SİSMİK TİTREŞİMLER ALTINDA BETONARME PERDE VE ÇERÇEVE SİSTEMLERİN DOĞRUSAL OLMAYAN STOKASTİK ANALİZİ ÖZET Sismik titreşimlere maruz üç boyutlu betonarme perde ve çerçeve sistemlerin plastik şekildeğiştirmelerine dayalı rijitlik ve mukavemet azalmasını dikkat alan doğrusal olmayan stokastik çözümleri irdelenmiş ve farklı karakteristiklere sahip depremler altında sayısal örnekler çözülmüştür. Eğilme özelliklerinin değişimini yansıtması amacıyla moment-eğrilik ilişkisi olarak geliştirilmiş Roufaiel-Meyer modeli ve perde elemanların kesme kuvvetleri altındaki davranışlarını modellemek üzere de Başlangıca Yönelik çevirim iskeleti kullanılmıştır. Stokastik deprem titreşimleri Gaussian beyaz gürültünün Kanai-Tajimi filtresinden geçirilmiş, şiddeti Jennings- Housner-Tsai zarf fonksiyonlarına benzer biçimli deterministik zarf fonksiyonlarına göre değiştirilebilen benzetilmiş deprem hareketi toplumu uygulanmıştır. Çok sayıda benzetilmiş hareketin uygulanması dolayısıyla hesaplama süresini kısaltmak amacı ile başlangıçtaki hasarsız yapının doğrusal doğal modlarında bulunan dış serbestlik derecelerinin azaltılmasına dayananan bir sistem indirgeme işlemi uygulanmıştır. Geliştirilmiş olan bilgisayar programı, Monte-Carlo tipi benzeşime dayalıdır ve bu program ile ilgilenilen kesitlerdeki eğilme momentleri ve düğüm noktası yerdeğiştirme ve dönmelerine ait toplum istatistiklerinin yanısıra, hasarlı yapının periyotlarının elde edilmesi amaçlanmaktadır. Böylelikle deprem bölgeleri için önemli bir yatay yük taşıyıcı olan perde ve çerçeve sistemlerde rastgele titreşim kuramının uygulanabilmesi olanaklı kılınmaktadır. Sistem elemanlarının doğrusal olmayan davranışlarının çözümü için geliştirilen yöntem, betonarme malzemedeki doğrusal olmayan özelliklerin yanında aşağıda sıralanan temel nitelikleri de gözönünde bulundurmaktadır. ¦ Yerel eğilme eksenlerine göre pozitif ve negatif eğilme altında donatı ve boyut olarak simetrik olmayan kesitlerde oluşan farklı akma kapasiteleri, ¦ Şekildeğiştirmelerin artmasıyla oluşan kalıcı plastik şekildeğiştirmelerden dolayı kesitte rijitlik ve dayanım azalması, ¦ Eleman uçlarında sonlu uzunlukta plastik bölgelerin dikkate alınması. Yukarıdaki açıklamalar kapsamında çözümleme yapabilmek amacıyla yapılan kabuller şunlardır: ¦ Eksenel kuvvetler ve burulma momentlerindeki artışlar sırasıyla eksenel şekildeğiştirmeler ve açısal dönmeler ile doğru orantılıdır. ¦ Her bir zaman adımındaki moment-eğrilik ilişkisi yerel eleman eksenlerine göre ifade edilmiş olup, bağlaşık olmadığı kabul edilir. XI¦ Kiriş içerisinde oluşan eylemsizlik ve sönüm etkileri statikçe eşdeğer uç yüklemeleri olarak uygulanır. Deprem kuvveti etkitildikten sonra elemana ait uç yerdeğiştirmeleri, elemanın `dış serbestlik derecesi` olarak adlandırılmaktadır. Ve I ~ V3 r5 r9 ri1 r2 r6 r8 ri2 ri r7 r4 ri0/ (1) Düğüm noktalarındaki uç kuvvetleri ise, {Re}T={V1z M1y V2z -M2y V1y -M1z V2y M2Z N, N2 M1x M2x} (2) biçimindedir. Bu büyüklüklerin yalnızca altı adedi genelleştirilmiş iç kuvvetler vektörü {Qe} yi tanımlamaya yeterlidir. rMy {Qe} = bu durumda uç yerdeğiştirmeleri, {qe} = eey eez e* O) Burada Mex=M1x=M2x, N=N1=N2, {9*} yjJ6* l°2y. {e*} = 91z -'2z, (4) şeklindedir ve u ve 9ex sırasıyla elemanın eksenel yerdeğiştirmesi ve dönmedir. Betonarme kesitler için bünye ifadeleri kullanılarak ve geliştirilmiş Roufaiel-Meyer histeretik modeli (çevirim iskeleti) uygulanarak, taşıyıcı sistemi oluşturan betonarme elemanlar için rijitlik ve dayanım azalması dikkate alınmış olur. Modelde geçen My+(x), My`(x), Ky+(x), Mcr+(x), Mcr`(x), başlangıç