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Diese Arbeit wirft neues Licht auf die Rekonstruktion dynamischer MR-Daten mittels Variationsverfahren, die mit Nuklearnormen regularisieren. Zunächst widmen wir uns der klassischen Nuklearnorm und diskutieren ihre Vorteile im Zusammenhang mit der Rekonstruktion von dynamischen Reihen, die aus stark korrelierenden Einzelbildern bestehen. Anschließend betrachten wir die Nuklearnorm in einem weiteren Sinne. Indem wir uns auf lineare Abbildungen zwischen nicht euklidischen Vektorräumen konzentrieren, leiten wir eine verallgemeinerte Version ab. Mithilfe dieser entwickeln wir einen Ansatz, der a-priori-Wissen über das Auftreten von glatter Dynamik in den Rekonstruktionsprozess dynamischer MR-Daten einbezieht. In einem zweiten Teil betrachten wir die oben genannten Ansätze aus theoretischer Sicht und untersuchen ihre Gamma-Konvergenz. Dabei zeigen wir, dass die betrachteten diskreten Nuklearnormen gegen ihre natürlichen kontinuierlichen Entsprechungen Gamma-konvergieren. This thesis sheds new light on the reconstruction of dynamic MR data via variational methods that regularize with nuclear norms. On the one hand, we devote ourselves to the classical nuclear norm and discuss its benefits in connection with the reconstruction of dynamic series that are presumed to consist of highly correlated frames. On the other hand, we consider the nuclear norm in a broader sense. Concentrating on linear mappings between non-euclidean vector spaces, we derive a generalized version. Focusing on the tasks in dynamic MRI, we use this more general framework to deduce an approach which incorporates a-priori knowledge on the occurence of smooth dynamics into the process of reconstruction. In a second part we then contemplate the above mentioned approaches from a theoretical point of view and address the study of their Gamma-convergence. In doing so, we show that the considered discrete nuclear norms Gamma-converge toward their natural continuous counterparts.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der numerischen Zeitintegration von hoch-dimensionalen, zeit-abhängigen, gewöhnlichen Differentialgleichungen, welche beispielsweise bei der Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen auftreten. Treten in den Problemen sehr hohe Dimensionen auf, sind Standardtechniken nicht mehr durchführbar. Die Anzahl und Größe der Objekte, welche gespeichert und verarbeitet werden müssen, übersteigt bei Weitem die Kapazitäten eines Standard-Computers. Dieser Umstand wird häufig als der Fluch der Dimension bezeichnet. Deshalb müssen andere Ansätze zur Behandlung solcher Probleme herangezogen werden, wie zum Beispiel dynamische Approximationen von niedrigem Rang. Dynamische Approximationen von niedrigem Rang beruhen auf der Projektion der Zeitableitung einer zeitabhängigen Lösung eines gegebenen Problems auf den Tangentialraum eines Lösungsraums, welcher eine niedrigere Komplexität aufweist. Die Mannigfaltigkeit der Matrizen von festem Rang r sind ein Beispiel für einen solchen Lösungsraums. Auf dieser speziellen Mannigfaltigkeit wurde mit Hilfe einer Zerlegung der Projektion (=Projektions-Splitting) ein Integrator vorgestellt. Dieser erhält die spezielle Struktur der Objekte bei, was ein effizientes Speichern ermöglicht. Weiter weist der Integrator Robustheit bezüglich kleiner Singulärwerte auf, was essentiell ist um eine ausreichende Genauigkeit der Approximation zu gewährleisten. Für hoch-dimensionale Probleme existieren diverse Mannigfaltigkeiten von niedrigem Rang, auf welchen analog Integratoren vorgestellt wurden, die ebenfalls auf einer Zerlegung der Projektion beruhen. Die Literatur ist reich an Arbeiten zu dynamischen