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International audience; A spatially high order Finite Volume scheme is being extended and evaluated for supersonic and transonic flows. The shock capturing method is an extension at high order of the Jameson-Schmidt-Turkel scheme, where the coefficients of 2 nd and 4 th order dissipation and the shock detection criterion are formulated on wider stencils. A novel formulation of the inviscid slip boundary condition enables to reach an increased accuracy in computing the wall pressure. The scheme is also extended with the same count of degrees of freedom (1 per equation and control volume) to curved faces of HO elements, both inside the field and at the boundaries, in a recent CPU-effective formulation. These algorithmic features are evaluated against test cases from the High Order CFD workshop and from the literature. The Kexactness of the WLSQ polynomial reconstruction at different orders is verified together with its grid wave-number resolutions, on simple linear triangular grids as well as geometrically P2 and P3 multi-elements 3D grids of interest for industrial applications. These latter grid systems are the support for RANS discretizations on HO staggered primal and dual grids.

The purpose of the thesis is to improve the numerical scheme of the Salammbô model developed at ONERA for years. The idea is to implement for the first time an implicit finite volume method in the field of radiation belts modelling.This work will tackle many challenges as instabilities induced by strong spatial and temporal gradients, and the inclusion of not used physics-based processes due to their inadequation with previous numerical scheme. Comparisons will be conducted between the results obtained and in-situ data., Les ceintures de radiation terrestres constituent un environnement radiatif naturel très dynamique, hostile à la plupart des satellites artificiels, et dont la modélisation physique demeure aujourd'hui encore imparfaite. Cette dynamique est généralement décrite par des codes numériques résolvant une équation de diffusion. Du fait des forts gradients dans l'espace de la fonction de distribution et de l'intense dynamique des ceintures de radiation, les méthodes numériques employées doivent être très robustes. Le code Salammbô 3D développé et perfectionné depuis de nombreuses années au sein du département Environnement Spatial de l'ONERA a acquis aujourd'hui une maturité reconnue internationalement. Il constitue aussi bien le modèle physique sur lequel s'appuie le développement des futurs modèles de spécification d'environnement, qu'un laboratoire virtuel d'observation et d'analyse des mécanismes physiques gouvernant la dynamique des ceintures de radiations.Salammbô 3D repose sur un schéma numérique de type explicite, différences finies. Ce schéma possède le principal avantage d'être simple à mettre en place de par sa formulation. Cependant, sa stabilité est limitée par la condition CFL. De plus, des termes de diffusion croisés rendent ce schéma instable.L'objectif de cette thèse est donc de développer et valider un nouveau coeur numérique au code Salammbô 3D en version implicite. Le but recherché est triple : (1) rendre le code plus robuste aux forts gradients spatiaux des différents termes de diffusion, (2) accélérer le code tout en conservant, voire améliorant sa précision, (3) prendre en compte les termes de diffusion croisés ignorés dans le cas d'un schéma explicite.Enfin, dans une dernière partie, il serait intéressant d'affiner le code implicite mis en place pour qu'il puisse répondre à deux problématiques physiques actuelles : (1) optimiser la résolution spatiale du modèle au niveau des orbites basses pour mieux reproduire l'environnement des satellites en LEO, et (2) estimer les précipitations de particules des ceintures de radiation dans l'atmosphère (intérêt supplémentaire des volumes finis).

