamo popolnoma pozitivne matrike. Definiramo Hadamardov in Kroneckerjev produkt ter dokažemo, da sta oba produkta popolnoma pozitivnih matrik popolnoma pozitivni matriki. Spoznamo eno izmed metod, s katero pokažemo, da je dvojno nenegativna matrika popolnoma pozitivna. Definiramo pojem konveksni stožec ter dokažemo, da je množica popolnoma pozitivnih matrik zaprt konveksni stožec. Na algebraični in geometrijski način dokažemo, da so t.i. majhne matrike popolnoma pozitivna. Nazadnje obravnavamo diagonalno dominantne matrike ter dokažemo, da so nenegativne simetrične diagonalno dominantne matrike popolnoma pozitivne. Prav tako definiramo primerjalno matriko in dokažemo, da je matrika A popolnoma pozitivna, če je simetrična nenegativna matrika ter je njena primerjalna matrika pozitivno semidefinitna. The main topic of the master thesis are completely positive matrices, which are the special case of a positive semidefinite matrix. Every real positive semidefinite matrix A can be written in the form A=BB^T, where B is a real matrix. In the case of a nonnegative matrix B the matrix A is completely positive. The first chapter includes some basic terms and definitions of specific real matrices with an emphasis on positive semidefinite matrices. We present some examples and prove the basic properties of these matrices. In the next chapter we consider completely positive matrices. We define Hadamard and Kronecker product and show that both of these products of completely positive matrices are completely positive. We introduce one method which enables us to verify whether the doubly nonnegative matrix is completely positive. We define the concept of a convex cone and show that the set of all completely positive matrices is a closed convex cone. With algebraic and geometric approach we show that small matrices are completely positive. At the end of the thesis we treat diagonally dominant matrices and show that nonnegative symmetric diagonally dominant matrices are completely positive. We also define a comparison matrix and show that the matrix A is completely positive if it is a symmetric nonnegative matrix and if its comparison matrix is positive semidefinite.