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In this work we first propose a method for the derivation of a general continuous antilinear time-dependent (TD) symmetry operator I(t)I(t) for a TD non-Hermitian Hamiltonian H(t)H(t). Assuming H(t)H(t) to be simultaneously \rho(t)ρ(t)-pseudo-Hermitian and \Xi(t)Ξ(t)-anti-pseudo-Hermitian, we also derive the antilinear symmetry I(t)=\Xi^{-1}(t)\rho(t)I(t)=Ξ−1(t)ρ(t), which retrieves an important result obtained by Mostafazadeh [J. Math, Phys. 43, 3944 (2002)] for the time-independent (TI) scenario. We apply our method for the derivation of the symmetries associated with TD non-Hermitian linear and quadratic Hamiltonians. The computed TD symmetry operators for both cases are then particularized for their equivalent TI Hamiltonians and PT -symmetric restrictions. In the TI scenario we retrieve the well-known Bender-Berry-Mandilara result for the symmetry operator: I^{2k}=1I2k=1 with kk odd [J. Phys. A 35, L467 (2002)]. The results here derived allow us to propose a useful symmetry-metric relation for TD non-Hermitian Hamiltonians. From this relation the TD metric is automatically derived from the TD symmetry of the problem. Then, when placed in perspective with the antilinear symmetry I(t)=\Xi^{-1}(t)\rho(t)I(t)=Ξ−1(t)ρ(t), the symmetry-metric relation finally allow us to derive the \Xi(t)Ξ(t)-anti-pseudo-Hermitian operator. Our results reinforce the prospects of going beyond \mathcal{PT}𝒫𝒯-symmetric quantum mechanics making the field of pseudo-Hermiticity even more comprehensive and promising.

Agradecimentos: A.S. acknowledges support from the National Council for Scientific and Technological Development (CNPq, Brazil) under Grant No. 140549/2018-8. P.N. and M.V.S.B. acknowledge financial support from CNPq under Grant No. 141018/2017-8 and FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo, Brazil; Grants No. 2018/06365-4, No. 2018/21285-7, and No. 2020/02170-4). B.G. acknowledges support from the National Science Center (NCN), Poland, under Projects No. 2020/38/E/ST3/00269 and the PL-Grid infrastructure. S.D. acknowledges support from the U.S. National Science Foundation under Grant No. DMR-2010127 Abstract: Currently, existing quantum annealers have proven themselves as viable technology for the first practical applications in the noisy-intermediate-scale-quantum era. However, to fully exploit their capabilities, a comprehensive characterization of their finite-time excitations is instrumental. To this end, we develop a phase diagram for driven Ising chains, from which the scaling behavior of the excess work can be read off as a function of process duration and system size. "Fast" processes are well described by the Kibble-Zurek mechanism; "slow" process are governed by effective Landau-Zener dynamics; and "very slow" processes can be approximated with adiabatic perturbation theory CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO - CNPQ FUNDAÇÃO DE AMPARO À PESQUISA DO ESTADO DE SÃO PAULO - FAPESP Fechado

Agradecimentos: A.S. and M.V.S.B. acknowledge E. Miranda for fruitful discussions. A.S. and M.V.S.B. thank the National Council for Scientific and Technological Development (CNPq) for support under Grant No. 140549/2018-8 and FAEPEX (Fundo de Apoio ao Ensino, à Pesquisa e à Extensão, Brazil) for support under Grant No. 2146-22. P.N. and M.V.S.B. also acknowledge the financial support of CNPq (Grant No. 141018/2017-8) and FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo, Brazil; Grants No. 2018/06365-4, No. 2018/21285-7, and No. 2020/02170-4). B.G. acknowledges support from the National Science Center (NCN), Poland, under Project No. 2020/38/E/ST3/00269. S.D. acknowledges support from the U.S. National Science Foundation under Grant No. DMR-2010127 Abstract: Current-generation quantum annealers have already proven to be successful problem solvers. Yet quantum annealing is still very much in its infancy, with suboptimal applicability. For instance, to date it is still an open question which annealing protocol causes the fewest diabatic excitations for a given eigenspectrum, and even whether there is a universally optimal strategy. Therefore, in this paper, we report analytical and numerical studies of the diabatic excitations arising from nonlinear protocols applied to the transverse field Ising chain, the exactly solvable model that serves as a quantum annealing playground. Our analysis focuses on several driving schemes that inhibit or facilitate the dynamic phases discussed in a previous work. Rather remarkably, we find that the paradigmatic Kibble-Zurek behavior can be suppressed with "pauses" in the evolution, both for crossing and for stopping at the quantum critical point of the system CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO - CNPQ FUNDAÇÃO DE AMPARO À PESQUISA DO ESTADO DE SÃO PAULO - FAPESP Fechado

We develop an inhomogeneous quantum mean-field approach to the behavior of collective excitations across the superfluid–Mott glass quantum phase transition in two dimensions, complementing recent quantum Monte Carlo simulations (Puschmann et al. 2020). In quadratic (Gaussian) approximation, the Goldstone (phase) and Higgs (amplitude) modes completely decouple. Each is described by a disordered Bogoliubov Hamiltonian which can be solved by an inhomogeneous multi-mode Bogoliubov transformation. We find that the Higgs mode is spatially localized in both phases. The corresponding scalar spectral function shows a broad peak that is noncritical in the sense that its peak frequency does not soften but remains nonzero across the quantum phase transition. In contrast, the lowest-energy Goldstone mode delocalizes in the superfluid phase, leading to a zero-frequency spectral peak. We compare these findings to the results of the quantum Monte Carlo simulations. We also relate them to general results on the localization of bosonic excitations, and we discuss the limits and generality of our approach.

Orientador: Alfredo Miguel Ozório de Almeida Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin Resumo: Fazemos a apresentação e desenvolvimento da teoria de formas normais num contexto de estudo do comportamento caótico de sistemas dinâmicos hamiltonianos. Em particular, tratamos de hamiltonianos autônomos de dois graus de liberdade, em torno de pontos de sela. Este é um dos casos em que Moser demonstra a convergência da forma normal. Além disso, mostramos que a forma normal em torno de pontos de sela explicita naturalmente a geometria cilíndrica do fluxo na vizinhança destes pontos. Por outro lado, a existência de uma topologia cilíndrica numa região extensa em torno do ponto de sela é a assinatura, no próprio fluxo, do comportamento caótico. Esta combinação permite um cálculo semi-analítico preciso, diretamente no espaço de fases de quatro dimensões, daquelas estruturas do fluxo que, numa seção de Poincaré conveniente, se projetam na célebre figura homoclínica. Aplicamos o método à hamiltoniana de Hénon-Heiles. Em particular, pudemos computar com precisão, e pela primeira vez, as órbitas periódicas instáveis vizinhas do ponto de sela, as órbitas homoclínicas associadas a estas últimas e as órbitas periódicas de período longo que se acumulam nas homoclínicas. Qualitativamente, foi possível obter indícios numéricos de que a região de convergência da forma normal, inicialmente estabelecida por Moser , pode ser estendida de algum modo numa vizinhança ao longo das variedades estável e instável que emanam do ponto de sela. Finalmente, apresentamos as perspectivas de continuação do presente trabalho Abstract: Not informed Doutorado Física Doutor em Ciências

Orientador: Marco Antonio Teixeira Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Neste trabalho estudamos sistemas dinâmicos possuindo estruturas Hamiltonianas e reversíveis... Abstract: In this work we study dynamical systems possessing Hamiltonian and time-reversible structures. The reversibility concept is de¯ned in terms of an involution. Initially we discuss the dynamics of Hamiltonian vector ¯elds with 2 and 3 degrees of freedom around an elliptic equilibrium in the presence of an involution which preserves the symplectic structure. The main results discuss the existence of one-parameter families of reversible periodic solutions terminating at the equilibrium. The main techniques that are used in the proofs are Belitskii and Birkho® normal forms and the Liapunov-Schmidt Reduction. Next we consider a case of the 3-body restricted problem in rotating coordinates. In this case the two primaries are oving in an elliptic collision orbit. By the continuation method of Poincare we characterize that the periodic circular orbits and the symmetric periodic elliptic orbits from the Kepler problem which can be prolonged to pseudo periodic orbits of the planar restricted 3{body problem in rotating coordinates with the two primaries moving in an elliptic collision orbit Doutorado Topologia e Geometria Doutor em Matemática

