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On aime se rappeler que les années se suivent et ne se ressemblent pas. Enfin, pourrait-on ajouter, après deux années cantonnées dans une même logique pandémique, dite de circonstances exceptionnelles. La notion d’exception est d’ailleurs bien connue des mathématiciens : elle est celle qui échappe non pas à la règle, mais au cas général. Nous sommes tous d’accord pour reconnaître une certaine exception, le désaccord commence dès que l’on s’interroge sur le cas général ou lorsqu’il s’agit de d...

1. Introduction Un système de numération est un procédé grâce auquel tous les éléments d’un ensemble de nombres sont codés (on dit plutôt développés) par une suite de « lettres » appartenant à un certain « alphabet » prédéfini. Par exemple, notre système de numération décimal associe à chaque nombre réel une suite d’éléments de l’alphabet {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, auquel on adjoint un signe séparant les parties entière et fractionnaire. Le système de numération à base quelconque b en es...

Cet ouvrage explore le rôle que peut jouer l’épistémologie en didactique des sciences expérimentales et des mathématiques. Il offre une vue d’ensemble sur cette question ainsi qu’une série d’études de cas portant sur des contenus d’enseignement variés et couvrant différents niveaux d’enseignement, depuis l’école primaire jusqu’à l’université. Les contributions se répartissent selon deux axes de recherche. Le premier examine la construction des connaissances scientifiques elles-mêmes et leur transposition pour la classe, tandis que le second s’intéresse davantage au mode d’enseignement des sciences.

International audience; Nous présentons une première étude qui permet de rendre compte des ruptures et des continuités dans la transition lycée-université à partir de l'analyse d'une tâche emblématique de cette transition qui vise à étudier une suite définie par récurrence de la forme Un+1=f(Un) . Les outils théoriques utilisés (issus de la théorie des Espaces de Travail Mathématique et de la Théorie de l'Activité) nous permettent de fournir des analyses de la tâche a priori et a posteriori. Nous constatons que les attentes de l'enseignement actuel par rapport à ces suites, se placent sur une analyse algébrisée de la notion. Cela nous amène à proposer des variations dans l'activité et le travail mathématique à atteindre lors de l'étude de ces suites, qui en l'occurrence, pourraient servir à introduire les élèves à l'analyse réelle.

International audience; Nous présentons une séance issue d'une séquence longue sur la base six proposée en formation initiale des professeurs des écoles. Dans cette séance, nous cherchons à aménager un milieu favorisant l'émergence de savoirs mathématiques spécifiques liés aux nombres réels et aux mesures de grandeurs. Une analyse qualitative des productions d'étudiants montre que les objectifs visés sont bien atteints sous certaines conditions d'application.

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International audience; The theory of Mathematical Working Spaces (ThMWS) is a young theory that appeared in the field of didactics of mathematics a decade ago with the objective of describing and constructing the mathematical work of students in a school context. To this end, the theoretical framework aims to link and closely combine epistemological and cognitive approaches. In this article, we deepen the very notion of mathematical work by focusing first on an epistemological approach that specifies the nature of work in mathematics and then on a philosophical approach that connects work and communication in a dialectical relation. These two approaches highlight the more or less implicit ideological assumptions that guide our research in didactics.

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Resumen En este artículo se presenta el modelo Espacio de Trabajo Matemático (ETM). Se pone de manifiesto el dinamismo de este modelo para reflexionar sobre la acción del profesor en el aula y sobre elementos importante a tener en cuenta en su formación. Los ETM se construyen con base en el conocimiento matemático y la experiencia del sujeto al hacer matemáticas, de ahí que su organización remita a dos planos: el epistemológico y el cognitivo, que serán el centro de la discusión de este trabajo. Se presentan las contribuciones al monográfico en las dinámicas que establecen el rol del docente en los conocimientos y las interacciones en el aula, desde dos puntos de vista en la formación de docente y en el rol del docente con los alumnos. Abstract In this article, the Mathematical Working Space model (MWS) is presented. It shows the dynamism of this model to reflect on the teacher's actions in the classroom and on the important elements to consider in their training. The MWS is built based on the mathematical knowledge and experience of the subject to do mathematics, hence the organization refers to two planes: the epistemological and the cognitive one, which will be the centre of the discussion in this work. Monographic contributions in the dynamics that are established in the role of the teacher in the knowledge and the interactions in the classroom are presented, from two points of view, from the teacher's training and from the teacher's role with the students.

