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We present two statistical models for downscaling flood hazard indicators derived from upscaled shallow water simulations. These downscaling models are based on the decomposition of hazard indicators into linear combinations of spatial patterns obtained from a Principal Component Analysis (PCA). Artificial Neural Networks (ANNs) are used to model the relationship between low resolution (LR) and high resolution (HR) information drawn from hazard indicators. In both statistical models, the PCA features, i.e. the linear weights of the spatial patterns, of the LR hazard indicator are taken as inputs to the ANNs. In the first model, there is one ANN per HR cell where the hazard indicator is to be estimated and the output of the ANN is the hazard indicator value at that cell. In the second model, there is a single ANN for the whole HR mesh whose outputs are the PCA features of the HR hazard indicator. An estimate of the hazard indicator is obtained by combining the ANN’s outputs with the HR spatial patterns. The two statistical downscaling models are evaluated and compared at estimating the water depth and the norm of the unit discharge, two common hazard indicators, on simulations from five synthetic urban configurations and one field-test case. Analyses are carried out in terms of relative absolute errors of the statistical downscaling model with respect to the LR hazard indicator. They show that (i) both statistical downscaling models provide estimates that are more accurate than the LR hazard indicator in most cases and (ii) the second downscaling model yields consistently lower errors for both hazard indicators for all flow scenarios on all configurations considered. The statistical models are three orders of magnitude faster than HR flow simulations. Used in conjunction with upscaled flood models such as porosity models, they appear as a promising operational alternative to direct flood hazard assessment from HR flow simulations.

With CPU times reduced by two to three orders of magnitude compared to shallow water models, porosity models are considered as efficient tools for the modelling of urban floods on the scale of a conurbation. However, they provide only upscaled hydraulic fields that yield unreliable estimates of the flood risk in terms of financial losses and hazard to human lives. Downscaling of the porosity model simulation outputs is thus necessary. The present work puts forward a downscaling approach based on the decomposition of microscopic hydraulic fields into linear combinations of spatial patterns. The coefficients of the linear combinations are predicted with an Artificial Neural Network (ANN) whose input is derived from macroscopic hydraulic fields. Principal Component Analysis is used both to decompose the microscopic fields into linear combinations of spatial patterns and to project the macroscopic fields into lower dimensional features that are fed to the ANN. This global downscaling approach, which reconstruct the whole microscopic field at once, is compared with a local downscaling approach that relies on a similar setup except that each cell of the microscopic field is estimated separately by a dedicated ANN and that there are as many ANNs as cells. The two downscaling approaches are evaluated and compared at estimating the water depth and the norm of the unit discharge on five synthetic urban configurations and one field-test case. The analyses in terms of absolute errors show that the global approach not only provides a valid downscaling scheme but outperforms, in almost all instances, the local approach.

We consider the Isobe-Kakinuma model for water waves, which is obtained as the system of Euler-Lagrange equations for a Lagrangian approximating Luke's Lagrangian for water waves. We show that the Isobe-Kakinuma model also enjoys a Hamiltonian structure analogous to the one exhibited by V. E. Zakharov on the full water wave problem and, moreover, that the Hamiltonian of the Isobe-Kakinuma model is a higher order shallow water approximation to the one of the full water wave problem., arXiv admin note: text overlap with arXiv:1803.09236

