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Die Schatzung von Verteilungsparametern und das Testen von Hypothesen gehoren zum Gebiet der induktiven Statistik oder, wie man heute mehr und mehr sagt, der Inferenzstatistik. Die empirische Grundlage fur jede statistische Arbeit bilden Daten, die meist Zufallsstichproben aus definierten Zielpopulationen sind. Methoden zur Beschreibung der Verteilung von Stichprobenwerten und des Zusammenhangs zwischen den Werten verschiedener Stichproben wurden bereits in den vorangehenden Kapiteln besprochen und werden im ersten Abschnitt dieses Kapitels weiter erganzt. Die Datenbeschreibung ist meist nur der erste Schritt einer statistischen Auswertung, bei der es primar um Aussagen uber die Zielpopulation geht. Diese gewinnt man, in dem man versucht, die in Stichproben festgestellten Ergebnisse und Sachverhalte auf die Zielpopulation zu ubertragen oder Vermutungen uber die Zielpopulation mit den Beobachtungsdaten zu bestatigen. Das zuerst genannte Ziel wird methodisch in der Parameterschatzung umgesetzt, das zweite im Rahmen von Testverfahren. Die Parameterschatzung (in den Abschn. 5.2 und 5.6.3) befasst sich mit der Schatzung des Mittelwerts und der Varianz einer normalverteilten Zufallsvariablen, mit der Schatzung des Anstiegs einer Regressionsgeraden sowie mit der Schatzung einer Wahrscheinlichkeit. Bei den Testverfahren (in den Abschn. 5.3, 5.5 und 5.6) geht es um Vergleiche mit Mittelwerten und Wahrscheinlichkeiten. Wie man die Annahme einer normalverteilten Zielpopulation uberpruft, wird in Abschn. 5.4 ausgefuhrt.

Mit R verbindet man vor allem ein Softwareprodukt, mit dem man statistische Analysen durchfuhren und hochwertige Grafiken herstellen kann. Man kann mit R aber auch effizient „rechnen“ und hat zu diesem Zweck zahlreiche Funktionen in der Basis-Installation und den Paketen zur Verfugung. So wurden R-Funktionen in den vorangehenden Kapiteln nicht nur zum Zeichnen von Funktionsgraphen oder fur statistischen Auswertungen verwendet, sondern auch zur Losung von linearen Gleichungssystemen oder numerischen Integration eingesetzt. Die Ausfuhrungen in diesem Anhang erganzen die im Buch enthaltenen Problemlosungen mit R. Nach einer kurzen Darstellung der Arbeitsumgebung werden die Elemente einfacher R-Programme, das Arbeiten mit Vektoren und Matrizen sowie die Definition eigener Funktionen erklart. An Hand von ausgewahlten Beispielen wird gezeigt, wie man einfache Grafiken erstellt und Programme mit Verzweigungen und Schleifen gestaltet. Der letzte Abschnitt enthalt ein Glossar uber alle im Buch genutzten R-Funktionen.

Der Anhang B enthalt ausfuhrliche Losungen zu den Aufgaben am Ende eines jeden Abschnittes. Die numerischen Ergebnisse wurden mit R berechnet; neben den Resultaten sind meist auch die R-Anweisungen angefuhrt.

