Search

In this paper, we find optimal constants of a special class of Gagliardo–Nirenberg type inequalities which turns out to interpolate between the classical Sobolev inequality and the Gross logarithmic Sobolev inequality. These inequalities provide an optimal decay rate (measured by entropy methods) of the intermediate asymptotics of solutions to nonlinear diffusion equations.

In this Thesis, we study the real interpolation of Sobolev spaces and its applications. It is composed of two parts. In the first part, we prove in the first chapter that the non homogenous (resp.homogeneous) Sobolev spaces W^1_p defined on a complete Riemannian manifold satisfying the doubling property and admitting a Poincare inequality, form a real interpolation scale on an interval of values of p. We extend this result to other geometric frame. In a second chapter, we compare different Sobolev spaces defined on the euclidean cone and see how they behave with repect to the interpolation. With this example, we show tha Poincaré inequality is not a necessary condition to interpolate sobolev spaces. In the last chapter of this part, we define the non homogeneous (resp. homogeneous) Sobolev spaces W^1_p,V associated to positif potential V on a Riemmanian manifold. We prove that if the manifold satisfies the doubling property and admits a Poincaré inequality and if V belongs to a Reverse Holder class, these Sobolev spaces form a real interpolation scale on an interval of values of p. We also extend this result to the case of Lie groups. In the second part, in the first chapter in collaboration with E. Russ, we sutdy on a graph satisfying the doubling property and Poincaré inequality, the L^p boundedness of the Riesz transform for p>2 and its reverse inequality for p, Dans cette thèse, nous étudions l'interpolation réelle des espaces de Sobolev et ses applications. Le manuscrit est constitué de deux parties. Dans la première partie, nous démontrons au premier chapitre que les espaces de Sobolev non homogènes W^1_p (resp. homogènes ) sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré forment une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat à d'autres cadres géométriques. Dans un deuxième court chapitre, nous comparons différents espaces de Sobolev sur le cone Euclidien et nous regardons le lien de ces espaces avec l'interpolation. Nous montrons sur cet exemple que l'hypothèse de Poincaré n'est pas une condition nécessaire pour pouvoir interpoler les espaces de Sobolev. Dans le dernier chapitre de cette partie, nous définissons les espaces de Sobolev non homog'nes W^1_p,V (resp. homogènes ) associés à un potentiel positif V sur une variété Riemannienne. Nous démontrons que si la variété véifie la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré et si de plus V est dans une classe de Holder inverse, ces espaces forment aussi une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat aux cas des groupes de Lie. Dans la deuxième partie, dans un premier chapitre en collaboration avec E. Russ, nous étudions sur un graphe vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré, la Lp bornitude de la transformée de Riesz pour p > 2 et son inégalité inverse pour p < 2. Pour notre but, nous démontrons aussi des résultats d'interpolation des espaces de Sobolev et des inégalités de Littlewood-Paley. Dans le deuxième chapitre, nous démontrons en utilisant notre résultat d'interpolation, des inégalités de Gagliardo-Nirenberg sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant le doublement, des inégalités de Poincaré et pseudo-Poincaré. Ce résultat s'applique aussi dans le cadre des groupes de Lie et des graphes.

This thesis studies the generalization of improved Gagliardo Nirenberg inequalities on stratified Lie groups. In the Euclidian case there are three methods according to the value of p, who characterizes the space of Sobolev. The first series of this inequalities concerns the case p> 1. The demonstration of these estimations follows directly from the characterization of the functional spaces with a Littlewood Paley analysis. To handle the case p=1, we use the properties of the heat kernel by generalizing the pseudo inequality of Poincaré. This case also allows the study of the space of the fonctions of bounded variation BV. But this method does not allow us to consider a space of Sobolev in the left member of the inequality. The third method of demonstration relies on a decomposition with wavelettes. The generalization of this result to the Heisenberg group remains opened.; Cette thèse étudie la généralisation des inégalités de Gagliardo Nirenberg précisées sur les groupes de Lie stratifiés. Dans le cas euclidien il existe trois méthodes en fonction de l'exposant p qui caractérise l'espace de Sobolev. La première série d'inégalités concerne les espaces de Sobolev avec p>1. La démonstration de ces estimations découle de la caractérisation des espaces fonctionnels avec une analyse de Littlewood Paley. Pour traiter le cas p=1 il est nécessaire d'utiliser une autre technique. Nous allons utiliser les propriétés du noyau de la chaleur en généralisant la pseudo inégalité de Poincaré. Ce cas permet l'étude de l'espace de fonction BV, mais ne permet pas de considérer un espace de Sobolev dans le membre de gauche des inégalités. La troisième méthode de démonstration se base sur une décomposition en ondelettes à support compact et la généralisation au groupe de Heisenberg reste ouverte. On traite aussi des généralisations sur certains groupes de Lie et on discute une caractérisation de l'espace BV en termes d'espaces de Besov sur le groupe 2-adique

