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Trabajo de Fin de Grado. Grado en Ingeniería Informática. Curso académico 2021-2022., [EN]En este proyecto se ha implementado una plataforma para reducir la curva de aprendizaje sobre la criptografía de las curvas elípticas. Cuenta con varios apartados donde se abordarán los conceptos acerca de las curvas elípticas de una manera mas teórica, un apartado donde se explica el uso de las curvas elípticas en un criptosistema como es Bitcoin, un simulador de envío de mensajes cifrados usando criptografía de curva elíptica, un simulador de firmado y otro de validación de firma. También hay retos disponibles para los usuarios registrados para asentar las bases de lo aprendido en la página web. La plataforma tiene dos partes: el backend y el frontend, en cuanto a la parte del frontend se ha utilizado HTML y para el backend se ha utilizado Python, más específicamente Flask, un microframework escrito en Python desarrollado para facilitar el desarrollo de aplicaciones web utilizando MVC Para el almacenamiento de usuarios se ha utilizado una librería de Python que trabaja con mysql llamada pymysql. Para el control de versiones se ha utilizado la herramienta Git, Github, [EN]In this project I have developed a platform with the aim of reducing the learning curve in terms of Elliptic Curve Criptography. It has subsections where there will be explanations of the basis of elliptic curves in a more theoretical way, others where you can find what they use elliptic curves for in a cryptosystem such as Bitcoin, a simulator where you will be able to exchange encrypted messages using elliptic curve cryptography and two interactive tools, to sign a message and the other to validate the signature. Also there are challenges for registered users to review the concepts seen on the web. The project has two parts: the backend and the frontend, in terms of the frontend I used HTML and for the backend I used Flask, developed in Python, which is a microframework used to make an easy deployment of a web application. For the user storage I used a python library called pymysql which uses Mysql. For the version control I used Git, Github

Comenzamos con un breve recordatorio sobre algunas nociones de conjuntos algebraicos, morfismos racionales y regulares. Por otro lado, veremos que la forma de Weierstrass de una cúbica tiene asociado dos elementos importantes. El primero es el discriminante τ que nos permite decidir si una cúbica es singular o no. El segundo elemento, muy importante en este trabajo, es el invariante j, cuyo nombre se debe a que éste no varía a pesar de los cambios de coordenadas que se realicen en la curva. Este elemento cobra gran importancia pues nos ayuda a reconocer cuando dos curvas elípticas son isomorfas. Y además, también nos permite contar el número de automorfismos sobre una curva elíptica dada. We start with a brief reminder on some notions of algebraic sets, rational and regular maps. On the other hand, we will see that the Weierstrass form of a cubic has two important elements associated to it. The first is the discriminant τ that allows us to decide whether a cubic is singular or not. The second element, very important in this work, is the j invariant, whose name is due to the fact that it does not vary despite the changes in coordinates that are made in the curve. This element is crutial because it helps us to recognize when two elliptic curves are isomorphic. And in addition, it also allows us to count the number of automorphisms on a given elliptic curve.

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Escudeiro Hernandes Dissertação (mestrado)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Álgebra, 2022 Neste trabalho, estudaremos o conjunto dos pontos racionais em curvas cúbicas regulares definidas sobre o corpo dos números racionais. Primeiramente apresentaremos alguns resultados sobre interseções entre curvas algébricas e mostraremos que se o conjunto dos pontos racionais de uma cúbica regular for não vazio ele admite uma estrutura de grupo abeliano. Nosso principal objetivo neste trabalho é demonstrar o Teorema de Mordell o qual garante que o grupo dos pontos racionais de uma cúbica regular é finitamente gerado. In this work we study the set of rational points in non singular cubics de_ned over the rational numbers field. Firstly we present some results concerning intersection of algebraic curves and we show that if the set of rational points of a non singular cubic is non empty then it admits an abelian group structure. Our main aim in this work is to proof the Mordell Theorem that ensures that the group of rational points of a non singular cubic is finitely generated.

A negative solution to Hilbert's tenth problem for the ring of integers $O_F$ of a number field $F$ would follow if $\mathbb{Z}$ were Diophantine in $O_F$. Denef and Lipshitz conjectured that the latter occurs for every number field $F$. In this note we show that the conjecture of Denef and Lipshitz is a consequence of a well-known conjecture on elliptic surfaces. -- Es sabido que se obtendría una solución negativa al décimo problema de Hilbert para el anillo de enteros $O_F$ de un campo de números $F$ si $\mathbb{Z}$ fuera diofantino en $O_F$. Denef y Lipshitz conjeturaron que esto último ocurre para todo $F$. En esta nota se demuestra que la conjetura de Denef y Lipshitz es consecuencia de una conocida conjetura sobre superficies elípticas., In Spanish

Orientador: Jose Raimundo de Oliveira Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação Resumo: Este trabalho propõe um sistema criptográfico para Criptografia baseada em Curvas Elípticas (ECC). ECC é usada alternativamente a outros sistemas criptográficos, como o algoritmo RSA (Rivest-Shamir-Adleman), por oferecer a menor chave e a maior segurança por bit. Ele realiza multiplicação de pontos (Q = kP) para curvas elípticas sobre corpos finitos binários. Trata-se de um criptosistema programável e configurável. Graças às propriedades do circuito programável (FPGA) é possível encontrar soluções otimizadas para diferentes curvas elípticas, corpos finitos e algoritmos. A característica principal deste criptosistema é o uso de um circuito combinacional para calcular duplicações e adições de pontos, por meio da aritmética sobre corpos finitos. Os resultados deste trabalho mostram que um programa de troca de chaves fica aproximadamente 20.483 vezes mais rápido com a ajuda do nosso sistema criptográfico. Para desenvolver este projeto, nós consideramos que o alto desempenho tem prioridade sobre a área ocupada pelos seus circuitos. Assim, nós recomendamos o uso deste circuito para os casos em que não sejam impostas restrições de área, mas seja exigido alto desempenho do sistema Abstract: This work proposes a cryptosystem for Elliptic Curve Cryptography (ECC). ECC has been used as an alternative to other public-key cryptosystems such as the RSA (Rivest-Shamir-Adleman algorithm) by offering the smallest key size and the highest strength per bit. The cryptosystem performs point multiplication (Q = kP) for elliptic curves over binary polynomial fields (GF(2m)). This is a programmable and scalable cryptosystem. It uses the abilities of reconfigurable hardware (FPGA) to make possible optimized circuitry solutions for different elliptic curves, finite fields and algorithms. The main feature of this cryptosystem is the use of a combinatorial circuit to calculate point doublings and point additions, through finite field arithmetic. The results of this work show that the execution of a key-exchange program is, approximately, 20,483 times faster with the help of our cryptosystem. To develop this project we considered that high-performance has priority over area occupied by its circuit. Thus, we recommend the use of this circuit in the cases for which no area constraints are imposed but high performance systems are required. Doutorado Engenharia de Computação Doutor em Engenharia Elétrica