Approximationen von niedrigem Rang für hoch-dimensionale, niedrig-rangige und schleifen-freie Darstellungen, wie zum Beispiel Tucker-Tensoren oder Tensoren in hierarchischer Tucker Darstellung. Wir präsentieren hier die Erweiterung des Projektions-Splitting Integrators für Matrizen auf die Klasse der Tensor-Netzwerke, welche nach Konstruktion alle oben genannten Darstellungen verallgemeinert. Weiter wird eine nicht-triviale Modifikation des Projektions-Splitting Integrators vorgestellt, welche die (Schief-)Symmetrie von Matrizen und Tucker-Tensoren erhält. Diese Modifikation wurde auf Matrizen von niedrigem Rang und Tensoren in Tucker Darstellung verallgemeinert. Aufgrund der ungewöhnlichen Herleitung und Konstruktion des neuen Integrators, bezeichnen wir diesen als unkonventionellen Integrator. Im Unterschied zum Projektions-Splitting Integrator für Matrizen und Tucker-Tensoren, ermöglicht der unkonventionelle Integrator paralleles Rechnen. Er erhält die ursprünglichen vorteilhaften Eigenschaften des Projektions-Splitting Integrators für Matrizen und Tucker-Tensoren und bietet mehr Stabilität bei stark dissipativen Problemen. The present thesis deals with the numerical time-integration of high-dimensional time-dependent ordinary differential equations arising from, e.g. the discretization of high-dimensional time-dependent partial differential equations. Because the size of such problems is assumed to be extremely large, standard discretization techniques are not feasible. The number of quantities needed to be stored and treated exceeds standard capacities of common computational devices; a circumstance usually referred to as curse of dimensionality. A different ansatz is required to be used, i.e. the dynamical low-rank approximation. Dynamical low-rank approximation consists of projecting the time-derivative of the time-dependent solution of the given problem onto the tangent space of a search space of lower complexity, e.g. the manifold of low-rank matrices of fixed rank r. In the manifold of low-rank matrices, an efficient numerical integrator based on a projector-splitting approach has been recently proposed. This numerical integrator has been proven to retain a low-memory footprint and to be robust with respect to the presence of small singular values, desirable property which is needed for achieving sufficient precision in the final approximation. Different low-rank manifolds exist in the high-dimensional setting, and analogous projector-splitting integrators have been there proposed. In the literature, exhaustive and complete research has been carried out for dynamical low-rank approximation of high-dimensional low-rank loop-free formats, such as tensors in Tucker format and tensors in hierarchical Tucker format. We present here the extension of the projector-splitting integrator for matrices to the most general class of tree tensor networks, which by construction includes all mentioned low-rank loop-free formats. Furthermore, a non-trivial modification of the projector-splitting integrator, preserving (skew-)symmetry for matrices and tensors in Tucker format, is presented. The latter results are generalized to low-rank matrices and tensors in Tucker format. Due to its unusual derivation and construction, the new derived numerical integrator is referred to as the unconventional integrator. In contrast to the original projector-splitting integrator for matrices and tensors in Tucker format, the new unconventional integrator introduces more parallelism. It preserves the original excellent properties of the projector-splitting integrator for matrices and tensors in Tucker format and provides more stability when strong dissipative problems are considered.

