Search

We study the spectrum of operators carrying large values of the conserved charges in conformal field theories (CFTs) with global symmetries. In particular, we explore the computation of the related CFT data within the recently-developed large charge expansion framework. In the first three chapters, we review the basics of CFT at large charge, focusing on the general phenomenon of classicalization of quantum physics in the presence of large quantum numbers and on the physical implications of the spontaneous breaking of conformal invariance induced by the charge-fixing. In chapter four, we show how to set up the large charge expansion in weakly-coupled nonabelian theories. To this end, we focus on the O(N) critical model in d = 4 − ε dimensions, which is relevant for the description of the critical behaviour of a variety of real-world systems. Using semiclassical methods, we compute the scaling dimensions of traceless symmetric composite operators to the next-to-leading order in the large charge expansion and all-orders in the e-expansion. Furthermore, we derive new results for the spectrum of anomalous dimensions in the O(N) model with cubic anisotropy. In 4 < d < 6, the O(N) theory flows to an asymptotically safe UV fixed point that is believed to play a relevant role in (higher-spin) AdS/CFT. Recently, it has been conjectured a dual description of this critical theory in terms of the IR fixed point of an O(N)-invariant theory with N + 1 fields and cubic interactions. In chapter five, we probe this conjecture by means of the large charge expansion, arguing in favor of the equality of the large charge sectors of the two models in d =6 − ε dimensions. Chapter six concerns large charge operators in the U(N) × U(M) model in d = 4 − ε dimensions. The role of the charge configuration is investigated in detail via both group-theoretical and semiclassical analyses. In particular, we show how, varying the charge assignment, we can access the anomalous dimension of different operators transforming according to a variety of irreducible representations. To this end, we introduce a novel general strategy apt at determining the correspondence between the charge configuration and the related large charge operators in generic non-abelian CFTs. As a byproduct of our investigation, we obtain many new results for the U(N) × U(M) model. Konformne teorije polja (CFT, od engl. conformal field theory) bez sumnje vrlo su važne za opis prirode. One imaju bitnu ulogu u teoriji kontinuiranih faznih prijelaza, te su ključne za naše razumijevanje kvantne teorije polja. Štoviše, CFT-ovi imaju veliku važnost u teoriji struna i predstavljaju jednu stranu proslavljene AdS/CFT korespodencije. Nadalje, CFT alati često se koriste za istraživanje dinamike kvantnih teorija polja u režimima u kojima se uobičajene metode pokažu neučinkovitima. Za danu grupu simetrija, za rješavanje CFT-a potrebno je izračunati njezine CFT podatke, tj. dimenziju skaliranja svih primarnih operatora i potpun skup OPE koeficijenata teorije. CFT-ovi se obično proučavaju putem perturbativnog računa [1], razvoja po epsilonu [2, 3], te neperturbativno putem konformne bootstrap metode [4–6] te AdS/CFT korespodencije [7,8]. Nadalje, u posebnom slučaju dvodimenzionalnog prostor-vremena, postoji mnogo primjera CFT-ova koji su egzaktno rješivi [9]. Nedavno je pokazano da se CFT podaci s obzirom na operatore koji nose veliku vrijednost određenog očuvanog naboja mogu izračunati i putem razvoja po naboju u inverznim potencijama Noetheričinog naboja, pri čemu su se prvi radovi fokusirali na limes velikog naboja [10–12]. U tom limesu, CFT stanje i njegova pobuđenja ulaze u “fazu kondenzirane materije sličnu supratekućini” konačne