Orientador: Paulo Roberto de Paula e Silva Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin Resumo: Uma Hamiltoniana simplificada é apresentada para a descrição de transições ferroelétricas. Graças à aproximação do campo molecular, a anarmonicidade do potencial local é tratada exatamente. Resultados interessantes são obtidos para a importancia relativa dos efeitos quânticos na determinação de Tc para o KDP, DKDP e Nitrito de Sódio. Uma curva é obtida para a influência da barreira na determinação de Tc. O modelo do poço quadrado simples descreve qualitativamente os resultados de Samara para a variação da temperatura crítica com a pressão hidrostática, no KDP. Mostra-se que o modelo de Tsallis descreve quantitativamente os resultados de Samara para o KDP Abstract: A simplified Hamiltonian is presented to describe ferroelectric transitions. Thanks to the Molecular Field Approximation , the anharmonicity of the local potencial is treated exactly. Interesting results are obtained for the relative importance of the quantum effects in the determination of Tc, for KDP, DKDP and Sodium Nitrite. A curve is obtained for the effect of the barrier on the determination of Tc. The simple square well model describes qualitatively the results of Samara for the variation of the critical temperature with hydrostatic pressure, in KDP. It is shown that Tsallis model describes quantitatively the Samara results for KDP Mestrado Física Mestre em Física

Orientador: Marco Antonio Teixeira Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Ciencia da Computação Resumo: Não informado. Abstract: Not informed. Mestrado Mestre em Matemática

Orientador: Jose Carlos de Souza Kiihl Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Ciencia da Computação Resumo: Não informado. Abstract: Not informed. Mestrado Mestre em Matemática

Orientador: Alfredo Miguel Ozório de Almeida Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin Resumo: Mostramos como, a partir da existência de pontos homoclínicos em um mapa, podemos assegurar a existência de órbitas períodicas. Calculamos a forma normal para um hamiltoniano periódico no tempo e para um mapa com um ponto fixo hiperbólico. Mostramos como um mapa pode ser derivado de um hamiltoniano e construimos esse hamiltoniano para um mapa. São calculados pontos períodicos de uma aplicação quadrática, que preserve a área e com um ponto fixo instável na origem. Através da forma normal de Birkoff para mapas encontramos as curvas invariantes da aplicação Abstract: In this work it is shown that there exist periodic points in a map with homoclinic points. The normal form for a hamiltonian periodic in time as well as that for a map with a hyperbolic fixed point is calculated. It is shown how to obtain a map from a hamiltonian and how to construct a time periodic hamiltonian from a given map. The periodic points of a quadratic area-preserving map with a hyperbolic fixed point at the origin are computed. Using Birkhoff's normal forms for maps, the invariant curves for this map are obtained Mestrado Física Mestre em Física

Orientador: Alberto Vazquez Saa Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Mestrado Mestre em Matemática

Orientador: Alfredo Miguel Ozorio de Almeida Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataglin Resumo: As famílias de órbitas periódicas estáveis do Bilhar de Ação do potencial V(x,y) = O.O5x2 +(y-(x/2)2)2 foram determinadas numericamente. Estudou-se a influência da órbitas periódicas encontradas sobre o espectro quântico da Hamiltoniana referente ao potencial. A análise foi feita utilizando-se a Fórmula do Traço de Gutzwiller Abstract: We determined numericaly the families of Stable Periodic Orbits of the potencial V(x,y) = O.O5x2 + (y -(x/2)2)2. We studied the influence of the Periodic Orbits of the potential over the eigenvalues of the Quantum Hamiltonian of the potential. The analysis was carried out using the Trace Formula of Gutzwiller Mestrado Física Mestre em Física

Orientador: Kyoko Furuya Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin Resumo: Neste trabalho, usando como sistema protótipo o chamado potencial NELSON de dois graus de liberdade, procuramos traços da dinâmica clássica no emaranhamento dos subsistemas do análogo quântico deste sistema. Através da escolha de uma superfície de energia com regime dinâmico misto, escolhemos condições iniciais regulares e caóticas no espaço de fase, nas quais centramos estados coerentes com larguras comparáveis às estruturas presentes nas superfícies de seções. Diagonalizando numericamente o Hamiltoniano, evoluímos os estados inicialmente separáveis e coerentes e determinamos o emaranhamento dos subsistemas por meio do cálculo do defeito de idempotência (ou entropia linear) de um dos subsistemas. Calculamos também a evolução das distribuições de Husimi e das populações e coerências do operador densidade reduzido. Concluímos, dos resultados obtidos, que, no regime escolhido, o emaranhamento é mais rápido e mais intenso (no sentido de envolver mais estados) para estados associados inicialmente às condições iniciais clássicas caóticas, do que para os associados às condições iniciais regulares. Entretanto, notamos que as vizinhanças da condição inicial também exercem um papel importante nessa rapidez e intensidade do emaranhamento Abstract: In this work, using a system with two degrees of freedom called NELSON as a prothotype system, we search for signatures of the classical dynamics in the entanglement of the subsystems of the quantum analog of this system. By means of choosing an energy surface that presents a dynamical regime with regularity and chaos simultaneously, we choose chaotic and regular initial conditions in the fase space, and center coherent states on it with the width comparable with the structures present in the surface of section. Diagonalizing numerically the Hamiltonian, we have evolved in time the states initially separable and coherent and determined the entanglement of the subsystems by calculating a subsystem¿s idempotency defect (or linear entropy). We have also calcuted the time evolution of the Husimi distributions and the populations and coherences of the subsystem¿s reduced density matrix. We have concluded that, in the chosen regime, the entanglement is faster and more intense (in the sense that there are more states involved) for states initially associated with chaotic initial conditions than states associated with regular initial conditions. However, we have noticed that the region surrounding the initial condition plays an important role on how fast and intense the entanglement occurs Mestrado Física Mestre em Física

Orientador: Kyoko Furuya Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin Resumo: Neste trabalho estudamos a dinâmica de emaranhamento em sistema Hamiltonianos bipartites nos contextos clássico e quântico. A pesquisa foi desenvolvida principalmente sobre a análise da entropia linear , considerada uma boa medida de emaranhamento no caso de estados globais puros. Na primeira etapa do trabalho, utilizamos o Modelo Jaynes-Cummings de N átomos (MJC-N) para estudar como a entropia linear, e consequentemente o emaranhamento, depende da condição inicial clássica, apresentando rápida descoerência quando esta condição é instável. Mostramos também que as oscilações na entropia linear podem ser entendida segundo a simetria das trajetórias clássicas correspondentes, o que ocorre segundo o efeito de borda oriundo da finitude do espaço de fase do spin. Discutimos também o limite clássico singular do emaranhamento no MJC-N. Na segunda etapa, trabalhamos com o formalismo estatístico Liouvilliano, dentro do qual definimos uma medida apropriada para o emamnhamento clássico: a entropia linear clássica. Realizamos cálculos analíticos para sistemas integráveis lineares e não-lineares, mostrando as peculiaridades da medida clássica quando comparada à quântica. Particularmente interessante é o caso em que ocorre a auto-interferência, fenômeno sem análogo clássico. Para os sistemas integráveis, foi possível estudar inclusive o caso de estados iniciais não-clássicos, para os quais mostramos ser conveniente definir uma nova medida clássica mais "simétrica" : o grau de emamnhamento. Continuando com as analogias entre a mecânica quântica e a mecânica clássica Liouvilliana, deduzimos por primeiros princípios uma equação mestra clássica para o tratamento de sistemas abertos clássicos. Como aplicação, resolvemos as equações mestras quântica e clássica para o caso de um reservatório de osciladores harmônicos à temperatura nula. Na última etapa do trabalho, definimos um operador Liouvilliano para a quantização simetrizada e ordenada de monômios clássicos. Como consequência, obtivemos fórmulas de ordenamento normal e anti-normal para operadores canonicamente conjugados que comutam com sua relação de comutação. Mostramos então que a quantização das equações de movimento clássicas produz equações de movimento quânticas que se aproximam do resultado exato na escala de tempo de Ehrenfest. Esta análise nos permite calcular analiticamente o tempo de Ehrenfest em sistemas integráveis Abstract: In this work we studied the entanglement dynamics in bipartite Hamiltonian systems within the quantum and classical frames. This research was developed mainly on the analysis of the linear entropy, which is considered an apropriated entanglement measure concerning to global pure states. In the first stage of the work, we used the Jaynes-Cummings Model with N atoms (JCM-N) to study how the linear entropy, an consequently the entanglement, depends on the choice of the classical initial condition, showing faster decoherence for the unstable ones. We also showed that the linear entropy oscillations can be understood through the analysis of the symmetry of the respective classical trajectories, which is allowed by the border effect arising from the limitation of the spin phase space. We also discussed the singular classical limit of the entanglement in the JCM-N. In the second stage, we worked with the Liouvillian statistical formalism, in which we defined an appropriate measure of the classical entanglement: the classical linear entropy. We realized analytical calculations for linear and non-linear integrable systems, pointing out the peculiarities of the classical measure compared to the quantum one. Particulalrly interesting is the case in which occurs the self-interference, a phenomenon with no classical analogue. For the integrable systems, it was also possible to study the case of non-classical initial states, for the which we defined a new convenient. classical measure: the entanglement degree. Still in the context of the analogies between quantum and Liouvillian classical mechanics, we deduced by first principles a classical master equation for treating classical open system.. As an application, we solve the quantum and classical master equation for the case of a harmonic oscillator reservoir at null temperature. At the last stage of the work, we defined a Liouvillian operator to perform the quantization of a monomial in a symmetrized and ordered form. As a consequence, we obtained normal and anti-normal ordering formulas for canonically conjugated operators whose commutator is a c-number. Thus, we showed that. the quantization of classical equations of motion produces quantum equations of motion that approximate the exact result in the Ehrenfest time scale. This simple analysis allows us to calculate analytically the Ehrenfest time for any integrable system Doutorado Física Doutor em Ciências

