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ResumoO modelo matemático que, segundo os livros de História da Matemática, é atribuído, equivocadamente ao matemático Leonardo Pisano, preserva hodiernamente um vigor irrefreável de um progresso maior de evolução e de generalidade. Não obstante, um caráter de oblívio total pode ser observado no que concerne a uma maior divulgação e, também, melhor formação do professor de Matemática, concernentemente a determinados assuntos matemáticos específicos. Diante de tal entrave, o artigo atual apresenta a descrição das análises preliminares e análise a priori de uma Engenharia Didática, com o tema quaternions (generalizados) de Fibonacci. A relevância deste assunto se evidencia, na medida em que, o mesmo pode ser encontrado apenas em artigos científicos de Matemática que reproduzem propriedades formais cifradas. Assim, com arrimo da Teoria das Situações Didáticas – TSD, o trabalho apresenta, de modo pormenorizado, um planejamento para as fases dialéticas de ação, formulação, validação e institucionalização. Por fim, a atual proposta explora elementos que balizam sua eventual aplicação e experimentação em sala de aula, tendo como público alvo, professores de Matemática em formação inicial. Palavras-Chave: História da Matemática; Sequência de Fibonacci; Investigação histórica. AbstractThe mathematical model, according to the History of Mathematics books, is attributed wrongly to the mathematician Leonardo Pisano, in our times preserves an unstoppable force for further progress of evolution and generality. Nonetheless, a complete forgetfulness character can be seen in relation to greater disclosure and also improved training of the mathematics teacher, concernentemente to specific mathematical topics. Faced with this obstacle, the current article presents a description of the preliminary analysis and a priori analysis of a Didactic Engineering, with the theme quaternions (generalized) Fibonacci. The importance of this matter is evidenced, in so far as the same can be found only in scientific articles Mathematics reproducing encrypted formal properties. So with retaining the Theory of Didactic Situations - TSD, the work presents, in detail, a plan for the dialectics stages of action, formulation, validation and institutionalization. Finally, the current proposal explores elements that guide its possible application and experimentation in the classroom, with the target audience, mathematics teachers in initial training. Keywords: Didactical Engineering; Fibonacci´s sequence; Quaternion of Fibonacci; Historical investigation.

This article presents a partial excerpt from an ongoing master's research on the methodological theoretical aspects of problems related to the content of volumes, selected from the evaluations of the National High School Exam (ENEM). The Exam consists of a test proposed by the Brazilian federal government, which aims to assess the performance of students at the end of high school, in addition to being used as a selection criterion to enter higher education. In this way, a didactic situation is proposed in the context of ENEM structured in the Theory of Didactic Situations (TSD) and subsidized by the use of the GeoGebra software as a technological resource for the construction and resolution of the problem situation on the volume of a cylinder. The didactic session was consolidated in Didactic Training Engineering (EDF) and developed to design a didactic resource for teaching and training mathematics teachers. GeoGebra was used to carry out the didactic transposition of the problem, as it benefits the student to break the difficulties inherent in the understanding and appropriation of geometric concepts. This structure facilitates didactic mediation, in addition to giving a new meaning to the study and teaching of volumes in the context of ENEM assessments.

Este trabalho possui o objetivo de apresentar uma sistematização de saberes para uma possível aplicação da gamificação no ensino da Matemática, fundamentado nas etapas do percurso metodológico da Teoria das Situações Didáticas (TSD) como metodologia de ensino. Para tanto, utilizou-se como base de metodologia de pesquisa as duas fases iniciais da Engenharia Didática (ED), referentes às análises preliminares e a priori. Ademais, usou-se como exemplo o assunto específico da extensão da sequência de Padovan para índice inteiro não positivo, com o enfoque em alunos no nível de graduação. Nesse sentido, o ponto central do trabalho não direciona-se para uma análise dos dados de uma aplicação em si, mas da demarcação de elementos representativos que pleiteiam uma sistematização e acumulação de saberes teóricos/científicos, para a formulação de uma proposta didática e metodológica no ensino da Matemática com a interação das estratégias de gamificação, TSD e ED.

