Search

A regional competition can inspire students to greater achievement. We are eager to challenge their math skills and motivation using interesting but really accessible problems. Considerable attention is paid also to the formulation of tasks. So even some local facts and or other well-known notions might also become a reasonable element of a problem.

Straipsnyje paliečiama gana aktuali gabių vaikų ugdymo problema, kuriai Lietuvoje nuo seno skiriamas nemažas dėmesys. Jau 1969 m. profesoriaus Jono Kubiliaus iniciatyva buvo įkurta Lietuvos jaunųjų matematikų neakivaizdinė mokykla, veikusi 20 metų, tačiau dėl susiklosčiusių aplinkybių nutraukusi savo veiklą. Čia pristatoma ir nagrinėjama 1998 m. atkurtos Lietuvos jaunųjų matematikų mokyklos (LJMM) dešimties metų veiklos patirtis. Kaip ir ankstesnė, ši mokykla yra dvimetė, mokymosi forma – neakivaizdinė. Mokinių atsiųsti užduočių sprendimai įvertinami, o rezultatai skelbiami LJMM interneto svetainės kiekvieno LJMM klausytojo asmeniniame puslapyje. Mokymasis LJMM užbaigiamas uždavinių sprendimo konkursu Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakultete. Lietuvos jaunųjų matematikų mokykla jau išleido 9 laidas – iš viso 3112 absolventų. Straipsnyje daugiausia dėmesio skiriama mokymo programoms, jų išmokimo analizei. LJMM studijų programos sudaromos taip, kad mokiniai turėtų galimybę ne tik pagilinti mokyklinės matematikos žinias, bet ir jas praplėsti. Atkreipiamas dėmesys į tai, kad Lietuvos jaunųjų matematikų mokyklą sėkmingai užbaigia tik apie pusė įstojusiųjų į LJMM mokinių. Nemažai LJMM absolventų sėkmingai studijuoja (ir ne tik tiksliuosius mokslus) ar jau baigė studijas įvairiuose universitetuose.

In this paper we make overview of the additional mathematical education for pupils in Lithuania. Mathematical contests and olympiads, clubs and schools, lectures of professional mathematicians and other activities are discussed including the history and contemporary condition of all these activities. We give special credit to the enthusiasm and work of the educators from schools and university and scientists in the field of additional education.

Globaliojo optimizavimo metodai, pagrįsti Lipšico rėžių apskaičiavimu, yra plačiai taikomi įvairių optimizavimo uždavinių sprendimui. Tačiau Lipšico metodai dažniausiai remiasi prielaida, kad Lipšico konstanta žinoma iš anksto, o tai retas atvejis sprendžiant praktinius uždavinius. Todėl Simonos Talačkaitės magistro darbe yra toliau nagrinėjama aktuali ir svarbi problematika iškylanti realizuojant Lipšico metodus nesiremiančius jokiomis išankstinėmis prielaidomis apie Lipšico konstantą. Praktinio tiriamojo pobūdžio magistro darbe iškeliamas toks pagrindinis tikslas: ištirti daugiamačių simpleksinių globaliojo optimizavimo algoritmų su nežinoma Lipšico konstanta efektyvumą priklausomai nuo naudojamo simplekso centro. Šiam tikslui pasiekti buvo iškelti šie uždaviniai: apžvelgti naujausią literatūrą skirta Lipšico metodams su nežinoma Lipšico konstanta; matematiškai išnagrinėti įvairių daugiamačių simplekso centrų apskaičiavimus bendru atveju bei juos realizuoti Matlab aplinkoje; papildyti simpleksinį globaliojo optimizavimo DISIMPL algoritmą šių simpleksų centrų apskaičiavimo paprogramėmis; eksperimentiškai ištirti pasiūlytų rezultatų praktiškumą sprendžiant testinius optimizavimo uždavinius. This work analyzes Global optimization objectives, the most important it will be algorithms with simplicial Lipšico constant. Also, this work analyzes multidi- mensional DIRECT algorithm. We will provide dividing in higher dimennsions DIRECT algorithm. Then analyzes two simplex and apply the solutions. The hand simplex to smallerpartitions. Perceive multidimensional DIRECT algorithm division rules. In this work wrote a lot about simplicial center about dividing of hyoer-cube. Finally, the experiment it will be about the best way, how we can …nd circle center ir diferent way. Simplex centers using 8 test funkcions , changing the number of iterations and mistakes number. Create tables and to analyzes them. The purpose of this paper work is to introduce the simplex algorithm for global optimization with unknown Lipšicas constant depending on the e¢ ciency of the division of the rules used in the simplex.