Die multivariaten Methoden umfassen eine Vielzahl von beschreibenden und induktiven Verfahren, mit denen mehrere Variable gleichzeitig analysiert werden konnen. Im Gegensatz zu univariaten Datenanalysen geht es in der multivariaten Statistik primar darum, durch simultane Betrachtung mehrerer Variablen neue Einsichten uber Beziehungsstrukturen zwischen den Variablen oder Untersuchungseinheiten (Objekten) zu gewinnen. Man kann z.B. fragen, ob die Stichprobe strukturiert ist, d. h., in Gruppen von in den Variablenwerten „ahnlichen“ Objekten zerlegt werden kann. Wie man Strukturen in der Menge der Objekte aufdeckt, lehrt die Clusteranalyse. In der Hauptkomponentenanalyse stehen die Beziehungen zwischen den Variablen im Mittelpunkt des Interesses. Mit der Hauptkomponentenanalyse wird durch Ubergang zu neuen Variablen (den sogenannten Hauptkomponenten) oft eine Reduktion der Anzahl der Variablen erreicht, indem man sich auf die „wesentlichen“ Hauptkomponenten beschrankt und die anderen weglasst. Eine weitere klassische Fragestellung behandelt die Diskriminanzanalyse. Auf Grund der beobachteten Variablenwerte sollen neue Objekte einer von mehreren vorgegebenen Gruppen von Objekten zugewiesen werden. Die Ausfuhrungen konnen nur eine erste Einfuhrung in das grose Gebiet der multivariaten Statistik sein.

Wie in anderen Disziplinen werden auch in der Statistik Versuche zur Gewinnung von Erkenntnissen eingesetzt. Es ist nutzlich, einen Versuch als ein Input/Output- System zu sehen. Den Systemoutput denken wir uns dabei als eine Zielvariable, den Systeminput als Einflussvariablen, von denen zwei Arten zu unterscheiden sind. Die einen werden vom Experimentator gezielt verandert, um die Abhangigkeit der Zielvariablen von den Einflussvariablen zu studieren. Die anderen entziehen sich der Kontrolle durch den Experimentator; sie haben den Charakter von Storgrosen, die einen mehr oder weniger grosen Versuchsfehler bewirken. Es ist ein wichtiges Ziel bei der Planung von Versuchen, den Versuchsfehler klein zu halten. Ein Beispiel fur eine einfache Versuchsanlage ist der im Zusammenhang mit dem 2-Stichproben-t - Test betrachtete Parallelversuch. Bei diesem geht es um den Vergleich von zwei Bedingungen (meist einer „Testbehandlung“ mit einer „Kontrollbehandlung“). Die Verallgemeinerung dieser Versuchsanlage auf mehr als zwei Behandlungsgruppen fuhrt zu randomisierten Versuchen mit einem mehrstufigen Faktor, denen das Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse zugrunde liegt. Dieses Grundmodell der Varianzanalyse kann in vielfaltiger Weise verfeinert und verallgemeinert werden. Einfache und fur die Praxis wichtige Versuchsanlagen sind die Blockvarianzanalyse, die Kovarianzanalyse sowie die zweifaktorielle Varianzanalyse.

Zu den ersten Erfahrungen beim Messen einer Grose X gehort, dass wiederholtes Messen mehr oder weniger stark abweichende Ergebnisse liefert: Die Messwerte von X zeigen eine Zufallsvariation. Diese kann Ausdruck eines die Messwerte erzeugenden Zufallsexperimentes sein, wie z. B. beim radioaktiven Zerfall, wo die Messgrose (Anzahl der emittierten Teilchen pro Zeiteinheit) statistisch um einen mittleren Zahlenwert schwankt. Aber auch Grosen, die an sich einen festen oder wie man auch sagt, wahren Wert besitzen, erhalten durch den Messvorgang eine Zufallskomponente uberlagert, die den regellos um den wahren Wert schwankenden Messfehler ausdruckt. Schlieslich kann der Zufallscharakter einer Beobachtungsgrose durch die Stichprobenauswahl selbst verursacht sein, wie dies z. B. bei der Anzahl der fehlerhaften Einheiten beim Ziehen einer Prufstichprobe aus einem Produktionslos der Fall ist. Beobachtungsgrosen zeigen also i.Allg. eine Zufallsvariation und werden – in Verbindung mit Zufallsexperimenten – durch Zufallsvariablen modelliert. In diesem Kapitel geht es um den Begriff und um Eigenschaften von Zufallsvariablen sowie um die Beschreibung der zufalligen Variation von ausgewahlten Zufallsvariablen durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Im Mittelpunkt dieses Kapitels steht die Erfassung der gemeinsamen Variation von zwei Merkmalen. Die Beschreibung der gemeinsamen Variation der Merkmale kann auf zwei verschiedene Arten vorgenommen werden. Einerseits im Rahmen einer Korrelationsanalyse, in der die „Starke“ des Zusammenhanges durch Kenngrosen (Korrelationsmase) ausgedruckt wird, und andererseits im Rahmen einer Regressionsanalyse, in der die Abhangigkeit des einen Merkmals vom anderen mit Hilfe von Funktionsgleichungen modelliert wird. Bei Beschrankung auf zwei Merkmale spricht man genauer von einfacher Korrelation bzw. einfacher Regression.