This memoire, based on the works done at the ENS de Lyon (2008-2017), is made of two parts.The first one is concerned by several aspects of the numerical simulation of viscoplastic fluids, thanks to duality methods (augmented Lagrangian and Bermúdez-Moreno). On the one hand, works on the design of well - balanced finite volume numerical schemes for prototypes of Shallow Water Bingham models (i.e. integrated in the vertical direction) are described. The 1D case is summarized while the 2D framework, which constitutes an original contribution of this document, is given in more details. In particular, we finish by an illustration of a viscoplastic avalanche in the Taconnaz avalanche path (Chamonix, Mont-Blanc). On the other hand, we give a synthesis on the work on the full 2D incompressible Bingham equations (i.e. not integrated like in the previous case) and its comparison with physical experiments in an expansion-contraction geometry.In the second part, we give an overview of the work done within the INRIA Numed Team, concerning the development of Bayesian methods for the parameters estimation of PDEs based models. More precisely, this work is based on SAEM methods which are intensively used in Medicine and Biology. The computational cost, associated to the numerous evaluations of the PDE model, being prohibitive, we proposed: (i) the implementation of a fixed metamodel (computed offline), based on an autorefined (structured tree) interpolation grid. And (ii) a kriged metamodel which is refined online during the SAEM iterations.; Ce mémoire, basé sur l'activité réalisée à l'ENS de Lyon, est structuré en deux parties.Dans la première, nous traitons de divers aspects de la simulation numérique de fluides viscoplastiques, grâce à des méthodes de dualité (Lagrangien Augmenté et Bermúdez-Moreno). D'une part, les travaux sur le développement de schémas numériques volumes-finis "bien équilibrés" pour des équations de type Saint-Venant Bingham (intégration sur la verticale) sont décrits. Le cas 1D est synthétisé alors que le cadre bidimensionnel, qui constitue une contribution originale de ce document, est présenté plus en détails. En particulier, nous finissons par une illustration d'avalanche viscoplastique dans le couloir de Taconnaz (Massif du Mont-Blanc). D'autre part, nous donnons un résumé du travail de simulation sur les équations de Bingham incompressible 2D complètes (i.e. non intégrées, par opposition au cas précédent) et la comparaison avec des expériences physiques dans une géométrie de type expansion-contraction.Dans la seconde partie, nous donnons un survol des activités réalisées au sein de l'équipe INRIA Numed, concernant le développement de méthodes bayesiennes pour l'estimation de paramètres de modèles à base d'EDP. Plus précisément, ce travail concerne les méthodes SAEM qui sont très utilisées dans le domaine biomédical. Etant donné le coût prohibitif associé aux nombreuses évaluations du modèle EDP, nous avons proposé, d'une part, une implémentation de métamodèle fixe à base de grille d'interpolation autoraffinée (de type structuré arborescent) et, d'autre part, une méthode de métamodèle évolutif (construit par krigeage) se raffinant au cours des itérations du SAEM, elles mêmes.