Didactics of mathematics has a scientific component (descriptive, explanatory and predictive) and a technological component (prescriptive), which involves the design and experimentation of optimal educational interventions in each context and circumstances. Consequently, general educational research theories and methods are applied and developed, as well as specific and local instructional theories. In this paper we analyse three theories widely used in Didactics of Mathematics highlighting the features they incorporate related to the technological component of Didactics, that is, as theories of instructional design or didactic engineering. These are the Theory of Situations, the Anthropological Approach and Realistic Mathematics Education. Likewise, we describe the Theory of Didactic Suitability, as a component of the Onto-semiotic Approach, which addresses the axiological problem of identifying and structuring criteria for optimising mathematical instructional processes, by means of which the gap between didactic engineering and teaching practice can be bridged. Finally, the concordances and complementarities between the four mentioned theories are analysed. The clarification and comparison of the didactic suitability criteria of different theoretical frameworks and their articulation into a coherent system is a research programme that we only suggest in this article. La Didáctica de la matemática tiene un componente científico (descriptivo, explicativo y predictivo) y un componente tecnológico (prescriptivo), el cual implica el diseño y experimentación de intervenciones educativas óptimas en cada contexto y circunstancias. En consecuencia, se aplican y desarrollan teorías y métodos generales de investigación educativa, así como teorías instruccionales específicas y locales. En este trabajo analizamos tres teorías ampliamente usadas en Didáctica de la matemática destacando los rasgos que incorporan relacionados con el componente tecnológico de la Didáctica, esto es, como teorías de diseño instruccional o ingeniería didáctica. Se trata de la Teoría de Situaciones, el Enfoque Antropológico y la Educación Matemática Realista. Así mismo, describimos la Teoría de la Idoneidad Didáctica, como un componente del Enfoque Ontosemiótico, que aborda el problema axiológico de identificación y estructuración de criterios de optimización de los procesos de instrucción matemática, mediante los cuales se puede salvar la brecha entre la ingeniería didáctica y la práctica de la enseñanza. Finalmente se analizan las concordancias y complementariedades entre las cuatro teorías mencionadas. La clarificación y comparación de los criterios de idoneidad didáctica de diferentes marcos teóricos y su articulación en un sistema coherente supone un programa de investigación que apenas sugerimos en este artículo. A didática da matemática tem um componente científico (descritivo, explicativo e preditivo) e um componente tecnológico (prescritivo), que envolve a concepção e experimentação de intervenções educacionais ótimas em cada contexto e circunstância. Consequentemente, teorias e métodos gerais de pesquisa educacional são aplicados e desenvolvidos, assim como teorias instrucionais específicas e locais. Neste artigo analisamos três teorias amplamente utilizadas na Didática da Matemática destacando as características que elas incorporam relacionadas ao componente tecnológico da Didática, ou seja, como teorias de desenho instrucional ou engenharia didática. Estas são a Teoria das Situações, a Abordagem Antropológica e a Educação em Matemática Realista. Da mesma forma, descrevemos a Teoria da Idoneidade Didática, como um componente da Abordagem Ontosemiótica, que enfrenta o problema axiológico de identificar e estruturar critérios para a otimização dos processos de instrução matemática, através do qual a brecha entre a engenharia didática e a prática didática pode ser superada. Finalmente, são analisadas as concordâncias e complementaridades entre as quatro teorias mencionadas. O esclarecimento e comparação dos critérios de idoneidade didática de diferentes quadros teóricos e sua articulação em um sistema coerente é um programa de pesquisa que apenas sugerimos neste artigo.

Purpose The purpose of this paper is to experiment with ideas from didactical engineering (DE) in student teachers’ first experience with lesson study (LS). Design/methodology/approach This is a case study. Findings LS in pre-service education can be enhanced by elements from DE. Originality/value The idea indicated in the purpose is new and holds strong potential for the use of LS in teacher education.

