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This thesis is devoted to the study of the Landau equation. Firstly, we show a localization property of the pseudospectrum and estimates of the resolvent of the linearized Landau operator associated with the latter equation in the case of hard potentials and Maxwellian molecules. Secondly, we study the hydrodynamical limit of the Landau equation and we obtain a result of weak convergence towards the incompressible Navier-Stokes-Fourier system in the cases of hard potentials, Maxwellian molecules and moderately soft potentials. Finally, we improve the previous result on the hydrodynamical limit and we show a result of strong convergence towards the same fluid limit system in the cases of hard potentials, Maxwellian molecules and moderately soft potentials.; Cette thèse est consacrée à l'étude de l'équation de Landau. Premièrement, nous montrons une propriété de localisation du pseudo-spectre et des estimations de la résolvante de l'opérateur de Landau linéarisé associé à cette dernière équation dans les cas de potentiels durs et molécules maxwelliennes. Deuxièmement, nous étudions la limite hydrodynamique de l'équation de Landau et nous obtenons un résultat de convergence faible vers le système de Navier-Stokes-Fourier incompressible dans les cas de potentiels durs, maxwelliens et modérément mous. Finalement, nous améliorons le résultat précédent sur la limite hydrodynamique et nous montrons un résultat de convergence forte vers le même système limite fluide dans les cas de potentiels durs, maxwelliens et modérément mous.

We consider fluid-kinetic models that describe the evolution of particles flowing through a fluid under the assumption that the latter can be described by macroscopic quantities, its velocity and pressure, thanks to the incompressible Navier-Stokes equations. As for the particle spray, it is described at the mesoscopic scale by its density function in the phase space, which obeys a Vlasov-type equation. Taking into account the drag acceleration exerted by the fluid on the particles and the corresponding drag force leads to a strong coupling of the system of equations under study. First, we take into account, in addition to the interactions presented above, the effects of the airway humidity on the particle size and temperature by introducing convection-diffusion equations as well as integrating the size and temperature variations into the equations. We prove the existence of global weak solutions in a time-dependent domain and present some numerical experiments. Finally, we study several high-friction regimes for the Vlasov-Navier-Stokes system presented above. We define a framework allowing to properly justify these hydrodynamic limits in the case where the particles are light (resp. small) with respect to the fluid.; Nous nous intéressons à des modèles fluide-cinétique décrivant l’évolution de particules en suspension dans un fluide porteur sous l'hypothèse que ce dernier peut être décrit par des quantités macroscopiques, sa vitesse et sa pression, grâce aux équations de Navier-Stokes incompressible. Le spray de particules est quant à lui décrit à l’échelle mésoscopique par sa fonction de densité dans l’espace des phases, régie par une équation de type Vlasov. La prise en compte de l’accélération de traînée fournie par le fluide aux particules et la force de rétroaction correspondante crée un couplage fort du système d’équations. Nous prenons d'abord en compte, en plus des interactions présentées ci-dessus, les effets de l’humidité de l’air sur la taille et la température des particules en introduisant des équations de convection-diffusion ainsi qu'en intégrant la variation de la taille et de la température des particules dans les équations. Nous démontrons alors l’existence de solutions faibles globales dans un domaine borné dépendant du temps puis nous présentons quelques expérimentations numériques. Enfin, nous étudions des régimes de haute friction pour le système de Vlasov-Navier-Stokes présenté précédemment. Nous définissons un cadre permettant de traiter rigoureusement ces limites hydrodynamiques lorsque les particules sont légères ou petites par rapport au fluide.

This thesis is devoted to the study of random perturbation of two models of interacting particle systems related to quantum mechanics. First is a one-dimensional disordered chain of quantum harmonic oscillators, where a hydrodynamic limit inthe hyperbolic scaling of time and space is proven; elongation, momentum, and energy converge to the solution of the Euler equation in this scaling.In the second model, a mass conserving stochastic perturbation of a certain class of discrete non-linear Schrödinger equations is introduced, modeling the action of a heat bath at a given temperature. The corresponding Gibbs measureis the unique invariant measure of the dynamics, providing ergodicity and time-mixing properties. As an application, it is proved that in the one-dimensional cubic focusing case, the large time, continuum approximation, and the low-temperature limit of the solution converges to the steady wave of the continuous non-perturbed equation that minimizes the energy fora given mass., Cette thèse est consacrée à l’étude de la perturbation aléatoire de deux modèles de systèmes de particules en interaction, liés à la mécanique quantique. Le premier est une chaîne désordonnée unidimensionnelle d’oscillateurs harmoniques quantiques, où une limite hydrodynamique dans l’échelle hyperbolique du temps et de l’espace est prouvée ; l’élongation, la quantité de mouvement et l’énergie convergent vers la solution de l’équation d’Euler dans cette échelle. Dans le deuxième modèle, une perturbation stochastique conservant la masse d’une certaine classe d’équations de Schrödinger non-linéaires discrètes est introduite, modélisant l’action d’un bain de chaleur à une température donnée. La mesure de Gibbs correspondante est la seule mesure invariante de la dynamique, fournissant des propriétés d’ergodicité et de mélange temporel. En guise d’application, on étudie la limite de grand temps, l’approximation du continuum, et la limite de basse température dans le cas cubique unidimensionnelle focalisant.