Magistro darbe nagrinėjamas katenoidų uždavinys, kuris sprendžiamas variaciniu metodu. Ištirta, kada egzistuoja šio uždavinio sprendinys su simetrinėmis kraštinėmis sąlygomis: y(-a)=y=(a)=A>0. Ištirti atvejai, kai uždavinys neturi sprendinio glodžių funkcijų klasėje. Ištirta, kada egzistuoja šio uždavinio sprendinys su nesimetrinėmis kraštinėmis sąlygomis y(a)=A, y(b)=B, A≠B. Uždavinys buvo sprendžiamas kompiuterinės programos Maple pagalba. In this master thesis the catenoid problem is discussed using the variational methods. The existence of the solution in the case of symmetrical boundary value conditions y(-a)=y=(a)=A>0 is established. An example is given in the case, when catenoid problem doesn’t have any solution in the class of smooth functions. Besides, an example of this variational problem with non-symmetrical boundary value conditions of the type y(a)=A, y(b)=B, A≠B, is considered. All problems were solved using technical computing sofware Maple.

Rekurentinių sąryšių taikymas matematikoje ir informatikoje yra labai platus. Sprendžiant daugelį kombinatorikos uždavinių naudojantis rekurentiniu sąryšiu, uždavinį su n objektų galime pakeisti uždaviniu su (n - 1) objektu, o šį – uždaviniu su (n - 2) objektu ir t.t. Paeiliui mažindami objektų skaičių, galų galiausiai gauname uždavinį, kurį nėra sudėtinga išspręsti. Rekurentinių sąryšių taikymas palengvina ir supaprastina uždavinių sprendimą, todėl jų naudojimas priimtinas daugeliui. Programavime rekurentiniai sąryšiai (rekursija) yra apibūdinama kaip funkcija, kuri kreipiasi pati į save. Ji naudinga, kai reikia programuoti veiksmus su nežinomu operacijų skaičiumi, įgalina supaprastinti algoritmo formulavimą. Apskritai rekursija neretai sutinkama įvairiose gyvenimo srityse. Pavyzdžiui, televizoriaus ekrane matome tą patį televizorių, kuriame vėl rodomas televizorius ir t. t. Rekurentinių sąryšių taikymą ir jo aktualumą pagrindžia ir nuolatinis jų naudojimas bankuose: sudėtinių palūkanų skaičiavimas, diskontavimas ir pan. Application of recurrence relations in mathematics and computer science is very widely used. To solve many task of combinatorics using recurrence relations, the task of n objects we can change with the task of the object (n - 1) and of this – task with object (n - 2) and etc. In turn reducing the number of the objects, finally we get the task that is not difficult to solve. When programming, always tries to split the task into more or less difficult to make a few simpler as well. For this purpose it is used to recursively functions. In generally, the application of recurrence relations to facilitate and simplify the combinatorics, discrete mathematics, probability theory, economic and other problems of solving.

Šiame darbe nagrinėjami dviejų sumų santykio kalibruotieji įvertiniai, kuriuose panaudojama daugiau negu po vieną kiekvieno tyrimo kintamojo papildomąjį kintamąjį. Naudojant skirtingas kalibravimo lygtis ir atstumo funkcijas čia sukonstruoti šeši tokio tipo įvertiniai. Taikant Teiloro ištiesinimo, visrakčio ir atsitiktinių grupių metodus sukonstruoti keleto naujų santykio įvertinių dispersijos įvertiniai. Modeliuojant nauji santykio įvertiniai lyginami tarpusavyje bei su standartiniu ir A. Plikuso įvertiniais. Tiriama, kaip įvertiniu tikslumą įtakoja imties dydis ir laisvai pasirenkami svoriai, kai koreliacija tarp tyrimo ir papildomų kintamųjų yra stipri. Keičiant imties dydį pastebėjome, kad daugeliu atvejų nauji santykio įvertiniai yra tikslesni už A. Plikuso įvertini. Taip pat pastebėjome, kad parenkant skirtingus laisvai pasirenkamus svorius įvertinių tikslumas išlieka panašus. Atliekant sukonstruotų santykio įvertinių dispersijų įvertinių tikslumo tyrimą, kai keičiamas imties elementų skaičius, pastebėjome, kad visrakčio metodu gautieji dispersijos įvertiniai yra tikslesni už Teiloro ištiesinimo ar atsitiktinių grupių metodais gautus dispersijos įvertinius. Visi matematinio modeliavimo eksperimentai atlikti, naudojant matematinių uždavinių paketą MATLAB 7.10.0. In this work we analyze the calibrated estimators of the ratio of two totals, which use more than one auxiliary variable for each study variable. Using different calibration equations and distance functions, we construct here six new estimators of the ratio. The estimators of the variance of some estimators of the ratio are constructed using Taylor linearization, jackknife and random groups methods. A simulation study is performed to compare new estimators of the ratio with the standard estimator and estimators, introduced by A. Plikusas. It is analyzed, how the characteristics of accuracy of estimators depend on the sample size and free additional weights when auxiliary variables are well correlated with study variables. The simulation results show that for some populations new estimators are more accurate than those, introduced by A. Plikusas. During the simulation, we observed, that the estimators of the variance of the estimators of the ratio that are constructed using jackknife method are more accurate than those that are constructed using Taylor linearization and random groups methods. The simulation results are obtained using the computer program that was made using the Language of Technical Computing MATLAB 7.10.0.

