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Cycles obey a packing-covering duality, as Erd��s and P��sa proved in their now classic 1965 paper: every graph contains k disjoint cycles, or a vertex set of size O(k���log(k)) that meets every cycle. More succinctly, we might say that cycles have the vertex-Erd��s-P��sa property. Here, a class of graphs has the vertex-Erd��s-P��sa property if there is a function f: N ��� N such that in every graph there are either k vertex-disjoint subgraphs belonging to the class or a vertex set X of size |X| ��� f(k) that intersects all subgraphs that lie in the class. Probably the most famous result in this field, after the theorem by Erd��s and P��sa, is due to Robertson and Seymour. They showed that the set of expansions of a fixed graph H has the vertex-Erd��s-P��sa property if and only if H is planar. In particular, this implies that the cycles have the vertex-Erd��s-P��sa property. One of the main results of this work is a generalization of the theorem by Robertson and Seymour to labelled graphs. Gallai proved that A-paths, that is for a vertex set A in a graph, paths with distinct endvertices in A that are otherwise disjoint from A, have the vertex-Erd��s-P��sa property. Bruhn, Heinlein and Joos showed that the A-paths of length equivalent to 0 mod m have the vertex-Erd��s-P��sa property if m=2 and they do not have it if m is a non-prime integer such that m���4. Then Bruhn et al. asked whether such paths have the vertex-Erd��s-P��sa property when m=4 or when m is an odd prime. In this work, it will be proven that such paths have the vertex-Erd��s-P��sa property when m=4. A more general result will be proven as well. To that end, let the edges of a graph G be weighted with elements of an abelian group ��. We say that a path P in G is zero (with respect to ��) if the sum of the weights of the edges of P is 0 ��� ��, where 0 is the neutral element of ��. The groups for which the zero A-paths have the vertex-Erd��s-P��sa property will be characterized, which also answers the question by Bruhn et al. for odd primes m. When we replace ''vertex/vertices'' by ''edge/edges'' in the definition of the vertex-Erd��s-P��sa property, we obtain the edge-Erd��s-P��sa property. Generally, much less is known about the edge-Erd��s-P��sa property than about the vertex-Erd��s-P��sa property. In particular, there is no edge-equivalent of the theorem by Robertson and Seymour. In this work, it will be shown that expansions of the house graph, the ladder with three rungs as well as long cycles have the edge-Erd��s-P��sa property (these graphs will be defined later). None of these are new results, however, the proofs obtained are simpler and with a slightly better bound on the size of an edge set that intersects all the corresponding graphs. Lastly, it will be proven that A--B-paths, that is for vertex sets A,B in a graph, paths with one endvertex in A and one in B that are otherwise disjoint from both A and B, of some minimum length have the edge-Erd��s-P��sa property.

Das Atemwegsepithel besitzt als immun-kompetentes Epithel zahlreiche effiziente Abwehrmechanismen, um sich vor Infektionen und somit vor einer mikrobiellen Besiedelung zu schützen. Der zentrale Regulator der immunologischen und inflammatorischen Prozesse im menschlichen Atemwegsepithel ist der Transkriptionsfaktor NF-κB. Fehlregulationen in der angeborenen Immunität des Atemwegsepithels, insbesondere im NF-κB-Signalweg, führen im Epithel sowie in den Atemwegen in zunehmendem Maße zu Schädigungen und strukturellen Umgestaltungen und unterstützen beim Menschen die Entstehung von Krankheiten wie Asthma und COPD. Da die Immunpathogenese des Atemwegsepithels aufgrund des Mitwirkens von klassischen Immunzellen des angeborenen und adaptiven Immunsystems sehr komplex gestaltet ist, scheint es in Wirbeltieren ausgesprochen schwierig zu sein, den Einfluss des Atemwegsepithels auf die Entstehung und den Verlauf akuter bzw. chronischer Erkrankungen der Atemwege zu entschlüsseln. Ein Ausweichen auf andere, einfach gestaltete Modellorganismen erscheint daher sinnvoll. Die Taufliege Drosophila melanogaster, der ein adaptives Immunsystem fehlt und die gleichzeitig über ein einfach strukturiertes Atemwegsepithel verfügt, bietet sich für die Entschlüsselung elementarer Mechanismen der angeborenen