The digital age demands re-thinking of traditional teaching and learning. Rapidly growing technological innovations in education force a paradigm shift from traditional teaching to engineering of learning. Thus, the main focus of the article is on the design, development, and implementation of effective learning environments through the use of Information and Communication Technologies in various formats: face-to-face, blended, and distance education. Engineering of learning requires new understanding and reconceptualization of traditional didactics toward e-Didactics in order to effectively design and skillfully align learning objectives, content, and assessment in the digital age classroom.

The digital age demands re-thinking of traditional teaching and learning. Rapidly growing technological innovations in education force a paradigm shift from traditional teaching to engineering of learning. Thus, the main focus of the article is on the design, development, and implementation of effective learning environments through the use of Information and Communication Technologies in various formats: face-to-face, blended, and distance education. Engineering of learning requires new understanding and reconceptualization of traditional didactics toward e-Didactics in order to effectively design and skillfully align learning objectives, content, and assessment in the digital age classroom.

International audience; This article focuses on the case study of the concept of covalent bonding for 10th grade pupils in France. On the basis of their conceptions and difficulties, didactical engineering has been established that should lead to an improvement in the understanding of this concept. After analyzing the pupils' difficulties, we reflected on the construction of the concept of bonding as it is introduced in 10th grade. We argue that the use of several semiotic registers can promote the assimilation of the concept of covalent bonding. The results show that an approach based on learning games allows pupils to take an active part in the construction of the covalent bonding concept and that the stability of this construction depends greatly on the semiotic registers mobilized.

O presente trabalho apresenta uma proposta, de cunho teórico e descritivo, para uma Engenharia Didática – ED, para um contexto do ensino de certos assuntos específicos da Análise Complexa. Dessa forma, dando ênfase às duas fases sistemáticas iniciais, nomeadamente conhecidas como análise preliminar e análise a priori, o trabalho tende a acentuar a concepção, estruturação e descrição de duas situações didáticas de ensino, afetadas pelos pressupostos da Teoria das Situações Didáticas – TSD. Desse modo, ao assumir um caráter imprescindível da habilidade de visualização, consubstanciando uma ação do aprendiz na perquirição de propriedades relacionadas com o processo de integração na variável complexa, o escrito indica, ainda, determinados aspectos que devem ser explorados com o software GeoGebra, com o escopo de evidenciar outras propriedades e significações do símbolo que extrapolam o sentido matemático logicizante.