Šiame magistro diplominiame darbe, naudojant skirtingas atstumo funkcijas ir kalibravimo lygtis, išvedami Horvico ir Tompsono įvertinio dispersijos įvertinių svoriai. Tokiu būdu, sukonstruojami aštuoni nauji Horvico ir Tompsono įvertinio dispersijos įvertiniai. Naudojant Teiloro ištiesinimo metodą pateikiamos sukonstruotų įvertinių apytikslės dispersijos ir pasiūlyti šių dispersijų įvertiniai. Be to, darbe atliekamas matematinis modeliavimas, kurio eksperimentai atlikti naudojant darbo autorės sukurtas MATLAB programas. Matematinio modeliavimo tikslas - naujus įvertinius palyginti tarpusavyje ir su standartiniu įvertiniu. Tiriama, kaip įvertinių tikslumas priklauso nuo pasirinkto imties plano. In this master's graduation work, the weights of estimators of Horvitz & Thompson estimator of variance are defined by using some different distance function and calibration equations. In such a way, the new eight estimators of Horvitz & Thompson estimator of variance were constructed. Using the Taylor linearization method the approximate variances of the constructed estimators were derived. The estimators of the variances of these estimators are proposed as well. Also we perform here a mathematical modeling using MATLAB program. The aim of this mathematical modeling is to compare the new estimators with each other and with a standard one. We analyze also how the accuracy of estimators depends of selected sampling design.

Darbe nagrinėjamos koliestinės sluoksniuotės su apibrėžta metrika. Parodyta kaip šių erdvių metrinis tenzorius indukuoja tiesinę ir afiniąją sietį, surasti šių siečių kreivumo objektai. Įrodyta, kad šiose sluoksniuotėse egzistuoja vidinės homogeninės beveik kompleksinės struktūros. Nustatytos šių struktūrų integruojamumo sąlygos, surastos sąlygos, kad šį struktūra būtų Kelerio tipo. In this paper cotangent bundle with determinate metrics are analysed. It is shown how metrical tensor of those spaces induces linear and affine connections, also objects of those connections‘ curvature are found. It is proved that intrinsic homogeneous almost complex structure exists in that bundle. Conditions of those structure integration are identified as well as conditions for this structure to be Kahler‘s type are found.

Magistro darbe nagrinėjami paprastųjų tiesinių antros eilės diferencialinių lygčių sistemos su ypatuma kraštiniai uždaviniai. Ištirta sprendinių asimptotika ypatingojo taško aplinkoje. Surasti lygčių sistemos sprendinio įverčiai. Nagrinėjamų diferencialinių uždavinių sprendiniai, konstruojami naudojant integralinius operatorius. Įrodyta sprendinių vienatis. In this paper the some boundary value problems for a system of ordinary second order differential equations with singularity are considered. The asymptotic of solutions in the neighborhood of singular point are discussed. The estimates of the solution are given. The solutions of considered differential problems are constructed using some integral operators. The uniqueness of the solutions is proved.

Pastaruoju metu Lietuvoje vis daugiau dėmesio skiriama kompiuteriniam raštingumui mokyklose bei visuomenėje, tuo siekiant ugdyti, bei gerinti informacinę visuomenę. Rašant šį darbą buvo apžvelgta informacinių technologijų plėtra Lietuvos mokyklose ir kompiuterinis raštingumas Lietuvoje. Magistrinio darbo metu atliktas anketinis tyrimas, kurio tikslas buvo išsiaiškinti baigiamųjų klasių moksleivių kompiuterinio raštingumo įsisavintas žinias. Tyrimui atlikti buvo sudaryta anketa, apklausti 1596 mokiniai iš įvairių Lietuvos apskričių, atlikta duomenų analizė. Magistrantūros metu iš surinktų duomenų buvo paruoštas ir perskaitytas pranešimas „Baigiamųjų klasių moksleivių informacinių technologijų žinios“ Lietuvos kompiuterininkų sąjungos surengtame renginyje „Kompiuterininkų dienos – 2011“, X mokyklinės informatikos konferencijoje. Pagal pranešimą buvo parašytas straipsnis anglų kalba „Knowledge of ICT of secondary school graduates“, jis yra priimtas ir bus išspausdintas tarptautiniame Rytų ir Vidurio Europos mokslo žurnale „Informatics in Education“. In recent years more and more attention has been given to computer literacy at schools and overall society in order to develop and improve information society. The expansion of the information technologies at Lithuanian schools as wells as overall computer literacy in Lithuania has been reviewed for the preparation of this thesis, As a part of the thesis, a survey has been conducted in order to determine the level of computer literacy in the students of the final years at secondary schools. For this survey the questionnaire had been created, 1596 school students of various Lithuanian districts have been questioned and the data has been analyzed. During the Master studies, the data received from the survey has been used to prepare and to deliver the presentation entitled “Information Technology Knowledge of the Students in the Final Years at School” at the “Kompiuterininkų dienos – 2011“ organized by Lithuanian Computer Society and at 10 th Conference of School Informatics. Based on the presentation, an article “Knowledge of ICT of Secondary School Graduates” was written and submitted to be published in the international East and Central European science journal “Informatics and Education”.