A depth-averaged model based on the thin-layer assumption, called Saint-Venant (Shallow-Water), is classically used to simulate the propagation and the spreading of debris and mud flows. It is based on several approximations concerning the shape of the velocity profile in non-uniform zones. We propose to test these hypotheses, examining a strongly non-uniform zone, the front of free-surface viscoplastic flows and the velocity field within this zone. By improving our knowledge about the internal dynamics in the front zone, we seek to improve the thin-layer models. This thesis therefore focuses on the study of the internal dynamics within the front of viscoplatic free-surface flows.We used the moving conveyor belt to generate stationary flows. We carried out a technical work on this set-up, and specific analysis of images obtained from the high-speed camera, in order to be able to measure velocity fields with a high resolution. The study of a Newtonian fluid was also carried out in order to validate the lubrication model and the experimental device.We compared experimental results to theoretical solutions of two thin-layer models taking into account the Herschel-Bulkley rheology: the classical model of lubrication, which is at the base of Saint-Venant model, and a consistent first-order model specifically developed in this thesis.The first-order model is equal to the zero-order model (lubrication), plus corrective terms derived from the normal stresses and inertia terms.In this study, for the purpose of comparison with our experimental results, we are interested in travelling-wave solutions. We are able to solve the shape of the front without using a depth-averaged model.Far from the front, experimental velocity profiles clearly display the characteristic 2-layer structure predicted by the lubrication solution, with constant values close to the free-surface (plug) and a sheared layer underneath. Closer to surge tip, the shape of experimental longitudinal velocity profilesthen begins to differ from the theoretical prediction. The 2-layer structure tends to disappear, and the profiles display shear across the whole depth ofthe flow. In this tip region, surface velocity also appears to increase faster than its theoretical counterpart. Surface velocity predicted by the first-order model increase more drastically in the tip region, in better agreement with the measurements than the lubrication model. The first-order model predicts a sheared velocity profile when approaching the front, as observed experimentally.The consistent first-order model then provides better predictions about internal dynamics than lubrication model. A depth-integrated model like Saint-Venant, based on consistent first-order developments is then calculated, as a first step before being integrated into an operational simulation tool.; Le modèle de couche mince intégré sur l'épaisseur, Saint-Venant, utilisé classiquement pour simuler la propagation de laves torrentielles et coulées boueuses, repose sur plusieurs approximations concernant la forme des profils de vitesse en zones non-uniformes. Il est pourtant nécessaire d'utiliser ce type de modélisation, comme outil d'aide à la gestion des risques liés aux laves torrentielles. Nous proposons d'éprouver ses hypothèses, en observant une zone fortement non-uniforme, le front de coulées à surface libre et le champ de vitesse à l'intérieur de cette zone.En améliorant notre connaissance de l'évolution de la forme des profils de vitesse (de la dynamique interne) au front de coulées, nous cherchons à améliorer les modèles de couche mince. Cette thèse porte donc sur l'étude de la dynamique interne au front d'écoulements à surface libre de fluides newtoniens et viscoplastiques.Nous avons utilisé le dispositif du canal à fond mobile qui permet de générer des coulées stationnaires dans le référentiel de l'observateur au moyen d'un fond mobile remontant vers l'amont. Nous avons réalisé un travail technique sur ce canal et sur l'analyse des images pour pouvoir mesurer les champs de vitesse à haute résolution spatiale aux fronts de coulées à surface libre de fluides viscoplastiques. L'étude des fluides newtoniens a aussi été réalisée afin de valider les modèles et éprouver le dispositif expérimental.Nous avons comparé les résultats expérimentaux aux solutions théoriques de deux modèles de couche mince adaptés à la rhéologie de Herschel-Bulkley : le modèle classique de la lubrification, à la base du modèle de Saint-Venant et un modèle consistant à l'ordre 1 développé dans cette thèse. Le modèle consistant d'ordre 1 est la somme du modèle à l'ordre 0 (la lubrification) et de termes correctifs qui proviennent des contraintes normales et des termes d'inertie. Dans le cadre de notre configuration du fond mobile remontant vers l'amont, il est possible de déduire la forme du front en cherchant une solution de type onde progressive, sans passer par un modèle intégré dans l'épaisseur.Pour les fluides viscoplastiques, la structure classique du profil de vitesse, avec une zone cisaillée surmontée d'un plug non cisaillé est bien reconnaissable sur nos profils de vitesse en zone uniforme, et en zone faiblement variée. Mais à l'approche du front, cependant, la vitesse de surface augmente, les profils de vitesse expérimentaux deviennent cisaillés sur toute l'épaisseur, conduisant à la disparition du plug à proximité de la ligne de front.Le modèle de lubrification prédit l’existence d'un plug dans le front jusqu'à la ligne de contact, ce qui n'est pas observé expérimentalement. La vitesse de surface du modèle de lubrification augmente à l'approche du front, mais est largement sous-estimée par rapport à la vitesse de surface mesurée. Les vitesses de surface prédites par le modèle d'ordre 1 augmentent plus drastiquement au front, en meilleur accord avec les mesures que le modèle de lubrification. Pour certaines configurations expérimentales l'accord est même très bon. Remarquablement, le cisaillement des profils de vitesse à l'approche du front, observé expérimentalement, est aussi prédit par le modèle d'ordre 1.Les profils de vitesse présentent donc une évolution au front de coulées viscoplastiques en contradiction avec les hypothèses du modèle de Saint-Venant. Le modèle consistant d'ordre 1 permet d'améliorer les prédictions. Un modèle intégré dans l'épaisseur de type Saint-Venant basé sur les développements consistants d'ordre 1 est alors calculé, car il constitue l'étape nécessaire avant d'être intégré dans un outil de simulation opérationnel.