Orientador: Paulo Roberto Brumatti Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: O objetivo central de estudo neste trabalho é introduzir o conceito de curvas elípticas. Tal assunto é clássico dentro da geometria algébrica e tem aplicações em Criptografia e Teoria dos Números. Neste trabalho descrevemos algumas delas: em Criptografia, apresentamos sistemas análogos aos de Diffie-Helman, Massey-Omura e ElGamal que são baseados no grupo abeliano finito de um curva elíptica definida sobre um corpo finito. Em Teoria dos Números descrevemos o método de Lenstra para descobrir fatores primos de um número inteiro, que, por sinal, também tem uma relação muito estreita com certo tipo de sistema criptográfico. Ainda em Teoria dos Números, apresentamos uma caracterização de números congruentes através da estrutura do grupo de uma determinada curva elíptica Abstract: The central objective of study in this work is to introduce the concept of elliptic curves. Such subject is classic inside of algebraic geometry and has applications in Cryptography and Number Theory. In this work we describe some of them: in Cryptography, we present analogous systems to the ones of Diffie-Helman, Massey-Omura and ElGamal that are based on the finite abelian group of an elliptic curve defined over a finite field. In Number Theory, we describe the method of Lenstra to discover prime factors of a whole number, that, by the way, also has a very narrow relation with certain type of cryptosystem. Still in Number Theory, we present a characterization of congruentes numbers through the structure of the group of one determined elliptic curve Mestrado Álgebra Mestre em Matemática

Orientador : Marco Aurelio Amaral Henriques Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação Mestrado

Orientador : Jose Raimundo de Oliveira Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação Resumo: Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de um co-processador para algoritmos de criptografia assimétrica. Trata-se de um co-processador que pode servir de base para a implementação de algoritmos de criptografia assimétrica, não apenas de um dispositivo dedicado a um único algoritmo criptográfico. Para tanto, ele dispõe de uma biblioteca de módulos de circuitos que implem~ntamrotinas básicas úteis a vários desses algoritmos. A implementação é feita em um dispositivo do tipo FPGA. Para testar o funcionamento do co-processador foi escolhido o algoritmo de criptografia assimétrica, baseado no problema do logaritmo discreto sobre curvas elípticas. Os testes práticos do coprocessador apóiam-se no uso de curvas elípticas distintas e de diferentes pontos pertencentes a cada uma dessas mesmas curvas Abstract: This work has as main objective the development of a co-processor for asymmetric cryptography algorithms. It is a co-processor that can serve for the implementation of asymmetríc cryptography algorithms. It isn't a devíce dedicated to only a cryptographic algorithm. So, it uses a library of hardware modules that implement basic routines useful to several of these algorithms. The implementation is made in a FPGA device. In order to test the operation of this co-processor, we choose the asymmetric cryptography algorithm based on tbe elliptic curve discrete logarithm problem. The practical tests of the co-processor are based on the use of distinct elliptical curves and different points over tbese same curves Mestrado Engenharia de Computação Mestre em Engenharia Elétrica

Orientador: Marco Aurelio Amaral Henriques Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Resumo: Emparelhamentos bilineares sobre curvas elípticas são funções matemáticas que viabilizam o desenvolvimento de uma série de novos protocolos criptográficos, entre eles, os criptossistemas baseados em identidades. Esses criptossistemas representam uma nova forma de se implementar criptografia de chaves públicas na qual são atenuadas ou completamente retiradas as restrições relativas ao tipo, tamanho e formato das chaves públicas. Este trabalho apresenta um estudo sobre a implementação de criptossistemas baseados em emparelhamentos bilineares sobre curvas elípticas em cartões inteligentes de oito bits. O trabalho mostra ainda o desenvolvimento de equações específicas baseadas no método conhecido como Montgomery's Ladder para multiplicação escalar de curvas elípticas supersingulares em corpos binários. Estas novas equações tornam o algoritmo mais rápido sem perder suas características de segurança originais. O trabalho apresenta também a técnica de delegação segura de emparelhamentos, na qual um dispositivo computacionalmente restrito, como um cartão inteligente, delega o cálculo do emparelhamento para um dispositivo com maior poder computacional. É proposta uma modificação nesta técnica que diminui o número de operações executadas pelo cartão inteligente Abstract: Bilinear pairings over elliptic curves are mathematical functions that enable the development of a set of new cryptographic protocols, including the so called identity based cryptosystems. These cryptosystems represent a new way to implement public- key cryptography in such a way that the restrictions related to public keys type, size and format are reduced or completely removed. This work presents a study about implementation of pairing based cryptosystems in 8-bit smart cards. It also presents new equations to be used in Montgomery's Ladder algorithm for scalar multiplication of supersingular ellipitic curves over binary fields. These equations make the algorithm faster without compromising its security characteristics. Finally, it discusses the secure delegation of pairing computation, that enables a computationally limited device, like a smart card, to delegate the computation of pairings to a more powerful device. It is proposed a modification in this technique to decrease the number of operations executed by the smart card Mestrado Engenharia de Computação Mestre em Engenharia Elétrica

Orientador: Marco Aurélio Amaral Henriques Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Resumo: Emparelhamentos bilineares sobre curvas elípticas são funções matemáticas que podem viabilizar protocolos criptográficos promissores. Porém, um fato que enfraquece o desenvolvimento destes protocolos é o alto custo computacional para calcular estes emparelhamentos. Diversas técnicas de otimização foram propostas nos últimos anos para realizar este cálculo de forma mais eficiente. Dentre estas técnicas existem as que mudam o tipo de emparelhamentos, o tipo de curvas elípticas ou a forma de cálculo dos emparelhamentos. As curvas Barreto-Naehrig são conhecidas como curvas amigáveis para emparelhamentos, pois se destacam para aplicações que buscam eficiência no cálculo dos mesmos. Este trabalho avalia em detalhes o custo das operações presentes no cálculo de alguns dos emparelhamentos mais utilizados atualmente definidos sobre curvas Barreto-Naehrig. Por meio desta análise, foi possível realizar uma comparação destes emparelhamentos no nível de operações de adição, multiplicação, quadrado, inversão e redução modular sobre um corpo finito primo e sobre um processador genérico. Os resultados mostram que de acordo com os parâmetros adotados, um dos emparelhamentos mais utilizados (Optimal Ate) pode não apresentar o melhor desempenho entre os analisados. Além disso, foi possível avaliar como o cálculo dos emparelhamentos é afetado pela adoção de diferentes processadores, desde aqueles com palavras curtas até aqueles que no futuro poderão ter palavras muito longas Abstract: Bilinear pairings over elliptic curves are functions that support promising cryptographic protocols. However, a fact that hinders the development of these protocols is their high computational cost. Many techniques seeking more efficiency in the calculation of pairings have been proposed in the last years. Among these techniques are those that change the pairing type, the curve type and/or the pairing calculation method. Barreto-Naehrig curves are known as pairing-friendly curves, because they perform well in applications that require more efficiency in the pairing calculation. This work evaluates the cost of operations present in the most used pairings that are based on Barreto-Naehrig curves. With this evaluation, it was possible to compare these pairings at the level of basic operations as addition, multiplication, square, inversion and modular reduction over a prime finite field in a generic processor. The results show that, for the security parameters adopted in this work, one of the most used pairing algorithms (Optimal Ate) is not the fastest among those evaluated. Moreover, this work estimates the impact caused in the pairing calculation by different processors, ranging from the current short-medium word processors to the future very long word ones Mestrado Engenharia de Computação Mestre em Engenharia Elétrica