Šiame magistro darbe nagrinėjamos papildomos informacijos panaudojimo galimybės konstruojant baigtinės populiacijos koreliacijos koeficiento įvertinius. Taikant imties plano svorių kalibravimo metodus sukonstruojami aštuoni nauji koreliacijos koeficiento įvertiniai. Įvertiniams konstruoti panaudotos kelios kalibravimo lygčių ir atstumo funkcijų kombinacijos. Kalibruotieji svoriai išvesti pasitelkiant Lagranžo neapibrėžtųjų daugiklių metodą. Naudojant Teiloro ištiesinimo ir visrakčio metodus sukonstruojami koreliacijos koeficiento įvertinių dispersijos įvertiniai. Darbe taip pat atliekamas matematinis modeliavimas, kuriuo siekiama palyginti naujai sukonstruotus įvertinius tarpusavyje ir su standartiniu įvertiniu. Įvertinių tikslumą lemia pakankamai didelė koreliacija tarp tyrimo kintamųjų ir jų papildomų kintamųjų, o du įvertiniai yra tikslūs ir esant mažai koreliacijai. Tiriama, kaip įvertinių tikslumą įtakoja imties dydis bei koreliacija tarp tyrimo ir papildomų kintamųjų. Matematinio modeliavimo eksperimentai atlikti, naudojant darbo autorės sukurtas MATLAB programas. This master’s thesis analyzes the opportunities of auxiliary information usage while constructing the correlation coefficient estimators of the finite population. By applying the methods of weight calibration of sample design the new eight correlation coefficient estimators are derived. Several combinations of calibration equations and distance measures are used to construct estimators. Calibration weights were derived through Lagrange multiplier method. Using Taylor linearization and jackknife methods variance estimators of the correlation coefficient estimators were constructed. The paper also contains a mathematical simulation aimed at comparing the new derived estimators in between and with a standard estimator. The accuracy of estimators is determined by rather substantial correlation between study and auxiliary variables, whereas two of the estimators are accurate even in the presence of bad correlation. It is tested how sample size and correlation between study and auxiliary variables influences the accuracy of estimators. All the mathemathical simulation tests were performed employing MATLAB programs that have been created by the author of this work.

Darbe nagrinėjami judesiai n-matėje hiperplokštuminių elementų erdvėje . Gauti rezultatai: 1. Įrodyta, kad n-matėje hiperplokštuminių elementų erdvėje maksimalus judesių grupių parametrų skaičius yra parametrai. 2. Įrodyta, kad n-matėje hiperplokštuminių elementų erdvėje su nesimetrine tiesine sietimi maksimalus judesių grupių parametrų skaičius yra parametrai. The present work analyses movements in n-dimensional space of hyperplaine elements . The received results: 1. It was proved that in the n-dimensional space the maximum number of movement groups parameters, number is parameters 2. It was proved that in the n-dimensional space the maximum number of movement groups parameters with asymmetric linear connection is parameters.

Application of recurrence relations in mathematics and computer science is very widely used. To solve many task of combinatorics using recurrence relations, the task of n objects we can change with the task of the object (n - 1) and of this – task with object (n - 2) and etc. In turn reducing the number of the objects, finally we get the task that is not difficult to solve. When programming, always tries to split the task into more or less difficult to make a few simpler as well. For this purpose it is used to recursively functions. In generally, the application of recurrence relations to facilitate and simplify the combinatorics, discrete mathematics, probability theory, economic and other problems of solving.

Darbe nagrinėjamos simetrinės trečiosios eilės liestinės sluoksniuotės, kurios apibrėžiamos kaip 3 - džetų aibės. Surasta simetrinės erdvės izotropijų grupė, o taip pat jos izomorfijų grupė. Gautos izomorfijų grupės struktūrinės lygtys, surasti erdvės Maurerio – Kartano lygčių analogai, įrodytos formulės, išreiškiančios indukuotosios afiniosios sieties kreivumo tenzorių komponentes izomorfijų grupės struktūrinėmis konstantomis. Taip pat gauta visa eilė tapatybių, siejančių kreivumo objektus ir izomorfijų grupės struktūrines konstantas (apibendrintos Ričio ir Bianchi tapatybės). The paper examined the symmetric third order tangent bundle, defined as 3- jet space. Found symmetric space isotropy group, as well as its isomorphy group. The resulting structural equation of isomorphy group, find this area Maurer - Cartan analogues of equations, an established formula, expressing inducted affines connection component of curvature tensors of the isomorphy group structural constants. Also received identities connecting the curvature objects structural constants of isomorphy group (generalized in Riči and Bianchi identity).

