Search

Рассматриваются представляющие интерес с точки зрения механики микрополярных континуумов тензоры с постоянными компонентами, полуизотропные тензоры и псевдотензоры. Обсуждаются свойства и способы координатного представления тензоров и псевдотензоров с постоянными компонентами. На основе неконвенционального определения полуизотропного тензора четвертого ранга приводится координатное представление в терминах дельт Кронекера и метрических тензоров. Выясняются условия приведения произвольного (arbitrary) полуизотропного тензора четвертого ранга к тензору с постоянными компонентами. Координатные представления для определяющих тензоров и псевдотензоров, использующихся при математическом моделировании линейных гемитропных микрополярных континуумов, даны в терминах метрического тензора. Устанавливаются условия ковариантного постоянства псевдотензоров с постоянными компонентами и полуизотропных тензоров.

Обсуждаются вопросы ковариантного постоянства тензоров и псевдотензоров произвольной валентности и веса в евклидовом пространстве. Приводятся минимально необходимые сведения из алгебры и анализа псевдотензоров. Выясняются условия ковариантного постоянства псевдотензоров. Рассматриваются примеры ковариантно постоянных тензоров и псевдотензоров из многомерной геометрии. Речь, в частности, идет о фундаментальном ориентирующем псевдоскаляре, целые степени которого удовлетворяют условию ковариантного постоянства. В работе продемонстрировано, что тензоры дисторсии и обратной дисторсии на самом деле не являются ковариантно постоянными, в противовес указаниям на ковариантное постоянство дисторсии и обратной дисторсии, которые встречаются в литературных источниках по нелинейной механике континуума.

Обсуждаются определяющие псевдоскаляры, связанные с теорией гемитропного микрополярного континуума. Приводятся основные понятия алгебры псевдотензоров. Определяется псевдотензорная форма гемитропного микрополярного упругого потенциала, основанная на 9 определяющих псевдоскалярах (из них 3 псевдоскаляра и 6 абсолютных скаляров). Вычисляются веса определяющих псевдоскаляров. С помощью фундаментального ориентирующего псевдоскаляра веса \(+1\) формулируются правила преобразования определяющих псевдоскаляров. Выводятся определяющие уравнения гемитропного микрополярного упругого континуума. Обсуждаются уравнения динамики гемитропного микрополярного континуума в терминах псевдотензоров в право- и левоориентированных декартовых системах координат. Показано наличие инверсных мод наряду с прямыми при распространении волн по гемитропному микрополярному континууму.

The paper is devoted to the constitutive pseudoscalars associated with the theory of hemitropic micropolar continuum. The basic concepts of pseudotensor algebra are presented. The pseudotensor form of the hemitropic micropolar elastic potential is given, based on 9 constitutive pseudoscalars (3 are pseudoscalars and 6 are absolute scalars). The weights of the constitutive pseudoscalars are calculated. The fundamental orienting pseudoscalar of weight \(+1\) is used to formulate transformation rules for constitutive pseudoscalars. The governing equations of the hemitropic micropolar elastic continuum are derived. The equations of the dynamics of the hemitropic micropolar continuum are discussed in terms of pseudotensors in right- and left-handed Cartesian coordinate systems. The presence of inverse modes along with normal ones is shown for wave propagation across the hemitropic micropolar continuum.

Coupled equations of hemitropic thermoelastic micropolar continuum formulated in terms of displacement vector, microrotation vector and temperature increment are considered. Thermodiffusion mechanism of heat transport is assumed. Hemitropic thermoelastic constitutive constants are reduced to a minimal set retaining hemitropic constitutive behaviour. Coupled plane waves propagating in thermoelastic media are studied. Spatial polarizations of the coupled plane waves are determined. Bicubic equations for wavenumbers are obtained and then analyzed. Three normal complex wavenumbers for plane waves are found. Equations relating to the complex amplitudes of displacements, microrotations and temperature increment are obtained. Athermal plane waves propagation is also discussed. It is shown that polarization vectors and the wave vector are mutually orthogonal. Wavenumbers are found as roots of a biquadratic equation. For athermal plane wave depending on the case two or single real normal wavenumbers are obtained.

Рассматривается геометрически линейная модель микрополярного упругого тела (моментного континуума, континуума Коссера). Обсуждаются подходы к моделированию деформации таких континуумов. В качестве мер деформации выбираются: симметричный тензор малой деформации, вектор относительного микровращения и пространственный градиент вектора полного микровращения. Сформулированы принцип виртуальных перемещений и его обобщение, полученное с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа, на основе которых выполнено построение микрополярной теории упругости. Важнейшей отличительной особенностью выступает отсутствие в вариационном уравнении вкладов работ внутренних силовых факторов, что позволяет придать принципу виртуальных перемещений весьма простую аналитическую форму. Подробно исследуется модель гемитропного микрополярного тела. Работа может рассматриваться как скрипт основных уравнений теории линейной микрополярной упругости, которые последовательно выводятся из принципа виртуальных перемещений с помощью правила множителей Лагранжа и в итоге образуют универсальную ковариантную формулировку всей теории.