El problema de los números congruentes es una de las interrogantes más antiguas de la teoría de números; siempre ha estado asociado a los catetos y al área del triángulo rectángulo. Modernamente, también se ha conectado a una ecuación cúbica Diofantina que genera curvas elípticas con puntos (x,y) ∈ Q. Esto ha permitido una serie de criterios de validación para números congruentes, pero aún se espera por un algoritmo general. Publicación en PreTeXt (web/html), Breve sobre el estado de las investigaciones referida a los números congruentes. Este artículo fue escrito en XML utilizando Notepad ++, producido con PreTeXt en CygWin. XML (eXtensible Markup Language); un meta-lenguaje que permite definir lenguajes de marcas -desarrollado por el World Wide Web Consortium (W3C). PreTeXt es un vocabulario XML para documentos académicos; puede describir el contenido y la estructura de un libro de texto, monografía o artículo académico (free; licencia GPL). CygWin es una colección de herramientas GNU -de código abierto- que proporcionan una funcionalidad similar a una distribución de Linux en Windows (free; licencia GPL y LGPL). Notepad ++ es un editor de código fuente (free; licencia GPL)., {"references":["Wiles, A. Modular elliptic curves and Fermat's last theorem. Ann. Math, 141 no. 3, 443–551, (1995).","Wiles, A. Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture (Official Problem Description). Clay Mathematics Institute, (2019).","Taylor, R., Wiles, A. Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras. Ann. of Math. (2), 141 no. 3, 553–572, (1995).","Contreras, R. La raíz cuadrada de dos —sumerios, babilonios y griegos—. DOI:10.6084/m9.figshare.9943112.v1, (2016)","Contreras, R. Curvas Elípticas, base criptográfica del Petro [versión en línea]. http://tecnologiacumanesa.blogspot.com, [10/10/2019].","Lozano-Robledo, Alvaro. Elliptic Curves, Modular Forms, And Their LFunctions. American Mathematical Society Princeton, N.J. \" Institute for Advanced Study. isbn: 9780821852422, 195 p., (2010).","Sánchez, A. M. Apuntes sobre una de las más importantes demostraciones de la historia de las matemáticas: El último teorema de Fermat. Anuario del Centro de la Universidad Nacional de Educación a Distancia en Calatayud., no. 21, 153–171, (2015).","Breui, C., Conrad, B., Diamond, F., Taylor, R. On the modularity of elliptic curves over Q: Wild 3-adic exercises. Journal of the American Mathematical Society, (2010)."]}

Orientadores: Ricardo Dahab, Julio César López Hernández Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Computação Resumo: A segurança dos sistemas de chave pública é baseada na dificuldade de se resolver certos problemas matemáticos. Com o possível surgimento de computadores quânticos de propósito geral em larga escala, vários desses problemas, como fatoração de números inteiros e a computação de logaritmos discretos, seriam eficientemente resolvidos. De forma a contornar os problemas provenientes desta perspectiva futura, a pesquisa em criptografia de chave pública resistente à ataques quânticos, também chamada de criptografia pós-quântica (PQC), surge e tem sido bastante produtiva nos últimos anos. Inúmeros candidatos vieram de encontro ao preenchimento desta lacuna e entre eles podemos citar sistemas: baseados em problemas sobre reticulados; baseados em hash criptográfico; construídos sobre a dificuldade de se achar soluções em sistemas multivariados; baseados em códigos corretores de erros; e, baseados na dificuldade de se computarem isogenias entre curvas elípticas supersingulares. Os sistemas criptográficos de chave pública baseados no problema de se computar isogenias têm se mostrado bons candidatos para a próxima geração de padrões de criptografia de chave pública no cenário da PQC. Umas das vantagens de sistemas desse tipo se dá pelo fato de possuírem chaves muito menores em relação aos concorrentes. Umas das questões que se colocam quando sistemas baseados em isogenias são construídos é a efetiva computação dos mapas no modelo em que as curvas elípticas estão representadas. A busca por fórmulas mais eficientes e seguras computacionalmente se torna um objeto merecedor de esforços por parte do pesquisador. Trabalhos anteriores apresentaram fórmulas para curvas elípticas no modelo de Weierstrass, Montgomery, Edwards, Huff e curvas Extended Jacobi Quartic. Motivados por um trabalho anterior de D. Moody e D. Shumow [33], neste trabalho, apresentamos a derivação de mapas para curvas elípticas dadas nos modelos de Intersecções de Jacobi e Twisted Hesse. Nossa derivação segue uma estratégia multiplicativa que se contrapõe à ideia aditiva apresentada na fórmula de Vélu. Por fim, apresentamos uma comparação do custo computacional para se gerar os mapas de isogenias de grau l, onde l=2k+1. Em coordenadas afins, nossas fórmulas requerem 46,8% menos computação que o modelo de Huff e 48% menos computação que as fórmulas dadas para o modelo Extended Jacobi Quartic quando da computação de isogenias de grau 3. Tomando isogenias de grau mais elevado, igual a 101, nossas fórmulas requerem 23,4% menos computação que Huff e 24.7% menos computação que a fórmula para o modelo Extended Jacobi Quartic Abstract: The security of public key systems is based on the difficulty of solving certain mathematical problems. With the possible emergence of large-scale general-purpose quantum computers, several of these problems, such as integers factorization and discrete logarithm computation, would be efficiently solved. To bypass problems from this future perspective, research into quantum-resistant public key cryptography, also called post-quantum cryptography (PQC), emerges and has been quite productive in recent years. Numerous candidates came to fill this gap and among them we can mention systems: based on problems on lattices; based on cryptographic hash; built on the difficulty of finding solutions in multivariate systems; based on error-correcting codes; and, based on the difficulty of computing isogenies between supersingular elliptic curves. Public key cryptographic systems based on the problem of computing isogenies have proved to be good candidates for the next generation of public key cryptography standards in the PQC scenario. One of the advantages of such systems is that they have much smaller keys than their competitors. One of the questions that arises when constructing systems based on isogenies is the effective computation of maps in the model in which the elliptic curves are represented. The search for more efficient and computationally safe formulas becomes an object worthy of efforts on the part of the researcher. Previous work has presented formulas for elliptic curves in the Weierstrass model, Montgomery, Edwards, Huff, and Extended Jacobi Quartic model. Motivated by an earlier work by D. Moody and D. Shumow [33], in this work, we present the derivation of maps for elliptic curves given in Jacobi Intersection and Twisted Hesse models. Our derivation follows a multiplicative strategy that contrasts with the additive idea presented in the Vélu formula. Finally, we present a comparison of computational cost to generate maps for isogenies of degree l, where l = 2k + 1. In affine coordinates, our formulas require 46.8% less computation than the Huff model and 48% less computation than the formulas given for the Extended Jacobi Quartic model when computing isogenies of degree 3. Considering higher degree isogenies as 101, our formulas require 23.4% less computation than the Huff model and 24.7% less computation than the formula for the Extended Jacobi Quartic model Mestrado Ciência da Computação Mestre em Ciência da Computação CAPES FAPESP 2014/50704-7