Orientador: João Bosco Ribeiro do Val Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Resumo: A principal contribuição desta tese é o desenvolvimento de um gerador estendido para processos de difusão em forma explícita e que está associado à existência de uma solução de viscosidade de uma equação de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB), no sentido que tal solução pertence ao domínio do gerador. Tem-se interesse pelos processos de difusão Markovianos, na medida em que a fórmula de Dynkin permite o cálculo em valor esperado da evolução dos funcionais não regulares, que não podem ser tratados adequadamente pelo cálculo de Itô. Tal caracterização aplica-se em uma nova abordagem para lidar com a estabilidade quase certa (q.c.) na forma de recorrência finita para problemas de difusão invariantes ao longo do tempo afetados por um ruído persistente. A técnica proposta baseia-se nos resultados apresentados pelo método de Kushner-Khasminskii na forma clássica de estabilidade para a origem e na abordagem de Meyn para a caracterização do gerador estendido. Para sistemas semilineares com coeficiente de difusão convexo, esta tese mostra que a solução da equação HJB é uma função convexa quando o custo de operação é convexo. Assim, obtém-se uma função de Lyapunov a partir da solução ótima de uma maneira direta e, dessa forma, unindo otimalidade e estabilidade. As noções de estabilidade associadas a convergência para um conjunto compacto são exploradas e soluções estáveis sub-ótimas podem ser obtidas pela imposição de uma função de Lyapunov não regular. Nesse contexto, existe um panorama pouco explorado na literatura no qual surgem possíveis aplicações, e que serão apresentadas na forma de exemplos nesta tese Abstract: The thesis develops an extended generator for diffusion processes in explicit form that is associated to the existence of viscosity solution of Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations, in the sense that such a solution belongs to the generator domain. It has a direct interest for Markovian diffusion processes, insofar Dynkin's formula allows the expected value calculus for the evolution of nonsmooth functionals, which cannot be handled by Itô's calculus. Such a characterization applies in a novel approach to deal with the almost sure stability in form of finite recurrence for the solution of long run time invariant diffusion problems with persistent noise. The approach builds upon the results given by the Kushner-Khasminskii's approach in the classic stability to the origin method and on Meyn's approach for the extended generator characterization. For semilinear systems with convex diffusion coefficient, the thesis shows that the solution of the HJB is a convex function when the running cost also is, thus pointing out a Lyapunov function from the optimal solution, bridging optimality with stability. Notions of stability associated to convergence to a compact set is explored and the idea that suboptimal stable solutions can be obtained by imposing nonsmooth Lyapunov functions exemplifies possible applications Doutorado Automação Doutor em Engenharia Elétrica CAPES 1408610

Orientadores: Luiz Antonio Barrera San Martin, Lino Anderson da Silva Grama Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Esta tese tem como objetivo estudar sistemas Hamiltonianos integráveis em órbitas coadjuntas e tópicos relacionados às suas aplicações. Este trabalho se divide essencialmente em duas partes que podem ser brevemente descritas da seguinte forma. Na primeira parte estudamos a construção de sistemas Hamiltonianos integráveis de Gelfand-Tsetlin em órbitas coadjuntas de grupos de Lie compactos clássicos. Para sistemas do tipo Gelfand-Tsetlin construímos uma formulação via matriz de Lax que nos permite recuperar tais sistemas por meio de invariantes espectrais de uma matriz de Lax apropriada. Ainda no contexto de sistemas Hamiltonianos, fornecemos uma descrição completa das funções que definem os sistemas integráveis de Gelfand-Tsetlin-Molev para dois exemplos concretos de dimensão baixa. Na segunda parte deste trabalho estudamos a construção de métricas de Calabi-Yau no fibrado canônico de variedades flag complexas. Utilizando ferramentas da teoria de representações para álgebras de Lie e a técnica de Calabi ansatz, descrevemos vários exemplos não triviais de variedades de Calabi-Yau completas não compactas. A principal motivação para o desenvolvimento deste trabalho são as relações entre variedades flag complexas, variedades tóricas, teoremas de convexidade para aplicações momento e simetria do espelho (mirror symmetry). A conexão entre as duas partes brevemente descritas aqui se dá no contexto das fibrações Lagrangianas especiais. A construção de tais exemplos de fibrações são extremamente importantes para o entendimento da dualidade entre geometria simplética e geometria complexa proposta pela simetria do espelho Abstract: The purpose of this thesis is to study Hamiltonian integrable systems in coadjoint orbits and topics related to its applications. This work is essentially divided in two parts which can be briefly described as follows. In the first part we study the construction of Gelfand-Tsetlin integrable systems in coadjoint orbits of classical compact Lie groups. For Gelfand-Tsetlin integrable systems we provide a Lax matrix formulation which allows us to recover the system by means of spectral invariants associated to a suitable Lax matrix. Still in the context of Hamiltonian systems, we also provide a complete description of the functions which compose Gelfand-Tsetlin-Molev integrable systems for two low dimensional concrete examples. In the second part of this work we study the construction of Calabi-Yau metrics on canonical bundles of complex flag manifolds. By means of tools provided by the Lie algebra representation theory and the Calabi ansatz technique, we describe a huge family of non trivial examples of complete non compact Calabi-Yau manifolds. The main motivations to develop this work are the relationship between complex flag manifolds, toric manifolds, convexity theorems for moment maps and mirror symmetry. The connection between these two parts briefly described here is the background of special Lagrangian fibrations. The construction of examples of such fibrations are extremely important for understanding the duality between symplectic geometry and complex geometry proposed by mirror symmetry Doutorado Matemática Doutor em Matemática CNPQ 152103/2014-7 CAPES

Orientador: Marco Antonio Teixeira Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho consideramos alguns aspectos da teoria qualitativa de sistemas dinâmicos suaves por partes. Nosso principal objetivo é estudar uma classe de tais sistemas, onde o conjunto de descontinuidade é dado por uma hipersuperfície ? e além disso, assumimos que em cada região determinada por ? o campo de vetores definido é um sistema Hamiltoniano. Apresentamos estudos relacionados à regularização de campos de vetores suaves por partes em Rn que preservam volume nas componentes suaves. Abordamos também singularidades de funções suaves por partes, onde formas normais e seus desdobramentos são apresentados. Por fim estudamos bifurcações de campos de vetores Hamiltonianos refrativos Abstract: In this work, we consider some aspects of the qualitative theory of non smooth dynamical systems in Rn. Our main goal is to study a class of such systems where the discontinuity set is concentrated in a hypersurface ? and moreover, we assume that in each region determined by ? the vector field is a Hamiltonian system. We present studies related to the regularization of piecewise vector fields in Rn that are volume preserving on each smooth components. We also analyze singularities of piecewise smooth functions where normal forms and their unfolding are presented. Finally, we study bifurcations of refractive Hamiltonian vector fields Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientador: Marco Antonio Teixeira Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Na primeira parte desta tese, estudamos a semelhança entre sistemas dinâmicos reversíveis e Hamiltonianos, sob um ponto de vista formal. Nos restringimos a sistemas definidos ao redor de pontos de equilíbrio simples e simétricos. Mostramos que, sob algumas hipóteses, tais sistemas são formalmente orbitalmente equivalentes. Na segunda parte, estudamos a existência de conjuntos minimais em certas famílias de equações diferenciais. Especificamente, exibimos condições sob as quais existem cilindros e toros invariantes para sistemas de equações que são perturbações de sistemas reversíveis. Abstract: In the first part of this thesis, we study the similarity between reversible and Hamiltonian dynamical systems, from a formal viewpoint. We restrict ourselves to systems defined around an isolated and symmetric equilibria. We show that, under some conditions, such systems are formally orbitally equivalent to Hamiltonian vector fields. In the second part, we study the existence of minimal sets for some families of diferential equations. We obtain conditions for the existence of the invariant cylinders and tori for perturbed reversible systems. Doutorado Sistemas Dinâmicos Doutor em Matemática