Auch wer sich blos als Anwender von statistischen Methoden sieht, sollte zumindest die in der einschlagigen Literatur (z. B. Softwaredokumentationen) beschriebenen Anwendungsvoraussetzungen verstehen und die erhaltenen Ergebnisse richtig interpretieren konnen. Zu diesem Zweck ist eine Vertrautheit mit dem Wahrscheinlichkeitsbegriff und einfachen Regeln fur das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ebenso nutzlich wie die Kenntnis der grundlegenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Das erste Kapitel fuhrt in die Begriffswelt der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein, die das mathematische Standbein der Statistik darstellt. Die Einfuhrung ist weitgehend heuristisch und verbal-beschreibend abgefasst; auf Grund der wachsenden Durchdringung der Disziplinen mit mathematisch-statistischen Formalismen wird aber auch die mathematische Symbolik soweit verwendet, als sie zum Verstandnis von Formeln erforderlich ist, die in Praxis auftreten.

Bei der Sicherung von Wissen spielen logische Schlussweisen und Wahrscheinlichkeitsschlusse eine entscheidende Rolle. Logische Schlussweisen fuhren zu gesichertem Wissen, wie es die Satze der Mathematik sind. Wahrscheinlichkeitsschlusse erzeugen dagegen unsicheres Wissen, wie es z. B. die Diagnose eines Arztes ist. Auch die statistischen Tests fallen in diese Kategorie. Statistische Tests, wie sie im Folgenden besprochen werden, sind Verfahren, mit denen man eine Entscheidung zwischen zwei alternativen Hypothesen herbeifuhren will. Man spricht deshalb auch von Alternativtests. Unter den Hypothesen hat man sich Aussagen uber Parameter der Grundgesamtheit vorzustellen; z. B. kann es um die Frage gehen, ob der Mittelwert der Grundgesamtheit von einem festen Sollwert abweicht oder mit diesem ubereinstimmt. Die Entscheidung zwischen den Alternativen erfolgt auf der Grundlage von Zufallsstichproben aus der Grundgesamtheit. Aufgabe der mathematischen Statistik ist es, fur den Anwender Tests zur Verfugung zu stellen, die zu Entscheidungen mit geringem Fehlerrisiko fuhren. In diesem Abschnitt werden die Methodik des Testens an Hand von Beispielen erlautert und grundlegende 1- und 2-Stichprobentests vorgestellt.

Das Tangentenproblem bildet aus historischer Sicht einen Ausgangspunkt der Differentialrechnung. Wir sind darauf bereits im Abschnitt 4.3.3 eingegangen und haben den Differentialquotienten geometrisch als Tangentenanstieg deuten konnen. Um fur eine Funktion f den Anstieg der Tangente in einem Punkt P = (x0, f (x0)) des Funktionsgraphen zu erhalten, wurde zuerst ein Nachbarpunkt Q = (x0 + x, f (x0 + Δ x)) auf dem Funktionsgraphen angenommen und der Differenzenquotient $$\left( {{x_0},\Delta x} \right) = \frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} = \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}} $$ aufgestellt. Dieser ist gleich dem Anstieg der durch P und Q verlaufenden Geraden und hat daher die Bedeutung eines mittleren Anstiegs der Funktion im Intervall von x0 bis x0 -+- x.