This memoire, based on the works done at the ENS de Lyon (2008-2017), is made of two parts.The first one is concerned by several aspects of the numerical simulation of viscoplastic fluids, thanks to duality methods (augmented Lagrangian and Bermúdez-Moreno). On the one hand, works on the design of well - balanced finite volume numerical schemes for prototypes of Shallow Water Bingham models (i.e. integrated in the vertical direction) are described. The 1D case is summarized while the 2D framework, which constitutes an original contribution of this document, is given in more details. In particular, we finish by an illustration of a viscoplastic avalanche in the Taconnaz avalanche path (Chamonix, Mont-Blanc). On the other hand, we give a synthesis on the work on the full 2D incompressible Bingham equations (i.e. not integrated like in the previous case) and its comparison with physical experiments in an expansion-contraction geometry.In the second part, we give an overview of the work done within the INRIA Numed Team, concerning the development of Bayesian methods for the parameters estimation of PDEs based models. More precisely, this work is based on SAEM methods which are intensively used in Medicine and Biology. The computational cost, associated to the numerous evaluations of the PDE model, being prohibitive, we proposed: (i) the implementation of a fixed metamodel (computed offline), based on an autorefined (structured tree) interpolation grid. And (ii) a kriged metamodel which is refined online during the SAEM iterations., Ce mémoire, basé sur l'activité réalisée à l'ENS de Lyon, est structuré en deux parties.Dans la première, nous traitons de divers aspects de la simulation numérique de fluides viscoplastiques, grâce à des méthodes de dualité (Lagrangien Augmenté et Bermúdez-Moreno). D'une part, les travaux sur le développement de schémas numériques volumes-finis "bien équilibrés" pour des équations de type Saint-Venant Bingham (intégration sur la verticale) sont décrits. Le cas 1D est synthétisé alors que le cadre bidimensionnel, qui constitue une contribution originale de ce document, est présenté plus en détails. En particulier, nous finissons par une illustration d'avalanche viscoplastique dans le couloir de Taconnaz (Massif du Mont-Blanc). D'autre part, nous donnons un résumé du travail de simulation sur les équations de Bingham incompressible 2D complètes (i.e. non intégrées, par opposition au cas précédent) et la comparaison avec des expériences physiques dans une géométrie de type expansion-contraction.Dans la seconde partie, nous donnons un survol des activités réalisées au sein de l'équipe INRIA Numed, concernant le développement de méthodes bayesiennes pour l'estimation de paramètres de modèles à base d'EDP. Plus précisément, ce travail concerne les méthodes SAEM qui sont très utilisées dans le domaine biomédical. Etant donné le coût prohibitif associé aux nombreuses évaluations du modèle EDP, nous avons proposé, d'une part, une implémentation de métamodèle fixe à base de grille d'interpolation autoraffinée (de type structuré arborescent) et, d'autre part, une méthode de métamodèle évolutif (construit par krigeage) se raffinant au cours des itérations du SAEM, elles mêmes.

Se presenta una descriptiva de los criterios que en España se vienen adoptando en la implantación de infraestructuras en el dominio público hidráulico. Estos criterios se contemplan en el Real Decreto 9/2008 y en el Proyecto de RD de 2016 que, en materia de gestión de riesgos de inundación, abordan dos aspectos principales a regular, (1) el aumento o creación de riesgo en el entorno de la infraestructura cuyo análisis se basa en el concepto de vía de intenso desagüe y (2) el riesgo para los propios usuarios de la infraestructura que se pretende crear, cuyo análisis se basa en el concepto de zona de flujo preferente. En otras palabras, se analizan dos aspectos, los riesgos a terceros y los riesgos propios. El desarrollo de la temática del artículo se ilustra con un ejemplo, la implantación de un puente de 109 m sobre el río Jalón, que cruza el valle aguas abajo de la localidad de Sabiñán. El apartado principal del análisis consiste en el estudio hidráulico de un tramo de río en situación de crecidas, que se lleva a cabo con el software IBER, en cuya creación han colaborado el CEDEX y las Universidades de La Coruña y Barcelona A description of the criteria adopted in Spain for the building of infrastructure in the public water domain is presented. These criteria are contemplated in Spanish legislation which, in relation to flood risk management, address two main aspects to be regulated, (1) the increase or creation of risk in the infrastructure environment whose, analysis is based on the concept of the main stream channel, and (2 ) the risk of the infrastructure to be created for users, whose analysis is based on the concept of the area of preferential flow. In other words, two aspects are analyzed, risks to third parties and the risks themselves. The development of the topic is illustrated with an example, the building of a 110 m bridge over the Jalon River, which crosses the valley downstream of the town of Sabihan. Therefore, examining in detail the risk increase that the construction of the new bridge could cause on urban areas was required. The main section of the analysis consists in the hydraulic study of a stretch of river in flood situation, which is carried out with the IBER software. Spanish CEDEX and Universities of Coruna and Barcelona collaborated in the creation of this software