In this thesis, we study a spatially organised neuronal network, that is the interactions between two neurons only depend on their positions. If we only consider a relatively small number of cells, the electric activity of each neuron can be modeled with the FitzHugh-Nagumo system. Yet, if we attempt to study the collective behaviour of a more sizeable assembly of neurons, we must find other models, corresponding to a larger scale of observation. Thus, the purpose of this thesis is to establish a rigourous mathematical link between the microscopic FitzHugh-Nagumo model, and macroscopic models which account for the evolution of average electrical quantities at any position in the network.The first step of our strategy consists in deriving a rigourous link between the microscopic model and an intermediary model as the number of neurons tends to infinity. We obtain a partial differential equation, which gives the evolution of the probability density of finding neurons at any time depending on their position and membrane potential. Therefore, it describes a mesoscopic scale of observation of the network.Then, we study the average electrical quantities computed from the mesoscopic model. In order to find a system of equations satisfied by these macroscopic quantities, we consider the regime of strong local interactions. To do so, we provide two different ways of rescaling. Using a relative entropy method, we find a mathematical link between the intermediary model and a reaction-diffusion system. Depending on the rescaling we choose, the diffusion term can be local or non local in space.Finally, we tackle the study of this last change of scale from a numerical analysis viewpoint. In particular, we introduce a discretization of the mesoscopic model which is asymptotic preserving in the regime of strong local interactions. Hence, we can numerically estimate rates of convergence, and we observe some dynamics of the intermediary model.; Dans cette thèse, nous étudions un réseau neuronal spatialement organisé, c’est-à-dire que les interactions entre deux neurones ne dépendent que de leurs positions. Si nous ne considérons qu’un nombre relativement restreint de cellules, l’activité électrique de chaque neurone peutêtre modélisée grâce au système de FitzHugh-Nagumo. Toutefois, si nous cherchons à étudier le comportement collectif d’un groupe de neurones plus nombreux, il devient essentiel de trouver d’autres modèles, correspondant à une échelle d’observation plus grande. L’objectif decette thèse est donc d’établir un lien mathématique rigoureux entre le modèle microscopique de FitzHugh-Nagumo, et des modèles macroscopiques qui donnent l’évolution des quantités électriques moyennes à chaque position dans le réseau.La première étape de notre stratégie consiste à établir un lien rigoureux entre le modèle microscopique et un modèle intermédiaire, en faisant tendre le nombre de neurones vers l’infini. Nous obtenons une équation à dérivées partielles qui donne l’évolution de la densité de probabilité de trouver des neurones à chaque instant en fonction de leur position et de leur potentiel de membrane. Elle décrit alors une échelle mésoscopique d’observation du réseau.Ensuite, nous étudions les valeurs électriques moyennes calculées à partir du modèle mésoscopique. Afin de trouver un système d’équations satisfait par ces quantités macroscopiques, nous considérons le cas où les interactions locales entre neurones sont fortes. Pour cela, nous pro-posons deux redimensionnements possibles. En utilisant une méthode d’entropie relative, nous établissons un lien mathématique entre le modèle intermédiaire et un système de réaction-diffusion. Le terme de diffusion sera local ou non local en espace, selon le redimensionnement que nous aurons choisi.Enfin, nous attaquons l’étude de ce dernier changement d’échelle du point de vue de l’analyse numérique. En particulier, nous présentons une discrétisation du modèle mésoscopique qui préserve l’asymptotique dans le régime des interactions locales fortes. Ainsi, nous sommes capa-bles d’estimer des vitesses de convergence et d’observer des dynamiques du modèle intermédiaire.

In this thesis, we study a spatially organised neuronal network, that is the interactions between two neurons only depend on their positions. If we only consider a relatively small number of cells, the electric activity of each neuron can be modeled with the FitzHugh-Nagumo system. Yet, if we attempt to study the collective behaviour of a more sizeable assembly of neurons, we must find other models, corresponding to a larger scale of observation. Thus, the purpose of this thesis is to establish a rigourous mathematical link between the microscopic FitzHugh-Nagumo model, and macroscopic models which account for the evolution of average electrical quantities at any position in the network.The first step of our strategy consists in deriving a rigourous link between the microscopic model and an intermediary model as the number of neurons tends to infinity. We obtain a partial differential equation, which gives the evolution of the probability density of finding neurons at any time depending on their position and membrane potential. Therefore, it describes a mesoscopic scale of observation of the network.Then, we study the average electrical quantities computed from the mesoscopic model. In order to find a system of equations satisfied by these macroscopic quantities, we consider the regime of strong local interactions. To do so, we provide two different ways of rescaling. Using a relative entropy method, we find a mathematical link between the intermediary model and a reaction-diffusion system. Depending on the rescaling we choose, the diffusion term can be local or non local in space.Finally, we tackle the study of this last change of scale from a numerical analysis viewpoint. In particular, we introduce a discretization of the mesoscopic model which is asymptotic preserving in the regime of strong local interactions. Hence, we can numerically estimate rates of convergence, and we observe some dynamics of the intermediary model.; Dans cette thèse, nous étudions un réseau neuronal spatialement organisé, c’est-à-dire que les interactions entre deux neurones ne dépendent que de leurs positions. Si nous ne considérons qu’un nombre relativement restreint de cellules, l’activité électrique de chaque neurone peutêtre modélisée grâce au système de FitzHugh-Nagumo. Toutefois, si nous cherchons à étudier le comportement collectif d’un groupe de neurones plus nombreux, il devient essentiel de trouver d’autres modèles, correspondant à une échelle d’observation plus grande. L’objectif decette thèse est donc d’établir un lien mathématique rigoureux entre le modèle microscopique de FitzHugh-Nagumo, et des modèles macroscopiques qui donnent l’évolution des quantités électriques moyennes à chaque position dans le réseau.La première étape de notre stratégie consiste à établir un lien rigoureux entre le modèle microscopique et un modèle intermédiaire, en faisant tendre le nombre de neurones vers l’infini. Nous obtenons une équation à dérivées partielles qui donne l’évolution de la densité de probabilité de trouver des neurones à chaque instant en fonction de leur position et de leur potentiel de membrane. Elle décrit alors une échelle mésoscopique d’observation du réseau.Ensuite, nous étudions les valeurs électriques moyennes calculées à partir du modèle mésoscopique. Afin de trouver un système d’équations satisfait par ces quantités macroscopiques, nous considérons le cas où les interactions locales entre neurones sont fortes. Pour cela, nous pro-posons deux redimensionnements possibles. En utilisant une méthode d’entropie relative, nous établissons un lien mathématique entre le modèle intermédiaire et un système de réaction-diffusion. Le terme de diffusion sera local ou non local en espace, selon le redimensionnement que nous aurons choisi.Enfin, nous attaquons l’étude de ce dernier changement d’échelle du point de vue de l’analyse numérique. En particulier, nous présentons une discrétisation du modèle mésoscopique qui préserve l’asymptotique dans le régime des interactions locales fortes. Ainsi, nous sommes capa-bles d’estimer des vitesses de convergence et d’observer des dynamiques du modèle intermédiaire.