Submitted by Rodrigo de Paula da Silva (rodrigo.srpr@gmail.com) on 2019-09-12T00:03:31Z No. of bitstreams: 1 Curvas elípticas e o teorema de Mordell.pdf: 802240 bytes, checksum: 4b84b2b30e30cf7018ad3559667e6b10 (MD5) Rejected by Vivian Letícia Duarte Parisi (vivian.parisi@unesp.br), reason: Ao fazer a verificação de sua submissão citada abaixo constatamos que: Problema 1) Solicitamos que corrija a descrição na natureza da pesquisa(FOLHA DE ROSTO e FOLHA DE APROVAÇÃO): Dissertação apresentada como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática junto ao Programa de Pós-Graduação em Matemática do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (BILCE/UNESP), Campus de São José do Rio Preto. Problema 2) O correto é REFERÊNCIAS e não Referências Bibliográficas. Solicitamos colocar no Sumário também. Problema 3) Falta a data na FOLHA DE APROVAÇÃO, que é a data efetiva da defesa. Problema 4) A paginação deve ser sequencial, iniciando a contagem na folha de rosto e mostrando o número a partir da introdução, a ficha catalográfica ficará após a folha de rosto e não deverá ser contada. Seu trabalho tem 144f., e a Introdução ép.10 OBS:-Estamos encaminhando por email o template/modelo para que você possa fazer as correções, sugerimos que siga este modelo pois ele contempla as normas da ABNT. Sua submissão será rejeitada para que você possa fazer as correções. Lembramos que o arquivo depositado no repositório deve ser igual ao impresso, o rigor com o padrão da Universidade se deve ao fato de que o seu trabalho passará a ser visível mundialmente. Agradecemos a compreensão. on 2019-09-12T14:55:57Z (GMT) Submitted by Rodrigo de Paula da Silva (rodrigo.srpr@gmail.com) on 2019-09-16T23:06:19Z No. of bitstreams: 1 Curvas elípticas e o teorema de Mordell.pdf: 803169 bytes, checksum: d423baf992730c846d7216b4cbff2bdd (MD5) Approved for entry into archive by Vivian Letícia Duarte Parisi (vivian.parisi@unesp.br) on 2019-09-17T13:14:45Z (GMT) No. of bitstreams: 1 silva_rp_me_sjrp.pdf: 803169 bytes, checksum: d423baf992730c846d7216b4cbff2bdd (MD5) Made available in DSpace on 2019-09-17T13:14:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 silva_rp_me_sjrp.pdf: 803169 bytes, checksum: d423baf992730c846d7216b4cbff2bdd (MD5) Previous issue date: 2019-08-07 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) Faremos neste trabalho um estudo das curvas elípticas. Do primeiro capítulo até o terceiro mostraremos as principais noções para o estudo desses objetos. Alguns resultados como o teorema de Riemann-Roch serão vistos em sequência. Veremos que curvas elípticas são dadas por equações de Weierstrass juntamente com uma estrutura de grupo nesse conjunto. O conteúdo dessa teoria servirá de base para o capítulo 4, onde demonstramos o teorema de Mordell-Weil. O procedimento de descida será mostrado, em seguida veremos o teorema de Mordell-Weil sobre o corpo dos números racionais. As funções altura serão definidas e então demonstraremos nosso principal resultado. Por fim, como um apêndice, veremos um pouco de pontos integrais sobre curvas elípticas. Apresentaremos a teoria de aproximação diofantina e alguns resultados de como as funções distância podem nos ajudar num estudo métrico ou topológico por meio dessas aproximações. We will do in this work a study of the elliptic curves. From the first chapter to the third we will show the main notions for the study of these objects. Some results such as the Riemann-Roch theorem will be seen in sequence. We will see that elliptic curves are given by Weierstrass equations together with a group structure in that set. The content of this theory will serve as the basis for chapter 4, where we demonstrate Mordell-Weil’s theorem. The descent procedure will be shown, then we will see Mordell-Weil’s theorem on the field Q. The height functions will be defined and then we will demonstrate our main result. Finally, as an appendix, we will see some integral points on elliptic curves. We will present the theory of diophantine approximation and some results of how distance functions can help us in a metric or topological study through these approximations.

Eliptic curves are mathematical objects that have interesting analytic, arithmetic and algebraic properties, though we’ll focus on the algebraic and arithmetic aspects only. We can define a natural geometric group law on them. Mordell’s theorem states that the subgroup of points with rational coordinates of and elliptic curve defined over Q is abelian and finitely generated and it’s usually a good first objective in the study of these curves. The proof is not elementary and eventually, we’ll need to use some tools of algebraic number theory. Universidad de Sevilla. Grado en Matemáticas

Orientador: Prof. Dr. Claudete Matilde Webler Martins Dissertação (mestrado em Matemática)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2019 Neste trabalho estudamos dois criptossistemas de chave pública, o RSA e curvas elípticas a partir de uma adaptação do Problema do Logaritmo Discreto. São apresentados alguns embasamentos teóricos de aritmética, como estudo dos números primos e congruências. No final de cada criptossistema apresentamos um exemplo de uma mensagem/palavra criptografada utilizando o método estudado. In this work we study two public key cryptosystems, the RSA and elliptic curves from an adaptation of the Discrete Logarithm Problem. Some theorical basis of arithmetic are presented, such as study of prime numbers and congruences. At the end of each cryptosystem we present an example of an encrypted message using the method studied.