Šiame darbe nagrinėjama speciali atraminių elementų erdvė – tiesinių elementų erdvė. Šios geometrijos bendrąją tiesinių ir afiniųjų siečių teoriją sukūrė V. Bliznikas. Jis parodė, [5] kaip tiesinės sieties geometrinis objektas indukuoja aukštesniųjų eilių afiniųjų, taip pat tenzorinių siečių objektams. V. Blizniko sukurtais tyrimo metodais dalinai naudojomės ir šiame darbe. Metrinių hiperplokštuminių elementų erdvė yra taip vadinamų normalizuotų erdvių atvejis. Normalizuotos erdvės tai tokios, kuriose apibrėžtos koks nors diferencialinis – geometrinis objektas, kurio invariantai ir sudaro normalizuotos erdvės geometrijos turinį. Tokiais objektais dažnai būna skaliarinė funkcija. (Finslerio ar Kartano erdvės), metrinis tenzorius (tiesinių ar hiperplokštuminių elementų erdvės), afiniosios sieties objektas (afiniosios sieties erdvės) ir pan. Šiame darbe nagrinėjamos metrinių tiesinių elementų erdvės, kurios yra normalizuojamos metrinio tenzoriaus pagalba. Be to, tas tenzorius turi specialią struktūrą (žr. [1]). Ta struktūra charakteringa tuo, kad visuomet tokios erdvės yra Landsbergo erdvių analogai. Darbe pavyko tokioms metrikoms sukonstruoti vidines beveik kompleksines ir beveik sandaugos struktūras, surasti jų integruojamumo sąlygą, kurios dėka metrikos specifika yra kitokia nei analogiškos sąlygos Finslerio erdvėse. Darbas sudarytas ir iš įžangos ir 8 paragrafų. Pirmajame paragrafe dėstomas įvadas į liestinių sluoksniuočių geometriją. Antrajame nagrinėjama šių erdvių... [toliau žr. visą tekstą] The elements of metric space with a special form of metric are dealt with in the work. It is shown how in such spase linear and affine links are defined with the help of metric tenzor, the ogjects of curvature are founds the existence of the type of metric affine links is proved. It is proved that the metric tenzor induces two parametric almost complex and almost the structures of product, the integration criteria of these structures are found. Keywords: • differentiable manifold • tangent stratified; • linear and affine traceable; • integrated struktures; • structural tensors.

Farėjus (John Farey) 1816 m. apibrėžė seką, kurią sudaro trupmenos tarp nulio ir vieneto, kurių vardikliai neviršija n. Ši seka paprastai rašoma didėjančia tvarka. Farėjaus sekos turi daug įdomių savybių. Šiame darbe pagrindinis dėmesys skiriamas Farėjaus sekų savybėms analizuoti. Kartu atsiskleidžia vis kitokios Farėjaus sekų interpretacijos. Taip prieinama iki Minkovskio teoremos. Darbe išnagrinėti keli šios teoremos įrodymo būdai. Apskritai matematinių objektų geometrinė interpretacija geriau padeda įsivaizduoti, suvokti juos. Pati paprasčiausia Farėjaus sekų geometrinė interpretacija – jos narių atidėjimas skaičių tiesėje. Įdomesnį būdą, vadinamą Fordo apskritimais, pateikė matematikas Fordas (Lester R. Ford) 1938 m. Į Farėjaus sekas darbe yra pažiūrėta ir pro geometrijos prizmę. Pademonstruotas Farėjaus sekų interpretavimas trikampių viršūnėmis. Farėjaus sekų nariais gana tiksliai aproksimuojami realieji skaičiai. Darbe paliečiami ir šie klausimai. Pateikti MAPLE algoritmai, kuriais surandama konkrečios eilės Farėjaus sekai priklausanti pirmoji didesnė už įvestą realųjį skaičių trupmena, surandamas artimiausias šiam skaičiui Farėjaus sekos narys. Pateikti ir keletas kitų algoritmų – Farėjaus sekos sudarymo, jos narių skaičiaus radimo bei Fordo apskritimų piešimo. Štaufas (Heiner Stauff) matematikas ir literatūros mokytojas, yra pasakęs, jog matematika yra graži. Šiuos jo žodžius patvirtina skyrelis „Piešimas Farėjaus sekomis“. Farey sequences are named after the British geologist John Farey, whose letter about these sequences was published in the Philosophical Magazine in 1816. Farey conjectured that each term in a Farey sequence is the mediant of its neighbours. In this work you may find the analysis of the main properties of Farey sequences, different their interpretations, examples. Also there is considered the question of the aproximation of real number by Farey sequence. Various situations and a few algoritms (Farey sequence formation, Ford circles drawing) were demonstrated using MAPLE. These and others facts introduce the Farey sequences as picturesque mathematical object.