Les ceintures de radiation terrestres constituent un environnement radiatif naturel très dynamique, hostile à la plupart des satellites artificiels, et dont la modélisation physique demeure aujourd’hui encore imparfaite. Cette dynamique est généralement décrite par des codes numériques résolvant une équation de diffusion. Du fait des forts gradients dans l’espace de la fonction de distribution et de l’intense dynamique des ceintures de radiation, les méthodes numériques employées doivent être très robustes. Le code Salammbô 3D développé et perfectionné depuis de nombreuses années au sein du département Environnement Spatial de l’ONERA a acquis aujourd’hui une maturité reconnue internationalement. Il constitue aussi bien le modèle physique sur lequel s’appuie le développement des futurs modèles de spécification d’environnement, qu’un laboratoire virtuel d’observation et d’analyse des mécanismes physiques gouvernant la dynamique des ceintures de radiations.Salammbô 3D repose sur un schéma numérique de type explicite, différences finies. Ce schéma possède le principal avantage d’être simple à mettre en place de par sa formulation. Cependant, sa stabilité est limitée par la condition CFL. De plus, des termes de diffusion croisés rendent ce schéma instable. L’objectif de cette thèse est donc de développer et valider un nouveau coeur numérique au code Salammbô 3D en version implicite. Le but recherché est triple : (1) rendre le code plus robuste aux forts gradients spatiaux des différents termes de diffusion, (2) accélérer le code tout en conservant, voire améliorant sa précision, (3) prendre en compte les termes de diffusion croisés ignorés dans le cas d’un schéma explicite.Enfin, dans une dernière partie, il serait intéressant d’affiner le code implicite mis en place pour qu’il puisse répondre à deux problématiques physiques actuelles : (1) optimiser la résolution spatiale du modèle au niveau des orbites basses pour mieux reproduire l’environnement des satellites en LEO, et (2) estimer les précipitations de particules des ceintures de radiation dans l’atmosphère (intérêt supplémentaire des volumes finis). The purpose of the thesis is to improve the numerical scheme of the Salammbô model developed at ONERA for years. The idea is to implement for the first time an implicit finite volume method in the field of radiation belts modelling. This work will tackle many challenges as instabilities induced by strong spatial and temporal gradients, and the inclusion of not used physics-based processes due to their inadequation with previous numerical scheme. Comparisons will be conducted between the results obtained and in-situ data.

In this PhD thesis we are interested in the study of different numerical methods for the simulation of high-frequency acoustic problems taking place on the scale of the building. ln the high-frequency approximation the sound propagation can be modeled through a kinetic transport equation paired with the boundary conditions that describe the specular or diffuse nature of the reflections with the boundaries of the demain. ln the first part of this paper we will tackle the resolution of this model, posed in a seven-dimensional space, by the application of the discrete ordinates method. This method consists in the discretisation of the velocity space into a finite number of allowable directions and leads to a system of coupled transport equations having lest ail velocity dependence. Secondly, we will apply the method of moments with entropie closure. The resulting system, of a hyperbolic nature, allows the macroscopic dynamics to be described by only two conservative variables. ln two dimensions, the resolution of these models is performed through a finite volume scheme implemented on GPU. ln three dimensions, a discontinuous Galerkin method is used which can be executed on a hybrid GPU/CPU architecture. For comparative purposes, a particle method has aise been implemented and solved using a fully GPU-parallelised ray-tracing algorithm. Finally, we will apply and compare the developed methods on several test cases specific to room acoustics.; Dans cette thèse nous nous intéressons à différentes méthodes numériques pour la simulation de problèmes acoustiques haute-fréquence prenant place à l'échelle du bâtiment. Dans l'approximation haute-fréquence la propagation du son peut être modélisée par une équation de transport cinétique couplée à des conditions aux bords traduisant la nature spéculaire ou diffuse des réflexions avec les bords du domaine. Dans une première partie et afin de résoudre ce modèle posé dans un espace à sept dimensions, nous lui appliquons la méthode des ordonnées discrètes. Cette méthode consiste à discrétiser l'espace des vitesses en un nombre fini de directions admissibles et conduit à un système d'équations de transport couplées ayant perdu toute dépendance en vitesse. Dans une seconde partie, nous appliquons la méthode des moments avec fermeture entropique. Le système obtenu, de nature hyperbolique, permet de décrire la dynamique macroscopique par deux variables conservatives seulement. En dimension deux d'espace, la résolution de ces modèles est effectuée au travers d'un schéma volumes finis implémenté sur GPU. En dimensions trois d'espace, nous utilisons une méthode Galerkin discontinue exécutable sur architecture hybride GPU/CPU. À des fins comparatives, nous mettons également en place une méthode particulaire que nous résolvons par un algorithme de ray-tracing entièrement parallélisé sur GPU. Enfin, nous appliquons et comparons les méthodes développées sur plusieurs cas tests propres à l'acoustique des salles.