Este artigo apresenta uma Engenharia Didática - ED, tendo em vista o ensino da noção de série de Laurent. O citado assunto se apresenta como um estudo compulsório em muitas cursos de graduação em Matemática no Brasil, no interior da disciplina de Introdução à Variável Complexa. Assim, como constituidor de um quadro assumido como referência na ED, considera a perspectiva de uma análise proporcionada pelo contexto da Transição Complexa do Cálculo - TCC, tendo em vista a identificação e registro de elementos de transição e elementos de ruptura, condicionados pelo contato de um grupo de cinco estudantes e um professor, com a Teoria das funções na variável complexa. Desenvolvido no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará - IFCE, no ano de 2015, o trabalho relata um perspectiva de complementaridade, na adoção de um design de investigação, tendo em vista o uso da Teoria das Situações Didáticas - TSD, com o escopo de descrever e estruturar situações de ensino, ancoradas numa mediação que buscou acentuar a visualização como processo impulsionador e mobilizador de conhecimentos tácitos e intuitivos dos alunos participantes da investigação. No rol dos dados coligidos e apresentados, como consequência do desenvolvimento de todas as fases prevista por uma ED, são evidenciados: a mediação do professor participante do experimento se mostrou afetada/modificada pelo uso da tecnologia (uso do software Geogebra); os estudantes manifestaram interpretações intuitivas e heurísticas, tanto na fase de análise cognitiva, bem como na etapa de experimentação, relacionadas com a noção de série de Laurent; os estudantes manifestaram um entendimento, por intermédio da visualização dinâmica da representação da série de Laurent. Ademais, os dados indicam a apropriação de certos conceitos da teoria por intermédio da língua materna e a mobilização de conhecimentos (ações gestuais e o emprego de metáforas) que extrapolam a natureza formal e estrurante do modelo matemático em discussão. This article presents a Didactical Engineering - DE, in view of the teaching of the Laurent serie´s notion. The aforementioned subject is presented as a compulsory study in many undergraduate mathematics´courses in Brazil, within the discipline of Introductory to Complex Variable. Thus, as constitutor a frame taken as reference in the DE considers the perspective of analysis provided by the Complex Transition of Calculus - CTC, in order to identify and register some transition elements and breaking elements, conditioned by a contact of five students´group and a teacher with the Theory of functions in complex variable. Developed at the Federal Institute of Education, Science and Technology of Ceara ´IFCE, in 2015. The paper reports a complementary perspective about the adoption of a research design in order to use the Theory of Didactical Situations - TSD, with the goal of describing and desiging teaching situations, anchored in a mediation that sought to accentuate the visualization as the catalyst and mobilizing process of a tacit and intuitive knowledege of the students participating of the investigation. In the list of the data collection presented, as a result of the development of all phases planned by DE, are highlighted: the mediation of the experiment participant teacher is really affected and modified by the technology´s use (the software Geogebra); the students expressed some intuitive and heuristic interpretations, both in cognitive analysis phase, and the experimentation´s phase, related to the Laurent´s series, they expressed an kind of understanding, through a dynamic visualization of the representation of Laurent´s series. Moreover, the data indicates the appropriation of a certain concept of the theory through the mother langue and the mobilization of knowledge (gestural actions and the use os methaphors) that go beyond the formal and mathematical structural model into discussion. Cest article présent un ingénièrie didactique - ID, compte tenu de l´enseignement de la notion de serie de Laurent. Le sujet mentionné ci-dessus est présenté comme une étude obligatoire dans le nombreux cours de premier cycle en Mathématiques au Brésil, dans la discipline de L´Introduction a la variable complexe. Ainsi, comme centre sur an cadre pris comme référence dans le ID, considére le point de vue de l´analyse fournie par le perspective de la Transition Complexe du Calcul - TCC afin d´identifier et d´enregistrer les élèments de transition et des élèments de rupture, conditionnés par le contact d´un groupe de cinq étudiants et le professeur devant la Théorie des fonctions de variable complexe. La recherche a se develloppé a L`Institut Féderal de L`Éducation, Science et Technologie de l´État de Ceará - IFCE, en 2015. L´article presente une perspective complementaire de l´adoption d´une conception de la recherche afin d´utilizer la Théorie des Situations didáctiques - TSD, avec le but de décrire et concevoir des situations d´enseignement, supporté dans une médiation qui a cherché et accentuer le processus mobilizateur de connaisssance tacite et intuitive des étudiantes participant à l´enquête de investigation. Dans la liste des donnés recueillies et présentées, en raison du développment de toutes les phases prévue das une ED, ils son mis en évidence: la mediation de l´enseignement participant de l´expérience se montré modifié par l´uitilisation de la technologie (l´utilisation de logiciel GeoGebra); les étudiants ont expremimé interprétations intuitives et l´heuristiques, tant en phase d´analyse congnitive et la phase d´experimentation, liée à la notion de série de Laurent, ils ont exprimé la compreéhension grâce à l´éficacité dynamique de la répresentation des séries de Laurent. En outre, les donnés indiquent l´appropriation de certains concept de la théorie à trávers de la langue maternelle et la mobilisation des connaissances (actions gestuelles et l´utilisation de métaphores) qui vont au delá du formel et le modele structurant mathématiques dans la discussion.