Die Datenbeschreibung stellt oft nur die Vorstufe einer Untersuchung dar, deren eigentliches Ziel darin besteht, von den an einer Stichprobe gewonnenen Ergebnissen zu allgemeingultigen Aussagen uber die Grundgesamtheit zu gelangen, aus der die Untersuchungseinheiten ausgewahlt wurden. Die angestrebte Verallgemeinerung setzt zunachst voraus, das man in der Grundgesamtheit den Verteilungstyp des interessierenden Merkmals X durch ein geeignetes statistische Modell prazisiert, indem man fur X eine Wahrscheinlichkeitsverteilung postuliert, die bis auf gewisse Verteilungsparameter bestimmt ist. Aussagen uber die Verteilungsparameter gewinnt man durch Anwendung von fur die induktive (oder schliesende) Statistik typischen Schlusweisen, und zwar im Rahmen von statistischen Schatzungen sowie statistischen Tests. Zu deren Verstandnis sind Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung unerlaslich, die im ersten der folgenden Abschnitte vermittelt werden.

Im vorhergehenden Kapitel wurde jedes Merkmal einzeln, d.h. isoliert von den anderen Merkmalen einer Untersuchungspopulation betrachtet, und die Variation des interessierenden Merkmals mit Hilfe von Haufigkeitstabellen, Diagrammen und diversen Kenngrosen beschrieben. Im Mittelpunkt dieses Kapitels steht die Beschreibung der gemeinsamen Variation von zwei und mehreren Merkmalen.

Im folgenden werden einige grundlegende Prufverfahren besprochen, die bei der Bearbeitung von Zwei- und Mehrstichprobenproblemen nutzlich sind. Ein typisches Zweistichprobenproblem ist z.B. der Vergleich der Mittelwerte zweier Beobachtungsreihen. Hierbei ist zu unterscheiden, ob die Stichproben miteinander verbunden oder voneinander unabhangig sind. Man spricht von verbundenen Stichproben, wenn es einen sachlogischen Zusammenhang gibt, nach dem jeder Wert xi der einen Stichprobe mit einem Wert yi der anderen Stichprobe zu einem Wertepaar (xi, yi) zusammengefast werden kann. Ein solcher Zusammenhang ist beispielsweise gegeben, wenn die Stichprobenwerte an ein und demselben Objekt gewonnen wurden. Dabei konnen die Werte der einen Stichprobe Mesergebnisse vor und die der anderen Stichprobe Mesergebnisse nach einer gewissen Behandlung darstellen. Ein Mehrstichprobenproblem liegt z.B. dann vor, wenn die Auswirkung einer Einflusgrose, die uber k > 2 vorgegebenen Stufen variiert, auf ein interessierendes Merkmal untersucht werden soll. Indem man das Merkmal auf jeder Stufe der Einflusgrose wiederholt beobachtet, ergeben sich k Stichproben, die im Rahmen einer einfaktoriellen Varianzanalyse analysiert werden konnen. Mit dem Konzept der Varianzanalyse lassen sich auch Regressionsprobleme bearbeiten, wie am Beispiel der Prufung von Regressionskoeffizienten gezeigt wird.

The transient behaviour of the renewal model leading to the stable age distribution is studied for weakly skewed net maternity functions (found in human as well as in some animal populations). The study, which is partly based on heuristic arguments, first provides approximate expressions for the damping constant and the circular frequency (in terms of the moments of the net maternity function) belonging to the principal oscillatory component of the birth trajectory. The time to stability (defined as the time interval after which the principal oscillatory component has become less than a certain fraction of the stable solution) is then determined in two cases: For the genesis model and for a stable population in which the net reproduction rate is reduced to one. The results are applied to a problem which arises in the mass rearing of pest insects.