In this PhD thesis we are interested in the study of different numerical methods for the simulation of high-frequency acoustic problems taking place on the scale of the building. ln the high-frequency approximation the sound propagation can be modeled through a kinetic transport equation paired with the boundary conditions that describe the specular or diffuse nature of the reflections with the boundaries of the demain. ln the first part of this paper we will tackle the resolution of this model, posed in a seven-dimensional space, by the application of the discrete ordinates method. This method consists in the discretisation of the velocity space into a finite number of allowable directions and leads to a system of coupled transport equations having lest ail velocity dependence. Secondly, we will apply the method of moments with entropie closure. The resulting system, of a hyperbolic nature, allows the macroscopic dynamics to be described by only two conservative variables. ln two dimensions, the resolution of these models is performed through a finite volume scheme implemented on GPU. ln three dimensions, a discontinuous Galerkin method is used which can be executed on a hybrid GPU/CPU architecture. For comparative purposes, a particle method has aise been implemented and solved using a fully GPU-parallelised ray-tracing algorithm. Finally, we will apply and compare the developed methods on several test cases specific to room acoustics.; Dans cette thèse nous nous intéressons à différentes méthodes numériques pour la simulation de problèmes acoustiques haute-fréquence prenant place à l'échelle du bâtiment. Dans l'approximation haute-fréquence la propagation du son peut être modélisée par une équation de transport cinétique couplée à des conditions aux bords traduisant la nature spéculaire ou diffuse des réflexions avec les bords du domaine. Dans une première partie et afin de résoudre ce modèle posé dans un espace à sept dimensions, nous lui appliquons la méthode des ordonnées discrètes. Cette méthode consiste à discrétiser l'espace des vitesses en un nombre fini de directions admissibles et conduit à un système d'équations de transport couplées ayant perdu toute dépendance en vitesse. Dans une seconde partie, nous appliquons la méthode des moments avec fermeture entropique. Le système obtenu, de nature hyperbolique, permet de décrire la dynamique macroscopique par deux variables conservatives seulement. En dimension deux d'espace, la résolution de ces modèles est effectuée au travers d'un schéma volumes finis implémenté sur GPU. En dimensions trois d'espace, nous utilisons une méthode Galerkin discontinue exécutable sur architecture hybride GPU/CPU. À des fins comparatives, nous mettons également en place une méthode particulaire que nous résolvons par un algorithme de ray-tracing entièrement parallélisé sur GPU. Enfin, nous appliquons et comparons les méthodes développées sur plusieurs cas tests propres à l'acoustique des salles.

In this PhD thesis we are interested in the study of different numerical methods for the simulation of high-frequency acoustic problems taking place on the scale of the building. In the high-frequency approximation the sound propagation can be modeled through a kinetic transport equation paired with the boundary conditions that describe the specular or diffuse nature of the reflections with the boundaries of the domain. In the first part of this paper we will tackle the resolution of this model, posed in a seven-dimensional space, by the application of the discrete ordinates method. This method consists in the discretisation of the velocity space into a finite number of allowable directions and leads to a system of coupled transport equations having lost all velocity dependence. Secondly, we will apply the method of moments with entropic closure. The resulting system, of a hyperbolic nature, allows the macroscopic dynamics to be described by only two conservative variables. In two dimensions, the resolution of these models is performed through a finite volume scheme implemented on GPU. In three dimensions, a discontinuous Galerkin method is used which can be executed on a hybrid GPU/CPU architecture. For comparative purposes, a particle method has also been implemented and solved using a fully GPU-parallelised ray-tracing algorithm. Finally, we will apply and compare the developed methods on several test cases specific to room acoustics., Dans cette thèse nous nous intéressons à différentes méthodes numériques pour la simulation de problèmes acoustiques haute-fréquence prenant place à l'échelle du bâtiment. Dans l'approximation haute-fréquence la propagation du son peut être modélisée par une équation de transport cinétique couplée à des conditions aux bords traduisant la nature spéculaire ou diffuse des réflexions avec les bords du domaine. Dans une première partie et afin de résoudre ce modèle posé dans un espace à sept dimensions, nous lui appliquons la méthode des ordonnées discrètes. Cette méthode consiste à discrétiser l'espace des vitesses en un nombre fini de directions admissibles et conduit à un système d'équations de transport couplées ayant perdu toute dépendance en vitesse. Dans une seconde partie, nous appliquons la méthode des moments avec fermeture entropique. Le système obtenu, de nature hyperbolique, permet de décrire la dynamique macroscopique par deux variables conservatives seulement. En dimension deux d'espace, la résolution de ces modèles est effectuée au travers d'un schéma volumes finis implémenté sur GPU. En dimensions trois d'espace, nous utilisons une méthode Galerkin discontinue exécutable sur architecture hybride GPU/CPU. À des fins comparatives, nous mettons également en place une méthode particulaire que nous résolvons par un algorithme de ray-tracing entièrement parallélisé sur GPU. Enfin, nous appliquons et comparons les méthodes développées sur plusieurs cas tests propres à l'acoustique des salles.