Teknolojinin eğitim alanında kullanımı, ülkemizde yaklaşık 2011 yılı itibariyle başlamış ve FATİH projesi ile hız kazanmıştır. Proje kapsamında ortaokul ve liselere akıllı tahta ve tabletler dağıtılmış, öğretmenlerin hizmet içi eğitimleri sağlanarak teknolojiyi etkili şekilde kullanabilmeleri amaçlanmıştır. Yapılan araştırmalar öğretmenlerin ve öğretmen adaylarının FATİH projesi kapsamında yapılan eğitimlere rağmen teknolojiyi etkili kullanmada zorluk yaşadıklarını göstermektedir. Teknolojinin derse entegre edilmesinde yaşanan problemler dikkate alındığında, öğretmenler vi için kazanımları teknoloji aracılığıyla öğrencilere kazandırma konusunda rehber olabilecek ders planlarına ve öğretim modüllerine ihtiyaç olduğu düşünülmektedir. Bu bağlamda, akıllı tahta ve dinamik geometri programları kullanılarak öteleme ve simetri konularını öğretmeyi amaçlayan bir ders modülü hazırlanarak, bu modülün öğrenciler ve öğretmenler üzerindeki etkilerinin incelenmesi amaçlanmaktadır. Bu araştırma kapsamında nitel araştırma yöntemleri kullanılmıştır. Çalışma konusu, dönüşüm geometrisi konularından belirlenmiştir. Ders planının hazırlanması, uygulamaların yapılması ve analizlerin gerçekleştirilmesi için Didaktik Mühendislik yöntemi kullanılmıştır. Sonuç olarak, ders planlarının yapılması sırasında kullanılan a-didaktik durumların öğrencilerin yaşamından olması önemli görülmektedir. Noktalı kağıt kullanımında ön hazırlık analizlerinde kullanımın açıklanması önemli görülmektedir. Öğrencilerin, kavram isimlendirmelerine öncelik verilmesi uygun görülmektedir. Somut materyal kullanımına ders planlama noktasında önem verilmelidir. Ders planlama aşamasında planlanan durumlar ile dersin işlenişi sırasında gerçekleşen durumlar arasında farklılık olması normal karşılanmaktadır. Yapılan çalışmaların sonuçlarına yönelik olarak, işlenecek derslerin planlanmasında öğretmenlerin ve akademisyenlerin birlikte çalışması önerilmektedir. İşlenen derslerin gözlemlenmesi ve sonrasında yorumlanmasında öğretmenlerin iç görüsünü ortaya çıkaracak çalışmalar yapılması önerilmektedir. A priori ve a posteriori analizlerin yapılması sırasında ortaya çıkan benzerlik ve farklılıkların değerlendirilmesinde akademi ve okul iş birliği yapılması önerilmektedir. Farklı konularda ders planları oluşturulup, didaktik mühendislik yöntemi ile değerlendirilmesi ve öğretmen adaylarına örnek ders planları sunulması önerilmektedir. The use of technology in education started in our country in 2011 and gained speed with the FATIH project. Within the scope of the project, smart boards and tablets were distributed to secondary and high schools and it was aimed to enable teachers to use technology effectively by providing in-service training. Research shows that teachers and prospective teachers have difficulty in using technology effectively despite the trainings conducted within the scope of FATİH project. Considering the problems in integrating technology into the lesson, it is thought that there is a need for lesson plans and teaching modules that can guide teachers to gain the gains through technology to students. viii In this context, it is aimed to examine the effects of this module on students and teachers by preparing a course module aiming to teach translation and symmetry subjects by using smart board and dynamic geometry programs. Qualitative research methods were used in this research. The subject of the study is determined from transformation geometry. Didactical Engineering method was used for the preparation of the lesson plan, implementation and analysis. As a result, it is important that the a-didactic situations used during the course plans are from the students' lives. It is considered important to explain the use of the dot paper in the preliminary analysis. It is considered appropriate to give priority to concept naming of students. Consideration should be given to the use of concrete material at the point of lesson planning. It is normal that there is a difference between the situations planned during the course planning phase and the situations that occurred during the course of the course. For the results of the studies, it is recommended that teachers and academicians work together in the planning of the courses to be taught. It is recommended to conduct studies that will reveal the insight of teachers in observing and interpreting the lessons. It is recommended that academy and school cooperation should be made in the evaluation of similarities and differences during the a priori and a posteriori analyses. It is recommended to prepare lesson plans on different subjects, evaluate them with didactic engineering method and present sample lesson plans to prospective teachers.