Immunität geradezu an. Da zu Beginn der vorliegenden Arbeit über die Organisation des epithelialen Immunsystems der Taufliege noch nichts bekannt war, wurde zunächst deren gesamtes Immunrepertoire ermittelt. Die Ergebnisse aus diesen Experimenten zeigen, dass das Atemwegsepithel der Larve über nahezu alle mustererkennenden Rezeptoren verfügt, die für die Pathogenerkennung auch im Rahmen einer systemischen Immunantwort essentiell sind. Zentraler Regulator immunologischer Prozesse ist hierbei der NF-κB-Signalweg immune deficiency (IMD), nicht jedoch Toll, der bei einer systemischen Immunabwehr synergistisch mit IMD die Expression der antimikrobiellen Peptidgene reguliert. Neben dem NF-κB-Signalweg IMD sind auch die mit der angeborenen Immunität in Verbindung stehenden Signalwege JAK/STAT und JNK im Atemwegsepithel der Larve vertreten. Als konstitutive Abwehrmechanismen stehen dem larvalen Atemwegsepithel verschiedene antimikrobielle Peptide, Lysozyme, enzymatische Antioxidantien und das ROS-bildende Enzym Duox zur Verfügung. Besonders hervorzuheben ist das eisenbindende Protein Transferrin, da es im larvalen Atemwegsepithel in sehr hohen Mengen konstitutiv vorhanden ist, voraussichtlich um einer mikrobiellen Besiedelung effizient vorzubeugen. Um die induzierbaren Abwehrmechanismen des Atemwegsepithels zu entschlüsseln, wurden die Atemwege der Larve mit unterschiedlichen Pathogenen infiziert. Hierdurch konnte gezeigt werden, dass verschiedene Pathogene die larvalen Tracheen über die Atemwegsöffnungen infizieren und im Epithel eine Immunantwort induzieren. Allerdings konnte in diesem Zusammenhang nur das natürlich vorkommende Pathogen Erwinia carotovora im gesamten Epithel der larvalen Atemwege eine Immunantwort auslösen. Transkriptom- und Proteomanalysen ergaben, dass nach einer Infektion mit Erwinia, die drei antimikrobiellen Peptide Drosomycin, Metchnikowin und Drosocin verstärkt synthetisiert werden, und dass die Transkriptionsrate der mustererkennenden Rezeptorgene pgrp-la und -lf signifikant erhöht ist. Um die Rolle des NF-κB-Signalwegs IMD in der Immunabwehr der larvalen Atemwege zu entschlüsseln, wurde ein Drosophila-Modell etabliert, in dem der IMD-Signalweg ektopisch im Atemwegsepithel der Larve aktiv ist. Transkriptomanalysen auf der Basis von RT-PCR- und Mikroarray-Experimenten konnten zeigen, dass der IMD-Signalweg durch den mustererkennenden Rezeptor PGRP-LE aktiviert wird und die Expression aller sieben verschiedenen antimikrobiellen Peptidgenklassen reguliert. Beim Vergleich der beiden Transkriptome fiel auf, dass im infizierten Atemwegsepithel nur wenige kanonische immun-relevante Gene verstärkt exprimiert werden und nur wenige dieser Gene eine Regulation durch IMD erfahren. Zu den Genen des IMD-Transkriptoms gehören neben den antimikrobiellen Peptidgenen und mustererkennenden Rezeptorgenen wie z.B. pgrp-la und auch mehrere, für Glutathion-S-Transferasen kodierende Gene. Ihnen fällt genauso wie für die im infizierten Atemwegsepithel verstärkt exprimierten Gene foxo und thor als „Survival-Gene“ eine Rolle beim Zellschutz und somit bei der Aufrechterhaltung der physiologischen Funktion des Epithels zu. In immunologisch sehr aktiven Bereichen der infizierten Atemwege wirken sich die Veränderungen auf Transkriptomebene auch auf phänotypischer Ebene aus. Die phänotypischen Veränderungen äußern sich insbesondere in einer Verdickung des Atemwegsepithels und können ebenfalls durch starke IMD-Aktivierung im gesamten Epithel der larvalen Atemwegen des Drosophila-Modells induziert werden. Die genauere histologische Analyse dieser Tracheen ergab, dass die Verdickung des Epithels mit einer Vergrößerung jeder einzelnen Atemwegsepithelzelle einhergeht und unter anderem auf hyperplastische Epithelzellen zurückzuführen ist. Wie Reporterstudien mit einem etablierten TARGET-Expressionssystem bestätigen konnten, geht der Phänotyp nicht auf einen entwicklungsbiologischen Defekt zurück und kann im Hintergrund des TARGET-Systems während der Larvalentwicklung gerichtet aktiviert bzw. reprimiert werden. Die Untersuchung eines akuten wie auch chronischen Verlaufs der Immunreaktion ist somit möglich und erlaubt durch den Transkriptomvergleich „akut versus chronisch“ die Identifizierung von Genen, die für die phänotypischen Veränderungen des larvalen Atemwegsepithels verantwortlich sind.