In this thesis we implement the Shallow Water equations (SWEs) on unstructured grids in order to simulate free surface flow over irregular bathymetries, wetting/drying and other complex phenomena that typically occurs in hydrodynamic applications. In particular we would to accurately simulate tsunami events, from large scale wave propagation up to localized runup. To this aim we use two methods that are extensively compared along the manuscript: the Finite Volume method, which is very popular in the hydrodynamics and hydraulic community and a more recent technique called Residual Distribution which belongs to the class of multidimensional upwind schemes. To enhance the resolution of important flow feature such as bore development or small scale flooding, we use a dynamic mesh adaptation based on a redistribution of mesh nodes or r-adaptation (r stands for "relocation"). The proper combination of this method with the flow solver is usually referred to as Moving Mesh Method. Among the many different moving mesh algorithms available we propose an Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) form of the SWEs which elegantly permit to evolve the flow variables from one mesh to the updated one., Dans cette thèse, nous implémentons les équations de Saint Venant (SV), ou de Shallow Water, sur des grilles non structurées afin de simuler des écoulements de surface libre sur des bathymétries irrégulières, incluant inondation et d'autres phénomènes complexes qui se produisent généralement dans des applications hydrodynamiques. En particulier, nous voudrions simuler avec précision les tsunamis, la propagation d'onde à grande échelle jusqu'à l'inondation très localisé. À cette fin, nous utilisons deux méthodes qui sont comparées en profondeur le long du manuscrit: la méthode des volumes finis, très populaire dans la communauté hydrodynamique et hydraulique et une technique plus récente appelée Distribution du Résidu appartenant à la classe des schémas upwind multidimensionnels. Pour améliorer la résolution de certaines caractéristiques de l'écoulement telles que le développement du déferlement et les inondations à petite échelle, nous utilisons une adaptation de maillage dynamique basée sur une redistribution des noeuds de maillage, aussi appelé adaptation de type r (r signifiant "relocalisation"). La combinaison appropriée de cette méthode avec le solveur SV est généralement appelée Méthode de Maillage Mobile. Parmi les nombreux algorithmes de maillage mobile disponibles, nous proposons une forme Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) des équation SV qui permettent de faire évoluer les variables de flux d'une maille à l'autre de manière élégante. Dans ce contexte, nous soulignons les principales contributions de la thèse: Nous montrons l'importance de conserver toutes les propriétés standards d'un solveur Eulérien SWE tel que la préservation du lac au repos et la conservation de la masse également sur des maillages en mouvement. Notre couplage ALE est comparé à l'approche de rezoning, avec une légère augmentation de la performance globale de l'algorithme en termes de précision et de temps CPU. Nous étendons l'approche ALE sur la sphère afin d'inclure l'effet de la courbure terrestre dans la dynamique de propagation des ondes à grande échelle du tsunami. La simulation du tsunami 2011 de Tohoku-Honsu devrait prouver que la méthode de maillage mobile étudiée dans la thèse, bien que simple, pourrait être un bon candidat pour réduire le coût de calcul des simulations de tsunami.