Se presenta una descriptiva de los criterios que en España se vienen adoptando en la implantación de infraestructuras en el dominio público hidráulico. Estos criterios se contemplan en el Real Decreto 9/2008 y en el Proyecto de RD de 2016 que, en materia de gestión de riesgos de inundación, abordan dos aspectos principales a regular, (1) el aumento o creación de riesgo en el entorno de la infraestructura cuyo análisis se basa en el concepto de vía de intenso desagüe y (2) el riesgo para los propios usuarios de la infraestructura que se pretende crear, cuyo análisis se basa en el concepto de zona de flujo preferente. En otras palabras, se analizan dos aspectos, los riesgos a terceros y los riesgos propios. El desarrollo de la temática del artículo se ilustra con un ejemplo, la implantación de un puente de 109 m sobre el río Jalón, que cruza el valle aguas abajo de la localidad de Sabiñán. El apartado principal del análisis consiste en el estudio hidráulico de un tramo de río en situación de crecidas, que se lleva a cabo con el software IBER, en cuya creación han colaborado el CEDEX y las Universidades de La Coruña y Barcelona, A description of the criteria adopted in Spain for the building of infrastructure in the public water domain is presented. These criteria are contemplated in Spanish legislation which, in relation to flood risk management, address two main aspects to be regulated, (1) the increase or creation of risk in the infrastructure environment whose, analysis is based on the concept of the main stream channel, and (2 ) the risk of the infrastructure to be created for users, whose analysis is based on the concept of the area of preferential flow. In other words, two aspects are analyzed, risks to third parties and the risks themselves. The development of the topic is illustrated with an example, the building of a 110 m bridge over the Jalon River, which crosses the valley downstream of the town of Sabihan. Therefore, examining in detail the risk increase that the construction of the new bridge could cause on urban areas was required. The main section of the analysis consists in the hydraulic study of a stretch of river in flood situation, which is carried out with the IBER software. Spanish CEDEX and Universities of Coruna and Barcelona collaborated in the creation of this software

Models with networks of hyperbolic balance laws are currently used for several applications, e.g. river flows, the human circulatory system, gas pipelines or road networks. These motivations triggered a constant development of analytical results as well as numerical methods. This talk aims to provide an overview of the developments in the past years with a focus on the construction of suitable numerical schemes. Additionally a possible extension to non-conservative equations will discussed. Universidad de Málaga. Campus de Excelencia Internacional Andalucía Tech.

This thesis is about theoretical study and numerical treatment of some problems raised in incompressible free-surface fluid dynamics. The first part concerns a model called the Green-Naghdi (GN) equations. Similarly to the non-linear shallow water system (also called Saint-Venant system), the Green--Naghdi equations is a shallow water approximation of water waves problem. Indeed, GN equation is one order higher in approximation compared to Saint-Venant system. For this reason, it contains all the terms this latter system in addition to some non-linear third order dispersive terms. In other words, the GN equation is a dispersive perturbation of the Saint-Venant system. The latter system is hyperbolic and fits the general framework developed in the literature for hyperbolic systems. Particularly, it admits an entropy in the sense of Lax and is symmertizable. Therefore, we can apply the well-posedness results developed for symmetric hyperbolic systems. During the first part of this work, we generalize the notion of symmetry to a more general type of equations including the GN system. This lets us symmetrize the GN equations. Then, we use the suggested symmetric structure to obtain a global existence result for the system with a second order dissipative term, by adapting the approach classically used for hyperbolic systems.The second part of this thesis concerns the numerical treatment of the free surface incompressible Navier-Stokes equation with surface tension. We use the level set formulation to represent the fluid free-surface.Thanks to this formulation, the kinematic boundary condition is treated by solving an advection equation satisfied by the level set function. This equation is solved on a computational domain containing the fluid domain, over small time subintervals. Each iteration of the algorithm corresponds to the adevction of the fluid domain on a small time subinterval and to solve the time-discretized Navier-Stokes equations only on the fluid domain.The time discretization of the Navier--Stokes equation is done by the characteristic method. Then, the key tool which lets us solve this equation on the fluid domain, is an anisotropic mesh adaptation. Indeed, the mesh is adapted at each iteration such that we get convenient approximation errors in the vicinity of the fluid domain. The resolution of the discretized Navier-Stokes equation is done using the Uzawa algorithm for a convenient finite element method. The slip boundary conditions are considered by adding a penalization term to the variational formulation associated to the problem., Cette thèse est consacrée à l’étude théorique ainsi qu’au traitement numérique de fluides incompressibles à surface libre. La première partie concerne un système d’équations appelé le système de Green–Naghdi. Comme le système de Saint-Venant, il s’agit d’une approximation d’eaux peu-profondes du problème de Zakharov. La différence est que le système de Green–Naghdi est d’un degré plus élevé en ordre d’approximation. C’est pourquoi il contient tous les termes du système de Saint-Venant plus de termes d’ordre trois non-linéairement dispersives. Autrement dit, le système de Green–Naghdi peut être vu comme une perturbation dispersive du système de Saint-Venant. Ce dernier système étant hyperbolique, il entre dans le cadre classique développé pour des systèmes hyperboliques. En particulier, il est entropique (au sense de Lax) et symétrique. On peut donc lui appliquer les résultats d’existence et d’unicité bien connus pour des systèmes hyperboliques. Dans la première partie de ce travail, on généralise la notion de symétrie à une classe plus générale de systèmes contenant le système de Green–Naghdi. Ceci nous permet de symétriser les équations de Green–Naghdi et d’utiliser la symétrie obtenue pour déduire un résultat d’existence globale après avoir ajouté un terme dissipative d’ordre 2 au système. Ceci est fait en adaptant l’approche utilisée dans la littérature pour des systèmes hyperboliques.La deuxième partie de ce travail concerne le traitement numérique des équations de Navier–Stokes à surface libre avec un terme de tension de surface. Ici, la surface libre est modélisée en utilisant la formulation des lignes de niveaux. C’est pourquoi la condition cinématique (condition de l’évolution de surface libre) s’écrit sous la forme d’une équation d’advection satisfaite par la fonction de ligne de niveaux. Cette équation est résolue sur une domaine de calcul contenant strictement le domaine de fluide, sur de petits sous-intervalles du temps. Chaque itération de l’algorithme global correspond donc à l’advection du domaine du fluide sur le sous-intervalle du temps associé et ensuite de résoudre le système de Navier–Stokes discrétisé en temps sur le domaine du fluide. Cette discrétisation en temps est faite par la méthode des caractéristiques. L’outil clé qui nous permet de résoudre ce système uniquement sur le domaine du fluide est l’adaptation de maillage anisotrope. Plus précisément, à chaque itération le maillage est adapté au domaine du fluide tel que l’erreur d’approximation et l’erreur géométrique soient raisonnablement petites au voisinage du domaine du fluide. La résolution du problème discrétisé en temps sur le domaine du fluide est faite par l’algorithme d’Uzawa utilisé dans la cadre de la méthode des éléments finis. Par ailleurs, la condition de glissement de Navier est traité ici en ajoutant un terme de pénalisation à la formulation variationnelle associée.