This thesis studies the generalization of improved Gagliardo Nirenberg inequalities on stratified Lie groups. In the Euclidian case there are three methods according to the value of p, who characterizes the space of Sobolev. The first series of this inequalities concerns the case p> 1. The demonstration of these estimations follows directly from the characterization of the functional spaces with a Littlewood Paley analysis. To handle the case p=1, we use the properties of the heat kernel by generalizing the pseudo inequality of Poincaré. This case also allows the study of the space of the fonctions of bounded variation BV. But this method does not allow us to consider a space of Sobolev in the left member of the inequality. The third method of demonstration relies on a decomposition with wavelettes. The generalization of this result to the Heisenberg group remains opened., Cette thèse étudie la généralisation des inégalités de Gagliardo Nirenberg précisées sur les groupes de Lie stratifiés. Dans le cas euclidien il existe trois méthodes en fonction de l'exposant p qui caractérise l'espace de Sobolev. La première série d'inégalités concerne les espaces de Sobolev avec p>1. La démonstration de ces estimations découle de la caractérisation des espaces fonctionnels avec une analyse de Littlewood Paley. Pour traiter le cas p=1 il est nécessaire d'utiliser une autre technique. Nous allons utiliser les propriétés du noyau de la chaleur en généralisant la pseudo inégalité de Poincaré. Ce cas permet l'étude de l'espace de fonction BV, mais ne permet pas de considérer un espace de Sobolev dans le membre de gauche des inégalités. La troisième méthode de démonstration se base sur une décomposition en ondelettes à support compact et la généralisation au groupe de Heisenberg reste ouverte. On traite aussi des généralisations sur certains groupes de Lie et on discute une caractérisation de l'espace BV en termes d'espaces de Besov sur le groupe 2-adique

Membres du jury: Domminique Bakry, Gilles Carron, Olivier Druet, Emmanuel Hebey (President), Michel Ledoux (directeur de these), Michel Vaugon (Rapporteur) Autre rapporteur: William Beckner; Sobolev spaces are inherent to the theory of PDEs. The embedding theorems of these spaces into the Lebesgue spaces gives the Sobolev inequalities. S. L. Sobolev introduced these notions in the 30s and they are now a fundamental tool in analysis. Some other mathematicians developed this topic.One may cite E. Gagliardo and L. Nirenberg in the 50s. The study of optimal Sobolev inequalities began with great problems in analysis such as the Yamabe problem. There exist different approaches. We are interested in two of them: the AB program and the BA program. The first one was studied by T. Aubin, O. Druet, E. Hebey and M. Vaugon. D. Bakry and M. Ledoux studied the second one in Markov semi-group theory. Sobolev inequalities are a sub-family of Gagliardo-Nirenberg inequalities. So it is natural to ask if an extension of the previous works is possible. First, a positive answer was given for Nash and Sobolev logarithmic inequalities. In this thesis, we adapt the AB program and the BA program to a larger sub-family of Gagliardo-Nirenberg inequalities including the Nash inequality.; Les espaces de Sobolev jouent un rôle central dans la théorie des équations aux dérivées partielles. Les théorèmes de plongement de ces espaces dans les espaces de Lebesgue se traduisent en inégalités dites de Sobolev. Elles sont devenues un outil fondamental en analyse. Ces notions ont été introduites par S. L. Sobolev à la fin des années~30. D'autres mathématiciens se sont intéressés à ce domaine. On peut notamment citer les travaux d'E. Gagliardo et L. Nirenberg dans les années~50. L'étude des inégalités de Sobolev optimales trouve ses origines dans de grands problèmes d'analyse tels que le problème de Yamabe. Il existe plusieurs façons d'aborder cette étude. Nous parlerons plus particulièrement de programme AB et de programme BA. Le premier programme a été étudié, entre autre, par T. Aubin, O. Druet, E. Hebey et M. Vaugon. Le second trouve sa source en théorie des semi-groupes de Markov. Il a notamment été étudié par D. Bakry et M. Ledoux. Les inégalités de Sobolev sont un cas particulier des inégalités de Gagliardo-Nirenberg. Il est donc naturel de se demander si les résultats connus pour les inégalités de Sobolev s'adaptent aux autres inégalités de la famille. Les premiers travaux de ce type se sont portés sur l'inégalité de Nash et les inégalités de Sobolev logarithmique. Dans cette thèse, nous obtenons une généralisation de ces travaux à une famille d'inégalités plus large. Plus précisément, nous adaptons les programmes AB et BA à une sous-famille des inégalités de Gagliardo-Nirenberg contenant, entre autres, l'inégalité de Nash.