Inkstų persodinimas yra aktuali priemonė gydant inkstų ligas. Nuo inkstų ligų visame pasaulyje kenčia apie 10 % suaugusių žmonių. Vienas suaugęs žmogus iš dešimties kenčia nuo chroniškų inkstų ligų. Apie 1,5 mln. žmonių gyvybė palaikoma dializės būdu, vidutiniškai jie inkstų persodinimo laukia apie septynerius metus. Šio darbo tikslas — nustatyti ligoniams persodinto inksto atmetimo riziką, išgyvenamumo galimybes bei terapijos įtaką. Darbe buvo tiriami duomenys pasitelkiant Kaplan-Meierio išgyvenamumo analizę, Kokso regresiją, logistinę regresiją ir t.t. Iš viso buvo ištirti 604 tiriamieji, kuriems buvo persodintas inkstas ir nustatyta, kad veiksniai įtakojantys inksto atmetimą yra ligonio amžius, svoris bei kreatino kiekis tyrimo pradžioje. Kaplan-Meierio išgyvenamumo analizė parodė, kad išgyvenamumo kreivės iki inksto atmetimo nepriklauso nuo gydymo. Kokso regresijos modelis atskleidė, kad inksto atmetimas susijęs su kreatino kiekiu pradžioje, svoriu bei amžiumi. Be to, tyrimas rodo, kad kreatino kiekis pabaigoje sumažėja, taikant tiek kontrolinę, tiek gydomąją terapiją. Reikšminiai žodžiai: p-reikšmė, Šapiro–Vilko W kriterijus, Hosmerio–Lemešou kriterijus, Voldo kriterijus. Kidney transplantation is the actual measure when treating kidney diseases. Approximately 10 percents of adults are suffering from kidney diseases. One adult person from ten suffers from chronic kidney diseases. Lifes of 1,5 millions persons are supported by dialysis. They are waiting for kidney transplantation approximately seven years. The goal of this work is to determine the risk of rejection of kidney transplanted to the patients, possibilities of survival and the influence of therapy. The data were researched in the work, invoking Kaplan-Meyer survival analysis, Cox regression and the logistics regression, and so on. In total 604 studies have been researched with the transplanted kidney and it has been determined that the factors, influencing the kidney rejection are the age of the patient, weight and quantity of creatine in the beginning of the research. Kaplan-Meyer survival analysis has shown that the survival curves until kidney rejection do not depend upon the treatment. Cox regression model has revealed that the kidney rejection is related to the quantity of creatine in the beginning, weight and age. In addition, the research shows that the quantity of creatine has decreased at the end, when either treatment or control therapies were applied. Keywords: P-meaning, Shapiro & Wilk W test, Hosmer & Lemeshow test, Vold test.

Šiame darbe sprendžiamas multiplikatyviųjų funkcijų reikšmių sumavimo uždavinys. Nagrinėjama klasė , kuriai priklauso funkcijos, tenkinančios keletą sąlygų. Svarbiausia iš jų: . Čia C – konstanta, o M – pakankamai didelis, bet fiksuotas teigiamas realusis skaičius. Šios sąlygos prasmė: klasės funkcijos pirminių skaičių aibėje yra artimos vienetui. Darbe įrodyta teorema: jei , tai kai , teisinga asimptotinė formulė . Čia tam tikra konstanta, priklausanti nuo funkcijos . The problem of an asymptotical behaviour of values of multiplicative functions is solved in this work. The class is defined with some conditions. The most important condition is: , C is a constant, M is a sufficiently large real positive number here. The following theorem is proved: if function belongs to the class then when . A constant depends on function .

Temos „Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pradmenų mokymas Lietuvos mokykloje XX a. 3 – 4 dešimtmetyje“ svarbumas grindžiamas tuo, kad išanalizavus diferencialinio ir integralinio skaičiavimo mokymą tarpukario Lietuvoje (1918 – 1940), faktiškai būtų galima geriau suprasti ir dabartinės Lietuvos mokyklos diferencialinio ir integralinio skaičiavimo mokymo privalumus ir trūkumus. Darbas dar svarbus ir tuo, kad jame nuodugniai išnagrinėta diferencialinio ir integralinio skaičiavimo mokymas (programos, vadovėliai) iki matematikos mokymo reformos (1918 – 1928) ir po jos (1929 – 1940). Atskirai tema specialiai nebuvo nagrinėta, tik paliečiama Algirdo Ažubalio „Matematika lietuviškoje mokykloje (XIX a. pr. – 1940)“, Juozo Banionio „Matematinė mintis Lietuvoje (istorinė apžvalga 1832 – 1990 m.)“ knygose. Be to, vadovėliai: J. Stoukaus „Begalinių mažybių analizio pagrindai“ (1925), A. Juškos „Matematinės analizės pagrindai“ (1934), B. Godvaišos ir J. Šinkūno „Matematika“ antra dalis (1996) nebuvo lyginti. Darbo tikslai: • apžvelgti, išanalizuoti ir palyginti diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pradmenų mokymą Lietuvos mokykloje iki matematikos mokymo reformos, po reformos ir dabar; • nustatyti diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pradmenų mokymo privalumus ir trūkumus minėtais laikotarpiais. Matematikos mokymas Lietuvoje 1918 – 1940 metais: buvo organizuotas, modernėjo, remtasi Vakarų Europos pavyzdžiu. Tai liudija: nepriklausomybės metais tobulintos... [toliau žr. visą tekstą] The relevance of the topic “Teaching of Differential and Integral Calculation Basics in Lithuanian Schools in 3 – 4 Decades of the XXth Century” is based on the assumption that analysis of teaching of differential and integral calculation in the interwar Lithuania (1918-1940) would actually enable better understanding of advantages and drawbacks of teaching differential and integral calculation in Lithuanian schools nowadays. The final thesis is important for it thoroughly analyses teaching of differential and integral calculation (curricula, textbooks) before the teaching reform in mathematics (in 1918 – 1928) and after the reform (in 1929 – 1940). Separately the topic was not analysed but only mentioned in the following books: Algirdas Ažubalis “Matematika lietuviškoje mokykloje (XIX a. pr. - 1940)” (Mathematics in Lithuanian School (Beginning of XIX Century – 1940)), Juozas Banionis “Matematinė mintis Lietuvoje (istorinė apžvalga 1832 – 1990 m.)” (Mathematical Thought in Lithuania (Historical Survey 1832 – 1990). Moreover, the following textbooks: J. Stoukus “Begalinių mažybių analizio pagrindai” (Basics of Infinite Least Analysis) (1925), A. Juška “Matematinės analizės pagrindai” (Basics of Mathematical Analysis) (1934), B. Godvaiša and J. Šinkūnas “Matematika” (Mathematics) Volume II (1996) were not compared. Aims of the final thesis shall be the following: • To make an overview, analysis and comparison of teaching differential and integral calculation basics in... [to full text]