On May, 24, 2017 the 60th jubilee of Prof. A.V. Manzhirov was celebrated at Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences. Prof. A.V. Manzhirov is known as a prominent scientist in the field of mechanics and applied mathematics. The principal directions of his academic activity are Mechanics of Growing Solids, Theory of Creep and Viscoelasticity, Biomechanics, Contact Mechanics, Tribology, Integral Equations and their numerous applications. The present dedication is devoted to the Prof. A.V. Manzhirov’s scientific biography and contains the list of his selected publications.

Dyuis D. Ivlev (1930-2013) is an outstanding scientist in the fields of Continuum Mechanics (theory of Perfect Plasticity and Fracture) and AppliedMathematics. He has much contributed to the mathematical theory of plasticity, especially to study of hyperbolic three-dimensional problems of theperfect plasticity. Dyuis D. Ivlev was born in Chuvashia Republick, Russia, on September 6, 1930. In 1948 he left Chuvashia and after passing examinations entered Moscow State University. He is a Mechanical Engineering graduate(1953) of Moscow State University. In 1953 he continued his research workas a post graduate student of the same university. In 1956 he received PhDin Solid Mechanics from Moscow State University. The title of his PhD dissertation work is Approximate Solution of Elasti-Plastic Problems by thesmall parameter method. Three years later he was awarded DSc (Phys. &Math.) Degree from Moscow State University for his dissertation study Three-Dimensional Problem of the Theory of Perfect Plasticity. Since 1959he has been working as head of the Department of Elasticity and Plasticityof Voronezh State University, then (1966-1970) as Prof. of Bauman StateTechnical University and (1971-1982) as head of the Department of Higher Mathematics of Russian Polytechnical University. In 1982 he returned toChuvashia working in Chuvash State University (until 1993) and ChuvashState Pedagogical University (1993-2013) as head of Department of Mathematical Analysis. Prof. Dyuis D. Ivlev has been a member of National Committee on Theoretical and Applied Mechanics, Scientific Council on Problems of SolidMechanics, Mathematics and Mechanics Expert Council of the Higher Attestation Committee. He is the author of several books on theory of perfectplasticity and its applications and nearly 250 papers on the subject.

В представляемой работе приводится построение полной системы независимых ротационно-инвариантных функциональных аргументов для лагранжиана нелинейного микрополярного (микроморфного) термоупругого континуума второго типа, который включает тензор конечной деформации Коши-Грина, температурное смещение, референциальный градиент температурного смещения, три вектора экстрадеформации и три несимметричных тензора экстрадеформации второго ранга. Дополнительные (экстра) реперы, связанные с микроэлементами, предполагаются нежесткими, что допускает наиболее общую аффинную экстрадеформацию микроэлементов континуума. Исходя из принципа наименьшего действия Гамильтона получены 4-ковариантные уравнения термоупругого поля в микрополярном континууме в канонической форме Эйлера-Лагранжа. Сформулированы дифференциальные и функциональные условия ротационной инвариантности плотности действия. Последние затем используются с целью поиска ротационно-инвариантных функциональных аргументов лагранжиана. Найдена система независимых ротационно-инвариантных функциональных аргументов лагранжиана. Дается формальное доказательство ее полноты. Построены удовлетворяющие принципу объективности формы определяющих уравнений гиперболического микрополярного термоупругого континуума, соответствующие ротационно-инвариантному лагранжиану.

Рассматриваются теории и задачи той части термомеханики континуума, которая не может быть корректно сформулирована вне рамок гиперболических уравнений и систем таких уравнений. При этом внимание сфокусировано на двух относительно новых гиперболических теориях: теории трeхмерного идеально пластического течения и теории микрополярной термоупругости второго типа (type-II thermoelasticity). Исследуются трeхмерные статические и кинематические уравнения теории идеальной пластичности Ишлинского-Ивлева с точки зрения их аналитической классификации, определения характеристических направлений и возможных подходов к построению интегрируемых соотношений. Новые подходы к гиперболическим формулировкам связываются с введением дополнительных базисных переменных, когда допустимыми признаются не только термодинамические переменные состояния (так называемые «медленные переменные»), ассоциированные с термическими и микроструктурными свойствами континуума, но и их референциальные градиенты («быстрые переменные»). Развивается гиперболическая термомеханика микрополярных термоупругих сред на основе теоретико-полевой схемы и с помощью вариационного функционала действия и принципа наименьшего действия.