In this paper, we have applied a recently developed complex-domain hyperspectral denoiser for the object recognition task, which is performed by the correlation analysis of investigated objects��� spectra with the fingerprint spectra from the same object. Extensive experiments carried out on noisy data from digital hyperspectral holography demonstrate a significant enhancement of the recognition accuracy of signals masked by noise, when the advanced noise suppression is applied., publishedVersion

This thesis is concerned with the low-rank approximation of time-dependent high-dimensional matrices and tensors that can be given explicitly or are the unknown solution to a matrix or tensor differential equation. Large differential equations typically arise from a space discretization of a high-dimensional evolutionary partial differential equation and are not solvable by direct discretization because of their sheer size. The dynamical low-rank approximation approach counters this computational infeasibility by evolving a differential equation for an approximation matrix or tensor with underlying low-rank structure. The Lipschitz constant of the right-hand side of this differential equation grows inversely proportional to the size of the smallest singular value of the approximation matrix or of matricizations of the approximate tensor. Therefore, standard numerical integrators deteriorate in this situation. In practice, small singular values appear often due to overapproximation. A constitutive method for time integration of matrices in low-rank format is the matrix projector-splitting integrator. It updates factor matrices of the underlying truncated singular value decomposition. We present a rigorous error analysis for this integrator that shows its robustness with respect to small singular values and its first order convergence. This result is achieved by using the exactness property of the integrator and the preservation of subspaces during the integration procedure. By means of the same ingredients, we extend this error analysis to the time integrator of tensor trains. We further derive an integration method for time-dependent Tucker tensors. Matricizations of Tucker tensors enable us to a nested application of a modified version of the matrix projector-splitting integrator, where a substep in the integration step is not done exactly, but by another low-rank approximation. This nested Tucker integrator turns out to be exact in the explicit case and robust in the presence of small singular values of matricizations of the Tucker tensor. We also propose a numerical integrator for the approximation of a matrix that is the unknown solution to a stiff matrix differential equation. We deal with a class of matrix differential equations that is characterized by a stiff linear and a non-stiff nonlinear part. This integrator separates the stiff differential equation into a linear and a nonlinear subproblem by the Lie-Trotter splitting method. We show an error bound of order one that is independent of singular values and of the severe Lipschitz constant. We contribute to the development and to the analysis of efficient and robust time integration methods by following the dynamical low-rank approximation approach using low-rank structures of matrix and tensor representations., Die Niedrigrangapproximation zeitabhängiger, hochdimensionaler Matrizen und Tensoren, die explizit oder implizit als unbekannte Lösung einer Matrix- oder Tensordifferentialgleichung gegeben sein können, ist Gegenstand der Betrachtung. Differentialgleichungen für sehr große Matrizen und Tensoren treten typischerweise nach der Ortsdiskretisierung einer hochdimensionalen partiellen Differentialgleichung auf und sind auf Grund der Größe der Matrix beziehungsweise des Tensors nicht direkt lösbar. Der Ansatz der dynamischen Niedrigrangapproximation bringt eine Differentialgleichung für die Approximationsmatrix oder den -tensor mit Niedrigrangstruktur hervor und wirkt den rechentechnischen Schwierigkeiten auf diese Weise entgegen. Die Lipschitzkonstante der rechten Seite dieser Differentialgleichung verhält sich jedoch proportional zur Inversen des kleinsten Singulärwertes der Approximationsmatrix beziehungsweise der Matrizisierungen des Approximationstensors. Aus diesem Grund sind klassische numerische