rijitlik oranı s(x), statik durumdaki iç kuvvetler olan eğilme momenti M's)(x) ve eksenel kuvvet N(s) değerleri bilinmektedir. Elemanlarda dayanım azalması, süneklik oranı c+ yada c` nin sırasıyla pozitif yada negatif eğilmeler için normalize edilmiş kritik eğrilik sünekliği olan cs+ yada cs` değerlerini aşmalarıyla başlar. - / + - + - C$ `~ Ks / Ky - C$ ~ Cs (5) Bu değerin, tüm eleman kesitlerinde sabit olduğu kabul edilmiştir. Dayanım azalması ise, boyutsuz birikmiş şekildeğiştirme enerjisi e(x,t) ile kontrol edilmektedir. Dayanım azalması, y ve z eksenlerine göre bağlaşık değildir. Dolayısıyla g(e) dayanım düşümü fonksiyonu ve e0 ve e1 parametreli 2° polinom olmak kaydıyla aşağıdaki gibi tanımlanır. XIIg(e)= 1 ee0 (6) Bu çalışmada taşıyıcı sistem elemanları olan kiriş, bağ kirişi, kolon ve perdeler için eğilme özelliklerinin değişiminin kontrolünde geliştirilmiş Roufaiel-Meyer çevirim iskeleti kullanılmıştır. Yapı sisteminde yer alan rijit betonarme perde elemanlar, perde boyunca iç kuvvet ve şekildeğiştirmelerin değişimlerin izlenebilmesi amacıyla her katta seri halde birleşen doğrusal elastik n adet parçaya bölünmek suretiyle modellenmişlerdir. Parça sayısı en az dört alınmış, kritik perde yüksekliği boyunca bu değer arttırılmıştır. Her parçadaki serbestlik derecesi, perde parçalarının her iki ucunda olmak kaydıyla altışar adettir. Ancak perde elemanlar çalışma prensipleri itibariyle yatay deprem kuvvetleri altında dikkate alınması gereken düzeyde kayma şekildeğiştirmelerine sahiptirler. Bu nedenle de her perde parçasının rijitlik matrisi, eğilme ve kayma şekildeğiştirmelerinin katkılarıyla hesaplanmıştır. Kesme kuvvetleri altında, kayma gerilmeleri ve şekildeğiştirme ilişkisini `Başlangıca Yönelik` çevirim iskeleti belirlemektedir. Çalışmada kullanılan Başlangıca Yönelik iskelet eğrisi, üç doğrulu olup, yükleme ilk başta ana eğriyi takip eder. Boşaltmada başlangıca yöneliktir. Bir sonraki yükleme sonucunda boşaltma güzergahı, ana eğri ile rastlaşana kadar devam eder yada boşaltma olana kadar devam eder. Ana eğri ile rastlaşılırsa, bu durumda ana eğri takip edilir. Ana eğriyi geçmeden boşaltma olursa, başlangıca yönelir. Tanımlanan iskelete göre ilgili perde parçasında t anındaki yükleme ve iç kuvvet durumuna bağlı olarak, kayma rijitliği değeri elde edilerek, elemanın rijitlik matrisi yeniden oluşturulur ve yüklemenin bir sonraki adımına geçilir. Çalışmada dinamik deprem kuvvetlerini oluşturan zemin yüzeyindeki ivme, gerçek deprem kayıtlarının dışında, Gaussian Beyaz Gürültü'nün co0 ve Ç0 parametreli Kanai-Tajimi filtresinden geçirilmesi suretiyle de üretilmiştir. Yeryüzeyinin r0 yerdeğiştirmesinin, anakaya yüzeyine göre göreli değeri, anakaya ivmesi rb olmak kaydıyla aşağıdaki diferansiyel denkleme bağlıdır. r'o + 2Co«or0 + ®lro = -rb (7) Anakaya ivmesi, birim Gaussian Beyaz Gürültü olayı /rb(t),t e [0,oo)olarak modellenecektir. rb(t)dt = p(t)dW(t) (8) Burada W(t) Gaussian özellikli birim Wiener işleyimi, P(t) ise deterministik zarf fonksiyonudur. Bu durumda yeryüzündeki ivme değeri, rs(t) = (rb +r0) = (-2Ç0co0r0 -co§r0) (9) olarak elde edilir. xiiiSistemin dış serbestlik derecesi, {r}, ile iç serbestlik derecesi,.