Orientador: Fabiano Borges da Silva Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Este trabalho tem como propósito estudar trajetórias geradas por sistemas hamiltonianos no plano. Para isso, são analisados os diversos tipos de retratos de fase dos sistemas lineares planares e a classificação destes. Sistemas hamiltonianos surgiram na mecânica clássica e seus pontos de equilíbrio são classificados em selas ou centros, conforme os sinais dos autovalores da matriz do sistema linearizado. Além disso, é apresentada a relação entre campos de vetores hamiltonianos e espaços vetoriais simpléticos Abstract: This work has the objective of studing trajectories generated by Hamiltonian systems on the plane. For this, we analyse the various types of phase portraits of planar and linear systems. Hamiltonian systems have emerged in the mechanical and their classical equilibrium points are classified into saddles or centers, as the signs of the eigenvalues of linearized system matrix. We have also illustrated the connection between Hamiltonian vector fields and symplectic spaces Mestrado Matemática Universitária Mestre em Matemática Universitária

Orientador: Francisco Odair Vieira de Paiva Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho consideramos uma classe de Sistemas Elípticos Hamiltonianos. Esta classe de sistemas surge como modelo natural em áreas como Física e Biologia. Estudamos casos que envolvem crescimento crítico, arbitrário e crítico perturbado e analisamos questões relacionadas a existência, multiplicidade e propriedades de soluções. Os resultados são obtidos com o uso de métodos variacionais, a exemplo dos teoremas de min-max, aliados as propriedades das funções com simetria radial e ao princípio de concentração de compacidade Abstract: In this work, we consider a class of Hamiltonian Elliptic Systems. This class of systems arise as a natural model in many areas such as Physics and Biology. We studied cases involving critical growth, arbitrary growth and perturbed critical growth and we also investigated questions related to the existence, multiplicity and properties of solutions. The results are obtained by using a variational approach, for instance, min-max theorems, combined with properties of radially symmetric functions and the concentration-compactness principle Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES In this thesis, we present the theory of parametric stability in linear Hamiltonian systems with a degree freedom. Therefore, we provide definitions and results on Hamiltonian systems, symplectic vector spaces and stability of equilibrium points of linear Hamiltonian systems. Subsequently, we analyzed the parametric stability of linear Hamiltonian systems and, with the aid of the Deprit Hori method, constructed the curves that delimit the regions of stability and instability in the plane of the parameters of the Mathieu equation. This text ends with the description and study of the article "Parametric stability of a pendulum loaded with an oscillating suspension point" developed by researchers Hildeberto Eulalio Cabral and Adecarlos Carvalho, as cite adecarlos, in which the construction of the limiting surfaces is conceived regions of stability and instability in the parameter space. Nesta dissertação, apresentamos sinteticamente à teoria acerca da estabilidade paramétrica em sistemas Hamiltonianos lineares, mais especificamente, sistemas Hamiltonianos com um grau de liberdade. Para tanto, fornecemos definições e resultados gerais sobre sistemas Hamiltonianos, espaços vetoriais simpléticos e estabilidade de pontos de equilíbrios de sistemas Hamiltonianos lineares periódicos. Posteriormente, analisamos a estabilidade paramétrica de sistemas Hamiltonianos lineares, o conceito de ressonâncias paramétricas e juntamente com o auxílio do método de Deprit Hori, construímos as curvas que delimitam as regiões de estabilidade e instabilidade no plano dos parâmetros para a clássica equação de Mathieu. Este texto é finalizado com a descrição e estudo do artigo "Parametric stability of a charged pendulum with oscillating suspension point" desenvolvido pelos pesquisadores Hildeberto Eulalio Cabral e Adecarlos Carvalho, no qual concebemos a construção das superfícies que limitam as regiões de estabilidade e instabilidade no espaço dos parâmetros. São Cristóvão

We derive a generalized Hamiltonian formalism for a modified susceptible–infectious–recovered/removed (SIR) epidemic model taking into account the population V of vaccinated persons. The resulting SIRV model is shown to admit three possible functionally independent Hamiltonians and hence three associated Poisson structures. The reduced case of vanishing vaccinated sector shows a complete correspondence with the known Poisson structures of the SIR model. The SIRV model is shown to be expressible as an almost Nambu system, except for a scale factor function breaking the divergenceless property. In the autonomous case with time-independent stationary ratios k and b, the SIRV model is shown to be a maximally super-integrable system. For this case we test the accuracy of numerical schemes that are suited to solve the stiff set of SIRV differential equations., Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 55 (22), ISSN:1751-8113, ISSN:1361-6447

We analyse here the pseudo-Hermitian Dynamical Casimir effect, proposing a non-Hermitian version of the effective Law's Hamiltonian used to describe the phenomenon. We verify that the average number of created photons can be substantially increased, a result which calls the attention to the possibility of engineering the time-dependent non-Hermitian Hamiltonian we have assumed. Given the well-known difficulty in detecting the Casimir photon production, the present result reinforces the importance of pseudo-Hermitian quantum mechanics as a new chapter of quantum theory and an important tool for the amplification of Hermitian processes such as the degree of squeezing of quantum states., 12 pages, 3 figures

Orientador: Prof. Dr. Emerson Vitor Castelani Dissertação (mestrado em Matemática)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2021 resumo abstract

Orientador: Prof. Dr. Renato Moreira Angelo Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Física. Defesa : Curitiba, 30/07/2021 Inclui referências: p. 46-47 Resumo: Para a análise de sistemas microscópicos, devemos usar a estrutura matemática que é chamada de "MECÂNICA QUÂNTICA", nome que foi atribuído por Max Born em 1930. Teremos a oportunidade de descrever duas formulações da mecânica quântica, as quais chamaremos de "FORMULAÇÃO ORTODOXA" e "FORMULAÇÃO BOHMIANA". A formulação ortodoxa é analisada através de postulados, os quais concordam sem exceção com resultados experimentais. A problemática surge no processo de medição, o qual é descrito por uma abstrata transição abrupta, aleatória e irreversível. A formulação Bohmiana não apresenta essa problemática, já que prevê elementos de realidade para as posições das partículas (Bohm chamou as trajetórias de "ONTOLOGIA"), tais posições sendo guiadas por uma "onda piloto", que respeita a equação de Schrödinger em cada ponto r e instante de tempo t. Nossa análise será focada em uma partícula preparada em estado inicial Gaussiano em movimento unidimensional. A abordagem Bohmiana escreve a solução da / \ -,-w N iS(x,t) equação de Schrödinger na forma ^ ( x , t) = R ( x , t ) e e, em busca de uma analogia com a equação de Hamilton-Jacobi, encontra um termo que Bohm chamou de "POTENCIAL QUÂNTICO". A equação de Schrödinger é um dos fundamentos da formulação Bohmiana, assim como as velocidades das partículas Bohmianas. Neste trabalho, analisamos as trajetórias Bohmianas geradas pelo Hamiltoniano H ,(t) = í£=íS f i £ + ( 1 - /')™ ? Y . o qual é construído a partir da troca de referencial para o problema de uma partícula em um pacote de ondas Gaussiano submetida a um campo gravitacional uniforme. Resolvemos o problema analiticamente e mostramos que, assim como as trajetórias do modelo clássico correspondente, as trajetórias Bohmianas são independentes do gauge p. Isso corrobora a ideia de que as trajetórias Bohmianas podem ser vistas como elementos da realidade física. Abstract: For the analysis of microscopic systems, we must use the mathematical structure that is called "QUANTUM MECHANICS", a name given by Max Born in 1930. We will have the opportunity to describe two formulations of quantum mechanics, which we will call "ORTHODOX FORMULATION" and "BOHMIAN FORMULATION". The orthodox formulation is analyzed through postulates, which agree without exception with experimental results. The problem arises in the measurement process, which is described by an abstract, abrupt, random, and irreversible transition. The Bohmian formulation does not present this problem, since it predicts elements of reality for the positions of the particles (Bohm called these trajectories "ONTOLOGY"), such positions being guided by a "pilot wave" respecting the Schrödinger equation at each point r and time instant t. Our analysis will be focused on a single particle prepared in a Gaussian state in one-dimensional motion. The Bohmian iS(x t) approach writes the solution of the Schrödinger equation in the form ^ (x , t) = R(x, t)e ~tr~ and looking for an analogy with the Hamilton-Jacobi equation, finds a term Bohm called "QUANTICAL POTENTIAL'. In this work, we analyze the Bohmian trajectories generated by the Hamiltonian Hß(t) = ( P + (1 - ß )m g Y , which is constructed from the exchange of referential for the problem of a particle in a Gaussian wave packet subjected to a uniform gravitational field. We solve the problem analytically and show that, like the trajectories of the corresponding classical model, the Bohmian trajectories are independent of the gauge ^. This supports the idea that Bohmian trajectories can be seen as elements of physical reality.