Verfahren nicht praktikabel, da sie eine starke Schrittweitenbeschränkung erfordern, um Lösungen zu liefern. In der Anwendung der Niedrigrangapproximation ist a priori nicht klar wie groß der effektive Rang der zu approximierenden Matrix oder des Tensors ist und daher wird dieser oft zu groß gewählt. Dies führt dazu, dass kleine Singulärwerte auftreten. Der Matrixintegrator ist ein wesentliches Verfahren für die Zeitintegration von Matrizen im Singulärwert zerlegten Niedrigrangformat und ist grundlegend für diese Arbeit. Er bestimmt die drei Faktormatrizen zum nächsten Zeitpunkt und liefert so eine Approximationslösung von niedrigem Rang. Wir führen eine Fehleranalyse dieses Integrators durch, die eine Konvergenz erster Ordnung zeigt und die eine Fehlerschranke unabhängig von kleinen Singulärwerten nachweist. Um die Schwierigkeit mit der Lipschitzkonstante zu umgehen, machen wir Gebrauch von der Exaktheit des Integrators im expliziten Fall und von der Beobachtung, dass jeweils eine der beiden Basismatrizen der Singulärwertzerlegung während der Zeitintegration konstant bleibt. Mit den gleichen Ideen lässt sich die Fehleranalyse für den Integrator für Tensor Trains ausweiten. Ferner entwickeln wir eine Integrationsmethode für die Zeitentwicklung von Tucker-Tensoren. Die Matrizisierung von Tucker Tensoren erlaubt es uns eine leicht abgeänderte Version des Matrixintegrators anzuwenden, indem wir die ersten beiden Teilschritte direkt lösen, beim dritten Schritt hingegen eine Niedrigrangapproximation durchführen. Dieser Tucker Integrator ist exakt wenn der zu approximierende Tensor explizit gegeben ist. Dieses Verfahren liefert auch bei auftretenden kleinen Singulärwerten gute Ergebnisse, was aus der Fehleranalyse hervorgeht, die Fehlerschranken angibt, welche unabhängig von Singulärwerten sind. Überdies beschäftigen wir uns mit der Niedrigrangapproximation von Lösungsmatrizen steifer Differentialgleichungen. Hierbei betrachten wir jene Differentialgleichungen, die aus einem linearen und steifen sowie einem nichtlinearen und nicht steifen Anteil bestehen. Die Hauptidee dieses Integrationsverfahrens besteht darin, den steifen vom nicht steifen Anteil mit Hilfe der Lie-Trotter Splittingmethode zu trennen und die beiden resultierenden Differentialgleichungen für sich zu lösen. Auf Grund dieser Aufteilung ist es möglich eine Fehleranalyse zu führen, die aufzeigt, dass das Verfahren von der Lipschitzkonstanten nicht beeinflusst wird und dass dessen Fehlerschranke unabhängig von Singulärwerten ist. Die vorliegende Arbeit ist ein Beitrag zur Entwicklung sowie zur numerischen Analyse effizienter und bezüglich kleiner Singulärwerte robuster numerischer Integrationsverfahren. Grundlegend hierfür ist das Verfahren der dynamischen Niedrigrangapproximation unter Verwendung einer Niedrigrangfaktorisierung der Matrix oder des Tensors.

A new algorithm based on singular value decomposition (SVD) to remove cardiac contamination from trunk electromyography (EMG) is proposed. Its performance is compared to currently available algorithms at different signal-to-noise ratios (SNRs). The algorithm is applied on individual channels. An experimental calibration curve to adjust the number of SVD components to the SNR (0&ndash, 20 dB) is proposed. A synthetic dataset is generated by the combination of electrocardiography (ECG) and EMG to establish a ground truth reference for validation. The performance is compared with state-of-the-art algorithms: gating, high-pass filtering, template subtraction (TS), and independent component analysis (ICA). Its applicability on real data is investigated in an illustrative diaphragm EMG of a patient with sleep apnea. The SVD-based algorithm outperforms existing methods in reconstructing trunk EMG. It is superior to the others in the time (relative mean squared error &lt, 15%) and frequency (shift in mean frequency &lt, 1 Hz) domains. Its feasibility is proven on diaphragm EMG, which shows a better agreement with the respiratory cycle (correlation coefficient = 0.81, p-value &lt, 0.01) compared with TS and ICA. Its application on real data is promising to non-obtrusively estimate respiratory effort for sleep-related breathing disorders. The algorithm is not limited to the need for additional reference ECG, increasing its applicability in clinical practice.