gustoće. Takve su faze karakterizirane spontanim lomljenjem prostorno-vremenskih i unutarnjih simetrija te ih se može opisati efektivnom teorijom polja (EFT, od engl. effective field theory) za Goldstoneove bozone simetrije. Spomenuti EFT pristup pogodan je za bavljenje jako vezanim teorijama, parametariziranjem nepoznate fizike konačnim brojem neperturbativnih koeficijenata u svakom redu razvoja po naboju. Nadalje, razvoj po naboju sadrži univerzalne koeficijente koje je moguće izračunati i koji ne ovise o mikroskopskom opisu CFT-a, već isključivo o simetriji i broju prostorno-vremenskih dimenzija. Zapravo, ti pojmovi proizlaze iz univerzalnih značajki fononskog spektra u generaliziranoj supratekućoj fazi. Pomoću EFT-a s velikim nabojem istraženo je nekoliko teorija, poput O(N) vektorskog modela u tri dimenzije [11], trodimenzionalnog SU(N) matričnog modela [13, 14], i Chern-Simonsove teorije [15, 16]. Supersimetrične teorije u limesu velikog R-naboja ispitane su u [17–19]. U slučaju kad je CFT perturbativno dostupan zahvaljujući prisutnosti malog parametra e, može se zaobići EFT konstrukciju i raditi izravno u potpunoj teoriji. Tada razvoj po velikom naboju ima oblik ’t Hooft-ovog razvoja [20], gdje se definira ’t Hooft-ova konstanta vezanja A = εQ, s nabojem Q, i uzima limes ε → 0 i Q → ∞ uz držanje A fiksnim. To omogućuje dobivanje rezultata svakog reda u terminima A konstanti vezanja, resumirajući odjednom beskonačni niz Feynmanovih dijagrama u svakom redu razvoja po velikom naboju. Nadalje, sada možemo postaviti čvrst temelj za EFT konstrukciju, povezujući perturbativnu i neperturbativnu fiziku. Ovdje važnu ulogu igra općeniti fenomen „klasikalizacije“ kvantnih sustava u prisutnosti velikih vrijednosti nekog kvantnog broja. Ustvari, Feynmanovim integralima koji opisuju korelatore operatora velikih naboja dominiraju netrivijalne klasične putanje karakterizirane specifičnim obrascom lomljenja simetrije. Kao posljedica, razvoj po naboju svodi se na poluklasični razvoj oko tih klasičnih rješenja. Prva istraživanja razvoja po naboju u slabo vezanim teorijama pojavila su se u [21–24], gdje su se autori usredotočili na abelovu φ^4 U (1) teoriju. Ova doktorska disertacija fokusira se na razvoj, poopćenje i primjenu razvoja po naboju u CFTu, kao moćnog pristupa u otkrivanju strukture kvantne teorije polja s posebnim naglaskom na slabo vezane neabelove CFT-ove. U drugom poglavlju uvodimo osnove konformne teorije polja usredotočujući se na aspekte relevantne za proučavanje sektora velikih naboja CFT-ova, kao što su radijalna kvantizacija, korespondencija operator-stanje te Weylove transformacije. Međuigra klasikalizacije CFT-ova s velikim nabojem i spontanog lomljenja relativističke invarijantnosti, što dovodi do netrivijalnog brojanja i svojstava Goldstoneovih bozona, čini proučavanje CFT-a s velikim nabojem složenom i fascinantnom temom koju ćemo pregledati u trećem poglavlju. Tamo također uvodimo poluklasični pristup razvoju po naboju i pokazujemo njegovu povezanost s konvencionalnim razvojem po Feynmanovim dijagramima. Nadalje, pregledavamo poopćenje Goldstoneovog teorema relevantno za QFT s velikim nabojem. (Djelomični) dokaz ovog teorema dan je u dodatku. U četvrtom poglavlju proučavamo razvoj po naboju u O(N) kritičnoj teoriji u 4−ε dimenzije, što je relevantno za opis kritičnog ponašanja različitih sustava iz stvarnog svijeta. Nakon opće rasprave o neabelovim modelima s velikim nabojem, proučavamo postupak fiksiranja naboja i inducirano spontano lomljenje simetrije u O(N) vektorskom modelu. Konkretno, otkrivamo da ako je osnovno stanje prostorno homogeno, onda su sve moguće konfiguracije naboja s istim ukupnim nabojem povezane