La tesis se concentra a desarrollar tres tópicos relacionados entre sí:Curvas Elípticas.Grupos p-divisibles.Modulos de Dieudonné. La primera parte del trabajo se concentrará en los aspectos más fundamentales de la teoríade las curvas elípticas. Se hará un énfasis particular en el hecho de que una curva elíptica esuna variedad abeliana: siEes una curva elíptica, entonces existe un punto específicoθ∈Eyaplicaciones•:E×E→E,i:E→E,que dotan aEde estructura de grupo abeliano. Aunque esta definición depende en principio de lasecuaciones que definen la curva, es posible introducir esa misma estructura de manera intrínseca.De hecho, el Teorema de Abel garantiza un isomorfismo de gruposE'Pic0(E), donde este últimogrupo denota el conjunto de divisores deEmodulo aquellos divisores efectivos.Después de discutir este punto, pasaremos al estudio de los puntos de orden finito sobreE.Para ello tomaremos un enteromarbitrario y consideramos el homomorfismo multiplicación pormm:E→E.El kernel de esta aplicación será denotado porE[m], que es precisamente el conjunto de puntosque son anulados por un múltiplo dem. El objetivo es mostrar queE[m]es un k-esquema en grupode ordenm2. Más aún, cuando se fija la secuencia de enterosp,p2,p3,..., es posible demostrar lossiguientes hechos:E[pn]es un k-esquema de grupos de rangop2n.in:E[pn]↪→E[pn+1]es una inmersión cerrada.La secuenciaE[pn]in→E[pn+1]pn→E[pn+1]es exacta.Lo anterior motiva la definición de gruposp-divisibles: decimos que la colección{Gn,in}n∈Nes ungrupop-divisible de alturahsi: :Gnes un k-esquema en grupos de rangophn.in:Gn↪→Gn+1es una inmersión cerrada.La secuenciaGnin→Gn+1pn→Gn+1es exacta. Denotamos el grupop-divisible de la curva elípticaE,E[p∞].Así que los gruposp-divisibles, por definición, son limites directos de esquemas en grupos derango finito. De aquí que en la segunda parte nos concentremos a estudiar losS-esquemas engrupos de rango finito, dondeS=SpecR.Nuestro propósito será discutir grupos con ciertas características esenciales para comprender elmaterial de los capítulos que siguen. Entre estos grupos se cuentan los grupos étales, multiplicativos,unipotentes y bi-conexos.Denotaremos porGFP/Sla categoría de losS-esquemas en grupos de rango finito, y porGFPET/,GFPM/S,GFPoo/S, las categorías de los grupos étales, multiplicativos y biconexos,respectivamente.La importancia de estas categorías se resume en el siguiente teorema:Teorema 1.2.1.Si k es un campo perfecto entonces,pGFP/k=pGFPM/k×pGFPoo/k×pGFPET/kDondepdenota el hecho de que solo consideraremos elementos que tienen rango una potenciadep.La última parte de la tesis está consagrada al estudio de los módulos de Dieudonné. Nuestramotivación es el siguiente hecho: seaEuna curva elíptica sobre un campo finito, que por simplicidadtomaremos comok=Fp. Sealun número primo diferente dep. Como veremos,E[ln]es unk-esquema de grupo Étale, y en consecuencia:E[ln]( ̄k)'(Z/lnZ)2,de donde definimos el modulo de Tate deEcon respecto al, comoTl(E) = lim←−E[ln]( ̄k).El limite se toma sobre el sistema proyectivo...→E[pn+1]( ̄k)p→E[pn]( ̄k)p→...→E[p2]p→E[p]( ̄k).Cuandol=p, puede suceder queE[ln]( ̄k) = 0, oE[ln]( ̄k) =Z/lnZ, por ende en el casol=pelmodulo de Tate deE,Tl(E), podría ser cero, lo cual no tendría ningún interés. Así que en este casoconsideramos el modulo de Dieudonné, que será un modulo construido a partir del grupop-divisibleE[p∞]. Como veremos, dicha correspondencia es funtorial, y es aquí donde la descomposición dadaen el Teorema 0.0.1 juega un papel destacado.Por último, mostraremos el siguiente teorema:Teorema 1.2.2.SeaEuna curva elíptica sobreFp, y sealun número primo. Sil6=p, seaMlelmódulo de Tate respecto a l. Sil=p, seaMpel módulo de Dieudonné que corresponde aE[p∞].Entonces#E(Fp) =det(1−Frobp),dondeFrobp:E→Ees dado porx7→xp, y1−Frobpdenota el morfismo inducido sobre Ml Maestría

El presente proyecto de titulación está orientado a realizar una simulación deC un algoritmo criptográfico asimétrico de clave corte utilizando el método de curvas elípticas; este trabajo de investigación está estructurado de tres capítulos. En el capítulo uno, se efectúa la descripción del presente trabajo de titulación, tales como: la justificación, antecedentes, definición del problema, objetivo general, objetivos específicos, hipótesis y, la metodología a seguir. En el capítulo dos, se desarrolla la fundamentación teórica de la Criptografía, la cual explica los orígenes de la Criptografía y, sus principales definiciones empleadas; luego se describe la Criptografía Simétrica y, el desarrollo de la Criptografía Asimétrica; se ha tratado, en cada tipo de Criptografía especificar lo más relevante de los algoritmos más empleados, lo cual no deja ser temas menos importantes de destacar. Se hace una breve referencia, al Criptoanálisis, tanto, para Sistemas Simétricos como para Asimétricos y, finalmente se hace una breve descripción en cuanto al Cifrado y, Criptoanálisis cuántico. En el capítulo tres, se realiza toda la parte teórica relacionada con la Criptografía con Curvas Elípticas; con estas bases, se hace una propuesta de modelamiento de un algoritmo asimétrico por medio de una herramienta de código abierto, finalmente, se muestran las conclusiones y, recomendaciones. The present project of study is oriented to realize a simulation of an asymmetric cryptographic algorithm of key cut using the method of elliptic curves; this research work is structured in three chapters. In chapter one, the description of the present titration work is carried out, such as: justification, background, problem definition, general objective, specific objectives, hypothesis and, the methodology to be followed. In chapter two, the theoretical foundation of Cryptography is developed, which explains the origins of Cryptography and its main definitions used; then the Symmetric Cryptography and the development of Asymmetric Cryptography are described; it has been tried, in each type of Cryptography, to specify the most relevant of the most used algorithms, which does not stop being less important subjects to highlight. A brief reference is made to Cryptanalysis, both for Symmetric and Asymmetric Systems and, finally, a brief description is made regarding Ciphering and Quantum Cryptanalysis. In chapter three, all the theoretical part related to Cryptography with Elliptical Curves is done; With these bases, a proposal of modeling an asymmetric algorithm is made by means of an open source tool, finally, conclusions and recommendations are shown.

Tesis Univ. Granada. Departamento de Geometría y Topología. Leída el 18 de junio de 2012

Este trabalho se faz através de uma breve explanação a respeito de curvas elípticas trazendo conceitos simples sobre sua álgebra e geometria. Na parte geométrica, caracterizamos uma curva elíptica com enfoque em um tipo especifico: as que estão na forma de Weierstrass. Trazemos também o Teorema de Bézout, que nos mostra não só quantos pontos em comum duas curvas elípticas podem ter, mas quaisquer classe de equivalência de polinômios, podendo ser interação entre retas, cônicas, cubicas... Na parte algébrica, voltada a demonstrar como os pontos se relacionam entre si e algumas formas de operações que podemos fazer com eles. Trazendo a demonstração de que o conjunto de pontos racionais de uma curva elíptica C formam um grupo abeliano. E ainda formas de se encontrar outros pontos dentro das curvas elípticas a partir de um ou dois pontos a ela pertencentes. This work is done through a brief explanation about elliptic curves bringing simple concepts about their algebra and geometry. In the geometric part,we characterize an elliptical curve with focus on a specific type: that are in the form of Weierstrass. We also draw the Bezout Theorem, which shows us not only how many points in common two elliptic curves can have, but any class of equivalence of polynomials, which can be interaction with straight lines, conic, cubic ... In the algebraic part, we demonstrate with the points are related to each other and some forms operations we can do with them. Bringing the proof that the set of rational points of an elliptic curve C form an abelian group. And still ways to find other points within the elliptical curves from one or two points to it.