The reconstruction of the neuronal current inside the human brain from magnetic flux density (MEG) and electric potential (EEG) measurements is an important tool for understanding the functioning of the brain and for diagnosing brain diseases, such as epilepsy. One partly unanswered question, which is extensively discussed in the literature, is about the non-uniqueness of the related inverse problems. We investigate this question in the context of the multiple-shell model, which assumes nested spherical geometries. We derive novel integral equations describing the inverse problems, which require less a-priori assumptions on the current than former approaches and map the entire vector-valued current onto the data instead of certain scalar functions. A novel decomposition of the current based on an orthonormal basis system is presented, which yields singular value decompositions of the integral operators with exponentially fast decreasing singular values. Therewith, we complete the existing non-uniqueness considerations, which includes a characterization of the measurable radial part of the neuronal current: only the harmonic solenoidal part of the current can be measured via the MEG and EEG devices. For the numerical solution of these severely ill-posed problems, regularization methods are required. We use the regularized Ritz method, scalar splines, novel vector reproducing kernel based splines, and the regularized (orthogonal) functional matching pursuit (ROFMP) algorithm, which was developed by the Geomathematics Group Siegen within the last years. We improve convergence results of the RFMP and introduce novel Sobolev norms as penalty terms. The good and stable numerical results of the vector spline method are outperformed by the ROFMP in non-noisy and noisy synthetic test cases. Finally, we apply the ROFMP to real measurement data. Die Rekonstruktion des menschlichen Hirnstroms aus Messungen der magnetischen Fluss-dichte (MEG) und des elektrischen Potentials (EEG) ist ein wichtiges Mittel, um die Arbeitsweise des Gehirns zu verstehen und um Krankheiten wie Epilepsie zu diagnostizieren. Die Frage nach der Nichteindeutigkeit des zugehörigen inversen Problems ist nicht vollständig beantwortet, obwohl sie ausgiebig diskutiert wird. Diese Frage wird im Rahmen des Mehrschalenmodells untersucht, welches aus konzentrisch angeordneten sphärischen Schalen besteht. Wir leiten neue Integralgleichungen für das Modell her, die weniger A-priori-Voraussetzungen benötigen als bisherige Ansätze. Anstatt nur gewisser skalarer Anteile, bilden diese den kompletten vektoriellen Hirnstrom auf die Daten ab. Wir stellen eine neue Entwicklung des Hirnstroms basierend auf einem orthonormalen Basissystem vor, die zu einer Singulärwertzerlegung mit exponentiell schnell abfallenden Singulärwerten führt. Damit kann die Frage der Nichteindeutigkeit wie auch die Frage nach dem messbaren Anteil der Radialkomponente des Stroms vollständig beantwortet werden. Nur der solenoidale und harmonische Anteil des Hirnstroms kann aus MEG- und EEG-Daten rekonstruiert werden. Um beide exponentiell schlecht gestellten Probleme numerisch zu lösen, sind Regularisierungsverfahren notwendig. Neben dem regularisierten Ritz-Verfahren, einer skalaren Spline Methode und einem speziell für das EEG-Problem auf Basis von reproduzierenden Kernen entwickelten vektoriellen Spline-Verfahren testen wir den in den letzten Jahren von der Arbeitsgruppe Geomathematik der Universität Siegen entwickelten regularized functional matching pursuit (RFMP) und seine Weiterentwicklung, den regularized orthgonal functional matching pursuit (ROFMP). Wir verbessern die Konvergenzresultate des RFMP und führen neue Sobolevnormen als Strafterm ein. Mittels vektorieller Splines können gute und stabile numerische Ergebnisse erzielt werden, die vom ROFMP sowohl bei unverrauschten als auch bei verrauschten synthetischen Tests übertroffen werden. Abschließend wird der ROFMP für die Inversion realer Datensätze verwendet.