This work investigates two research questions associated with environmental flows and their mathematical modeling.The first part is devoted to the development of finite volume methods for anisotropic and heterogeneous diffusion operators arising in models of porous media flows. To ensure that the approximate solutions lie within physical bounds, we aim at maintaining a discrete analogous of the maximum principle for elliptic operators. Starting from any given cell-centered finite volume scheme, we present a general approach to devise non-linear corrections providing a discrete maximum principle while retaining some main properties of the scheme. In particular, we study the coercivity and convergence properties of the modified schemes.The second part of this work focuses on the derivation of approximate models for shallow water wave propagation over rough topographies. In the particular case of one-dimensional polygonal bottom profiles, we first propose an adaptation of the usual derivation method using complex analysis tools. We then develop a formal approach to account for more general topographies. We propose nonlocal alternatives to some classical models (namely Saint-Venant equations, Serre equations and Boussinesq system). All these alternative models only involve smoothing contributions of the bottom.; Ce travail s'inscrit dans l'étude mathématique d'écoulements de fluides environnementaux. Nous en abordons deux aspects, à travers deux contextes distincts d'application.En lien avec la simulation des écoulements en milieux poreux, on s'intéresse dans une première partie à la discrétisation d'opérateurs de diffusion anisotropes hétérogènes par des méthodes de volumes finis sur des maillages généraux. Dans le but d'obtenir des solutions approchées qui respectent les bornes physiques des modèles, notre attention se porte sur la conservation du principe du maximum pour les opérateurs elliptiques. Nous présentons des mécanismes généraux permettant de corriger tout schéma volumes finis afin de garantir un principe du maximum discret tout en préservant certaines de ses propriétés principales. On étudie en particulier les propriétés de coercivité et de convergence des schémas corrigés.La deuxième partie est consacrée à la construction de modèles approchés pour la propagation des vagues en eaux peu profondes et sur des topographies irrégulières. A cet effet, nous proposons tout d'abord une adaptation de la démarche d'étude classique à des écoulements bidimensionnels sur des topographies polygonales. Dans un cadre plus général, nous développons ensuite une démarche formelle qui débouche sur des alternatives non locales à quelques modèles classiques (équations de Saint-Venant, équations de Serre, système de Boussinesq). Ces nouveaux modèles contiennent des termes régularisants pour les contributions du fond.