Valeriana officinalis s. l. is an extremely polymorphic polyploid complex. A multivariate morphometric study is the only adequate method to cope with the diversity largely based on quantitative differences. 50 morphological characters have been carefully chosen with regard to their expected taxonomic relevance. The use of program packages for (multivariate) statistical and taxometric evaluation of the data has been made possible by the development of a series of computer programs. They allow different manipulations of the data as well as the extraction of distance or similarity matrices from mixed-type data (i.e. data containing quantitative as well as binary characters). In addition, a computer-based study of the relationships between variables has been carried out by a grouping of variables into subsets according to their B-coefficients (being defined as the ratio of the average of the intercorrelations among the variables of a group to their average correlations with the remaining variables). This technique can also be applied in cases where parts of the material show extremely different correlation patterns, as inValeriana officinalis s. l.

Die Epidemiologie versucht, die Ausbreitung von Infektionskrankheiten (das sind durch Erreger wie Viren, Bakterien, Urtiere oder Wurmer verursachte Krankheiten) in einer Population mit Hilfe mathematischer Modelle zu beschreiben. Die Ausbreitung der Krankheit erfolgt dabei dadurch, das der Krankheitserreger von einem bereits infizierten Individuum auf ein infizierbares Mitglied der Population ubertragen wird, wobei die Ubertragung direkt oder auch indirekt uber einen Zwischentrager, etwa ein Insekt wie im Fall der Malaria, erfolgen kann. Unter Umstanden kann es dabei zu einem mehr oder minder raschen Anschwellen der Zahl der Erkrankungsfalle, eben einer „Epidemie“, kommen. Die bei uns mit gewisser Regelmasigkeit auftretenden Grippewellen sind dafur ein gelaufiges Beispiel. Selbstverstandlich gibt es auch Infektionskrankheiten in Tier- und Pflanzenpopulationen, und diese richten manchmal grosen wirtschaftlichen Schaden an. Wir werden im folgenden aber stets eine menschliche Population zugrundelegen und ihre Mitglieder dementsprechend als „Personen“ bezeichnen; unsere Uberlegungen gelten jedoch genauso gut auch fur Tieroder Pflanzenpopulationen.

Die klassische Genetik versucht, Gesetzmasigkeiten bei der Vererbung von Merkmalen zu finden und sie durch chromosomale Vorgange im Zellkern zu erklaren. Ihre Grundlagen wurden von G. Mendel (1822–1884) geschaffen, dessen Erkenntnisse aber zunachst unbeachtet blieben und erst nach seinem Tod von C. Correns, H. de Vries und E. Tschermak wiederentdeckt und erweitert wurden. Bald danach belegte die von W. S. Sutton und Th. Boveri geschaffene Chromosomentheorie der Vererbung die Mendelschen Ergebnisse, die im folgenden kurz zusammengefast seien.

Die Okologie kann man kurz als jenes Teilgebiet der Biologie bezeichnen, das sich mit den vielfaltigen Wechselwirkungen zwischen Populationen sowie mit den Wechselwirkungen zwischen einer Population und ihrer unbelebten Umwelt beschaftigt. Unter Population ist dabei die Menge aller Individuen einer biologischen Art innerhalb eines bestimmten geographischen Lebensraums zu verstehen, wobei es sich naturlich sowohl um eine tierische, als auch um eine pflanzliche Art handeln kann. In den Bereich der Okologie fallen insbesondere auch jene Probleme, die als Folge der durch die menschliche Zivilisation verursachten Umweltverschmutzung, durch den Einsatz von Chemikalien bei der Dungung und bei der Schadlingsbekampfung oder durch die Ausbeutung bestimmter Tierarten zu wirtschaftlichen Zwecken entstanden sind. Diese und auch andere menschliche Aktivitaten haben zu einer zum Teil schon weltweiten Storung des biologischen Gleichgewichtes gefuhrt, deren langzeitliche Folgen schwer abzuschatzen sind. Angesichts dieser Situation kommt den zahlreichen Untersuchungen der modernen Okologie, die sich unter Verwendung mathematischer Methoden mit dem dynamischen Verhalten von einzelnen Populationen und dem Verhalten von okologischen Systemen mit mehreren Populationen beschaftigen, eine grose Bedeutung zu. Allerdings ist der Aufbau einer mathematischen Theorie fur okologische Systeme dadurch erschwert, das es in der Okologie keine so allgemeingultigen Grundgesetze gibt, wie sie etwa in der Populationsgenetik durch die Mendelschen Gesetze gegeben sind.