Non disponible; Non disponible

The object of research of this thesis is the derivation of heat equation from the underlying microscopic dynamics of the system. Two main models have been studied: a microscopic system described by the discrete Schrödinger equation and an anharmonic chain of oscillators in presence of a gradient of temperature. The first model considered is the one-dimensional discrete linear Schrödinger (DLS) equation perturbed by a conservative stochastic dynamics, that changes the phase of each particles, conserving the total norm (or number of particles). The resulting total dynamics is a degenerate hypoelliptic diffusion with a smooth stationary state. It has been shown that the system has a hydrodynamical limit given by the solution of the heat equation. When it is coupled at the boundaries to two Langevin thermostats at two different chemical potentials, it has been proven that the stationary state, in the limit to infinity, satisfies the Fourier’s law. The second model considered is a chain of anharmonic oscillators immersed in a heat bath with a temperature gradient and a time varying tension applied to one end of the chain while the other side is fixed to a point. We prove that under diffusive space-time rescaling the volume strain distribution of the chain evolves following a non-linear diffusive equation. The stationary states of the dynamics are of non-equilibrium and have a positive entropy production, so the classical relative entropy methods cannot be used. We develop new estimates based on entropic hypocoercivity, that allows to control the distribution of the positions configurations of the chain. The macroscopic limit can be used to model isothermal thermodynamic transformations between non-equilibrium stationary states. CEMRACS project on simulating Rayleigh- Taylor and Richtmyer-Meshkov turbulent mixing zones with a probability density function method at last.; Cette thèse est consacrée à l’étude des modèles microscopiques pour la dérivation de la conduction de la chaleur. Démontrer rigoureusement une équation diffusive macroscopique à partir d’une description microscopique du système est à aujourd’hui encore un problème ouvert. On étudie un système décrit par l’équation de Schrödinger linéaire discrète (DLS) en dim 1, perturbé par une dynamique stochastique conservative. On peut montrer que le système a une limite hydrodynamique donnée par la solution de l’équation de la chaleur. Quand le système est rattaché aux bords à deux réservoirs de Langevin à deux différents potentiels chimiques, on peut montrer que l’état stationnaire, dans la limite vers l'infinie, satisfait la loi de Fourier. On étudie une chaine des oscillateurs anharmonique immergée en un réservoir de chaleur avec un gradient de température. On exerce une tension, variable dans le temps, à une des deux extrémités de la chaine, et l’autre reste fixe. On montre que sous un changement d’échelle diffusive dans l’espace et dans le temps, la distribution d’étirement de la chaine évolue selon un équation diffusive non-linéaire. On développe des estimations qui reposent sur l’hypocoercitivité entropique. La limite macroscopique peut être utilisée pour modéliser les transformations thermodynamique isothermiques entre états stationnaire de non-équilibre.

The object of research of this thesis is the derivation of heat equation from the underlying microscopic dynamics of the system. Two main models have been studied: a microscopic system described by the discrete Schrödinger equation and an anharmonic chain of oscillators in presence of a gradient of temperature. The first model considered is the one-dimensional discrete linear Schrödinger (DLS) equation perturbed by a conservative stochastic dynamics, that changes the phase of each particles, conserving the total norm (or number of particles). The resulting total dynamics is a degenerate hypoelliptic diffusion with a smooth stationary state. It has been shown that the system has a hydrodynamical limit given by the solution of the heat equation. When it is coupled at the boundaries to two Langevin thermostats at two different chemical potentials, it has been proven that the stationary state, in the limit to infinity, satisfies the Fourier’s law. The second model considered is a chain of anharmonic oscillators immersed in a heat bath with a temperature gradient and a time varying tension applied to one end of the chain while the other side is fixed to a point. We prove that under diffusive space-time rescaling the volume strain distribution of the chain evolves following a non-linear diffusive equation. The stationary states of the dynamics are of non-equilibrium and have a positive entropy production, so the classical relative entropy methods cannot be used. We develop new estimates based on entropic hypocoercivity, that allows to control the distribution of the positions configurations of the chain. The macroscopic limit can be used to model isothermal thermodynamic transformations between non-equilibrium stationary states. CEMRACS project on simulating Rayleigh- Taylor and Richtmyer-Meshkov turbulent mixing zones with a probability density function method at last.; Cette thèse est consacrée à l’étude des modèles microscopiques pour la dérivation de la conduction de la chaleur. Démontrer rigoureusement une équation diffusive macroscopique à partir d’une description microscopique du système est à aujourd’hui encore un problème ouvert. On étudie un système décrit par l’équation de Schrödinger linéaire discrète (DLS) en dim 1, perturbé par une dynamique stochastique conservative. On peut montrer que le système a une limite hydrodynamique donnée par la solution de l’équation de la chaleur. Quand le système est rattaché aux bords à deux réservoirs de Langevin à deux différents potentiels chimiques, on peut montrer que l’état stationnaire, dans la limite vers l'infinie, satisfait la loi de Fourier. On étudie une chaine des oscillateurs anharmonique immergée en un réservoir de chaleur avec un gradient de température. On exerce une tension, variable dans le temps, à une des deux extrémités de la chaine, et l’autre reste fixe. On montre que sous un changement d’échelle diffusive dans l’espace et dans le temps, la distribution d’étirement de la chaine évolue selon un équation diffusive non-linéaire. On développe des estimations qui reposent sur l’hypocoercitivité entropique. La limite macroscopique peut être utilisée pour modéliser les transformations thermodynamique isothermiques entre états stationnaire de non-équilibre.