The traditional shallow water model for waves propagating over varying bathymetry depends for its derivation on the asymptotic analysis of a Dirichlet-Neumann operator. This analysis however is restricted to smoothly varying topographies. We propose an adaptation to one dimensional polygonal bottoms using the conformal mapping idea of Hamilton and Nachbin. The asymptotic analysis of the Dirichlet-Neumann operator relies on an ad hoc transformation of the fluid domain into a flat bottom domain. We derive a new shallow water model which accounts for polygonal topographies.

Shallow water models are frequently used to simulate ocean or coastal circulation or tsunami wave propagation. But these models are seldom used to explicitely reproduce for example tsunami wave run-up into coast. In this work we porpose an implementation of dry/wet areas for shallow water models that allow to reproduce coastal inundation and water retrainment once the impact wave passes over. The run-up model has been tested for simple test cases and geometries as in complex, real cases, as the Lituya Bay 1958 megatsunami. Proyecto DAIFLUID - Plan Nacional de I+D (MEC/FEDER) Referencia MTM2012 / TESELA - Proyecto de Excelencia de la Junta de Andalucía (convocatoria 2011) Referencia P11 - RNM7069 / Universidad de Málaga. Campus de Excelencia Internacional Andalucía Tech.

We present new models to describe shallow water flows over non smooth topographies. The water waves problem is formulated as a system of two equations on surface quantities in which the topography is involved in a Dirichlet-Neumann operator. Starting from this formulation and using the joint analyticity of this operator with respect to the surface and the bottom parametrizations, we derive a nonlocal shallow water model which only includes smoothing contributions of the bottom. Under additional small amplitude assumptions, Boussinesq-type systems are also derived. Using these alternative shallow water models as references, we finally present numerical tests to assess the precision of the classical shallow water approximations over rough bottoms. In the case of a polygonal bottom, we show numerically that our new model is consistent with the approach developed by Nachbin.

We study here the water-waves problem for uneven bottoms in a highly nonlinear regime where the small amplitude assumption of the KdV equation is enforced. It is known, that for such regimes, a generalization of the KdV equation can be derived and justified when the bottom is flat. We generalize here this result with a new class of equations taking into account variable bottom topographies. We also demonstrate that these new models are well-posed. We then proceed to study them numerically and compare their behavior with the Boussinesq equations over uneven bottoms. Regimes with stronger nonlinearities than the KdV/Boussinesq regime are then investigated. In particular, a variable coefficient generalization of a Camassa-Holm type equation is derived and justified. Wealso study the Green-Naghdi equations that are commonly used in coastal oceanography todescribe the propagation of large amplitude surface waves. We improve previous results on the well posedness of these equations in the case of one dimensional surface waves. In the $2D$ case, we derive and study a new system of the same accuracy as the standard $2D $ Green-Naghdi equations, but with better mathematical behavior.; Nous nous étudions ici le problème d'Euler avec surface libre sur un fond non plat et dans un régime fortement non linéaire où l'hypothèse de faible amplitude de l'équation de KdV n'est pas vérifiée. On sait que, pour un tel régime, une généralisation de l'équation de KdV peut être dérivée et justifiée lorsque le fond est plat. Nous généralisons ici ces résultats en proposant une nouvelle classe d'équations prenant en compte des topographies variables. Nous démontrons également que ces nouveaux modèles sont bien posés. Nous les étudions aussi numériquement. Ensuite, nous améliorons quelques résultats sur l'existence des équations de Green-Naghdi (GN) dans le cas 1D. Dans le cas de 2D, nous dérivons et étudions un nouveau système de la même précision que les équations de GN usuelles, mais avec un meilleur comportement mathématique.

Self-similar solutions of the so called Airy equations, equivalent to the dispersionless nonlinear Schr\"odinger equation written in Madelung coordinates, are found and studied from the point of view of complete integrability and of their role in the recurrence relation from a bi-Hamiltonian structure for the equations. This class of solutions reduces the PDEs to a finite ODE system which admits several conserved quantities, which allow to construct explicit solutions by quadratures and provide the bi-Hamiltonian formulation for the reduced ODEs.