Orientador: Prof. Dr. Marcus Werner Beims Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Física. Defesa : Curitiba, 26/02/2021 Inclui referências: p. 90-91 Resumo: Em 1996, Fred Riewe estabeleceu os fundamentos das mecânicas lagrangeana e hamiltoniana com derivação fracionária, perm itindo a possibilidade de investigações de dinâmicas dissipativas. Publicações diversas foram derivadas deste trabalho, partindo das mais variadas formas de definição de coordenadas generalizadas. As mesmas foram estudadas nesta dissertação, verificadas para aplicabilidade para um a única partícula sujeita a um potencial, e comparadas quanto à significância física. Visando uma aplicação, um sistema sob banho térmico dissipativo foi selecionado. Observou-se que o mesmo possui propriedades similares ao problema original sem dissipação. Avaliações estatísticas foram possíveis por conta da abordagem ham iltoniana utilizada. As médias da função de forçamento sobre as condições iniciais foram conservadas, e a estru tu ra da Equação de Langevin para o movimento do sistema principal se manteve. Esse estudo possibilita o exame de sistemas mais específicos, concentrando-se em potenciais variados. Abstract: In 1996, Fred Riewe established foundations of lagrangean and ham iltonian mechanics with fractional derivatives, allowing investigations of dissipative dynamics. Distinct publications were derived from this work, starting from a diversity of definitions of generalized coordinates. Such definitions were studied in this m aster thesis, verified for applicability with a single particle subjected to a potential, and compared for physical meaningfulness. Searching for an application, a system under a term ic b ath was selected. It was observed th a t it has similar properties as the original problem w ithout dissipation. Statistical evaluations were possible because of the Hamiltonian approach. Average of forcing function under initial conditions rem ains the same, and the structure of Langevin E quation of motion of the main system is mantained. This study turns possible exams of more specific systems, focusing a variety of potentials.

En este trabajo se estudia el problema de existencia de la primera integral para sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma x˙ = f1(x, y, z) y˙ = f2(x, y, z) z˙ = f3(x, y, z), donde f1, f2, f3 son funciones polinomiales. Se aplica un m´etodo que permite encontrar condiciones de integrabilidad en el origen; dicho m´etodo se conoce como el m´etodo de integrabilidad de Darboux, el cual usa curvas algebraicas invariantes en la construcci´on de una primera integral. Como aplicaci´on de este m´etodo se considera un sistema diferencial tipo Lotka-Volterra cuyas ecuaciones est´an dadas por: x˙ = −x(x + αy + βz) = P(x, y, z) y˙ = −y(βx + y + αz) = Q(x, y, z) z˙ = −z(αx + βy + z) = R(x, y, z), donde α, β ∈ R y x, y, z representa la interacci´on de las especies. In this work we study the existence problem of the first integral for systems of differential equations of the form x˙ = f1(x, y, z) y˙ = f2(x, y, z) z˙ = f3(x, y, z), where f1, f2, f3 are polynomial functions. A method is applied to find integrability conditions at the origin; this method is known as the Darboux integrability method, which uses invariant algebraic curves in the construction of a first integral. As an application of this method we consider a Lotka-Volterra type differential system whose equations are given by: x˙ = −x(x + αy + βz) = P(x, y, z) y˙ = −y(βx + y + αz) = Q(x, y, z) z˙ = −z(αx + βy + z) = R(x, y, z), where α, β ∈ R and x, y, z represents the species interaction. Maestría Magíster en Matemática 1. GENERALIDADES 9 GENERALIDADES 9 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. PRELIMINARES 12 2.1. Existencia y propiedades de las primeras integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Caracterización y propiedades de las primeras integrales . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. Independencia de las primeras Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4. Integrabilidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5. Clases de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6. Curvas algebraicas y campos diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. TEORíA CLASICA DE INTEGRABILIDAD DE DARBOUX 24 3.1. Teorema de Integrabilidad de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. METODO DE DARBOUX 27 4.1. Teoría de integrabilidad de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5. APLICACION AL MODELO LOTKA-VOLTERRA 34 ´ 5.1. Sistema Lotka-volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.1.1. Análisis de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.1.2. Dinámica del sistema para el Caso 1. α + β = 2 y (α, β) 6= (1, 1). . . . . . 39 CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y TRABAJOS FUTUROS 40 BIBLIOGRAFíA 41

The main goal of this work is to introduce the idea of a Hamiltonian action in the context of Jacobi structures on line bundles. This work aims to make these construction without relying on the "Poissonization trick". Our definition allows us to recover the notion of (weakly)Hamiltonian action in the context of Poisson, contact, and locally conformally symplectic geometry. En el siguiente trabajo introducimos la idea de acción Hamiltoniana en el contexto de la geometría de Jacobi en fibrados de línea generales. Esta construcción la realizamos de forma intrínseca sin necesidad de recurrir al ”truco de Poissonización”. El concepto de acción Hamiltoniana en geometría de Jacobi nos permite recuperar resultados conocidos en geometría de Poisson, contacto, y localmente conformemente simpléctica Maestría Magíster en Ciencias - Matemáticas Geometría Diferencial

We study the quantum dynamics of a non-interacting spin ensemble under the effect of a reservoir by applying the framework of the non-Hermitian Hamiltonian operators. Theoretically, the two-level model describes the quantum spin system and the Bloch vector to establish the dynamical evolution. Experimentally, phosphorous ($^{31}$P) nuclei with spin $I=1/2$ are used to represent the two-level system and the magnetization evolution is measured and used to compare with the theoretical prediction. At room temperature, the composite dynamics of the radio-frequency pulse plus field inhomogeneities (or unknown longitudinal fluctuations) along the $z$-axis transform the initial quantum state and drives it into a mixed state at the end of the dynamics. The experimental setup shows a higher accuracy when compared with the theoretical prediction (>98\%), ensuring the relevance and effectiveness of the non-Hermitian theory at a high-temperature regime., 8 pages, 4 figures

Orientadores: Marco Antonio Teixeira, Maria Teresa Martinez-Seara Alonso e Marcel Guardia Munarriz Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho, abordamos aspectos qualitativos de vários fenômenos em sistemas de Filippov e em sistemas Hamiltonianos. No contexto de sistemas dinâmicos suaves por partes, concentramos nossa atenção em problemas em dimensões 2 e 3. No caso planar, desenvolvemos um mecanismo para analisar o desdobramento de policiclos que passam por certas singularidades de sistemas de Filippov (conhecidas como ?-singularidades) em uma configuração típica, e o utilizamos para descrever completamente o diagrama de bifurcação de sistemas de Filippov em torno de alguns policiclos elementares. No caso tridimensional, obtivemos uma caracterização completa dos sistemas que são localmente estruturalmente estáveis em um ponto ???? da variedade de descontinuidade. Mais ainda, caracterizamos completamente os sistemas de Filippov robustos em uma vizinhança da variedade de descontinuidade, os quais são chamados de sistemas semi-localmente estruturalmente estáveis. Além disso, estudamos alguns fenômenos globais em sistemas de Filippov 3????. Primeiramente, descrevemos o diagrama de bifurcação de um sistema em torno de um laço ("loop") do tipo homoclínico de codimensão um em uma singularidade genérica denominada dobra-regular, o qual não possui contrapartida no contexto suave. Em seguida, analisamos uma classe de sistemas que apresenta conexões robustas entre certas singularidades típicas, conhecidas como ????-singularidades, as quais garantiram a existência de um comportamento caótico nas folheações associadas a tais sistemas de Filippov. Em relação aos sistemas Hamiltonianos, estudamos alguns problemas que apresentam fenômenos exponencialmente pequenos. Mais especificamente, consideramos um modelo de interação kink-defect dado por um Hamiltoniano singularmente perturbado ???????? (???? ? 0 representa o parâmetro perturbativo) com dois graus de liberdade, e determinamos condições sobre a energia do sistema para a existência de certas conexões heteroclínicas que surgem da quebra (???? > 0) de uma órbita heteroclínica contida no nível de energia zero do sistema limite ????0. Finalmente, investigamos a existência de soluções breather de equações diferenciais parciais reversíveis do tipo Klein-Gordon, as quais podem ser vistas como órbitas homoclínicas de um sistema Hamiltoniano de dimensão infinita Abstract: In this work, we discussed qualitative aspects of several phenomena in Filippov and Hamiltonian systems. In the context of piecewise smooth dynamical systems, we have focused on problems in dimensions 2 and 3. In the planar case, we have provided a mechanism to analyze the unfolding of polycycles passing through certain singularities of Filippov systems (known as ?-singularities) in a typical scenario and we have used it to completely describe the bifurcation diagram of Filippov systems around some elementary polycycles. In the three-dimensional case, we have obtained a complete characterization of the systems which are locally structurally stable at a point ???? in the switching manifold ?. Moreover, we have completely characterized the Filippov systems which are robust in a neighborhood of the whole switching manifold, named semi-local structurally stable systems. In addition, we have studied some global phenomena in 3???? Filippov systems. First we described the bifurcation diagram of a system around a codimension one homoclinic-like loop at a generic singularity named fold-regular singularity, which has no counterpart in the smooth context. Second, we analyzed a class of systems presenting robust connections between certain typical singularities, known as ????-singularities, which have lead us to the existence of a chaotic behavior in the foliations associated to such Filippov systems. Concerning to Hamiltonian Systems, we have studied some problems exhibiting exponentially small phenomena. More specifically, we considered a model of kink-defect interaction given by a singularly perturbed 2-dof Hamiltonian ???????? (???? ? 0 stands for the perturbation parameter) and we have provided conditions on the energy of the system for the existence of certain heteroclinic connections arising from the breakdown (???? > 0) of a heteroclinic orbit lying in the zero energy level of the limit system ????0. Finally, we have investigated the existence of breathers of reversible Klein-Gordon partial differential equations, which can be seen as homoclinic orbits of an infinite-dimensional Hamiltonian system Doutorado Matemática Doutor em Matemática CAPES FAPESP 2015/22762-5