{q}, yu birbirine bağlayan, sistemin uygunluk ifadesi, {q) = [a]-{r} {Q} = [k]{q} (10) şeklindedir. Böylece sistem hareket denklemi aşağıdaki gibi yazılarak {q}T {Q} = -{r}T [M]{r + {u}{r0 + rb }} => [M]{r} + [a]T {q} = [M]{U}(2Ç0co0r0 +cogr0) (11) ve açıklanmış olan filtre ifadesi de katılarak r0+2Ç0©0r0+a)or0 =-fb (12) sistem elemanlarına ait bünye ifadeleriyle de beraber, genel hareket denklemi 1. dereceden eşdeğer Stratonovich stokastik diferansiyel denklemi formunda, dX(t) = F(X)dt+G(t)dW(t) X = [r r r0 r0 Q ppı]T {F(X)} = [A(X)]-{X} + [K({Qpl},[apl]-{r},{ppl})]-[apl]-{r} (13) (14) [G(t)]=[5 0 0 -p(t) 0 öf (15) F(X,t) öteleme vektörü, X(t) durum vektörüne doğrusal olarak bağlıdır ancak uygunluk matrisi a ve rijitlik matrisi K dan bağımsızdır. Yayılım matrisi G(t) ise X(t) den bağımsızdır. Sonuç olarak 1. derece Stratonovich diferansiyel denklemi yerdeğiştirmeler ve kuvvetlerin ortalama ve standart sapma değerleri için çözülür. Çalışmada geliştirilen PREP ve SAR-CWF bilgisayar programlarının uygunluk ve doğruluğunu göstermek amacıyla, literatürde yer almış iki adet örnek yapı çözümlenmiştir. Bunlardan ilki, Illinois Üniversitesi-Urbana Champaign'de sarsma tablası deneyinde, 1940 tarihli ElCentro kaydının K-G bileşenine ait zaman ekseninin 2.5 kat sıkıştırılması ile üretilen depremin kullanıldığı (1:10) ölçeğinde 10 katlı betonarme çerçevelerden oluşan bir model yapıdır. İkincisi ise, A.B.D. -Japonya XIVortak araştırma projesi kapsamında Tsukuba'da 1952 Taft depreminin D-B bileşenine ait yüksek frekanslı izlerin silinmesiyle üretilen SPD-3 kuvvetli hareketi kullanılarak yarı-dinamik deneyleri yapılmış betonarme perde-çerçevelerden oluşan 7 katlı ve (1 :1) ölçeğinde bir yapıdır. İncelenen ilk örnek olan model yapı için yapılan çözümlemeler sonucunda, bu çalışmada geliştirilen bilgisayar programları, deneysel çalışmada kaydedilen en üst kat yerdeğiştirmelerine ait en büyük değerin oluş zamanı olan t=3.40 saniyeyi tam olarak yakalamış, en büyük yerdeğiştirme değerini kestirmekte ise oldukça başarılı olmuştur. Deney kayıtlarına göre 0.029 m olan en üst kat en büyük yerdeğiştirmesi, çalışama 0.024 m olarak hesaplanmıştır. İkinci örnek yapı için en üst kat yerdeğiştirmelerinin ve taban kesme kuvvetinin zaman kayıtları elde edilmiştir. Bunların en büyük değerlerine ulaşma zamanları, geliştirilen bilgisayar programları ile oldukça iyi yakalanmış, yerdeğiştirme ve kesme kuvvetlerinin en büyük değerlerine sırasıyla %92 ve %90 oranlarında yaklaşılmıştır. Yapıda oluşan plastik mafsallar ile deneysel çalışmada gözlemlenenler birbirlerine oldukça benzemektedir. Diğer yandan üçüncü bir örnek yapı, Monte-Carlo benzeşim tekniği ile üretilmiş 40 adet kuvvetli hareketin etkisinde stokastik olarak çözümlenmiş, sonuç olarak katlara ait yerdeğiştirmelerin beklenen değerleri ve bunlara ait standart sapmalar ile seçilmiş bazı önemli taşıyıcı sistem elemanlarına ait eğilme momenti ve kesme kuvvetlerine ait beklenen değerler ve standart sapmalar elde edilmiş, çalışmada sunulmuştur. XV NON-LINEAR STOCHASTIC ANALYSIS OF 3D REINFORCED CONCRETE SHEAR WALL-FRAME STRUCTURES UNDER SEISMIC EXCITATION SUMMARY Stochastic analysis of reinforced concrete 3-dimensional shear wall-frame structures under seismic excitations with the emphasis on the analysis of stiffness and strength degradation due to plastic deformations is theoretically performed. Numerical calculations are carried out involving some earthquake characteristics. As constitutive moment-curvature relation, the model of extended Roufaiel-Meyer for flexural behavior and Origin-Oriented model for shear reversals have been examined by making some modifications for wall elements and frame members. Stochastic earthquake excitations are specified as intensity modulated to the Jennings-Housner-Tsai type envelope function and Gaussian white noise filtered simulated earthquake. In order to reduce the calculation time during extensive simulations, a