submitted by Felix Scholz Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers Universität Linz, Dissertation, 2019 (VLID)3871869

Der Anstieg an Energieerzeugung durch erneuerbare Energien wie Solar und Wind führen dazu, dass unsichere Wetterbedingungen zu Unsicherheiten bei der Stromproduktion führen. Daher müssen Marktteilnehmer kurzfristig reagieren könne um abgeschlossene Verträge einhalten zu können. Eine Plattform dafür bietet der Intraday Markt. Preise am deutschen Intraday Markt korrelieren inter- und intratäglich und weisen sowohl negative als auch positive Extrempreise auf. Aufgrund solcher Extrempreise liegt das Interesse bezüglich Preisprognosen nicht nur im bedingen Mittelwert sondern auch in den Verteilungsenden. Generalisierte Quantile wie Quantile und Expektile eignen sich gut um eine Verteilung zu beschreiben. Diese Arbeit zeigt die Anwendungen von zwei Methoden zur Identifizierung von Risikofaktoren von generalisierten Quantilskurven von Strompreisen am Intraday Markt. Die Risikofaktoren werden durch Funktionale Hauptkomponentenanalyse und Multivariate Quantilsregression identifiziert. Die intertägliche Dynamik der Risikofaktoren wird mit einem Vektorautoregressiven Modell analysiert. Dadurch können auch exogene Informationen wie Prognosen über erneuerbare Energieproduktion berücksichtigt werden. Preisprognosen beider Ansätze werden evaluiert mithilfe der Wurzel der mittleren quadratischen Fehler. Aus den Prognosen der Verteilungsenden werden Intervalle berechnet. Diese werden dahingehend evaluiert, zu welchem Anteil sich Preise innerhalb des Prognostizierten Intervalls befinden. R-Codes werden via QuantNet auf GitHub zur Verfügung gestellt. Increasing renewable energy sources, such as solar and wind pass uncertain weather conditions to uncertainty in power production. This requires market participants to react at short notice to fulfill closed contracts through balancing themselves at the intraday market. Prices at the German intraday market correlate inter- and intradaily and exhibit extreme values in both directions. As a result of such extreme movements, interest on future prices is not only in the center of the distribution, but also in the tails. Generalized quantiles such as quantiles and expectiles are well suited to characterize a distribution. This thesis shows an application of two approaches to identify main risk factors of generalized quantile curves. Functional principal component analysis and a multivariate factorisable quantile regression. The interdaily time dynamics of the risk factors are analyzed with a vector autoregressive model that allows for incorporation of exogenous information such as renewable energy production forecasts. Price forecasts from both models are evaluated with root mean squared error and mean absolute error. Intervals obtained from tail forecasts are evaluated, to which share the interval captures observed prices. Supplementary material for this thesis is available via QuantNet on GitHub.

Führungsgetriebe die durch Servomotoren angetrieben werden, benötigen für definierte Stellungen des Abtriebsglieds eine programmierte Funktion (elektronische Kurvenscheibe). Diese leitet sich aus dem möglicherweise fehlerbehafteten kinematischen Modell des Getriebes ab (inverse Kinematik). Zur Verbesserung der Genauigkeit der Führungsbewegung wird ein Verfahren zur Justierung der Übertragungsfunktion auf Basis des Newton-Verfahrens unter Nutzung der Singulärwertzerlegung vorgestellt. Dabei werden die realen Getriebeabmessungen anhand einer Messung berechnet und werden anschließend korrigiert zur Anpassung der Übertragungsfunktion verwendet.

In this paper we present an efficient method for updating the singular value decomposition (SVD) subject to a rank-one modification. The updated SVD can be characterized by two problems involving symmetric matrices. The singular values corresponding to these symmetric problems are computed by solving a secular equation. The secular equation can be solved reliably and efficiently with standard software. The singular vectors can be updated efficiently with a few matrix-matrix products. The computational effort to compute the matrix-matrix products can be considerably decreased by exploiting that some matrices are of Cauchy-type. We analyze several methods which exploit this structure. The computational complexity of the proposed approach is O(n2 log2 n).