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International audience; For more than a decade, a theoretical approach focusing on mathematical work in schooling has been developed by an international community of researchers. Grounded on geometry education research, the Mathematical Working Space (MWS) model emerged from this collaborative work and has been developed during symposia, the fifth of which being held in Florina in July 2016. may be helpful for discovering this model and its current state. This poster aims at illustrating and discussing one of the specificities of the model, which means that it was conceived to interact with other approaches. As Artigue (2016, p. 938) underlies: But the MWS construction is an object of a very different nature, at least in its current state. Its logic seems more that of an assembly that would incorporate, possibly with adaptation, a diversity of constructs and perspectives developed in the field, without privileging any of them. This gives the MWS structure a plasticity that big theories (...) do not have, and certainly contributes to its accessibility and attractivity. Conversely, this plasticity and attractiveness pose the challenging question of the real nature of its relationships with other theoretical approaches, which may be grounded on very different epistemological and methodological principles. In this poster our purpose is to address this question through some examples. For that reason, some key-points of the model will be presented and, in particular, how the study of mathematical work in schooling is framed. Then, some examples will be given to illustrate possible interactions with other theoretical and exogenous frameworks. All the examples come from special issues on MWS model and MWS symposia. The list of examples is not complete and other frameworks have been used, although they do not appear in the poster (Didactical Situation Theory, Anthropological Didactical Theory, Semiotic registers, etc.). Naturally, all the examples cannot be considered in detail but the fact that the model is supported on a diagram assists to illustrate interactions. The poster is organized around diagrams showing the findings of the different papers and questioning the openness and adaptability of the MWS model. Combining the model with Drouhard's epistemography. Drouhard's epistemography use has changed the view on tool and instrument in the MWS model (Kuzniak, Nechache & Drouhard, 2016). Depending on their nature and on the way they are being exploited to solve the problem, tools may be situated in any of the three poles of the epistemological plane. In the cognitive plane, one speaks of an instrument whenever a subject interacts with a tool in order to tackle a task effectively. Thus, a tool is associated with a corresponding instrument in the cognitive plane.

International audience; In the Mathematical Working Space (MWS) model, an epistemological plane and a cognitive plane are introduced with a focus on their interactions related to semiotic, instrumental and discursive dimensions (Figure 1a). The model is devoted to the analysis of mathematical work with, specifically, paradigms guiding and orienting the work. Numerous researches are based on the MWS model and the reader may refer to special issues in journals such as Bolema 30(54) and ZDM-Mathematics Education 48(6) in which an introduction to the model is given in the survey paper. Nevertheless, until now, few studies on modeling tasks have been based on the MWS model and we want to highlight recent researches, in particular coming from PhD studies within our team. Based on the modeling cycle (figure 1b) proposed by Blum and Leiss (2005), we suggest, in the poster, some adaptations which help to understand how MWSs can be used. The whole modeling process is not taken in its whole, and we focus more on how the analysis can be refined, mostly between phases 3 and 5 of the cycle, in relation to activity in different mathematical domains. Figure 1a: MWS diagram; Figure 1b: modeling cycle (Blum & Leiss, 2005) Nechache (2016) suggests describing the modeling work in probability situations, with the MWS framework. She identifies the importance of the theoretical referential of the MWSProba in the constitution of the real model. Then, for the analysis of the mathematical part, she fully uses the MWSProba. In the same way, the MWS model can be used for studying other mathematical domains. Derouet (2016) proposes a similar type of use for the mathematical part, but she associates sub-phases to the stages of the cycle in order to investigate the progress of the modeling process. She isolates a part of the cycle containing "real model" and "real results" that she names pseudo-concrete. It allows her to identify, in a modeling situation related to continuous probability, a work within the MWSProba in various working paradigms. In these studies, the MWS model allows to refine the analysis of the mathematical part by taking into account a first horizontal mathematization followed by a second vertical mathematization allowing to strengthen the mathematical model. Other types of change, or transition, are possible, Thematic Working Group 06 Proceedings of CERME10 1031 like the change of MWS or mathematical domains. In his study in relativist kinematics, Moutet (2016) suggests an extension of the MWS model to take into account a change of matters. He considers a second epistemological plane for physics, and he studies the interactions between these two planes and the cognitive level. In these studies, simulation associated with digital models can also be considered as an important stage of the modeling process. It plays two different roles. The first one is in relation to the development of the real model with a simulation close to the initial situation (urn model or a calculator which proposes rolls of dice or coin, in probability). The second role presupposes a stronger mathematical expertise in the MWS of the domain at stake as, for example, the implementation of an algorithm of dichotomy in analysis. Hence, the use of the MWS framework can enrich and strengthen the analysis of the modeling process based on the study of a cycle (figure 1b) in connection with a first resolution of the problem. It constitutes a first interaction between MWS and the modeling cycle, as a first cycle 1 : The modeling problem has been mathematized and it is possible to identify the epistemological and cognitive components of the MWS in relation to the student's activity and realization in the different domains and paradigms. But we can also, in a more didactic way, think of a second cycle aiming at a better understanding of the model and of the mathematical objects introduced to solve the problem by students. In that case, the modeling task proposed by a teacher aims not only at solving a real problem but more deeply at exploring and understanding the numerous uses of a mathematical notion, enriching the MWS, in particular the theoretical referential. This is what we are developing in a work on progress on the exponential function. Acknowledgment