Dada una curva elíptica racional E y un cuerpo cuadrático imaginario K que satisface la llamada hipótesis de Heegner, podemos construir puntos definidos sobre extensiones abelianas de K conocidos como puntos de Heegner. Estos puntos, que se pueden calcular explícitamente, son cruciales para entender la aritmética de la curva elíptica. Cuando el signo de la ecuación funcional de E/K es -1 se espera poder construir puntos, aún cuando la hipótesis de Heegner no se satisfaga, de acuerdo a una conjetura propuesta por Darmon. El objetivo principal de la tesis es mostrar cómo obtener estos puntos de forma tanto teórica como computacional en todos los casos en donde uno espera que exista una construcción en un álgebra de cuaterniones no ramificada. Los casos estudiados en esta tesis, que yacen fuera de la teoría clásica, son cuando la curva tiene primos no estables que son o bien inertes o ramificados en el cuerpo K. En el primer caso, la clave consiste en reemplazar a las curvas modulares clásicas por las llamadas Curvas de Cartan non-split. En el segundo caso, la técnica utilizada consiste en asociar a la curva elíptica un objeto geométrico más complicado pero en el cual la existencia de puntos de Heegner está garantizada y luego recuperar los puntos en la curva original. Given a rational elliptic curve E and an imaginary quadratic field K that satisfies the so called Heegner hypothesis, we can construct points on E defined over abelian extensions of K called Heegner points. These points, that can be explicitly computed, are crucial in order to understand the arithmetic of the elliptic curve. Whenever the sign of the functional equation of E/K is −1 we expect to find analogues of Heegner points, even if the Heegner hypothesis is not satisfied, according to a conjecture of Darmon. The main goal of this thesis is to show how to obtain these points in both a computational and theoretical way in all cases where we expect a construction to take place in an unramified quaternion algebra. The cases studied in this thesis, which are beyond the scope of the classical theory, are when the curve has unstable primes that are either inert or ramified in the field K. In the first case, the key consists in replacing the classical modular curve with the so called Cartan non-split curves. In the second case, the main technique consists in associating a more complicated geometric object to the elliptic curve, in which the existence of Heegner points is guaranteed, and then recover the points in the original curve. Fil: Kohen, Daniel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentina

Segundo a história, o objetivo principal da criptografia sempre foi oferecer segurança nas comunicações, para mantê-las fora do alcance de entidades não autorizadas. No entanto, com o advento da era da computação e as telecomunicações, as aplicações da criptografia se expandiram para oferecer além de segurança, a capacidade de: verificar que uma mensagem não tenha sido alterada por um terceiro, poder verificar que um usuário é quem diz ser, entre outras. Neste sentido, a criptografia de curvas elípticas, oferece certas ventagens sobre seu sistemas análogos, referentes ao tamanho das chaves usadas, redundando isso na capacidade de armazenamento dos dispositivos com certas limitações de memória. Assim, o objetivo deste trabalho é fornecer ao leitor as ferramentas matemáticas necessá- rias para a compreensão de como as curvas elípticas são usadas na criptografia de chave pública. According to history, the main objective of cryptography was always to provide security in communications, to keep them out of the reach of unauthorized entities. However, with the advent of the era of computing and telecommunications, applications of encryption expanded to offer security, to the ability to: verify if a message was not altered by a third party, to be able to verify if a user is who claims to be, among others. In this sense, the cryptography of elliptic curves, offers certain advantages over their analog systems, referring to the size of the keys used, which results in the storage capacity of the devices with certain memory limitations. Thus, the objective of this work is to offer the necessary mathematical tools for the understanding of how elliptic curves are used in public key cryptography. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES

En la actualidad, las redes móviles e inalámbricas de nueva generación, tales como las redes de área personal IPv6 de baja potencia (6LoWPAN), redes de sensores inalámbricos sobre IPv6 y redes móviles IPv6 jerárquicas se encuentran bajo rigurosa investigación y desarrollo, pues representan el paso por seguir en la evolución de las redes Machine-to-Machine (M2M), al tiempo que apoyan el acceso de banda ancha de la próxima generación de tecnologías y sistemas inteligentes sobre Internet futuro. Estas redes de nueva generación imponen restricciones en cuanto al poder de procesamiento, ancho de banda y recursos de energía, lo que representa una gran limitante en la implementación de mecanismos de seguridad. En este sentido, en lo últimos años han surgido diversas propuestas para la administración de claves, procedimientos de firma digital y cifrado de datos basados en curvas elípticas e híper-elípticas, que logran niveles de seguridad equivalentes a los algoritmos convencionales basados en algoritmos Dffie-Hellman y Rivest-Shamir-Adleman (RSA), pero que reducen la longitud de clave y, por ende, los recursos computacionales y de red asociados. Este artículo examina los algoritmos basados en criptografía de curvas elípticas (ECC) y su aplicación a redes móviles e inalámbricas de nueva generación habilitadas para IPv6. Así mismo, describe un modelo de simulación para la evaluación de ECC, donde se comparan los recursos computacionales necesarios y las limitaciones en mecanismos ligeros de seguridad. Currently, mobile networks and next generation wireless networks such as, IPv6 low-power Wireless Personal Area networks 6LoWPAN, wireless sensor networks and hierarchical mobile networks in IPv6, are under rigorous research and development, thereforethose networks represent the next step in the evolution of the Machine-to-Machine M2M networks, while supporting broadband access for the next generation of intelligent systems, technologies and future Internet. These next generation networks impose restrictions on the processing power, bandwidth and energy resources, which represents a major constraint in the implementation of security mechanisms. In this regard, in recent years there have been various proposals for key management, digital signature procedures and data encryption based on elliptic and hyper-elliptic curves, to achieve levels of safety equivalent to conventional algorithms based on Diffie-Hellman and Rivest-Shamir-Adleman RSA, but reducing the key length and thus the computational and network resources. This paper reviews algorithms based on Elliptic Curves Cryptography ECC and their application to IPv6-enabled new generation wireless networks. This paper also describes a simulation test-bed for the evaluation of ECC, where we compare computational resources required and limitations for lightweight security mechanisms in secure neighbor discovery, and DNS security extensions.