The work of this thesis belongs to the field of partial differential equations. More specifically, it is linked to the problematic of scale changes in the context of kinetic of gas. Indeed, knowing that there exists different scales of description for a gas (microscopic, mesoscopic and macroscopic scale), we want to link these different associated scales in a context where some randomness acts, in initial data and/or distributed on all the time interval.In a first part, we establish the rigorous derivation of the linear Boltzmann equation without cut- off starting from a particle system interacting via a potential of infinite range, under particular assumptions of decay, starting from a perturbed equilibrium.The second part deals with the passage from a stochastic BGK model with high-field scaling to a scalar conservation law with stochastic forcing. First, we establish the existence of a solution to the considered BGK model. Under an additional assumption, we prove then the convergence to a kinetic formulation associated to the conservation law with stochastic forcing.In the third part, in a first place, we quantify in the case of discrete velocities the defect of regularity associated to the traditional averaging which are considered in the averaging lemmas. Then, we establish a stochastic averaging lemma in that same case. We apply then the result to the context of Rosseland approximation to establish the diffusive limit associated to this model.Finally, in the last part, we are interested into the numerical study of Uchiyama’s model of square particles with four velocities in dimension two. After adapting the methods of simulation which were developed in the case of hard spheres, we carry out a statistical study of the limits at different scales of this model. We reject the hypothesis of a fractional Brownian motion as diffusive limit.; Les travaux de cette thèse s’inscrivent dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Plus particulièrement, ils sont liés à la problématique des changements d’échelle dans le contexte de la cinétique des gaz. En effet, sachant qu’il existe plusieurs niveaux de description pour un gaz (échelles microscopique, mésoscopique et macroscopique), on cherche à relier les différentes échelles associées dans un cadre où une part d’aléa intervient, dans les données initiales et/ou réparti sur tout l’intervalle de temps.Dans une première partie, on établit la dérivation rigoureuse de l’équation de Boltzmann linéaire sans cut-off en partant d’un système de particules interagissant via un potentiel à portée infinie, sous des hypothèses particulières de décroissance, en partant d’un équilibre perturbé.La deuxième partie traite du passage d’un modèle BGK stochastique avec champ fort à une loi de conservation scalaire avec forçage stochastique. D’abord, on établit l’existence d’une solution au modèle BGK considéré. Sous une hypothèse additionnelle, on prouve alors la convergence vers une formulation cinétique associée à la loi de conservation avec forçage stochastique.Au cours de la troisième partie, dans un premier temps, on quantifie dans le cas à vitesses discrètes le défaut de régularité associé aux traditionnelles moyennes considérées dans les lemmes de moyenne. Par la suite, on établit un lemme de moyenne stochastique dans ce même cas. On applique alors le résultat au cadre de l’approximation de Rosseland pour établir la limite diffusive associée à ce modèle.Enfin, dans la quatrième et dernière partie, on s’intéresse à l’étude numérique du modèle de Uchiyama de particules carrées à quatre vitesses en dimension deux. Après avoir adapté les méthodes de simulation développées dans le cas des sphères dures, on effectue une étude statistique des limites à différentes échelles de ce modèle. On rejette alors l’hypothèse d’un mouvement Brownien fractionnaire comme limite diffusive.

Collective dynamics can be observed among many animal species, and have given rise in the last decades to an active and interdisciplinary field of study. Such behaviors are usually modeled by active matter, in which each individual is self-driven and tends to align its velocity with that of its neighbors.In a classical model introduced by Vicsek & al., as well as in numerous related active matter models, a phase transition between chaotic behavior at high temperature and global order at low temperature can be observed. Even though ample evidence of these phase transitions has been obtained for collective dynamics, from a mathematical standpoint, such active systems are not fully understood yet. Some progress has been achieved in the recent years under an assumption of mean-field interactions, however to this day, few rigorous results have been obtained for models involving purely local interactions.In this manuscript, we describe a lattice active particle system interacting locally to align their velocities. This thesis aims at rigorously obtaining, using the formalism developed for hydrodynamic limits of lattice gases, the scaling limit of this out-of-equilibrium system, for which numerous technical and theoretical difficulties arise., L'étude des dynamiques collectives, observables chez de nombreuses espèces animales, a motivé dans les dernières décennies un champ de recherche actif et transdisciplinaire. De tels comportements sont souvent modélisés par de la matière active, c'est-à-dire par des modèles dans lesquels chaque individu est caractérisé par une vitesse propre qui tend à s'aligner avec celle de ses voisins.Dans un modèle fondateur proposé par Vicsek et al., ainsi que dans de nombreux modèles de matière active liés à ce dernier, une transition de phase entre un comportement chaotique à forte température, et un comportement global et cohérent à faible température, a été observée. De nombreuses preuves numériques de telles transitions de phase ont été obtenues dans le cadre des dynamiques collectives. D'un point de vue mathématique, toutefois, ces systèmes actifs sont encore mal compris. Plusieurs résultats ont été obtenus récemment sous une approximation de champ moyen, mais il n'y a encore à ce jour que peu d'études mathématiques de modèles actifs faisant intervenir des interactions purement microscopiques.Dans ce manuscrit, nous décrivons un système de particules actives sur réseau interagissant localement pour aligner leurs vitesses. L'objet de cette thèse est l'obtention rigoureuse, à l'aide du formalisme des limites hydrodynamiques pour les gaz sur réseau, de la limite macroscopique de ce système hors-équilibre, qui pose de nombreuses difficultés techniques et théoriques.