In the electricity production, one central key to reduce damages and losses due to wetness in steam turbines is the study of liquid films. These thin films are created by the deposition of droplets and are highly sheared. This film may then be atomized into coarse water. At the moment, no comprehensive and validated model exists to describe this phenomenon. A 2D model based on a integral formulation associated with closure laws is developed to represent this film. Compared to classical Shallow-Water equation, the model takes into account additional effect : mass transfer, droplet impact, shearing at the free surface, surface tension, pressure gradient and the rotation. The model properties (hyperbolicity, entropy, conservativity, linear stability, Galilean invariance and rotational invariance) has been analyzed to judge the pertinence of the model. A new 2D code is implemented in a free module of the code EDF Code_Saturne and a finite volume method for unstructured mesh has been developed. The verification of the code is then carried out with analytical solutions including a Riemann problem. The model, which degenerates into classical Shallow-Water equations for the case of a falling liquid film on a inclined plane, is validated by the experiment of Liu and Gollub, 1994, PoF and compared to reference models (Ruyer-Quil and Manneville, 2000, EPJ-B et Lavalle, 2014, PhD thesis). Another study depicts a sheared film under low-pressure steam turbine conditions and is validated by the experiment of Hammitt et al., 1981, FiI. Lastly, the code film is coupled to 3D steam data around a fixed blade of a BP100 turbine, from Blondel, 2014, PhD thesis. This industrial application shows the feasibility of liquid film's simulation in real steam turbine condition., Dans la production d'électricité, un des leviers centraux pour réduire les détériorations et les pertes causées par l'humidité dans les turbines à vapeur est l'étude des films liquides. Ces films minces, sont crées par la déposition de gouttes et sont fortement cisaillés. Des gouttes peuvent ensuite être arrachées du film. A l'heure actuelle, aucun modèle complet et validé n'existe pour décrire ce phénomène. Un modèle 2D à formulation intégrale associé à des lois de fermetures a été dérivé pour représenter ce film. Comparé aux équations classiques de Saint-Venant, le modèle prend en compte davantage d'effets: le transfert de masse, l'impact des gouttes, le cisaillement à la surface libre, la tension de surface, le gradient de pression et la rotation. Une analyse des propriétés du modèle (hyperbolicité, entropie, conservativité, analyse de stabilité linéaire, invariance par translation et par rotation) est réalisée pour juger de la pertinence du modèle. Un nouveau code 2D est implémenté dans un module de développement libre du code EDF Code_Saturne et une méthode de volumes finis pour un maillage non-structuré a été développée. La vérification du code est ensuite effectuée avec des solutions analytiques dont un problème de Riemann. Le modèle, qui dégénère en modèle classique de Saint-Venant pour le cas d'un film tombant sur un plan inclinée, est validé par l'expérience de Liu and Gollub, 1994, PoF et comparé à des modèles de références (Ruyer-Quil and Manneville, 2000, EPJ-B et Lavalle, 2014, PhD thesis). Un autre cas d'étude met en scène un film cisaillé en condition basse-pression de turbine à vapeur et, est validé par l'expérience de Hammitt et al., 1981, FiI. Enfin, le code film est couplé aux données 3D du champ de vapeur autour d'un stator d'une turbine basse-pression du parc EDF, issues de Blondel, 2014, PhD thesis. Cette application industrielle montre la faisabilité d'une simulation d'un film en condition réelle du turbine à vapeur.

Ces dernières décennies, une attention particulière a été portée sur la modélisation mathématique et la simulation numérique de la propagation de vagues en environnements côtiers. Une description physiquement correcte des phénomènes à grande échelle, qui apparaissent dans les régions d'eau peu profonde, doit prendre en compte de forts effets non-linéaires et dispersifs, ainsi que l'interaction avec des bathymétries complexes. Dans un premier temps, une étude du comportement en régime non linéaire de différents modèles de type Boussinesq est proposée, démontrant l'avantage d'utiliser des modèles fortement non-linéaires par rapport à des modèles faiblement non-linéaires et faiblement dispersifs (couramment utilisés). Ensuite, une nouvelle approche flexible pour résoudre les équations fortement non-linéaires et faiblement dispersives de Green-Naghdi est présentée. Cette stratégie permet d'améliorer un code "shallow water" existant par le simple ajout d'un terme algébrique dans l'équation du moment et est particulièrement adapté à l'utilisation de techniques hybrides pour le déferlement des vagues. De plus, la première discrétisation des équations de Green-Naghdi sur maillage non structuré est proposée via des schémas hybrides Volume Fini/Élément Fini. Finalement, les modèles et méthodes développés dans la thèse sont appliqués à l'étude du problème physique de la formation du mascaret dans des estuaires convergents et alluviaux. Cela a amené à la première caractérisation d'estuaire naturel en terme d'apparition de mascaret.; Over the last decades, there has been considerable attention in the accurate mathematical modeling and numerical simulations of free surface wave propagation in near-shore environments. A physical correct description of the large scale phenomena, which take place in the shallow water region, must account for strong nonlinear and dispersive effects, along with the interaction with complex topographies. First, a study on the behavior in nonlinear regime of different Boussinesq-type models is proposed, showing the advantage of using fully-nonlinear models with respect to weakly-nonlinear and weakly dispersive models (commonly employed). Secondly, a new flexible strategy for solving the fully-nonlinear and weakly-dispersive Green-Naghdi equations is presented, which allows to enhance an existing shallow water code by simply adding an algebraic term to the momentum balance and is particularly adapted for the use of hybrid techniques for wave breaking. Moreover, the first discretization of the Green-Naghdi equations on unstructured meshes is proposed via hybrid finite volume/ finite element schemes. Finally, the models and the methods developed in the thesis are deployed to study the physical problem of bore formation in convergent alluvial estuary, providing the first characterization of natural estuaries in terms of bore inception.