system reduction scheme have been implemented based on a truncated expansion of external nodal point degrees of freedom in the linear eigen modes of initial undamaged structures. Software programs have been developed based on Monte-Carlo type simulation. It is aimed to obtain the ensemble averages of story displacements and bending moments in critical sections, as well as the mean values, standard deviations and correlation coefficients and periods of the damaged structure. It is enabled to carry out the random vibration theory for reinforced concrete shear-wall frame systems that have an important role in transmission of the lateral forces in areas of earthquake danger. While analysing the seismic response of R-C elements, material non-linearity should be handled as well as the following items. ¦ Unsymmetrical cross-sections with different yield capacities at positive and negative bending, ¦ Stiffness and strength degradation during plastic deformations, ¦ Finite extensions of plastic zones at the end of the structural elements. For the analysis including the below mentioned items, the following essential assumptions are made. ¦ Increments of axial forces and torsional moments depend linearly on the increments of the axial elongation and the angular displacement, respectively. ¦ Incremental constitutive moment-curvature relationship with respect to local bending axes of the element is assumed decoupled. ¦ Inertial and linear viscous loading within the element are applied as external statical equivalent nodal loadings. XVIFor the earthquake excitation analysis, the nodal displacements of a shear wall- frame system element are described as the `external degrees-of-freedom` such as, {re}T={r3 h r9 r` r2 r6 r8 r12 r, r7 r4 r10} d) and the nodal point loadings conjugated to {re} are, {Re}T={V1z M1y V2z -M2y V1y -M1z V2y M2Z N, N2 M1x M2x} (2) Consequently, six of these quantities are sufficient to describe the generalised stresses {Qe}, {Qe} = Me M* N nodal displacements then will be {qe} eey O) where Mex=M1x=M2x, N=N1=N2, en v ' e-e0 ei J The flexural behavior of all elements in this study is modelled by Roufaiel-Meyer hysteretic model. Its rules control the moment-curvature behavior of individual segments in wall elements as well as moment-curvature behavior of non-linear stiffness in columns and beams. In order to construct element stiffness matrix of wall elements, shear walls will be assumed as 3-dimensional linear elastic n segments connected in series, initially. Each equally sized segment has six degrees-of-freedom at each node. Under shear stress reversals, shear stress-strain response is assumed to follow the rules of the origin-oriented hysteretic model. The model consists of tri-linear straight lines, which operate on a primary curve symmetric about the origin, with break points at cracking and yielding. The primary curve continues indefinitely after yielding. If unloading occurs before crossing primary curve, the unloading path points towards the origin. The model is used for calculation of incremental shear modulus G and shear stiffness, also. After the calculation of incremental stiffness matrix for the element, loading procedure goes one step further until the end of loading. The acceleration process at the ground surface is determined as the response process of intensity modulated Gaussian White Noise, filtered through a Kanai- Tajimi filter with parameters oo0 and Co- The displacement of the earth surface r0 relative to the bedrock surface is then related to the bedrock acceleration