The present paper is devoted to formulations of constitutive equations for the non-linear Green-Naghdi type-III thermoelastic continuum consistent with the principle of thermodynamic (or thermomechanical) orthogonality. Contrary to the original Green-Naghdi model the Lagrange description is employed. The principle of thermodynamic orthogonality originally proposed by Ziegler as a generalization of the Onsager linear irreversible thermodynamics states that the irreversible constituent of thermodynamic flux is orthogonal to the convex dissipative potential level surface in the space of thermodynamic forces for any process of heat transport. The principle of the thermomechanical orthogonality takes its origin from the von Mises maximum principle of the perfect plasticity, where it provides existence of a yield surface, its convexity, and the associated flow rule. Non-linear constitutive laws of heat propagation as of type-III thermoelasticity complying with the principle of thermomechanical orthogonality are discussed. Important for applied thermoelasticity cases covered by type-III theory are studied: GNI/CTE–conventional thermoelasticity based on the Fourier heat conduction law and GNII–dissipationless hyperbolic thermoelasticity. In the latter case the internal entropy production equals zero for any heat transport process having the form of the undamped thermoelastic wave propagating at finite speed.

The paper is devoted to a study of coupled harmonic thermoelastic impulse guided propagation through an infinite circular cylinder. Heat interchanging is supposed to take place between sidewall of the waveguide and environment. The analysis is carried out according to the principles of coupled generalized thermoelasticity theory of type III (GNIII-thermoelasticity). This theory combines thermodiffusion and wave mechanisms of heat transfer in solids including as limiting cases both the theories: classical thermoelasticity (GNI/CTE) and the theory of hyperbolic thermoelasticity (GNII ). The latter permits field-theoretic formulation and leads to the field equations of hyperbolic analytical type. Closed solution of the coupled GNIII-thermoelasticity equations satisfying the boundary conditions on the surface of waveguide is obtained by separation of variables. The analysis of frequency equation is given and wave numbers and modes of coupled thermoelastic waves of arbitrary order are obtained. The problems of coupled thermal and dynamic impulse propagation in the form of plane and normal waves in a free from tractions thermoisolated waveguide have been studied in our previous papers.

The paper presents a study of wavenumbers of coupled harmonic thermoelastic waves propagating via an infinite circular cylinder for higher azimuthal order. Heat interchanging between sidewall of the waveguide and environment is assumed. The analysis is carried in the frameworks of coupled generalized thermoelasticity theory of type III (GNIII-thermoelasticity). This theory synthesizes thermodiffusion and wave mechanisms of heat transfer in solids including as limiting cases both the theories: classical thermoelasticity (GNI/CTE) and the theory of hyperbolic thermoelasticity (GNII). The latter permits field-theoretic formulation and leads to the field equations of hyperbolic analytical type. The two principal problems: separation of 32 independent single-valued square radicals involved in the frequency equation and more accurate computation of the real-valued wavenumbers are resolved and discussed.

A propagation problem for coupled harmonic waves of translational displacements and microrotations along the axis of a long cylindrical waveguide is discussed at present study. Microrotations modeling is carried out within the linear micropolar elasticity frameworks. The mathematical model of the linear (or even nonlinear) micropolar elasticity is also expanded to a field theory model by variational least action integral and the least action principle. The governing coupled vector differential equations of the linear micropolar elasticity are given. The translational displacements and microrotations in the harmonic coupled wave are decomposed into potential and vortex parts. Calibrating equations providing simplification of the equations for the wave potentials are proposed. The coupled differential equations are then reduced to uncoupled ones and finally to the Helmholtz wave equations. The wave equations solutions for the translational and microrotational waves potentials are obtained for a high-frequency range.

The present paper is devoted to plane harmonic waves of displacements and microrotations propagating in fully coupled thermoelastic continua. The analysis is carried out in the framework of linear conventional thermoelastic micropolar continuum model. The reduced energy balance equation and the special form of the Helmholtz free energy are discussed. The constitutive constants providing fully coupling of equations of motion and heat conduction are considered. The dispersion equation is derived and analysed in the form bi-cubic and bi-quadratic polynoms product. The equation are analyzed by the computer algebra system Mathematica. Algebraic forms expressed by complex multivalued square and cubic radicals are obtained for wavenumbers of transverse and longitudinal waves. The exact forms of wavenumbers of a plane harmonic coupled thermoelastic waves are computed.

Propagation problem for coupled harmonic waves of translational displacements and microrotations along the axis of a long cylindrical waveguide is discussed at present study. Microrotations modeling is carried out within the linear micropolar elasticity frameworks. The coupled system of vector differential equations of micropolar elasticity is presented. The translational displacements and microrotations in the coupled wave are decomposed into potential and vortex parts. The coupled differential equations are then reduced to uncoupled ones. The wave equations solutions for the translational and microrotational waves potentials are obtained for a high-frequency waves in the cylindrical domain.

A non-linear mathematical model of thermoelastic micropolar continuum is developed. The model is presented in terms of 4-covariant field theoretical formalism. Lagrangian density for thermoelastic continuum with three micropolar directors is given and the least action principle is formulated. Corresponding field equations of micropolar thermoelasticity are obtained. Variational symmetries of the thermoelastic action are used to formulate covariant conservation laws. Following the usual procedure, micropolar thermoelastic Lagrangians are represented as functions of independent rotationally invariant arguments. The latter constitutes a complete system of objective finite strain measures of micropolar thermoelasticity. Constitutive equations of micropolar thermoelasticity are obtained and discussed.