Multiphase granular materials occupy a very important place in our environment that are of great interest to many scientific communities, including those of soil mechanics or geotechnical engineering. The divided nature allows multiphase granular media to have a global mechanical behaviour which originates from all component phases, their distribution and interactions. Acoupled hydromechanical model is presented in this work for the application to microscopic modeling of coupled hydromechanical in saturated granular materials. The numerical model uses a combination of the discrete element method (DEM) with a pore-scale finite volume (PFV) formulation of flow problem of an incompressible viscous fluid. The solid is modeled as an assembly of spherical particles, where contact interactions are governed by elasto-plasticrelations. Stokes flow is considered, assuming that inertial forces are small in comparison with viscous forces. Pore geometry and pore connections are defined locally through regular triangulation of spheres, from which a tetrahedral mesh arises. The definition of pore-scale hydraulic conductivities is a key aspect of this model. In this sense, the model is similar to a pore-network model. The emphasis of this model is, on one hand the microscopic description of the interaction between phases, with the determination of the forces applied on solid particles by the fluid, on the other hand, the model involves affordable computational costs, that allow the simulation of thousands of particles in three dimensional models. Permeability measurements on bidispersed glass beads are reported and compared with model predictions and empirical formulas/semi-empirical in the literature, validating the definition of local conductivities and bringing out the role of particle size distribution and porosity. A numerical approach to analyze the fluid-solid mechanical interaction and mechanisms of internal erosion is finally presented., Les matériaux granulaires multiphasiques occupent une place très importante dans notre environnement qui suscitent un grand intérêt de nombreuses communautés scientifiques, notamment celles de la mécanique des sols ou de la géotechnique. Le caractère divisé permet les milieux granulaires multiphasiques d'avoir un comportement mécanique global qui trouve leur origine, leur distribution et interactions entre les phases de composition. Un modèle de couplage hydromécanique est présenté dans ce travail de thèse pour l'application à la modélisation microscopique des couplages hydromécaniques dans les matériaux granulaires saturés. Le modèle numérique est basé sur un couplage de la méthode des éléments discrets (DEM) avec une formulation en volumes finis, à l'échelle des pores (PFV), du problmème de l'écoulement d'un fluide visqueux incompressible. Le solide est modélisé comme un arrangement de particules sphériques avec des interactions de type élasto-plastique aux contacts solide-solide. On considère un écoulement de Stokes incompressible, en supposant que les forces inertielles sont négligeables par rapport aux forces visqueuses. La géométrie des pores et leur connectivité sont définies sur la base d'une triangulation régulière des sphères, qui aboutit à un maillage tétrahédrique. La définition des conductivités hydrauliques à l'échelle des pores est un point clef du modèle, qui se rapproche sur ce point à des modèles de type pore-network. Une importance particulière réside dans les lois d'interactions fluide-solide permettant de déterminer des forces de fluide appliquées sur chacune des particules, tout en assurant un coût de calcul acceptable pour la modélisation en trois dimensions avec plusieurs millieurs des particules. Des mesures de perméabilités sur des assemblages bidisperses de billes de verre sont présentées et comparées aux prédictions du modèle et aux formules empiriques/semi-empiriques dans la littérature, ce qui valide la définition de la conductivité locale et met en évidence le rôle de la distribution granulométrique et la porosité. Une approche numérique pour analyser l'interaction mécanique fluide-solide et les mécanismes d'érosion interne est finalement présentée.

National audience

In this work, we aim at developping both a model and a numerical method adapted to the simulation of rainfall runoff on agricultural fields. The model used is a system of partial differential equations for shallow water flows : namely the system of Saint Venant. Rain and infiltration are treated as source terms and with a coupled model of infiltration. Because of the hyperbolicity and conservativity properties, we are using a finite volume scheme with the hydrostatic reconstruction. This reconstruction allows us to deal with stationary equilibria and wet/dry transitions due to rainfall events. First, a systematic comparison on analytic solutions is achieved between various numerical fluxes, two second order reconstructions (a MUSCL and a modified ENO reconstructions) and different numerical treatment of the friction term. This allows us to choose a numerical method adapted to runoff simulation. Moreover it is able to catch roll waves phenomenons. Then we are interested in the rain and infiltration treatment. Infiltration is modeled thanks to the Green Ampt model. This method is thereafter generalized to two dimensions and validated on experimental results obtained by the INRA of Orléans and the IRD. The chosen numerical method has been implemented in an C++ open-source software for rainfall runoff on agricultural fields simulations : FullSWOF_2D., L'objectif de ce travail est le développement d'un modèle et d'une méthode numérique adaptés à la simulation du ruissellement d'eau de pluie sur des surfaces agricoles. Pour cela, nous utilisons un système d'équations aux dérivées partielles pour les eaux peu profondes : le système de Saint Venant. La pluie et l'infiltration y sont pris en compte par l'ajout de termes source et le couplage avec un modèle d'infiltration. Le système étant hyperbolique et conservatif nous choisissons d'utiliser un schéma aux volumes finis avec reconstruction hydrostatique. Avec cette reconstruction nous obtenons un schéma permettant de traiter les équilibres stationnaires et les interfaces sec/mouillé dues aux événements pluvieux. Tout d'abord, nous effectuons une comparaison systématique de différents flux numériques, de différentes reconstructions d'ordre deux (MUSCL et ENO modifiées) et de différentes méthodes de traitement des frottements sur des solutions analytiques unidimensionnelles. Ces comparaisons nous permettent de choisir une méthode numérique adaptée à la simulation du ruissellement qui en outre capture les phénomènes de type roll-waves. Ensuite nous nous intéressons au traitement de la pluie et de l'infiltration à l'aide du modèle de Green-Ampt. Cette méthode généralisée en dimension deux est validée sur des résultats expérimentaux obtenus à l'INRA d'Orléans et à l'IRD. La méthode numérique choisie et validée a été implémentée dans FullSWOF_2D un logiciel libre écrit en C++ pour la simulation de ruissellement d'eau de pluie sur des surfaces agricoles.