O(N) transformacijama. Zapanjujuća posljedica je da u ovom modelu zbroj naboja djeluje kao jedinstveni naboj, dok konfiguracija naboja uopće nema ulogu. Za homogeno osnovno stanje s ukupnim nabojem Q zatim identificiramo odgovaraju ću familiju operatora fiksnih naboja kao Q-indekse simetričnih O(N) tenzora traga nula s klasičnom dimenzijom Q te računamo njihovu dimenziju skaliranja do prvog reda iznad vodećeg u razvoju po naboju i u svim redovima u konstanti vezanja. Te anomalne dimenzije definiraju skup (kritičnih) eksponenata križanja koji mjere nestabilnost sustava (npr. kritičnih magneta) protiv anizotropnih perturbacija [25–27]. Izračun je napravljen koristeći Weylove transformacije za preslikavanje teorije na cilindar i korespondencije stanje-operator kako bi se dimenzije skaliranja povezale s energetskim spektrom na cilindru. Potonje se izračunava semiklasično rješavanjem odgovarajućeg klasičnog sustava i određivanjem spektra fluktuacija oko vodeće putanje. Akcija dobivena iz klasičnog rješenja daje vodeći red anomalne dimenzije u razvoju po naboju, dok je slijedeći red određen funkcionalnom determinantom fluktuacija koja se može izraziti u terminima njihovih disperzijskih odnosa. Potvrđujemo naš pristup testiranjem rezultata do najvišeg poznatog reda u perturbacijskoj teoriji (2 petlje u razvoju po epsilon) i iskorištavamo ih za "boost" same teorije perturbacije, dobivajući potpun skup eksponenata križanja u 4 petlje u razvoju po epsilonu. Nadalje, predviđamo članove proizvoljno visokog reda u razvoju po epsilonu, koji se mogu koristiti za provjeru budućih dijagramskih izračuna. Poglavlje zaključujemo raspravom o nastanku faze nalik supratekućini u limesu velikog naboja i povezane pojave univerzalnih doprinosa u razvoju po velikog naboju. Konačno, raspravljamo o ograničenjima metoda velikih naboja, s naglaskom na njihovu relevantnost za eksperiment. Konkretno, provodimo heurističku analizu kako bismo odredili raspon vrijednosti naboja takve da je razvoj po naboju pod nadzorom. Zatim idemo između četiri i šest dimenzija, gdje O(N) kvartični model teče u asimptotski sigurne [28,29] UV fiksne točke pri negativnim vrijednostima konstanti vezanja [30], za što se vjeruje da igra relevantnu ulogu u AdS / CFT-u (višeg spina) [31, 32]. Zanimljivo je da se odnedavno nagađa dualan opis te kritične teorije u terminima IR fiksne točke u O(N)-invarijantnoj teoriji s N+1 polja i kubičnim potencijalom [33, 34]. U petom poglavlju istražujemo ova nagađanja pomoću razvoja po naboju, argumentirajući u prilog jednakosti velikih sektora naboja dvaju modela u 6−ε dimenzija. Konkretno, uspoređujemo dimenzije skaliranja operatora velikih naboja do prvog reda nakon vodećeg u razvoju po naboju i pronalazimo slaganje. Izračun dimenzija skaliranja u kubnom modelu srodan je onom izvedenom u četvrtom poglavlju. Budući da naši rezultati resumiraju beskonačni red Feynmanovih dijagrama, te uključuju beskonačnu familiju kompozitnih operatora, značajno proširujemo prethodne testove ekvivalencije dvaju modela. To pokazuje kako metode velikih naboja mogu biti korisne u ispitivanju dualnosti u kvantnoj teoriji polja. Nadalje, analiziramo pojavu kompleksnih dimenzija skaliranja iznad kritične vrijednosti naboja. Takva kritična vrijednost netrivijalno je određena parametrom N i brojem prostorno-vremenskih dimenzija. Raspravlja se o odnosu doprinosa instantona slobodnoj energiji modela. U šestom poglavlju koristimo razvoj po naboju da bismo proučili dinamiku U(N) × U(M) modela, relevantnih za fiziku elementarnih čestica i kozmologiju [35–37]. Konkretno, kada imamo N = M = 2, ovaj model opisuje standardni Higgsov model, a u općenitom slučaju N = M opisuje kiralan fazni prijelaz na konačnoj temperaturi u