rb by the differential equation f0+2Ç0©0f0+a>gr0 =-fb (7) The bedrock acceleration process {rb(t),t e [o,oo)}is modeled as a time modulated unit Gaussian white noise process, rb(t)dt = p(t)dW(t) (8) where W(t) is a unit Wiener process that is a Gaussian process with incremental properties and (3(t) is a deterministic intensity function. The acceleration at the ground surface is then given as r8(t) = (rb + r0 ) = (-2§0eo0r0 - cor0 ) (9) Since the compatibility expression of the system which combines the external degrees-of-freedom of the system, r, to the internal degrees-of-freedom of the system, q, is known as, {q} = [a].{r} {Q} = [k]-{q} (10) and the dynamic equation of motion can be written as, XVIII{q}T{Q} = -{r}TNKr + {u}{r0+rb}} => [M]{r} + [a]T{Q} = [M]{U}(2Çoo)0r0 +G,gr0) (11) and the explained filter equation can be formed as, r0 + 2Ç0eû0r0 + cofo = -uc (12) Then the dynamic equation of motion, filter equation and constitutive equations for R-C sections can be combined and written as an equivalent 1st order Stratonovich stochastic differential equation of the form, dX(t) = F(X)dt+G(t)dW(t) X = [r r r0 r0 Q pP,]T {F(X)} = [A(X)KX} + [K({QP,},[apl]{f},{ppl})]-[apl]{f} (13) where A(X) = (14) [G(t)]=[o 0 0 -(3(t) 0 of (15) The drift vector F(X,t) does only depend on explicitly on time if the filter coefficients are time-dependent. The diffusion vector G(t) is independent of the state vector X(t). Finally first order Stratonovich differential equation is solved for the response statistics of the system. In order to demonstrate the ability of the programs PREP and SAR-CWF developed in this study, some comparisons for two experimentally tested structures are carried out. The first example structure, which was tested by shaking table experiments in the University of Illinois-Urbana Champaign is a 10 storey model structure of scale (1:10) effected by the N-S component of 1940 ElCentro record with the time scaled 2.5. The second example structure is a part of the US-Japan Co-operative Research Program, constructed in Tsukuba with a full-scale. The pseudo- dynamically tested 7 storey shear wall-frame structure was subjected to modulated 1952 Taft Earthquake of E-W component. Results for the analysis performed by the computer programs for the model structure, show that the time for the occurrence of the peak displacement for the top storey was exactly the same with the recorded value as t=3.40 s. Besides, the software programs are found to be successful in calculating the peak displacement value which was recorded as 0.029 m and calculated as 0.024m in this study. The XIXoscillation form of the displacement time histories also matches each other successfully. For the full-scale structure, time histories for both top storey displacements and base shear are obtained. The occurrence time of peak values for top storey displacements and base shear were almost the same in comparison with the recorded values and the calculated ones. The calculated peak values for both of them were very close as 92% and 90%, respectively. Formation of plastic hinges observed during the tests were very similar to the calculated ones which are presented in this study. Based on Monte-Carlo simulations with 40 independent realizations, stochastic analysis for determination of the ensemble averages for storey displacements and member forces are performed for a 5 storey shear wall-frame structure. The expected values and standard deviations for the internal forces are obtained for some of the structural members of importance. xx 116