In this thesis, we study an interacting particle system that generalizes a contact process, evolving in a random environment. The contact process can be interpreted as a spread of a population or an infection. The motivation of this model arises from behavioural ecology and evolutionary biology via the \textsl{sterile insect technique} ; its aim is to control a population by releasing sterile individuals of the same species: the progeny of a female and a sterile male does not reach sexual maturity, so that the population is reduced or potentially dies out.To understand this phenomenon, we construct a stochastic spatial model on a lattice in which the evolution of the population is governed by a contact process whose growth rate is slowed down in presence of sterile individuals, shaping a dynamic random environment.A first part of this document investigates the construction and the properties of the process on the lattice $\mathbb Z^d$. One obtains monotonicity conditions in order to study the survival or the extinction of the process. We exhibit the existence and uniqueness of a phase transition with respect to the release rate. On the other hand, when $d=1$ and now fixing initially the random environment, we get further survival and extinction conditions which yield explicit numerical bounds on the phase transition.A second part concerns the macroscopic behaviour of the process by studying its hydrodynamic limit when the microscopic evolution is more intricate. We add movements of particles to births and deaths. First on the $d$-dimensional torus, we derive a system of reaction-diffusion equations as a limit. Then, we study the system in infinite volume in $\mathbb Z^d$, and in a bounded cylinder whose boundaries are in contact with stochastic reservoirs at different densities. As a limit, we obtain a non-linear system, with additionally Dirichlet boundary conditions in bounded domain., Dans cette thèse, on étudie un système de particules en interaction qui généralise un processus de contact, évoluant en environnement aléatoire. Le processus de contact peut être interprété comme un modèle de propagation d'une population ou d'une infection. La motivation de ce modèle provient de la biologie évolutive et de l'écologie comportementale via la \textsl{technique du mâle stérile}, il s'agit de contrôler une population d'insectes en y introduisant des individus stérilisés de la même espèce: la progéniture d'une femelle et d'un individu stérile n'atteignant pas de maturité sexuelle, la population se voit réduite jusqu'à potentiellement s'éteindre.Pour comprendre ce phénomène, on construit un modèle stochastique spatial sur un réseau dans lequel la population suit un processus de contact dont le taux de croissance est ralenti en présence d'individus stériles, qui forment un environnement aléatoire dynamique. Une première partie de ce document explore la construction et les propriétés du processus sur le réseau $\mathbb Z^d$. On obtient des conditions de monotonie afin d'étudier la survie ou la mort du processus. On exhibe l'existence et l'unicité d'une transition de phase en fonction du taux d'introduction des individus stériles. D'autre part, lorsque $d=1$ et cette fois en fixant l'environnement aléatoire initialement, on exhibe de nouvelles conditions de survie et de mort du processus qui permettent d'expliciter des bornes numériques pour la transition de phase.Une seconde partie concerne le comportement macroscopique du processus en étudiant sa limite hydrodynamique lorsque l'évolution microscopique est plus complexe. On ajoute aux naissances et aux morts des déplacements de particules. Dans un premier temps sur le tore de dimension $d$, on obtient à la limite un système d'équations de réaction-diffusion. Dans un second temps, on étudie le système en volume infini sur $\mathbb Z^d$, et en volume fini, dans un cylindre dont le bord est en contact avec des réservoirs stochastiques de densités différentes. Ceci modélise des phénomènes migratoires avec l'extérieur du domaine que l'on superpose à l'évolution. À la limite on obtient un système d'équations de réac

This thesis presents several results about stochastic partial differential equations. The main subject is the study of diffusive limits of kinetic models perturbed with a random term. We also present a result about the regularity of a class of stochastic partial differential equations and a result of existence and uniqueness of invariant measures for a stochastic Fokker-Planck equation. First, we give three results of approximation-diffusion in a stochastic context. The first one deals with the case of a kinetic equation with a linear operator of relaxation whose velocity equilibrium has a power tail distribution at infinity. The equation is perturbed with a Markovian process. This gives rise to a stochastic fluid fractional limit. The two remaining results consider the case of the radiative transfer equation which is a non-linear kinetic equation. The equation is perturbed successively with a cylindrical Wiener process and with a Markovian process. In both cases, we are led to a stochastic Rosseland fluid limit. Then, we introduce a result of regularity for a class of quasilinear stochastic partial differential equations of parabolic type whose random term is driven by a cylindrical Wiener process. Finally, we study a Fokker-Planck equation with a noisy force governed by a cylindrical Wiener process. We prove existence and uniqueness of solutions to the problem and then existence and uniqueness of invariant measures to the equation., Cette thèse présente quelques résultats dans le domaine des équations aux dérivées partielles stochastiques. Une majeure partie d'entre eux concerne l'étude de limites diffusives de modèles cinétiques perturbés par un terme aléatoire. On présente également un résultat de régularité pour une classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques ainsi qu'un résultat d'existence et d'unicité de mesures invariantes pour une équation de Fokker-Planck stochastique. Dans un premier temps, on présente trois travaux d'approximation-diffusion dans le contexte stochastique. Le premier s'intéresse au cas d'une équation cinétique avec opérateur de relaxation linéaire dont l'équilibre des vitesses a un comportement de type puissance à l'infini. L'équation est perturbée par un processus Markovien. Cela donne lieu à une limite fluide stochastique fractionnaire. Les deux autres résultats concernent l'étude de l'équation de transfert radiatif qui est un problème cinétique non linéaire. L'équation est bruitée dans un premier temps avec un processus de Wiener cylindrique et dans un second temps par un processus Markovien. Dans les deux cas, on obtient à la limite une équation de Rosseland stochastique. Dans la suite, on présente un résultat de régularité pour les équations aux dérivées partielles quasi-linéaires de type parabolique dont la partie aléatoire est gouvernée par un processus de Wiener cylindrique. Enfin, on étudie une équation de Fokker-Planck qui présente un terme de forçage aléatoire régi par un processus de Wiener cylindrique. On prouve d'une part l'existence et l'unicité des solutions de ce problème et d'autre part l'existence et l'unicité de mesures invariantes pour la dynamique de cette équation.