Diplominiame darbe nagrinėjamas specialusis atraminių elementų erdvės atvejis, kai atraminis elementas yra II – os eilės viršvektorius ( p = 2 ). Pirmieji du darbo paragrafai yra referatyvinio pobūdžio. Pirmajame paragrafe gautos diferencijuojamos daugdaros struktūrinės lygtys, pateikiamos kai kurių diferencialinių geometrinių objektų ( skaliarinės funkcijos, tenzorinio lauko, viršvektorinio lauko ir afiniosios sieties objekto ) diferencialinės lygtis. Antrajame paragrafe afiniųjų ir tenzorinių siečių pagalba apibrėžta tenzoriaus invariantinio diferencijavimo operacija ir surastos tenzoriaus kovariantinės išvestinės. Surastos sąlygos kada tenzoriaus kovariantinės išvestinės, apibrėžto afiniosios sieties pagalba sutampa su šio tenzoriaus kovariantinėmis išvestinėmis, apibrėžtomis tenzorinės sieties pagalba. Trečiajame paragrafe apibrėžiama antros eilės atraminių viršvektorių erdvė, surastos šios erdvės struktūrinės lygtys ir ištirta liečiamosios ir koliečiamosios erdvių struktūra. Ketvirtajame paragrafe nagrinėjamos koliečiamosios erdvės normalizacijos. Tiesinės sieties pagalba kolie���iamojoje erdvėje išskiriami du invariantiniai poerdviai. Iš tiesinės sieties komponenčių ir jų pirmojo tęsinio sukonstruotos šios erdvės nepilna afinioji ir nepilna tenzorinė sietys, surasti šių siečių tarpusavio ryšiai, surastos pakankamos sąlygos, kad nepilnoji afinioji sietis sutaptų su nepilnosios tenzorinės sieties indukuota afiniąja sietimi. Čia tai pat surastos erdvės su nepilnąja... [toliau žr. visą tekstą] In work it is examined special case of spaces support elements, when support elements are the super – vectors of the second order ( p = 2 ). The space of the second order support super – vectors is certain, the structural equations of this space are found and the structure tangential and cotangential spaces is researched. Further it is examined to space tangential spaces normalization. By means of linear connectivity in tangential space are detach two invariant subspaces. By means of components of linear connectivity and their first continuation are designed incomplete affine and incomplete tensors connectivity of this space, also connection between them is found. Further by means of linear connectivity natural normalization of space is examined, it is proved that the object of linear connectivity and its first continuation induces incomplete super – vector connectivity of this space. The structural equations of space with incomplete super – vector and complete super – vector connectivity are found. As operation of invariant differentiation of a super - vector field is certain, analogues of Richi and Bianca identities are received.

Darbe pateiktas sluoksniuotų erdvių normalizacijos modelis, tiriama normalizuotų erdvių geometrija, randami gaunamos geometrijos vidinių siečių konstravimo metodai. Šiuo tikslu nagrinėjamos neholonominės sietys Lie sluoksniuotėse, išskiriamas vertikalų Lie sluoksniuočių ir vertikalių siečių atvejis. Nustatomi ryšiai tarp neholonominių siečių. Normalizuotų erdvių vidinių neholonominių siečių teorija yra pradedama struktūrinių modulių ir konstravimu, leidžiančiu vidines , ir - sietis apibrėžti reikalavimais , ir . Sietys, gaunamos normalizuojančioje Lie sluoksniuotoje vadinamos normalinėmis sietimis. Normalinės sietys, suderintos su vidinėmis sietimis, yra vidinėmis normalinėmis sietimis. This paper deals with the normalization model of the fiber spaces . The geometry of normalized space is researched. The methods of derivable geometric intrinsic transfer construction are discovered. For this purpose non-holonomy transfers in Lie fibers are analyzed, the case of vertical Lie fibres and vertical transfer is distinguished. The links among non-holonomy transfers are established. The proposed model of the fiber space is distinguished for the rich geometry of normal spaces, allowing to anticipate its further developmental possibilities.