Submitted by Elida Canaza Anchapuri (elidacanaza@gmail.com) on 2020-10-02T18:42:36Z No. of bitstreams: 1 Dissertação Elida.pdf: 4972132 bytes, checksum: e42104b89afcea23ac475e57b065a1e4 (MD5) Rejected by ALESSANDRA KUBA OSHIRO ASSUNÇÃO (alessandra@fct.unesp.br), reason: Solicitamos que realize correções na submissão seguindo as orientações abaixo: - Nos agradecimentos, de acordo com a portaria nº 206, de 04/09/2018, deverá constar, exatamente como está, a seguinte frase: O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001 Qualquer dúvida entrar em contato pelo e-mail bibaqu.fct@unesp.br Agradecemos a compreensão. on 2020-10-02T20:06:34Z (GMT) Submitted by Elida Canaza Anchapuri (elidacanaza@gmail.com) on 2020-10-03T12:53:14Z No. of bitstreams: 1 Dissertação Elida.pdf: 4971843 bytes, checksum: 4eb5346763d761ce13abacb5fcde206d (MD5) Approved for entry into archive by Claudia Adriana Spindola null (claudia@fct.unesp.br) on 2020-10-03T15:12:22Z (GMT) No. of bitstreams: 1 anchapuri_ec_me_prud.pdf: 4971843 bytes, checksum: 4eb5346763d761ce13abacb5fcde206d (MD5) Made available in DSpace on 2020-10-03T15:12:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 anchapuri_ec_me_prud.pdf: 4971843 bytes, checksum: 4eb5346763d761ce13abacb5fcde206d (MD5) Previous issue date: 2020-09-16 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) O presente trabalho tem como objetivo apresentar um estudo detalhado da estabilidade das oscilações geradas pelas equações diferenciais ordinárias, lineares e não-lineares, que modelam circuitos elétricos. As soluções de tais equações podem ser periódicas, amortecidas ou caóticas. Iniciamos com o estudo dos circuitos RLC, modelados por equações lineares, e em seguida estudamos as conhecidas equações não-lineares de Van der Pol e Du ng. Com base nesse estudo, analisamos as bifurcações que ocorrem em sistemas não-lineares de equações diferenciais, que servem como modelo matemático de circuitos elétricos formados por certas combinações dos quatro componentes eletrônicos fundamentais: capacitor, indutor, resistor e memristor. A existência dos memristores (ou resistores com memória) foi teoricamente proposta na década de 1970, e sua construção física foi possível somente em 2008, com o desenvolvimento da nanotecnologia. Estima-se que tal componente possui um grande potencial de aplicações, sendo assim o estudo de modelos matemáticos de circuitos elétricos envolvendo memristores despertou grande interesse da comunidade cientí ca. Além do estudo teórico das equações diferenciais, ao longo do trabalho desenvolvemos experimentos computacionais com o Software MAPLE, para melhor compreender o comportamento das soluções. O principal objetivo da análise aqui desenvolvida é obter um melhor entendimento do comportamento dinâmico dos memristores, ao serem conectados aos outros componentes elétricos (capacitores, indutores e resistores). The present work aims to present a detailed study of the stability of oscillations generated by linear and non-linear ordinary di erential equations, which are used to model electrical circuits. The solutions of such equations can be periodic, damped or chaotic. We start with the study of the RLC circuits, modeled by linear equations, and then we study the well-known non-linear van der Pol and Du ng equations. Based on this study, we analyzed the bifurcations that occur in a system of non-linear di erential equations, which serves as a mathematical model of electrical circuit formed by some combinations of the four fundamental electronic components: capacitor, inductor, resistor and memristor. The existence of memristors (or memory resistor) was theoretically proposed in the 1970s, and their physical construction was only possible in 2008, with the development of nanotechnology. It is estimated that such a component has great potential for applications, so the study of mathematical models of electrical circuits involving memristors has aroused great interest in the scienti c community. In addition to the theoretical study of di erential equations, throughout the work we developed computational experiments with the Software MAPLE, to better understand the behavior of the solutions. The main purpose of our analysis is to better understand the dynamical behavior of memristors, when connected to the other circuit elements (capacitors, inductors and resistors). CAPES: 001

Submitted by Rodrigo Simile Baroni (r.baroni@unesp.br) on 2020-02-18T23:07:01Z No. of bitstreams: 1 DissertacaoRodrigo.pdf: 102602182 bytes, checksum: 7f92e2cfa71cfe72f2d5e42c8357061b (MD5) Approved for entry into archive by Adriana Ap. Puerta Buzzá (dripuerta@rc.unesp.br) on 2020-02-21T18:50:07Z (GMT) No. of bitstreams: 1 baroni_rs_me_rcla.pdf: 102602182 bytes, checksum: 7f92e2cfa71cfe72f2d5e42c8357061b (MD5) Made available in DSpace on 2020-02-21T18:50:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 baroni_rs_me_rcla.pdf: 102602182 bytes, checksum: 7f92e2cfa71cfe72f2d5e42c8357061b (MD5) Previous issue date: 2020-02-17 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) Bilhares exibem um rico comportamento dinâmico, típico de sistemas Hamiltonianos. Nessa dissertação, investigamos: (i) a dinâmica clássica de partículas no bilhar anular excêntrico, que possui espaço de fases misto, no limite em que o espalhador é pontual e (ii) o transporte de partículas entre dois bilhares anulares acoplados, conectados por um buraco permeável de modo que as partículas podem visitar ambos os bilhares. Chamamos a configuração apresentada em (i) de quase singular, em que uma única condição inicial (CI) preenche densamente o espaço de fases com linhas retas. Para caracterizar as órbitas nessa configuração, duas técnicas foram aplicadas: expoente de Lyapunov a tempo finito (FTLE) e recorrência temporal. A recorrência de órbitas no espaço de fases foi investigada através de gráficos de recorrência. Mostramos que durante a transição para o limite quase singular, uma órbita típica do bilhar exibe uma queda brusca no valor do expoente de Lyapunov, sugerindo uma mudança no comportamento dinâmico do sistema. Muitos tempos de recorrência são observados no limite quase singular, também indicando que a órbita é caótica. Os padrões no gráfico de recorrência revelam que essa órbita caótica é composta por segmentos quase periódicos. Na configuração apresentada em (ii), calculamos a probabilidade de sobrevivência para CIs dadas em uma componente dos bilhares acoplados e a estatística de recorrência (ou tempos de aprisionamento) da outra componente para mostrar que, ao aumentar a largura do buraco que conecta os dois bilhares, o transporte de partículas entre eles também aumenta. O diagrama de tempo de escape mostra a existência de canais que organizam o transporte. No caso com fronteiras internas dependentes do tempo, o mecanismo de aceleração de Fermi é observado e é otimizado quando ambas as componentes são concêntricas. Billiards exhibit rich dynamical behavior, typical of Hamiltonian systems. In the present study, we investigate: (i) the classical dynamics of particles in the eccentric annular billiard, which has a mixed phase space, in the limit that the scatterer is point-like and (ii) the transport of particles between two coupled annular billiards connected through a tunable hole so that the particles can visit both billiards. We call the con guration presented in (i) the near singular, in which a single initial condition (IC) densely lls the phase space with straight lines. To characterize the orbits in this con guration, two techniques were applied: Finite-time Lyapunov exponent (FTLE) and time recurrence. The recurrence of orbits in the phase space was investigated through recurrence plots. We show that during the transition to the near singular limit, a typical orbit in the billiard exhibits a sharp drop in the value of the Lyapunov exponent, suggesting some change in the dynamical behavior of the system. Many di erent recurrence times are observed in the near singular limit, also indicating that the orbit is chaotic. The patterns in the recurrence plot reveal that this chaotic orbit is composed of quasi-periodic segments. In the con guration presented in (ii), we calculate the survival probabilities for ICs given in one component of the coupled billiards and the recurrence (or trapping times) statistics of the other component to show that by increasing the size of the hole that connects the two billiards, the transport of particles between them also increases. The escape time diagram shows the existence of channels that assist the transport. In the case with time dependent inner boundaries, the Fermi acceleration mechanism is observed and is optimized when both components are concentric. CAPES: 001.