This thesis presents the research activity done to obtain the French "Habilitation à Diriger des Recherches". To define quickly this activity, one could speak of "Computational Mechanics". We present only two research areas: topological shape optimization (by Finite Element Method) and simulation of two-fluid flows at low Mach Number (by finite volume method). / Ce mémoire présente les travaux effectués en vue de l'obtention de l'Habilitation à Diriger des Recherches. Si l'on devait qualifier rapidement ces activités, on pourrait parler de "Mécanique numérique". Dans le cadre de ce mémoire, on présente exclusivement deux domaines de recherche : l'optimisation topologique de forme (par éléments finis) et la modélisation d'écoulements bi-fluide à faible Mach (par volumes finis).

The goal of the present paper is to calculate the determinant of the Dirac operator with a mass in the cylindrical geometry. The domain of this operator consists of functions that realize a unitary one-dimensional representation of the fundamental group of the cylinder with $n$ marked points. The determinant represents a version of the isomonodromic $\tau$-function, itroduced by M. Sato, T. Miwa and M. Jimbo. It is calculated by comparison of two sections of the $\mathrm{det}^*$-bundle over an infinite-dimensional grassmannian. The latter is composed of the spaces of boundary values of some local solutions to Dirac equation. The principal ingredients of the computation are the formulae for the Green function of the singular Dirac operator and for the so-called canonical basis of global solutions on the 1-punctured cylinder. We also derive a set of deformation equations satisfied by the expansion coefficients of the canonical basis in the general case and find a more explicit expression for the $\tau$-function in the simplest case $n=2$., Comment: 32 pages, 5 figures

We study here some aspects of the hyperbolicity, in particular the relationship between hyperbolicity and well-posedness for Cauchy problem obtained from system of partial differential equations from the fluid dynamics or the numerical simulation of such a problem.We first recall how linearization appears in the study of a system of partial differential equations and how, the study of this linearized equations, particularly its well-posedness, leads to the introduction of hyperbolicity.We then are interested in particular by the case of a four equations model describing a two fluid flow with viscous terms. We prove that the Cauchy problems obtained with the linearized equations are well-posed even if they are non-hyperbolic.Finally, we consider a two fluid flow model with five equations. This model comprises instead of algebraic closure equation (e.g. perfect gaz law). The advection operator is still non hyperbolic but all eigenvalues are real. The numerical simulation of Ransom faucet flow with this model does not show instability considering that thelinearized system is non hyperbolic and as the isentropic four equations model does., L'objet de cette thèse est l'étude de quelques aspects de la notion d'hyperbolicité, plus particulièrement de la relation qui existe entre celle-ci et la nature bien posée d'un problème de Cauchy obtenu à partir d'un systèmed'équations aux dérivées partielles issu de la mécanique des fluides ou la réalisation de la simulation numérique d'un tel problème.Dans un premier temps, nous rappelons en quoi la notion delinéarisation d'un système d'équations aux dérivées partielles semble naturelle à l'étude de ce système et comment, de l'étude de ces problèmes linéarisés, plus précisément de leur nature bien posée c'est-à-dire de leur stabilité, découle la notion d'hyperbolicité.Nous étudions ensuite le cas particulier d'un modèle à quatre équations pour un écoulement bifluide comportant des termes de diffusion pour les équations de quantité de mouvement. Nous montrons alors que, bien que, pour ce système, l'ajout des termes de diffusion n'entraîne pas l'hyperbolicité du modèle obtenu, les problèmes de Cauchy construits à partir de la linéarisation de ce système, autour d'un état constant, sont désormais bien posés.Enfin, nous considérons le cas d'un modèle à cinq équations pour un écoulement bifluide. Ce modèle ne nécessite pas de loi de fermeture algébrique (équations d'état ou lois tabulées) mais comporte une équation aux dérivées partielles portant sur la pression. Le système ainsi obtenu n'est pas hyperbolique mais les valeurs propres de l'opérateur d'advection sont toutes réelles. La simulationnumérique d'un écoulement régi par ce modèle, pour le cas test du robinet de Ransom, ne fait néanmoins pas apparaître les instabilités numériques que la nature mal posée dulinéarisé nous faisait craindre et qui sont présentes dans les simulations réalisées à partir du modèle isentropique classique à quatre équations.

