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Electrical Impedance Tomography is an imaging technique that aims to reconstruct the inner conductivity distribution of a medium starting from a set of measured voltages registered by a series of electrodes that are positioned on the surface of the medium. Such technique was used for the first time in geological studies in 1930 and then applied to industrial procedures. The first clinical use of EIT dates back to 1987. In 2018 EIT was validated in tissue engineering as a noninvasive and label-free imaging and monitoring tool for cell distribution (cell growth, differentiation and tissue formation) in 3D scaffolds. EIT problem can be split into a Forward and an Inverse problem. The aim of Forward EIT is to define the set of measured voltages starting from a known conductivity distribution. If the forward problem is characterized by a nonlinear mapping, called Forward Operator, from the conductivity distribution to the measured voltages, inverse EIT consists of inverting the Forward Operator. This leads to an ill-posed problem which requires regularization, either in the model or in the numerical method that is applied to define the solution. The inverse problem is modelled as a Nonlinear Least Squares problem, where one seeks to minimize the mismatch beetween the measured voltages and the ones generated by the reconstructed conductivity. Reconstruction techniques require the introduction of a regularization term which forces the reconstructed data to stick to certain prior information. In this dissertation, some state-of-the-art regularization methods are analyzed and compared via EIDORS, a specific software for EIT problems. The aim is to reconstruct the variation in conductivity within a 2D section of a 3D scaffold. Furthermore a variational formulation on a 2D mesh for a space-variant regularization is proposed, based on a combination of high order and nonconvex operators, which respectively seek to recover piecewise inhomogeneous and piecewise linear regions.

In questa tesi vengono descritti il problema della fattorizzazione non negativa ortogonale (ONMF) con applicazione al clustering e due algoritmi elaborati da F. Pompili, N. Gillis, P.A. Absil e F. Gilneur per l'approssimazione numerica della coppia di matrici soluzione di tale problema: il primo algoritmo legato a una variante delle k-medie sferiche e il secondo basato sul metodo della Lagrangiana aumentata. Particolare attenzione viene prestata alla base teorica su cui si fonda il primo algoritmo, cioè l'equivalenza tra il problema delle k-medie sferiche pesate e il problema ONMF descritta dal Teorema 2.6. Per ciascun algoritmo vengono analizzati punti di forza e di debolezza e suggerita la tipologia di data set per cui risultano più indicati al fine di determinare un'opportuna divisione in cluster. Il primo capitolo, di carattere introduttivo, descrive i concetti di clustering e di fattorizzazione non negativa, proponendo una formulazione matematica utile ai fini della trattazione. Il secondo capitolo è dedicato all'algoritmo EMONMF, di cui è proposta la descrizione teorica e l'applicazione al problema di text clustering con oggetto una matrice termine-documento di articoli medici. Il terzo capitolo è dedicato all'algoritmo ONPMF di cui sono descritti i metodi di ottimizzazione su cui è costruito, cioè il metodo del gradiente proiettato e della Lagrangiana aumentata, e gli esperimenti numerici sono applicati all'Iris data set contenuto nel file matlab fisheriris. Infine, nel quarto e ultimo capitolo vengono proposti due confronti numerici degli algoritmi, che vengono analizzati in termini di iterazioni, tempi di elaborazione, stabilità e precisione della fattorizzazione e del clustering. Il primo confronto è applicato all'hyperspectral unmixing con oggetto il data set Hubble e il secondo è applicato al pattern recognition con oggetto U.S. Postal Service database. I codici Matlab sono disponibili all'indirizzo https://github.com/filippo-p/onmf.

Electrical Impedance Tomography is an imaging technique that aims to reconstruct the inner conductivity distribution of a medium starting from a set of measured voltages registered by a series of electrodes that are positioned on the surface of the medium. Such technique was used for the first time in geological studies in 1930 and then applied to industrial procedures. The first clinical use of EIT dates back to 1987. In 2018 EIT was validated in tissue engineering as a noninvasive and label-free imaging and monitoring tool for cell distribution (cell growth, differentiation and tissue formation) in 3D scaffolds. EIT problem can be split into a Forward and an Inverse problem. The aim of Forward EIT is to define the set of measured voltages starting from a known conductivity distribution. If the forward problem is characterized by a nonlinear mapping, called Forward Operator, from the conductivity distribution to the measured voltages, inverse EIT consists of inverting the Forward Operator. This leads to an ill-posed problem which requires regularization, either in the model or in the numerical method that is applied to define the solution. The inverse problem is modelled as a Nonlinear Least Squares problem, where one seeks to minimize the mismatch beetween the measured voltages and the ones generated by the reconstructed conductivity. Reconstruction techniques require the introduction of a regularization term which forces the reconstructed data to stick to certain prior information. In this dissertation, some state-of-the-art regularization methods are analyzed and compared via EIDORS, a specific software for EIT problems. The aim is to reconstruct the variation in conductivity within a 2D section of a 3D scaffold. Furthermore a variational formulation on a 2D mesh for a space-variant regularization is proposed, based on a combination of high order and nonconvex operators, which respectively seek to recover piecewise inhomogeneous and piecewise linear regions.

In questa tesi vengono descritti il problema della fattorizzazione non negativa ortogonale (ONMF) con applicazione al clustering e due algoritmi elaborati da F. Pompili, N. Gillis, P.A. Absil e F. Gilneur per l'approssimazione numerica della coppia di matrici soluzione di tale problema: il primo algoritmo legato a una variante delle k-medie sferiche e il secondo basato sul metodo della Lagrangiana aumentata. Particolare attenzione viene prestata alla base teorica su cui si fonda il primo algoritmo, cioè l'equivalenza tra il problema delle k-medie sferiche pesate e il problema ONMF descritta dal Teorema 2.6. Per ciascun algoritmo vengono analizzati punti di forza e di debolezza e suggerita la tipologia di data set per cui risultano più indicati al fine di determinare un'opportuna divisione in cluster. Il primo capitolo, di carattere introduttivo, descrive i concetti di clustering e di fattorizzazione non negativa, proponendo una formulazione matematica utile ai fini della trattazione. Il secondo capitolo è dedicato all'algoritmo EMONMF, di cui è proposta la descrizione teorica e l'applicazione al problema di text clustering con oggetto una matrice termine-documento di articoli medici. Il terzo capitolo è dedicato all'algoritmo ONPMF di cui sono descritti i metodi di ottimizzazione su cui è costruito, cioè il metodo del gradiente proiettato e della Lagrangiana aumentata, e gli esperimenti numerici sono applicati all'Iris data set contenuto nel file matlab fisheriris. Infine, nel quarto e ultimo capitolo vengono proposti due confronti numerici degli algoritmi, che vengono analizzati in termini di iterazioni, tempi di elaborazione, stabilità e precisione della fattorizzazione e del clustering. Il primo confronto è applicato all'hyperspectral unmixing con oggetto il data set Hubble e il secondo è applicato al pattern recognition con oggetto U.S. Postal Service database. I codici Matlab sono disponibili all'indirizzo https://github.com/filippo-p/onmf.