Made available in DSpace on 2022-04-29T08:30:16Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2021-11-01 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Informação Quântica In this work we first present a general treatment for a time-dependent (TD) pseudo-Hermitian quadratic Hamiltonian, considering an equally TD and non-Hermitian Dyson map. Then we particularize our study to a TD pseudo-Hermitian Hamiltonian describing a cavity mode with pure imaginary frequency. Our goal is to produce squeezed states of the radiation field with an infinite degree of squeezing at a finite time interval. This mechanism is prevented by Hermitian Hamiltonians which allow an infinite degree of squeezing only asymptotically in time. Beyond the specifics of the technical treatment of the problem, we also present a discussion of its experimental implementation in the domain of the radiation–matter interaction. Such a discussion, is crucial to put into perspective the relevance of the quantum mechanics of pseudo-Hermitian Hamiltonians, whose effects can go beyond those coming from Hermitian Hamiltonians. Basically, we conclude that pseudo-Hermitian Hamiltonians enable much higher pumping rates than those of Hermitian processes. Instituto de Física de São Carlos Universidade de São Paulo, Caixa Postal 369 Universidade Estadual Paulista (UNESP), Campus Experimental de Itapeva Universidade Estadual Paulista (UNESP), Campus Experimental de Itapeva

We reconsider the rational Calogero–Moser system from the point of view of bi-Hamiltonian geometry. By using geometrical tools of the latter, we explicitly construct set(s) of spectral canonical coordinates, that is, complete sets of Darboux coordinates defined by the eigenvalues and the eigenvectors of the Lax matrix.

Orientador: Prof. Dr. Marcus Werner Beims Tese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Física. Defesa : Curitiba, 29/10/2020 Inclui referências: p. 123-130 Resumo: O tema principal desenvolvido nesta tese é o estudo das propriedades dinâmicas das regiões caóticas de sistemas Hamiltonianos. Focamos em dois objetivos: (i) quantificar o grau de hiperbolicidade de regiões específicas do espaço de fase e (ii) caracterizar o efeito de aprisionamento dinâmico. A principal característica das regiões hiperbólicas caóticas é a estabilidade global da dinâmica, coexistindo com a instabilidade das órbitas individuais. Para sistemas Hamiltonianos, isto implica em dinâmicas extremamente complicadas. Aqui, propomos medidas explícitas de hiperbolicidade semi local, aplicáveis a regiões específicas do espaço de fase e das janelas de tempo. O fato das medidas dependerem da região no espaço de fase e tempo, nos permite diferenciar comportamentos dinâmicos entre regiões específicas e em diferentes escalas de tempo. Os resultados numéricos mostram que regiões caóticas em torno de ilhas de regulares são localmente menos hiperbólicas do que regiões próximas a pontos hiperbólicos periódicos, além disso, as medidas são sensíveis às características dos pontos periódicos hiperbólicos e das ilhas regulares. As medições são baseadas nas relações de expansão/contração dos subespaços de Oseledec e nos ângulos locais e médios entre esses subespaços. A invariância temporal dos subespaços de Oseledec fornece observáveis para uma teoria de tempo finito, por exemplo, eles definem formalmente expoentes de Lyapunov a tempo finito (FTLEs, das siglas em inglês). As medidas foram definidas de forma geral, aplicáveis a sistemas Hamiltonianos de dimensão finita, e o estudo numérico foi realizado para o mapa padrão. No caso de aprisionamento dinâmico, mostramos que funções apropriadas dos FTLEs e dos ângulos entre subespaços podem caracterizar o efeito de aprisionamento dinâmico. Essas distribuições são estudadas em função de janelas de tempo, o que permitiu descrever o comportamento das distribuições, sendo estas multimodais. As modas são associados a regiões específicas do espaço de fase, isto é, uma mesma moda pode ser associado a uma camada caótica ou curvas assintóticas instáveis no espaço de fase. Mostramos isso estudando em paralelo a geometria das estruturas dessas quantidades no espaço de fase. O estudo numérico do aprisionamento dinâmico foi realizado no mapa padrão (sistema a tempo discreto) e no sistema Hénon Heiles (sistema a tempo contínuo). Ambos os casos apresentam comportamentos similares nas distribuições. Finalmente, estudamos a distribuição dos ângulos entre os subespaços Oseledec em diferentes regimes de movimento. Esses regimes são definidos a partir dos FTLEs em trajetórias caóticas. Os resultados mostram desvios de hiperbolicidade entre esses regimes. Palavras-chave: Hiperbolicidade, medidas, aprisionamento dinâmico, expoentes de Lya punov a tempo finito, subespaços de Oseledec. Abstract: The main subjects developed in this thesis are the dynamical properties of chaotic regions in Hamiltonian systems. We focused on two objectives: (i) quantifying the degree of hyperbolicity of specific regions of the phase space and (ii) the characterization of sticky motion. The main characteristic of the chaotic hyperbolic regions is the global stability of the dynamics, coexisting with the instability of the individual orbits. For Hamiltonian systems, this implies an extremely complicated dynamics. Here, we propose explicit measures of semi-local hyperbolicity, applicable to specific regions of the phase space and time windows. The fact that the measures depend on the region in the phase space and time, allows us to differentiate the dynamical behaviors between specific regions and at different time scales. Numerical results show that chaotic regions around regular islands are locally less hyperbolic than regions close to periodic hyperbolic points, in addition, the measures are sensitive to the characteristics of the hyperbolic periodic points and the regular islands. The measurements are based on the expansion/contraction ratios of the Oseledec subspaces and on the local and average angles between them. The temporal invariance of the Oseledec subspaces provide observables for a finite time theory, for example, they formally define finite time Lyapunov exponents (FTLEs). The measures were defined in general, applied to Hamiltonian systems of finite dimension, and the numerical study was carried out for the standard map. In the case of stickiness, we show that appropriate functions of FTLEs and angles between subspaces can characterize the phenomenon of stickiness. These distributions are studied as a function of a time windows. This allowed us to describe the behavior of the distributions, as being multimodal. Modes are associated with specific regions of the phase space, but a mode can be associated with one or more specific regions of the phase space. We show this by studying in parallel the geometry of the structures of these quantities in the phase space. The numerical study of stickiness was performed on the standard map (discrete system) and the Hénon-Heiles system (continuous system). Both cases show similar behavior in the distributions. Finally, we studied the distribution of the angles between Oseledec subspaces in different regimes. These regimes are defined based on FTLEs in chaotic trajectories. The results show deviations of hyperbolicity between these regimes. Keywords: Hyperbolicity, measurements, stickiness, finite time Lyapunov exponents, Oseledec's subspaces.

Las ecuaciones discretas no lineales de tipo Schrödinger (DNLS) permiten modelar una amplia gama de fenómenos físicos con múltiples aplicaciones científico-tecnológicas. Surgen también de la discretización de ecuaciones de Schrödinger continuas. En este trabajo de tesis se estudia una ecuación discreta de Schrödinger con no linealidad no local. Se demuestra la existencia de distintas clases de soluciones periódicas tipo breathers, bajo diferentes regímenes, que son continuaciones de soluciones halladas de forma explícita en el límite anticontinuo. Se estudian algunas propiedades que distinguen a estas soluciones de las de la DNLS cúbica. Se prueba la existencia de minimizadores de la energía que poseen propiedades de simetría y monotonicidad. Se analiza el espectro del operador linealizado en torno a las soluciones halladas y se presentan resultados de estabilidad. Aplicando métodos variacionales se encuentran aproximaciones analíticas a los breathers de un pico. Fil: Ben, Roberto Ignacio. Universidad Nacional de General Sarmiento. Instituto de Ciencias; Argentina.