Este trabajo está dedicado a estudiar cualitativamente las soluciones de problemas semilineales elípticos sobre dominios que no tienen frontera analítica. Para esto examinamos el conjunto crítico de la solución. Arango y Gómez demuestran que en un dominio anular con frontera analítica, el conjunto de puntos críticos de la solución de un problema elíptico que modela la deflexión de una membrana sujeta en el borde, está formado por un número finito de puntos críticos aislados y un número finito de curvas de Jordan. En esta investigación se generalizará el resultado a dominios anulares con frontera interior poligonal. La herramienta principal para obtener la generalización es el estudio de las líneas nodales asociadas a la solución del problema elíptico. También usamos las líneas nodales para concluir que la solución del problema de contorno 3-dimensional sobre un Toroide y con la condición de Dirichlet nula en la frontera, tiene una única curva crítica y no tiene puntos críticos aislados. Por otra parte, usamos planos móviles para obtener una subregión del dominio sobre la cual la solución al problema de contorno no tiene puntos críticos. Además, al combinar la técnica de los planos móviles y de la transformada Kelvin logramos probar que los vértices interiores de algunos dominios anulares no son puntos de acumulación de puntos críticos. Doctorado DOCTOR(A) EN CIENCIAS - MATEMÁTICAS

En la actualidad, el auge de las aplicaciones de las redes de sensores inalámbricos (WSN = Wireless Sensors Networks) está generando una gran cantidad de información de carácter sensible que requiere un manejo confiable mediante la implementación de sistemas de seguridad de los datos compatibles con la naturaleza de estas redes. En ese sentido, cada vez más aumenta el interés por el uso de algoritmos de criptografía de clave pública con curvas elípticas (ECC = Elliptic Curve Cryptography) como una alternativa de menor consumo de recursos computacionales comparado con los algoritmos tradicionalmente usados, como por ejemplo, RSA (Rivest-Shamir-Adleman), Diffie-Hellman, otros. En este artículo, se revisa la construcción de un prototipo de sistema de seguridad usando ECC para la firma digital de datos (ECDSA = Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) usando un control lógico basado en redes definidas por software (SDN = Software Defined Networking) para el control de funcionalidades básicas y que permita ajustar en tiempo real los parámetros del algoritmo ECDSA según el tipo de aplicación de la WSN.

CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Este trabalho tem como objetivo apresentar aos alunos do 3o ano do ensino médio, uma aplicaçãodamatemáticaàcriptografiaatravésdecurvaselípticas,comointuitodereforçar alguns conteúdos já estudados tais como: funções, construção de gráficos, polinômios e equações algébricas, geometria analítica. Criptografia é um tema atual e de grande relevância, visto que é amplamente utilizada na web para: segurança ao autenticar os usuários ao lhes fornecer acesso, na proteção de transações financeiras e em redes de comunicação. Acreditamos que, ao introduzir o conceito de criptografia através de curvas elípticasdemaneirasimpleseintuitiva,osalunossesentirãoentusiasmadosaoperceberque a matemática estudada por eles é de grande importância para a aplicação em fenômenos próximos a eles no dia a dia. This paper aims to introduce students to the 3rd year of high school, a math application to encryption using elliptic curves, for the purpose of increasing some studies such as: functions,graphicsconstructions,polynomialsandalgebraicequations,analyticalgeometry. Encryption is a current topic of great importance, since it is widely used on the web for: securitybyidentifyingusersbyprovidingthemaccess,financialtransactionsprotectionand network communication. We believe that through introducing the concept of encryption using elliptic curves in a simple and intuitive way, the students feel excited to realize that mathematics studied by them is a great importance to the application in situations near them on a daily basis.

RESUMEN: Hace décadas comunicarse mediante un dispositivo que estuviera conectado a una red cableada requería una larga espera y aun así resultaba algo fantástico. Actualmente tenemos la posibilidad de realizar un gesto en cualquier lugar y ponernos en contacto con alguien a cientos o miles de kilómetros. En este sentido, las comunicaciones han evolucionado de una forma increíble. La seguridad en estas comunicaciones es primordial. Debido a esto, el uso de la criptografía es un elemento vital para salvaguardar la privacidad de los usuarios y la del contenido. La criptografía no se ha quedado atrás y durante el último siglo su progreso ha seguido un ascenso vertiginoso al igual que el de los sistemas de comunicación. Desde los métodos más primitivos basados en cambiar una letra por la anexa; hasta complejos sistemas criptológicos (criptosistemas) que aprovechan ciertas propiedades matemáticas para preservar niveles de seguridad elevados con el gasto de menos recursos (computacionales y de almacenamiento). Optimizar los recursos es esencial para ser competitivo; y para ello la metodología de criptografía basada en curvas elípticas reduce sensiblemente la cantidad de almacenamiento necesaria respecto a otros algoritmos. De la mano va la tecnología NFC (Near Field Communication), la cual ha simplificado los dispositivos de comunicación en algo tan pequeño y barato que ha conquistado el planeta en forma de multitud de aplicaciones. En este Trabajo Fin de Grado (TFG a partir de ahora), propondremos una solución para elaborar sistemas seguros con dispositivos de comunicación de bajo coste y criptología avanzada. A su vez, se implementará una aplicación para smartphones que, gracias a algoritmos avanzados de criptografía, permitirán a un usuario crear y utilizar un tag NFC como dispositivo de autenticación de alta seguridad en un sistema ficticio. ABSTRACT: Only decades ago, it was really hard to communicate people telematicaly with each other, even transmit voice was impressive. Nowadays we have the opportunity to make a movement anywhere and put you in contact with someone at hundred or even thousands kilometers. This shows how the communications have evolved in an incredible way. The security on these communications is essential. Due to this, implementing cryptographic systems is vital to preserve the users and content privacy. Cryptography has evolved at a fast pace since 1980 and during last century its progress has follow a huge rise as communication systems did. From the most primitive methods of letter trans- position to high complexity cryptographic systems (cryptosystems), the goal is to preserve a nice security level without spending a lot of resources (time and storage resources). It is essential to optimize the resources to be competitive; cryptosystems based on elliptic curves cut down noticeably the storage needs compare to others. Going in the same direction, the NFC technology (Near Field Com- munication) has simplified the communication devices, building cheaper and smaller ones. This technology has conquer the world with a lot of applications. On this bachelor thesis, we propose a solution to make secure systems with low-cost communication devices and advanced cryptography. Furthermore, we have programmed a smartphone application which let the user to make and use a NFC tag as high security authentication device on a made-up system. Grado en Ingeniería Informática

Un reto planteado en criptografía se conoce como ECCp-79, una curva sobre un campo primo de 79 bits de tamaño. En 1997 Robert Harley y Wayne Baisley, lograron resolver dicho reto. El objetivo principal de este trabajo es resolver el reto ECCp-79 en curvas de diferentes grados de dificultad.