This work is devoted to the study of a problem resulting from plasma physics: heat transfer of electrons in a plasma close to Maxwellian equilibrium. Firstly, the asymptotic regime of Spitzer-Harm is studied. A model proposed by Schurtz and Nicolai is analyzed and located in the context of hydrodynamic limits outside of the strictly asymptotic. The link to non-local models of Luciani and Mora is established, as well as the mathematical properties such as the principle of maximum and entropy dissipation. Then, a formal derivation from the Vlasov equations is proposed. A hierarchy of intermediate models between the kinetic equations and the hydrodynamic limit is described. In particular, a new system hydrodynamics, integro-differential in nature, is proposed. The system Schurtz and Nicolai appears as a simplification of the system resulting from the diversion. The existence and uniqueness of the solution of the nonstationary system are established in a simplified framework. The last part is devoted to the implementation of a specific numerical scheme for solving these models. We propose a finite volume approach can be effective on unstructured grids. The accuracy of this scheme to capture specific effects such as kinetic, which may not be reproduced by the asymptotic Spitzer-Harm model. The consistency of this pattern with that of the Spitzer-Harm equation is highlighted, paving the way for a strategy of coupling between the two models.; Ce travail est consacré à l'étude d'un problème issu de la physique des plasmas: le transfert thermique des électrons dans un plasma proche de l'équilibre maxwellien. Dans un premier temps, le régime asymptotique de Spitzer-Harm est étudié. Un modèle proposé par Schurtz et Nicolai est analysé et situé dans le cadre des modeles hydrodynamiques en dehors de la limite strictement asymptotique. Le lien avec les modèles non-locaux de Luciani et Mora est établi, ainsi que les propriétés mathématiques tels que le principe du maximum et la dissipation entropique. Ensuite, une dérivation formelle à partir des équations de Vlasov est proposée. Une hiérarchie de modèles intermédiaires entre les équations cinétiques et la limite hydrodynamique est décrite. En particulier, un nouveau système hydrodynamique, de nature intégro-différentielle, est proposé. Le système Schurtz et Nicolai apparaît comme une simplification du modèle issu de la diversion. L'existence et l'unicité de la solution du système non-stationnaire sont établies dans un cadre simplifié. La dernière partie est consacrée à la mise en œuvre d'un schéma numérique spécifique pour la résolution de ces modèles. Nous proposons une approche par volumes finis efficace sur des maillages non-structurés. La précision de ce schéma permet de capturer des effets spécifiques aux modèles cinéiques, qui ne peut être reproduit par le modèle asymptotique de Spitzer-Harm. La consistance de ce schéma avec celui de l'équation Spitzer-Harm est mise en evidence, ouvrant la voie à une stratégie de couplage entre les deux modèles.

This work is devoted to the study of a problem resulting from plasma physics: heat transfer of electrons in a plasma close to Maxwellian equilibrium. Firstly, the asymptotic regime of Spitzer-Harm is studied. A model proposed by Schurtz and Nicolai is analyzed and located in the context of hydrodynamic limits outside of the strictly asymptotic. The link to non-local models of Luciani and Mora is established, as well as the mathematical properties such as the principle of maximum and entropy dissipation. Then, a formal derivation from the Vlasov equations is proposed. A hierarchy of intermediate models between the kinetic equations and the hydrodynamic limit is described. In particular, a new system hydrodynamics, integro-differential in nature, is proposed. The system Schurtz and Nicolai appears as a simplification of the system resulting from the diversion. The existence and uniqueness of the solution of the nonstationary system are established in a simplified framework. The last part is devoted to the implementation of a specific numerical scheme for solving these models. We propose a finite volume approach can be effective on unstructured grids. The accuracy of this scheme to capture specific effects such as kinetic, which may not be reproduced by the asymptotic Spitzer-Harm model. The consistency of this pattern with that of the Spitzer-Harm equation is highlighted, paving the way for a strategy of coupling between the two models.; Ce travail est consacré à l'étude d'un problème issu de la physique des plasmas: le transfert thermique des électrons dans un plasma proche de l'équilibre maxwellien. Dans un premier temps, le régime asymptotique de Spitzer-Harm est étudié. Un modèle proposé par Schurtz et Nicolai est analysé et situé dans le cadre des modeles hydrodynamiques en dehors de la limite strictement asymptotique. Le lien avec les modèles non-locaux de Luciani et Mora est établi, ainsi que les propriétés mathématiques tels que le principe du maximum et la dissipation entropique. Ensuite, une dérivation formelle à partir des équations de Vlasov est proposée. Une hiérarchie de modèles intermédiaires entre les équations cinétiques et la limite hydrodynamique est décrite. En particulier, un nouveau système hydrodynamique, de nature intégro-différentielle, est proposé. Le système Schurtz et Nicolai apparaît comme une simplification du modèle issu de la diversion. L'existence et l'unicité de la solution du système non-stationnaire sont établies dans un cadre simplifié. La dernière partie est consacrée à la mise en œuvre d'un schéma numérique spécifique pour la résolution de ces modèles. Nous proposons une approche par volumes finis efficace sur des maillages non-structurés. La précision de ce schéma permet de capturer des effets spécifiques aux modèles cinéiques, qui ne peut être reproduit par le modèle asymptotique de Spitzer-Harm. La consistance de ce schéma avec celui de l'équation Spitzer-Harm est mise en evidence, ouvrant la voie à une stratégie de couplage entre les deux modèles.

In this dissertation, we study various models for quantum fluids, especially kinetic models, and how they are related. In the first part, we study boson gas. We first focus on a boson fluid with a quantum part modeled by two coupled equations: a quantum Boltzmann equation for the normal part and a Gross-Pitaevskii equation for the condensate. We formally derive the hydrodynamic limit of this system in the hyperbolic scaling and then perform the semi-classical limit; we get a compressible Euler-like system of two coupled fluids. We then study the limit system using the isentropic approximation: hyperbolicity, weak solutions, shocks, numerical simulation of shocks. Afterwards we study a Boltzmann-type space-homogeneous model for bosons in one dimension. We prove existence of solutions and then convergence in the grazing collision limit (and in a very weak sense) towards solutions of a quantum Fokker-Planck equation. In the second part, we focus on the Boltzmann equation for fermions. We prove the existence of solutions in a bounded domain satisfying the local conservation of mass, momentum and kinetic energy. We then rigorously derive the hydrodynamic limit in the incompressible Euler scaling using the relative entropy method together with filtering techniques.; Cette thèse est consacrée à l'étude de différents modèles de fluides quantiques, en particulier des modèles cinétiques, et aux liens entre ces modèles. La première partie est dédiée aux gaz de bosons. Nous nous intéressons d'abord à un fluide de bosons ayant une partie condensée, modélisé par deux équations couplées : une équation de Boltzmann quantique pour la partie normale, et une équation de Gross-Pitaevskii pour la partie condensée. Nous étudions formellement la limite hydrodynamique de ce système dans le scaling hyperbolique, couplée avec une limite semi-classique, et obtenons un système du type Euler compressible à deux fluides. Nous étudions le système limite dans l'approximation isentropique : hyperbolicité, solutions faibles, chocs, simulation numérique des chocs. Nous nous intéressons dans un deuxième temps à un modèle de type Boltzmann pour les bosons unidimensionnel et homogène en espace. Après avoir prouvé l'existence de solutions, nous montrons qu'elles convergent dans la limite des collisions rasantes (et dans un sens très faible) vers des solutions d'une équation de Fokker-Planck quantique. La deuxième partie est centrée sur l'équation de Boltzmann pour les fermions. Nous montrons un résultat d'existence de solutions vérifiant la conservation locale de la masse, du moment et de l'énergie cinétique dans un domaine à bord. Nous prouvons ensuite un résultat rigoureux de limite hydrodynamique dans le scaling Euler incompressible à l'aide de la méthode de l'entropie relative couplée à des techniques de filtrage des ondes acoustiques.