Nach der in den drei vorhergehenden Kapiteln erfolgten ausfuhrlichen Behandlung mathematischer Ansatze in der Genetik, der Okologie und der Epidemiologie soll in diesem Kapitel die Darstellung mathematischer Modelle in den Biowissenschaften mit der Zusammenstellung einiger einschlagiger Problemkreise, die nicht in die oben erwahnten Gebiete fallen, abgerundet werden. Zu den klassischen Anwendungsgebieten der Mathematik in der Biologie gehort vor allem auch die Physiologie, in welcher mathematische Methoden bei der Untersuchung von subzellularen Erscheinungen (wie etwa enzymatischen Reaktionen, Erregung von Nervenzellen, Reizleitung) benutzt werden, aber auch bei der Beschreibung der Eigenschaften von Zellen (z. B. Zellteilung), Organen (z. B. Niere) und Organsystemen (z. B. Blutgefassystem). Die mathematischen Modelle in der Physiologie beruhen zum Grosteil auf physikalischen bzw. chemischen Gesetzmasigkeiten, ihr Verstandnis setzt also diesbezugliche einschlagige Kenntnisse voraus. Einen ganz anderen Weg beschreitet die sogenannte relationale Biologie, in der biologische Systeme als Mengen von Subsystemen mit gewissen Relationen, die zwischen ihnen bestehen, dargestellt und dann mit graphentheoretischen Methoden analysiert werden. Die relationale Biologie, deren Modelle rein mathematischer Natur sind, geht vor allem auf N. Rashevsky zuruck (vgl. [32], [47]).

Im folgenden wollen wir die in dem Buch verwendeten mathematischen Begriffe, Satze und Methoden zusammenstellen und erlautern, soweit sie nicht zum allgemein verbindlichen Lehrstoff der hoheren Schulen gehoren oder im Rahmen der einzelnen Kapitel des Buches direkt entwickelt werden. Auf nahere Einzelheiten — insbesondere auf die Beweise der Satze — konnen wir dabei schon aus Raumgrunden nicht eingehen und mussen diesbezuglich auf die einschlagigen Lehrbucher verweisen. Wir hoffen, das dieses Kapitel dem Biologen das Verstandnis des Buches erleichtert und dem Mathematiker zeigt, welche Gebiete seiner Wissenschaft fur die Beschreibung biologischer Vorgange vor allem von Bedeutung sind.

A modified method for registering non-nutritive sucking behaviour with and without taste stimulation enabled us to study taste perception of premature babies. We wanted to study how babies who had no extrauterine taste experience reacted to one or more stimuli with water and 33% glucose. Eight randomly selected healthy newborns (three of them being SGA without further symptoms), exclusively fed by gastric tube, were studied. The mean gestational age at the time of the study was 35.5 weeks. They were studied five times with water and five times with glucose just before feeding. In seven babies the sucking response to glucose was greater than that to water from the first trial onwards. Sucking response increased with repeated glucose stimulation, but remained the same with water stimulation. The eighth baby behaved completely differently. We concluded from our results that premature babies with a postconceptional age of 35 weeks can discriminate between sweet and not-sweet. The greater sucking response to glucose than to water at the first trial implies a genetic factor in the preference for sweet in humans.