Nacionalinių mokinių pasiekimų tyrimo metodologija yra nuolat plėtojama. Pasitarus su Švietimo plėtotės centro tyrimo skyriaus darbuotojais, buvo nuspręsta įsigilinti į klasterinės ir diskriminantinės analizės metodus, jų pritaikomumą nacionalinių tyrimų rezultatų analizei. Tai įtakojo šio darbo pasirinkimą ir tikslą - susipažinti su Klasterinės ir Diskriminantinės analizės metodais, pateikti ir aptarti jų taikymo pavyzdžius. Darbe išnagrinėti du daugiamačiai statistiniai metodai: klasterinė ir diskriminantinė analizė. Yra aptarti šių metodų teoriniai aspektai bei pateikti originalūs šių metodų pritaikymo mokinių pasiekimų tyrimams pavyzdžiai. Padarytos išvados apie šių metodų pritaikomumą nacionalinių mokinių pasiekimų tyrimo analizei atlikti. National research of student marches are continually evolving. With Educational evolve center’s help I decided to analyse Cluster and Disckriminant analysis methods and how they can be used in National research analysis. This was a reason of my work purpose - to have a look at Cluster and Disckriminant analysis methods, to offer examples of practical use. There are two statistical multidimensional methods discussed in this work (Cluster and Disckriminant analysis). There are discussed theoretical side of these methods, also you can find original examples of practical use. In conclusion I discuss about practical use of these methods in national research of student marches.

Magistriniame darbe ,,Formulių redukcija multiplikatyvioje aritmetikoje” nagrinėjamas sekvencinis multiplikatyvios aritmetikos variantas su lygybe. Šis skaičiavimas yra bazė, kuriant skaičiavimus,naudojamus automatizuojant įrodymus įvairiuose aritmetikos fragmentuose. Darbo tikslas- susipažinti su įrodymo teorija bei jos taikymu sekvenciniame multiplikatyviosios aritmetikos variante.Darbas padalintas į 3 skyrius : pargindinės sąvokos, pagalbinės lemos ir formulių redukcija. Pradžioje pateikiamas trumpas įvadas į Peano aritmetiką.Apibrėžiamas sekvencinis skaičiavimas K, turintis neloginių simbolių signatūrą {0,',P, *,=}.Savarankišką darbo dalį sudaro antrasis bei trečiasis skyriai.Bet kuriai bekvantorinei skaičiavimo K formulei A(x) randama tam tikros formos jai ekvivalenti normalioji disjunkcinė forma.Taip pat nagrinėjama sutvarkytųjų formulių redukcija. In this postgraduate work “Reduction of formulas in the multiplicative arithmetic” the sequential variant with equality of multiplicative arithmetic is being analyzed. This calculus is a base when creating calculations which are used in different fragments of arithmetic. The aim of this work is to get acquainted with a proving theory and its application in sequential variant of multiplicative arithmetic. The work is divided into 3 sections: main conceptions, auxiliary lemmas and formula’s reduction. The short introduction into Pean’s arithmetic is given in the beginning. The sequential calculus K, which has non-logical symbol’s signature {0,`,P,.,=} is being described. Sections 2 and 3 are self-sufficient parts of this work. For any formula A(x) of calculation K the equivalent normal disjunctive form is found. Also the reduction of ordered formulas is analyzed.

Functions that have range of definition equal to the set of natural numbers are called arithmetical functions. Values of such functions are spread chaotically in the set of natural numbers, however, mean value can be calculated precisely enough. The goal of this thesis is to approve some of the theorems about arithmetical functions by certain mathematical calculations using Mathematica software suite.

Šiame darbe išnagrinėti matematikos žinių vaizdavimo klausimai. Pirmoje darbo dalyje išnagrinėti žinių ir pažinimo vystymosi teorijos elementai, antrojoje – žinių vaizdavimo schemos ir būdai. Išnagrinėjus bendrus žinių vaizdavimo modelius, tie modeliai pritaikyti matematinėms žinioms. Sukurti žinių gyvavimo ciklo ir stangrių žinių modeliai nagrinėjant funkcijos sąvokos raidą. Taip pat išnagrinėjus bendrojo žinių vaizdavimo schemas ir būdus, sukurti metakognityviniai įrankiai (Vee schemos, sąvokos apskritiminės diagramos, sąvokų žemėlapiai, semantiniai tinklai) funkcijos ir diferencialinės lygties sąvokoms. Tiek sukurtąjį funkcijos modelį, tiek funkcijos bei diferencialinės lygties sąvokų vaizdavimo schemas galima pritaikyti mokymui. Jas galima panaudoti aiškinant funkcijos ir diferencialinės lygties sąvokas. Taip pat schemos padeda mokantis savarankiškai. This work focuses on questions concerned with representation of mathematical knowledge. In the first part there are pointed out knowledge and cognitive development theory elements, while the other part of the work deals with schemes and techniques of knowledge representation. Futher general models of knowledge representation are applied for mathematical knowledge. In addition, according to development of function concept there are discovered both cycles of knowledge existence and resilient knowledge models. Apart from this, there are discovered metacognitive tools, such as Vee diagrams, concept circle diagrams, concept maps, semantic networks for function and differential equation concepts, based on general ways of knowledge representation ways. Functional models either schemes of function or differential equation concepts representation might be applied for teaching. Besides schemes are useful while learning by own.