In this thesis, we devise analytical and numerical methods for capturing the asymptotic dynamics of plasma physics problems and collective movement models for animal populations. In the first part, we present a Particle-In-Cell numerical method for the Vlasov-Poisson system that is asymptotic preserving for the quasineutral limit. In the second part, we study the macroscopic limit of a Vicsek model that describes alignement interactions among two populations: a moving population and a steady one. Then we select a numerical scheme for capturing the solutions of the macroscopic Vicsek model corresponding to the underlying particle dynamics. The third part is dedicated to the incompressible-compressible transitions that appear in a macroscopic model for collective displacements with congestion effects. Asymptotic preserving numerical schemes for the congestion limit are then built for the Euler system with a maximal density constraint.; Dans cette thèse, nous développons des méthodes analytiques et numériques pour capturer les dynamiques asymptotiques de problèmes issus de la physique des plasmas et de la modélisation des mouvements collectifs dans les populations animales. Dans une première partie, nous présentons une méthode numérique Particle-In-Cell (PIC) pour le système Vlasov-Poisson préservant l'asymptotique quasi-neutre. Dans une seconde partie, nous étudions la limite macroscopique d'un modèle de Vicsek décrivant des interactions d'alignement entre deux populations, une population à l'arrêt et une population en mouvement. Nous sélectionnons ensuite un schéma numérique pour capturer les solutions du modèle macroscopique de Vicsek correspondant à la dynamique particulaire sous-jacente. La troisième partie est dédiée à l'étude des transitions compressible-incompressible apparaissant sous l'effet d'une contrainte de congestion dans un modèle macroscopique de déplacement collectif. Des schémas numériques préservant l'asymptotique de congestion sont ensuite mis au point pour le système d'Euler avec une contrainte de densité maximale.

In this thesis, we devise analytical and numerical methods for capturing the asymptotic dynamics of plasma physics problems and collective movement models for animal populations. In the first part, we present a Particle-In-Cell numerical method for the Vlasov-Poisson system that is asymptotic preserving for the quasineutral limit. In the second part, we study the macroscopic limit of a Vicsek model that describes alignement interactions among two populations: a moving population and a steady one. Then we select a numerical scheme for capturing the solutions of the macroscopic Vicsek model corresponding to the underlying particle dynamics. The third part is dedicated to the incompressible-compressible transitions that appear in a macroscopic model for collective displacements with congestion effects. Asymptotic preserving numerical schemes for the congestion limit are then built for the Euler system with a maximal density constraint.; Dans cette thèse, nous développons des méthodes analytiques et numériques pour capturer les dynamiques asymptotiques de problèmes issus de la physique des plasmas et de la modélisation des mouvements collectifs dans les populations animales. Dans une première partie, nous présentons une méthode numérique Particle-In-Cell (PIC) pour le système Vlasov-Poisson préservant l'asymptotique quasi-neutre. Dans une seconde partie, nous étudions la limite macroscopique d'un modèle de Vicsek décrivant des interactions d'alignement entre deux populations, une population à l'arrêt et une population en mouvement. Nous sélectionnons ensuite un schéma numérique pour capturer les solutions du modèle macroscopique de Vicsek correspondant à la dynamique particulaire sous-jacente. La troisième partie est dédiée à l'étude des transitions compressible-incompressible apparaissant sous l'effet d'une contrainte de congestion dans un modèle macroscopique de déplacement collectif. Des schémas numériques préservant l'asymptotique de congestion sont ensuite mis au point pour le système d'Euler avec une contrainte de densité maximale.

In this dissertation, we study various models for quantum fluids, especially kinetic models, and how they are related. In the first part, we study boson gas. We first focus on a boson fluid with a quantum part modeled by two coupled equations: a quantum Boltzmann equation for the normal part and a Gross-Pitaevskii equation for the condensate. We formally derive the hydrodynamic limit of this system in the hyperbolic scaling and then perform the semi-classical limit; we get a compressible Euler-like system of two coupled fluids. We then study the limit system using the isentropic approximation: hyperbolicity, weak solutions, shocks, numerical simulation of shocks. Afterwards we study a Boltzmann-type space-homogeneous model for bosons in one dimension. We prove existence of solutions and then convergence in the grazing collision limit (and in a very weak sense) towards solutions of a quantum Fokker-Planck equation. In the second part, we focus on the Boltzmann equation for fermions. We prove the existence of solutions in a bounded domain satisfying the local conservation of mass, momentum and kinetic energy. We then rigorously derive the hydrodynamic limit in the incompressible Euler scaling using the relative entropy method together with filtering techniques., Cette thèse est consacrée à l'étude de différents modèles de fluides quantiques, en particulier des modèles cinétiques, et aux liens entre ces modèles. La première partie est dédiée aux gaz de bosons. Nous nous intéressons d'abord à un fluide de bosons ayant une partie condensée, modélisé par deux équations couplées : une équation de Boltzmann quantique pour la partie normale, et une équation de Gross-Pitaevskii pour la partie condensée. Nous étudions formellement la limite hydrodynamique de ce système dans le scaling hyperbolique, couplée avec une limite semi-classique, et obtenons un système du type Euler compressible à deux fluides. Nous étudions le système limite dans l'approximation isentropique : hyperbolicité, solutions faibles, chocs, simulation numérique des chocs. Nous nous intéressons dans un deuxième temps à un modèle de type Boltzmann pour les bosons unidimensionnel et homogène en espace. Après avoir prouvé l'existence de solutions, nous montrons qu'elles convergent dans la limite des collisions rasantes (et dans un sens très faible) vers des solutions d'une équation de Fokker-Planck quantique. La deuxième partie est centrée sur l'équation de Boltzmann pour les fermions. Nous montrons un résultat d'existence de solutions vérifiant la conservation locale de la masse, du moment et de l'énergie cinétique dans un domaine à bord. Nous prouvons ensuite un résultat rigoureux de limite hydrodynamique dans le scaling Euler incompressible à l'aide de la méthode de l'entropie relative couplée à des techniques de filtrage des ondes acoustiques.