In dieser Dissertation wird die zeitaufgelöste 2-Photonen Photoemission mit deutlich verschiedenen Verzögerungen auf mehreren Monolagen Fullerite auf Kupfer-Substrat angewendet. Die Messergebnisse wurden mit einer Kombination aus Schnitten und der Singulärwertzerlegung analysiert, wobei bis zu 3 Zustände isoliert werden konnten. Eine Simulation der Ratengleichung wurde anschließend an die Zustands-Dynamik angepasst und Lebenszeiten von bis zu 200 µs für das Triplett Exziton ermittelt. Erhöhte Anregungsfluenz reduziert die Lebensdauer des Singlett-Exzitons. Erhöhte Probentemperatur zur Zeit der Messung oder ein dünner Film reduzieren die Lebenszeit des Triplett-Exzitons. Der Temperaturverlauf während der Proben-Präparation beeinflusst die Messergebnisse stark. Die Variation der Anregungsphotonen-Energie im Bereich zwischen 2.9 bis 3.3 eV beeinflusst die Messergebnisse nicht merklich.

The Gravity Recovery and Climate Experiment (GRACE) twin-satellite mission has been providing measurements of the time-varying gravity field of the Earth for almost seven years now. Gravity changes on Earth are due to mass changes and play an important role in Earth sciences. Monthly maps of mass changes are derived from the satellite measurements and need to be interpreted. The major difficulty in analyzing GRACE data are North-South stripes in the estimated gravity fields, caused by the fact that the GRACE satellites are flying in a near-polar orbit, one following the other. A microwave ranging instrument is measuring the distance between the two spacecraft, which is about 220 km. Due to these longitudinal stripes, major errors, analyzing the GRACE gravity fields is demanding. The technique of empirical orthogonal function (EOF) analysis is investigated in this thesis, and it is demonstrated the performance of EOF analysis for separating signal from noise and errors, and for identifying different sources of gravity changes in a real GRACE data set. EOF analysis is explained from a theoretical point of view and is applied to the GRACE data. Basically, the EOF method gives a transformation of the data into a new coordinate frame in the data space, where the axis are chosen according to the data variances. The core of the method is a singular value decomposition of the data matrix. The components obtained from this decomposition need to be interpreted, and signal has to be separated from noise. Additionally, EOF analysis can be used as a filtering tool. In the detailed data analysis, benefits and shortcomings of the EOF method are studied and described with respect to GRACE data. Global maps of mass changes as well as different smaller regions are analyzed, and global and regional results are compared., Die "Gravity Recovery and Climate Experiment" (GRACE) Mission liefert seit fast sieben Jahren Messungen der zeitlichen Änderungen des Erdschwerefeldes. Diese werden durch Massenverschiebungen auf der Erde hervorgerufen und spielen daher in den Umweltwissenschaften eine bedeutende Rolle. Bei der Auswertung monatlicher Schwerefeldänderungen aus GRACE Messungen bereiten Nord-Süd-Streifen in den Feldern die größten Schwierigkeiten. Diese Streifen entstehen durch den fast polaren Orbit, auf dem die beiden GRACE Satelliten, mit einem Abstand von ungefähr 220 km, einander folgen. Ein Mikrowellenmesssystem misst hochgenau die Abstandsänderungen zwischen den beiden Satelliten. Auf Grund des starken Rauschens, welches die Streifen verursachen, ist die Auswertung der monatlichen Schwerefelder schwierig. In dieser Diplomarbeit wird die Methode der "Empirical Orthogonal Function (EOF) Analysis" hinsichtlich ihrer Eignung für eine Auswertung echter GRACE Felder untersucht. Anhand dieses Datensatzes wird das Potential der EOF Methode, um Signale von Rauschen zu trennen und einzelne Quellen der Massenänderungen zu identifizieren, demonstriert. Zunächst wird die EOF Analyse von einem theoretischen Standpunkt aus erklärt und dann auf den Datensatz angewendet. Grundsätzlich wird dabei in ein neues Koordinatensystem transformiert, dessen Achsen an den Varianzen der Daten ausgerichtet sind. Der Kern dieser Methode ist eine Singulärwertzerlegung der Datenmatrix. Die Komponenten, die diese Zerlegung leifert, müssen dann hinsichtlich Signal und Rauschen identifiziert werden. Die EOF Analyse mit anschließender Synthese der Felder kann auch als Filter benutzt werden. In einer ausführlichen Untersuchung der GRACE Daten werden Vor- und Nachteile der EOF Zerlegung aufgezeigt und erklärt. Dabei werden sowohl globale Schwerefelder aus GRACE, als auch verscheidene regional Beispiele untersucht. Ergebnisse aus globalen und regionalen Untersuchen werden dabei verglichen.