International audience; Numeration units (ones, tens, hundreds, etc.) are an epistemological foundation for place value. Here, we assume that they are a didactic support in countries where spoken numbers are incongruent with written numbers. In France, teaching practices neglect the relations between units, and numeration units are typically used only to designate the positions of digits. Our research, which adopts the didactical engineering framework, aims to develop a set of reference tasks for grades 1 to 5 to support a consistent learning of place value with numeration units. This article reports the theoretical framework on which our research is based, and illustrates it with some examples of tasks designed for grade 3 students and implemented in classrooms.

International audience; There is, in France, a long-term tradition of research in the didactics of mathematics. In this paper, we revisit this tradition using, as a specific lens, the research carried out on the educational use of digital tools and resources for teaching and learning mathematics. We first briefly introduce this tradition and the three main theories at the base of it: the theory of didactical situations, the theory of conceptual fields, and the anthropological theory of the didactic. Then, considering three different technological lenses, i.e., dynamic geometry environments, computer algebra systems, and digital resources, we show how these theories and the long-term connection established in this tradition with the fields of cognitive ergonomics and computer sciences have influenced technological research and its outcomes. We also show that, conversely, didactic technological research has led to original and influential theoretical constructions, such as the instrumental approach and the documentational approach to didactics, and that it has contributed in a substantial way to the opening of this didactic tradition to other didactic cultures and other communities, beyond the didactic one.

Although subject matter didactics did not prevail in France as it did in Western Germany in the 1960s and 1970s, the design of the mathematical content to be taught and the preparation of its teaching gave rise to numerous local and national research projects in France. Subsequently, subject matter didactics became part of the didactical engineering research method that was forged in the 1980s. After considering subject matter didactics from a praxeological point of view, this article aims at unfolding how didactical engineering emerged from a subject-focused approach and developed over time. It analyzes some of the salient features of didactical engineering by means of examples.

Registramos uma considerável atenção dedicada por parte dos autores de livros de História da Matemática (HM) concernentemente aos clássicos fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral. Por outro lado, se mostra imprescindível ao entendimento do professor de Matemática uma compreensão sobre um irrefreável processo matemático e epistemológico evolutivo dos objetos matemáticos, desde seu estádio de nascedouro até o momento atual. Assim, o presente trabalho relata uma Engenharia Didática de Formação (EDF) desenvolvida com a participação de cinco professores em formação inicial, no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia – IFCE, no ano de 2017. O tema abordado envolveu a noção de Números Generalizados de Catalan (NGC) que representa uma contribuição de vários matemáticos e a pesquisa atual sobre inúmeros problemas derivados confirmam seu processo de generalização ininterrupto. O estudo envolveu cinco tarefas e duas situações estruturadas de ensino, com o aporte da Teoria das Situações Didáticas (TSD). Os dados coligidos evidenciam várias propriedades e, sobretudo, teoremas e definições matemáticas descobertas e formuladas pelos sujeitos participantes da investigação o que concorreu para o incremento de suas habilidades profissionais e um conhecimento histórico, epistêmico e pragmático sobre a noção. We have recorded considerable attention on the part of the authors of Mathematical History (MH) books concerning the classical fundamentals of Differential and Integral Calculus. On the other hand, it is essential to the understanding of the Mathematics teacher an understanding about an unstoppable mathematical and evolutionary epistemological process of the mathematical objects, from its nascent stage to the present moment. Thus, the present work reports a Training Didactic Engineering (EDF) developed with the participation of five teachers in initial formation, in the Federal Institute of Education, Science and Technology - IFCE, in the year 2017. The topic covered involved the notion of Numbers Generalized Catalan (NGC) that represents a contribution of several mathematicians and the current research on numerous derived problems confirm its process of uninterrupted generalization. The study involved five tasks and two structured teaching situations, with the contribution of the Theory of Educational Situations (TSD). The collected data show several properties and, above all, the theorems and mathematical definitions discovered and formulated by the subjects participating in the research, which contributed to the increase of their professional skills and a historical, epistemic and pragmatic knowledge about the notion.