kvantnoj kromodinamici (QCD) [36, 38]. Uz fenomenološke primjene, imamo dvije različite motivacije za razmatranje ovog modela. Prvo, u ovoj je teoriji moguće analizirati utjecaj konfiguracije naboja na razvoj po naboju za CFT podatke. Štoviše, u velikom dijelu svog prostora parametara, i u 4−ε dimenzije, ova teorija ne teče ni u jednu fiksnu točku za realne vrijednosti njezinih dviju konstanti vezanja nego sadrži dvije kompleksno konjugirane fiksne točke. Odgovarajući kompleksni CFT nije unitaran i povezan je s pojavom blizu konformnog ponašanja tzv. walking tipa u teoriji [39, 40]. Uspješnom primjenom metoda velikih naboja ilustriramo, stoga, kako koristiti ove alate temeljene na CFT-u u računanju funkcija renormalizacijske grupe čak i u teorijama bez fiksnih točaka. Nadalje, raspravljamo o uvjetima pod kojima korespondencija stanje-operator i Weylovo preslikavanje vrijede u neunitarnim CFT-ovima. U istom poglavlju pokazujemo kako mijenjajući konfiguraciju naboja možemo bez pomoći dijagramskih proračuna pristupiti anomalnoj dimenziji različitih operatora koji se transformiraju u skladu s različitim ireducibilnim reprezentacijama globalne grupe simetrije. To ilustrira posebnu učinkovitost metoda velikih naboja s obzirom na konvencionalni razvoj po Feynmanovim dijagramima kada se radi o teorijama s uključenim neabelovim grupama simetrije, kao što je U(N) × U(M). U tu svrhu upotpunjujemo semiklasični pristup razvijanjem opće strategije koja je sposobna identificirati, za danu konfiguraciju naboja, operator fiksnog naboja s minimalnom dimenzijom skaliranja, koja, putem korespondencije stanje-operator, odgovara osnovnom stanju teorije na cilindru. Zapravo, kao što ćemo vidjeti u tom poglavlju, energija osnovnog stanja (a time i pripadajuća dimenzija skaliranja) može se tada lako izračunati semiklasično kao funkcija konfiguracije naboja. Naša je strategija ukorijenjena u teoriji reprezentacije Liejevih grupa, a poduprta je eksplicitnom konstrukcijom relevantnih operatora. Kao nusprodukt naših analiza dobivamo mnogo novih rezultata o spektru anomalnih dimenzija u modelu U(N) × U(M). Rezultate testiramo uspoređujući ih s literaturom, izvodeći dijagramske izračune te uzimajući određene limese u prostoru parametara gdje model se pojednostavljuje.

Proširili smo Carlipov konformni pristup za računanje entropije crnih rupa za Einsteinovu gravitaciju na općenitiju klasu Lagrangiana s proizvoljnom ovisnošću o Riemannovom tenzoru (bez derivacija). Konformni pristup se sastoji u identificiranju difeomorfizama koji djeluju blizu horizonta stacionarne crne rupe, zajedno sa rubnim uvjetima na horizontu, koji zadovoljavaju Virasoro algebru s neisčezavajučim centralnim nabojem. Gustoća kvantnih stanja, a prema tome i entropija, se može naći koristeći Cardyjevu formulu. Eksplicitna rješenja za rotirajuće crne rupe za ove teorije još nisu poznata, pa je potrebno pretpostaviti odredena svojstva u blizini horizonta. Račun je napravljen na dva načina koja se razlikuju u pretpostavkama korištenim za geometriju u blizini horizonta. U oba slučaja rezultati za entropiju su kompatibilni s klasičnom Bekenstein-Hawking-Waldovom formulom za entropiju. Diskutiran je jedan primjer Lagrangiana koji sadrži derivacije Riemannovog tenzora.

Razmatran je zatvoreni XXZ Heisenbergov lanac invarijantan na SU(2)_q kvantnu grupu sa nelokalnim rubnim uvjetom. Hamiltonijan je rješen Betheovom metodom. Analizirana je struktura osnovnog stanja i izračunata je konformna anomalija. Izračunata je particijska funkcija za stanja u ``dobrom'' sektoru i pokazano je da vodi na statističke modele sa netrivijalnim rubnim uvjetima. Ti modeli u limesu neprekinutosti vode ne minimalne unitarne konformne teorije polja.