Glioblastomas are a particularly aggressive form of tumour and the outcome for patients with this tumour is extremely poor. The median survival time of a patient is roughly equal to 12 months even if a treatment has been implemented. One factor that makes gliomas so dificult to treat is their high invasiveness, enabling tumour cells to migrate from the main tumour mass into the surrounding healthy tissue. Moreover not much is known about the mechanisms underlying this phenomenon. The aim we set for my thesis work was to interest ourselves in these invasion mechanisms by studying in vitro migration of glioblastoma cells. To this end we created a microscopic model, based on a cellular automaton, for the description of the glioblastoma cell migration on two kinds of substrates : collagen and monolayer of astrocytes. Cells migrate according to predefined rules, depending on the interactions (contact or long-range) assumed. The comparison between simulations and experiments allows us to validate the model and to stress two phenomena : communication between tumour cells and between tumour cells and astrocytes (this communication could favour the invasion of tumour cells) and secretion of a chemorepellent factor, from the main tumour bulk, acting on cell migration. To describe the evolution of a more realistic tumour mass, we constructed and validated, starting from the automaton, a macroscopic model (nonlinear diffusion equation), by taking in account the interactions between them.; Le glioblastome est une tumeur cérébrale maligne particulièrement agressive et le pronostic vital des patients atteints par cette tumeur est très mauvais. La médiane de survie est de l'ordre de 12 mois même lorsqu'une stratégie thérapeutique a pu être mise en place. Un des facteurs qui pourrait expliquer la dificulté à traiter ces tumeurs par voie chirurgicale est l'invasion des cellules tumorales dans le tissu sain environnant. De plus, les mécanismes à l'origine de ce phénomène sont, en partie, méconnus. L'objectif que nous nous étions fixé pour mon travail de thèse était de s'intéresser à ces mécanismes d'invasion en étudiant la migration in vitro de cellules tumorales issues de glioblastomes. Pour cela, nous avons créé un modèle de migration microscopique, basé sur un automate cellulaire, reproduisant la migration de cellules tumorales sur deux substrats différents : substrat de collagène et monocouche d'astrocytes. Les cellules migrent selon des règles prédéfinies et dépendant des interactions (de contact ou à plus longue portée) introduites. La confrontation des simulations avec les expériences a permis de valider le modèle et de mettre en évidence deux phénomènes : une communication par contact entre cellules tumorales et entre cellules tumorales et astrocytes (cette dernière favoriserait l'invasion des cellules tumorales) et la sécrétion à partir de la masse tumorale d'une substance chimio-répulsive favorisant sur la migration des cellules. Afin de décrire l'évolution d'une masse tumorale plus réaliste, nous avons construit et validé un modèle macroscopique (équation de diffusion non linéaire) à partir de l'automate, en tenant compte des interactions entre cellules tumorales.

Glioblastomas are a particularly aggressive form of tumour and the outcome for patients with this tumour is extremely poor. The median survival time of a patient is roughly equal to 12 months even if a treatment has been implemented. One factor that makes gliomas so dificult to treat is their high invasiveness, enabling tumour cells to migrate from the main tumour mass into the surrounding healthy tissue. Moreover not much is known about the mechanisms underlying this phenomenon. The aim we set for my thesis work was to interest ourselves in these invasion mechanisms by studying in vitro migration of glioblastoma cells. To this end we created a microscopic model, based on a cellular automaton, for the description of the glioblastoma cell migration on two kinds of substrates : collagen and monolayer of astrocytes. Cells migrate according to predefined rules, depending on the interactions (contact or long-range) assumed. The comparison between simulations and experiments allows us to validate the model and to stress two phenomena : communication between tumour cells and between tumour cells and astrocytes (this communication could favour the invasion of tumour cells) and secretion of a chemorepellent factor, from the main tumour bulk, acting on cell migration. To describe the evolution of a more realistic tumour mass, we constructed and validated, starting from the automaton, a macroscopic model (nonlinear diffusion equation), by taking in account the interactions between them.; Le glioblastome est une tumeur cérébrale maligne particulièrement agressive et le pronostic vital des patients atteints par cette tumeur est très mauvais. La médiane de survie est de l'ordre de 12 mois même lorsqu'une stratégie thérapeutique a pu être mise en place. Un des facteurs qui pourrait expliquer la dificulté à traiter ces tumeurs par voie chirurgicale est l'invasion des cellules tumorales dans le tissu sain environnant. De plus, les mécanismes à l'origine de ce phénomène sont, en partie, méconnus. L'objectif que nous nous étions fixé pour mon travail de thèse était de s'intéresser à ces mécanismes d'invasion en étudiant la migration in vitro de cellules tumorales issues de glioblastomes. Pour cela, nous avons créé un modèle de migration microscopique, basé sur un automate cellulaire, reproduisant la migration de cellules tumorales sur deux substrats différents : substrat de collagène et monocouche d'astrocytes. Les cellules migrent selon des règles prédéfinies et dépendant des interactions (de contact ou à plus longue portée) introduites. La confrontation des simulations avec les expériences a permis de valider le modèle et de mettre en évidence deux phénomènes : une communication par contact entre cellules tumorales et entre cellules tumorales et astrocytes (cette dernière favoriserait l'invasion des cellules tumorales) et la sécrétion à partir de la masse tumorale d'une substance chimio-répulsive favorisant sur la migration des cellules. Afin de décrire l'évolution d'une masse tumorale plus réaliste, nous avons construit et validé un modèle macroscopique (équation de diffusion non linéaire) à partir de l'automate, en tenant compte des interactions entre cellules tumorales.