In this work, we study the Lorentz and Sobolev-Lorentz Spaces that generalize the Lebesgue and Sobolev Spaces, respectively, and show that such spaces can be used to improve the growth conditions of nonlinear functions in almost critical Hamiltonian systems. Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq Estudamos nesse trabalho os Espaços de Lorentz e Sobolev-Lorentz que generalizam, respectivamente, os Espaços de Lebesgue e Sobolev e mostramos que tais espaços podem ser utilizados para melhorar condições de crescimento de funções não lineares em sistemas hamiltonianos com crescimento quase crítico.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Neste trabalho estudamos a teoria de Chern-Simons para a gravitação em 5 dimensões. Nós usamos como álgebra de Lie a álgebra (a)dS; (de Sitter ou anti-de Sitter) expandida a partir de um semigrupo finito via o produto direto entre (a)dS; e o semigrupo considerado. A motivação de se usar uma álgebra expandida é para se obter uma teoria mais geral, com a possibilidade de se obter outros campos além do campo de gravitação na teoria. Estes outros campos podem ser vistos como uma possível matéria que interage com o campo de gravitação. Basicamente esse trabalho será dividido em três partes. Na primeira, que abrange os capítulos 2 e 3, faremos uma breve introdução às formas diferenciais e à teoria de grupos, dois ferramentários essenciais na compreensão de uma teoria de Chern-Simons para a gravitação. Nesta parte traremos alguns re- sultados recentes sobre expansões de álgebra que são fundamentais para este trabalho. Faremos a expansão mencionada, mostrando que se trata realmente de uma álgebra de Lie, calculando as constantes de estrutura e os tensores invariantes e, em seguida, faremos um comparativo dos nossos resultados com trabalhos similares na literatura. Na segunda parte, que abrange todo capítulo 4, faremos uma introdução sobre teorias de Chern-Simons, mostrando sua importância para a física, bem como abordaremos alguns resultados já conhecidos sobre a gravitação de Chern-Simons em 5) usando como álgebra de Lie (a)dS:; simplesmente. Por fim, na última parte, aplicaremos os resultados do capítulo 4 considerando a álgebra expandida, obtendo a ação de Chern-Simons para tal álgebra. Após isso estudaremos a estrutura dinâmica da teo- ria, fazendo uso do formalismo hamiltoniano de Dirac. Um resultado importante do quarto e último capítulo é a descoberta de uma classe mais geral de difeormorfismos espaciais, chama- dos por nós de difeomorfismos generalizados, que abrange os difeomorfismos espaciais usuais. Estes novos difeomorfismos são uma consequência do método de expansão. Este trabalho ainda contém um anexo sobre o formalismo Hamiltoniano de Dirac utilizado nos capítulos 4 e 5 para o estudo da dinâmica das respectivas teorias, além de dois outros anexos contendo programas computacionais que utilizamos. In this work we study the Chern-Simons theory for gravitation in 5 dimensions. We use as Lie algebra the algebra (a)dS5 (de Sitter or anti-de Sitter) expanded from a finite semigroup via the direct product between (a)dS5 and the semigroup considered. The motivation of using an expanded algebra is to obtain a more general theory, with the possibility of obtaining other fields beyond the field of gravitation in the theory. These other fields can be seen as a possible matter that interacts with the field of gravitation. Basically this work will be divided into three parts. In the first, which covers the chapters 2 and 3, we will briefly introduce differential forms and group theory, two essential tools for understanding a Chern-Simons theory of gravitation. In this part we will bring some recent results on algebra expansions that are fundamental to this work. We will make the expansion mentioned, showing that it is really a Lie algebra, calculating the constants of structure and the invariant tensors, and then we will make a comparison of our results with similar works in the literature. In the second part, which covers the whole of chapter 4, we will make an introduction about Chern-Simons theories, showing their importance to physics, as well as discuss some already known results on Chern-Simons gravitation in 5D using as Lie algebra (a)ds5 simply. Finally, in the last part, we will apply the results of chapter 4 considering the expanded algebra, obtaining the Chern-Simons action for such algebra. After this we will study the dynamic structure of the theory, making use of the Hamiltonian formalism of Dirac. An important result of the fourth and final chapter is the discovery of a more general class of spatial diffeorphisms, called by us of generalized diffeomorphisms, which include the usual spatial diffeomorphisms. These new diffeomorphisms are a consequence of the method of expansion adopted by us. This work also contains an annex about the Hamiltonian formalism of Dirac used in chapters 4 and 5 to study the dynamics of the respective theories, as well as two other annexes containing computational programs that we use.

In this paper we shall answer positively two open problems proposed by Llibre–Mahdi–Valls (2011) in [9] . More precisely, we characterize the polynomial integrability of Hamiltonian system with potentials given by the inverse of a homogeneous potential of degree k .

Agradecimentos: JKM acknowledges financial support from Iran's National Elites Foundation, Grant No. 7000/2000-1396/03/08. MCO acknowledges supports by the Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado de Sao Paulo (FAPESP) through the Research Center in Optics and Photonics (CePOF) Abstract: The discrete-time quantum walk dynamics can be generated by a time-dependent Hamiltonian, repeatedly switching between the coin and the shift generators. We change the model and consider the case where the Hamiltonian is time-independent, including both the coin and the shift terms in all times. The eigenvalues and the related Bloch vectors for the time-independent Hamiltonian are then compared with the corresponding quantities for the effective Hamiltonian generating the quantum walk dynamics. Restricted to the non-localized initial quantum walk states, we optimize the parameters in the time-independent Hamiltonian such that it generates a dynamics similar to the Hadamard quantum walk. We find that the dynamics of the walker probability distribution and the corresponding standard deviation, the coin-walker entanglement, and the quantum-to-classical transition of the discrete-time quantum walk model can be approximately generated by the optimized time-independent Hamiltonian. We, further, show both dynamics are equivalent in the classical regime, as expected FUNDAÇÃO DE AMPARO À PESQUISA DO ESTADO DE SÃO PAULO - FAPESP Fechado

Os sistemas Hamiltonianos formam uma das classes mais importantes de equações diferenciais. Além de constituírem o formalismo central da física clássica, sua aplicação se estende a uma grande variedade de outros campos de estudo. Esses sistemas possuem uma característica notória do ponto de vista da matemática, a saber, que a sua ação sobre seus estados iniciais preserva uma estrutura geométrica conhecida como simpleticidade. Este fato tem importantes consequências sobre as características qualitativas do comportamento do sistema, em especial no longo prazo. Neste trabalho, são estudados métodos numéricos para obter soluções aproximadas para sistemas Hamiltonianos (já que, via de regra, soluções exatas não podem ser encontradas) que preservem a estrutura simplética das equações originais. Para tal, é feita uma revisão da teoria clássica da integração numérica de equações diferenciais, bem como de temas mais recentes como os integradores exponenciais. Além de expor a literatura mais recente sobre integradores simpléticos do tipo Runge-Kutta Exponencial, o trabalho propõe um algoritmo para o cálculo computacionalmente eficientes de integrais envolvendo exponenciais de matrizes, que são centrais para a integração simplética estável de ordem alta. Hamiltonian systems form one of the most important classes of differential equations describing the evolution of physical phenomena. They are the backbone of classical mechanics and their application covers many different areas such as molecular dynamics, hydrodynamics, celestial and statistical mechanics, just to mention a few of them. A noteworthy feature of Hamiltonian systems is that their flow possesses a geometric property -known as symplecticity- which has a major impact on the long-time behavior of the solution. Since in general closed-form solutions can be found only in few particular cases, the construction and analysis of numerical integrators -able to produce discrete approximations that are also symplecticity preserving- is crucial for studying these systems. In this work we present the key ideas about Hamiltonian systems and their theoretical properties. We also review the main numerical methods and techniques to design and analyze symplectic integrators. Special attention is given to the stability and dynamical properties of the methods, as well as their effectiveness for long-term simulations. Finally, we propose an algorithm to improve the computational implementation of the family of exponential-based symplectic integrators recently found in the literature.

Neste trabalho, nós estudamos um hamiltoniano efetivo de três modos de frequência descrevendo bósons interagentes. Podemos considerar estes bósons como exciton-polaritons em uma microcavidade semicondutora, na configuração do ângulo mágico, ou como átomos frios armadilhados opticamente em um poço triplo, com a conservação do desequilíbrio das populações. Verificamos que as propriedades do espectro quântico, que caracterizam uma transição de fase quântica, possuem uma analogia com as propriedades do espaço de fase clássico de uma função hamiltoniana obtida no limite termodinâmico. O adensamento de níveis no espectro, em torno do estado fundamental e do mais energético, corresponde ao surgimento de uma separatriz (uma trajetória que separa librações e rotações) no espaço de fase clássico. Esta analogia clássica nos permite, ainda, a caracterização das fases e a determinação da ordem da transição, além da construção de um diagrama de fase. In this work, we study an effective three-mode Hamiltonian describing interacting bosons. These bosons can be considered as exciton-polaritons in a semiconductor microcavity at the magic angle or cold atoms optically trapped in a triple-well potential with a population imbalance conservation. We observe that the quantum properties of the spectrum characterize a quantum phase transition. We realize a thermodynamic limit of the Hamiltonian and we study the classical properties of the phase space. We observe a close analogy between quantum and classical properties: an inflection point (a level approximation) in spectrum corresponds to a separatrix (a trajectory that separates librations and rotations) in phase space. This analogy allows us to characterize the system phases, the order of the transition, and also to construct a phase diagram.