In this thesis we deal with the degree of ill-posedness of linear operator equations in Hilbert spaces, where the operator may be decomposed into a compact linear integral operator with a well-known decay rate of singular values and a multiplication operator. This case occurs for example for nonlinear operator equations, where the local degree of ill-posedness is investigated via the Frechet derivative. If the multiplier function has got zeroes, the determination of the local degree of ill-posedness is not trivial. We are going to investigate this situation, provide analytical tools as well as their limitations. By using several numerical approaches for computing the singular values of the operator we find that the degree of ill-posedness does not change through those multiplication operators. We even provide a conjecture, verified by several numerical studies, how these multiplication operators influence the singular values of the operator equation. Finally we analyze the influence of those multiplication operators on the opportunities of Tikhonov regularization and corresponding convergence rates. In this context we also provide a short summary on the relationship between nonlinear problems and their linearizations. Diese Arbeit beschaeftigt sich mit dem Grad der Inkorrektheit linearer Operatorgleichungen in Hilbertraeumen, die sich als Komposition eines vollstetigen linearen Integraloperators mit bekannter Abklingrate der Singulaerwerte und eines Multiplikationsoperators darstellen lassen. Dieser Fall tritt beispielsweise bei nichtlinearen Operatorgleichungen auf, wobei der lokale Inkorrektheitsgrad ueber die Frechetableitung bestimmt wird. Falls die Multiplikatorfunktion Nullstellen hat, so ist die Bestimmung des lokalen Grades der Inkorrektheit nicht einfach. Moeglichkeiten und Grenzen der Analysis fuer diese Situation werden betrachtet. Unterschiedliche numerische Ansaetze fuer die Bestimmung der Singulaerwerte liefern, dass der Grad der Inkorrektheit durch die Multiplikationsoperatoren nicht veraendert wird. Es wird sogar ein Zusammenhang angegeben, wie Multiplikationsoperatoren die Singulaerwerte beeinflussen. Schliesslich werden Moeglichkeiten der Tikhonov-Regularisierung unter Einfluss der Multiplikationsoperatoren untersucht. In diesem Zusammenhang wird auch eine kurze Zusammenfassung zur Beziehung von nichtlinearen Problemen und ihren Linearisierungen gegeben.

Die vorliegende Arbeit befasst sich im ersten Teil mit der Beschreibung und Identifikation von stochastischen Lastprozessen, welche vorteilhaft mit einer Zustandsraumdarstellung erfolgen. Anschließend wird diese Modellierungsart bei der Strukturanalyse, die mit der Kovarianzmethode durchgeführt wird, eingesetzt. Am Schluss der Arbeit wird die Bemessung von Stahltragwerken unter dynamischer ermüdungsrelevanter Belastung, welche als Strukturoptimierungsaufgabe mit Betrachtung der Zuverlässigkeit formuliert wird, durchgeführt, und der Vorteil des Einsatzes der gewählten Art der Lastmodellierung wird aufgezeigt. Der Vorteil der gezeigten Vorgehensweise besteht darin, dass die zeitraubende Analyse von Messdaten nur einmal zur Ermittlung des Lastsystems durchgeführt werden muss, und nicht Teil der Optimierungsiteration wie bei einem herkömmlichen Zeitschrittverfahren ist. Dies ermöglicht eine deutlich effizientere Bewältigung der Aufgabe.