From Fermat s last theorem we know that the equation X3 +Y 3 = Z3 does not have nontrivial integral solutions. In 1769 Euler conjectured that this result may be generalized increasing the powers and the number of variables. In this work we give a counterexample to Euler s conjecture in the case of n = 4 showing that the equation A4 + B4 + C4 = D4 has nontrivial integral solutions. To do that we study plane algebraic curves, elliptic curves and use results from number theory, especially those on quadratic reciprocity. The quadratic reciprocity is the key factor in the choice of a particular elliptic curve, such that a solution in that elliptic curve becomes a nontrivial solution of the Euler s equation with n = 4. Finally, the arithmetic of the elliptic curves allows us to find infinite integral solutions for A4 + B4 + C4 = D4. Do último teorema de Fermat sabemos que a equação X3+Y 3 = Z3 não possui soluções inteiras não triviais. Euler conjecturou em 1769 que este resultado pode ser generalizado aumentando a potência e o número de variáveis. Neste trabalho damos um contra-exemplo para a conjectura de Euler no caso n = 4 mostrando que a equação A4+B4+C4 = D4 possui soluções inteiras não triviais. Para tal estudamos curvas algébricas planas, curvas elípticas e usamos resultados da teoria dos números, em especial sobre a reciprocidade quadrática. A reciprocidade quadrática é peça chave na escolha de uma curva elíptica particular, de tal forma que uma solução nesta curva elíptica, se torna uma solução não trivial da equação de Euler para n = 4. Por fim, a aritmética da curva elíptica nos permite encontrar infinitas soluções inteiras para A4 + B4 + C4 = D4. Mestre em Matemática

Se describe brevemente el nacimiento y los principales hitos en el desarrollo histórico de la Criptografía con Curvas Elípticas, sus fortalezas y vulnerabilidades. Se examinan las condiciones exigibles a una curva elíptica para ser criptográficamente fuerte y las estrategias para encontrar tales curvas. Finalmente se analiza el caso particular de la Criptografía con Curvas Elípticas en el contexto de las tarjetas inteligentes. Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el proyecto de investigación MTM2010-21580-C02-02 del Ministerio de Economía y Competitividad.

La Criptografía Basada en la Identidad hace uso de curvas elípticas que satisfacen ciertas condiciones (pairingfriendly curves), en particular, el grado de inmersión de dichas curvas debe ser pequeño. En este trabajo se obtienen familias explicitas de curvas elípticas idóneas para este escenario. Dicha criptografía está basada en el cálculo de emparejamientos sobre curvas, cálculo factible gracias al algoritmo de Miller. Proponemos una versión más eficiente que la clásica de este algoritmo usando la representación de un número en forma no adyacente (NAF). Este trabajo ha sido financiado por el Ministerio de Economía y Competitividad con los proyectos MTM2010-21580-C02-01/02 y MTM2010-16051.

Dadas las restricciones en capacidad de procesamiento y memoria de las redes inalámbricas y a la necesidad de garantizar la identidad de los usuarios de dichas redes se propone un sistema de firma digital usando curvas elípticas. Con estas curvas se pueden alcanzar niveles de seguridad similares a los de sistemas criptográficos convencionales, con un consumo de recursos menor. Debido a las restricciones en tiempo de desarrollo, se trabajó con un procesador digital de señales (DSP), y entre las opciones disponibles, se escogió el C6713 de la Texas Instruments, por su documentación y características. Asimismo, se utilizó la librería Criptográfica MIRACL, con la que se necesitaron 763.762 ms para la generación de las llaves, 45.303 ms para la generación de la firma y 59.675 ms para la verificación de la firma. Se encontró de esta forma, la viabilidad de montar un sistema de firma digital en el dispositivo C6713 en particular, con tiempos comparables a los de sistemas en Hardware similares. Abstract. Taking in account the restrictions both in processing capability and memory, and the need of providing the users identity in Wireless Networks, it is proposed a digital signature system that uses elliptic curves. With these curves it is possible to reach similar security levels with respect to the conventional cryptographic systems, with less resources. Due to the restrictions in development time, the work was done with a Digital Signal Processor (DSP), between the available options it was chosen the C6713 device of Texas Instruments due to the documentation and characteristics. Besides, the Cryptographic library Miracl was used, with this library the key setup took 763.72 ms, the signature generation took 45.303 ms, and the signature generation took 56.975 ms. In this way, it was found the feasibility of implement a digital signature system in the C6713 device, with comparable times with respect the similar Hardware systems. Maestría

El presente trabajo consiste en el estudio de diferentes algoritmos matemáticos para lograr la factorización de enteros grandes, que son de trascendencia por su eficiencia y rapidez. En las últimas décadas hemos visto la llegada del poder de la computación, que cada vez se ha hecho más accesible y más rápido; y nos encontramos con que ese crecimiento en el poder de cómputo no ha resuelto el problema de la factorización; ha dejado en evidencia que el reto matemático de la factorización requiere estudio e investigación. Iniciamos este trabajo enfatizando en el problema de factorizar y su trascendencia de hacerlo, luego continuamos con una pequeña reseña de los aportes de algunos matemáticos desde la época griega como Euclídes, Eratóstenes y el gran aporte de Fermat con su pequeño gran teorema concido como el pequeño Teorema de Fermat y su aplicación al sistema criptográfico RSA de vigencia actual si de proteger información se trata, por medios inseguros, como lo es internet. En realidad son inumerables los matemáticos que han investigado en el reto de factorización de los enteros, algunos sin obtener frutos y otros con resultados muy pocos trascendentes, mostraremos algunos de los más relevantes. Luego, presentamos una serie de resultados de algebra básicos como Fracccions Continuas, entre otros temas, como el método de rho de Pollar y otros temas nada básicos como la teoría de Curvas Elípticas que constituyen el cimiento donde descanza el estudio de los los tres algoritmos más significativos en cuanto a factorización.

En la criptografía de clave pública actual el uso de curvas elípticas es cada vez más habitual debido a que ofrecen una seguridad similar a los ya utilizados cuerpos finitos, pero con unas claves más cortas. Por otra parte, la introducción de los apareamientos sobre curvas elípticas ha hecho posible, a cambio de un coste computacional más alto, el desarrollo de soluciones a nuevos escenarios criptográficos. En este trabajo final de máster describimos y completamos el trabajo hecho por Costello et al. sobre una optimización en el cálculo de apareamientos basada en precálculos, especialmente útil en la criptografía de clave pública donde un argumento del apareamiento es fijo. Hemos completado detalles sobre el análisis computacional e implementado la optimización en una librería ya existente para poder comparar y analizar el coste de los precálculos y de cada evaluación.. Es tractaria de fer una anàlisi, tant teòrica com pràctica, d'algunes optimitzacions existents (o variacions que trobi l'estudiant) per millorar el temps de càlcul dels "bilinear pairing", un objecte matemàtic definit sobre corbes el·líptiques que està trobant un gran número d'aplicacions en l'àrea de la criptografia