Resumen La formación de profesores de primaria, en Francia como en Grecia, pone el acento en los números naturales y el sistema posicional. La introducción de bases diferentes de diez muestra que los Espacio de Trabajo Matemático (ETM) personales son guiadados por el componente semiótico (representamen) reducido a la base diez y que una parte del trabajo se puede interpretar como un cambio de dominio, entre la base diez y las otras bases. Proponemos retomar los análisis semióticos y estadísticos de una experimentación realizada en Francia y en Grecia con el modelo de los ETM que permite tomar en cuenta los diferentes componentes del trabajo matemático. El estudio finaliza con una experimentación elaborada en base siete que parece ayudar a la conceptualización y a la coordinación de los ETM relativos a los números en diferentes bases. Abstract Primary school teachers’ training in France and Greece emphasizes natural numbers and the positional system. The introduction of bases other than ten shows that personal ETMs are guided by semiotic component (representamen) reduced to the ten base and that some of the work can be interpreted as a change of domain between the ten base and the other bases. This work will resume the semiotic, praxeological and statistical analysis conducted for an experiment in France and Greece using the Mathematical Working Space (MWS) model, which allows us to take into account the different components of the mathematical work. The study was completed by an experiment developed on a seven base that seemed to help in the conceptualization and coordination between the MWS related to the different bases.

International audience; Les résultats que nous exposons dans cette étude provient d'un questionnaire proposé en début d'université au Chili, en France et au Mexique sur la notion de tangente à une courbe. Nous relevons les conceptions spontanées des étudiants en fonction des registres utilisés. Nous précisons ces conceptions en analysant des productions représentatives avec les perspectives ponctuelle, locale et globale, essentielle en analyse. Nous concluons par une discussion sur les Espaces de Travail Mathématique (ETM) personnel.

International audience; Nous présentons ici les tous premiers résultats d'un travail de recherche en cours visant à étudier la question des interrelations entre la conceptualisation des nombres réels et l'appropriation des principaux concepts de l'analyse en début d'université. Les données analysées ont été recueillies au moyen d'un questionnaire préliminaire visant à identifier quelques connaissances clés relatives à la topologie de l'ordre de R d'une part, aux limites de la visualisation en analyse d'autre part. Nous présentons brièvement les analyses a priori et a posteriori des quatre questions relatives à ces deux thèmes.

International audience; Le recours à l'analogie est une réalité, tant dans des dispositifs d'enseignement en chimie, mathématiques et physique, que, de fait, dans les pratiques des enseignants. Si certaines des fonctions heuristiques de l'analogie ou de formalisation jouent un rôle dans les sciences contemporaines, le recours à l'analogie peut parfois relever d'une pratique empirique dont les risques à plus long terme sur la compréhension des concepts scientifiques, voire la constitution d'obstacles didactiques, ne sont pas toujours envisagés.Cette publication du groupe "Mathématiques et réalité" du LDAR analyse dans une première partie des ouvrages sur les modèles contemporains de l'analogie. Dans une seconde partie l'étude de textes d'historiens des sciences conduit à s'interroger sur le fonctionnement de l'analogie en sciences. Dans une troisième partie des synthèses et des expérimentations didactiques apportent un éclairage sur son usage actuel dans les processus d'apprentissage ou d'enseignement.

This article proposes a construction of the field Q exclusively based on the periodic decimal writings. we also exposed algorithms for the four basis operations on rational number in decimal writing, without using the fractional writing. The mathematical results lead to a discussion on the teaching of numbers in the secondary education and also on the equality 0999...=1., Cet article propose une construction du corps Q à partir exclusivement des écritures décimales périodiques. Il y est également exposé des algorithmes pour effectuer les quatre opérations de base sur les rationnels en écriture décimale, sans passer par l'écriture fractionnaire. Les résultats mathématiques servent de base à une discussion sur l'enseignement des nombres dans l'enseignement secondaire et notamment sur l'égalité 0,999...=1.

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