Le but de ce travail est de présenter des méthodes numériques utilisant des volumes finis sur des maillages variables (mobiles et potentiellement auto-adaptatifs) pour la résolution d'équations hyperboliques linéaires ou non-linéaires en une dimension d'espace. La difficulté pour les maillages raffinés provient du fait que nous devons utiliser un schéma implicite en temps pour des raisons de stabilité. Nous regardons ici un schéma implicite localement. Parallèlement, nous modifions les schémas envisagés afin de les écrire en maillages mobiles à topologie non constante.

Dans la perspective de construire des schémas numériques précis en temps et en espace pour la résolution de problèmes hyperboliques, nous étudions une classe de schémas : les $\beta$-$\gamma$ schémas. La discrétisation spatiale repose sur la méthode des volumes finis tandis que l'intégration en temps est prise en compte via un schéma explicite multi-pas (Runge-Kutta d'ordre 3). A l'aide d'études sur les équations équivalentes et sur la stabilité, nous définissons des critères afin de pouvoir choisir de façon optimale les paramètres $\beta$ et $\gamma$ dans le cadre de l'équation d'advection linéaire bidimensionnelle. Une application de ces schémas aux équations de Maxwell instationnaires est également proposée.

This work aims at the development of a three-dimensional numerical code for the simulation ofhigh-speed trains entering tunnels in order to propose solutions to reduce nuisances caused. Theairflow is modeled by the unsteady Euler equations. These equations are discretized using a finitevolume formulation and solved with an higher order approximate Riemann solver scheme, particularlysuitable for waves propagations. In order to manage the relative motion of the train from thetunnel, a sliding grid method is used with a conservative treatment of the faces located at domainsjunctions. The overall domain is thus decomposed into several sub-domains, meshed independentlywith an automatic Cartesian grid generator based on a triangular surfacic mesh. In order to reducethe calculation domain and to accelerate the flow stabilization around the train, a non-reflectingboundary conditions are implemented. The methodology is validated on several test cases. A parametricstudy of a hood effect on the initial compression wave gradient is done. Parameters ofthis study are the section, the length, and the hood shape. Then, opened hood effect was simulated., Ce travail porte sur le développement d’un code numérique tridimensionnel pour la simulationd’entrées en tunnels de trains à grande vitesse en vue de proposer des solutions afin de réduireles nuisances occasionnées. L’écoulement de l’air est modélisé par les équations d’Euler instationnaires.Ces équations sont discrétisées à l’aide d’une formulation en volumes finis et résolues grâceà un schéma solveur de Riemann approché, d’ordre supérieur, particulièrement adapté à la propagationd’ondes. Pour gérer le mouvement relatif du train par rapport au tunnel, une méthode demaillage glissant est utilisée avec un traitement conservatif des faces aux niveaux des jonctions demaillages. Le domaine est ainsi décomposé en plusieurs sous-domaines, maillés indépendammentavec un mailleur cartésien automatique basé sur un maillage surfacique triangulaire. Pour réduirele domaine, et donc le temps de calcul, et accélérer la stabilisation de l’écoulement avant l’entréedu train, des conditions aux limites non réflectives sont implémentées. La méthodologie est validéesur plusieurs cas tests. Une étude paramétrique de l’influence d’un auvent à l’entrée du tunnel surle gradient de l’onde de compression pression initiale est effectuée. Les paramètres de cette étudesont la forme, la longueur et la section de l’auvent. Enfin, l’effet d’ouvertures dans l’auvent estsimulé.