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En este trabajo, relacionamos los autovalores y autovectores de la aplicación inducida de f :X → X en homología o cohomología con propiedades dinámicas del sistema dinámico (X, f). Las teorías que mejor se adaptan a este problema son las de ˇCech ya que son las más adecuadas para describir espacios con malas propiedades locales que son situaciones comunes en dinámica, por ejemplo, los atractores extraños. Para abordar el problema anterior, utilizamos aproximaciones intrínsecas de la homología y cohomología de ˇCech (no pasamos por los complejos simpliciales para construir los complejos de cadenas o cocadenas) como las dadas en [Giraldo, Morón, Ruiz del Portal, y Sanjurjo(2001)]y [Spanier (1948)], respectivamente, que desarrollamos en el Capítulo 1. También describimos en detalle los 0 y 1-ésimos grupos de homología, y el 0-ésimo grupo de cohomología de ˇCech..., In this work, we relate the eigen values and the eigen vectors of the induced map by a continuous map f : X → X on homology or cohomology to dynamic properties of the dynamical system (X, f).The theories that best fit to this problem are ˇCech's because they are the most suitable for describing spaces with bad local properties that are commun situations in dynamic, for example, strange attractors. To address the previous problem, we use intrisic approximations of ˇCech homology and cohomology (we do not go through the simplicial complex to build the chain or cochain complex) like those given in [Giraldo, Mor´on, Ruiz del Portal, y Sanjurjo(2001)] and [Spanier(1948)], respectively, that we develop in the Chapter 1. Also we describe in detail the 0th and the 1st ˇCechhomology groups, and the 0th ˇCech cohomology group...

A compact stable attractor K of a continuous flow on a locally compact metric space is shape equivalent to a compact positively invariant neighbourhood P in its basin of attraction, the shape equivalence being induced by the inclusion map. In the present article a simple counterexample is given to show that ∂K is in general not shape equivalent to ∂P , and an inquiry is set afoot as to the circumstances under which ∂K is shape equivalent to or shape dominates ∂P ., DGI, Depto. de Álgebra, Geometría y Topología, Fac. de Ciencias Matemáticas, Instituto de Matemática Interdisciplinar (IMI), TRUE, pub

Suppose phi : M x R -> M is a continuous flow on a locally compact metrizable space M and K is an ( asymptotically stable) attractor. Let D =partial derivative A( K) be the boundary of the basin of attraction of K. In the present paper it will be shown how the Conley index of D plays an important role in determining the topological nature of D and allows one to obtain information about the global dynamics of phi in M., Depto. de Álgebra, Geometría y Topología, Fac. de Ciencias Matemáticas, TRUE, pub

Under suitable hypotheses the well known notion of first prolongational set J(+) gives rise to a multivalued map Psi : X -> 2(X) which is continuous when the upper semifinite topology is considered in the hyperspace of X. Some important dynamical concepts such as stability or attraction can be easily characterized in terms of Psi and moreover, the classical result that an attractor in R '' has the shape of a finite polyhedron can be reinforced under the hypotheses that the mapping Psi is small and has a selection., Depto. de Álgebra, Geometría y Topología, Fac. de Ciencias Matemáticas, TRUE, pub

En el marco del análisis de flujos continuos en variedades la teoría del índice de Conley juega un papel destacado. En ella se relaciona información local, que involucra al flujo en torno a compactos invariantes aislados, con información global referida a la geometría de la variedad ambiente; esto se efectúa a través de los llamados bloques aislantes. La tesis propone la utilización de unos bloques aislantes especiales, para los que se propone la denominación de “regulares”, que tienen la propiedad distintiva de que la inclusión en ellos del compacto invariante que aíslan es una equivalencia shape. El primer capítulo establece la existencia y unicidad de bloques aislantes regulares, bajo condiciones muy generales, para flujos continuos en 3—variedades. Se exponen además varias aplicaciones inmediatas interesantes. El segundo y tercer capítulos se centran en el análisis de compactos invariantes aislados con shape trivial. En primer lugar se caracterizan estos como aquellos que son celulares, y en segundo lugar se prueba una versión topológica del teorema de Hartman—Grobman para flujos continuos en 3—variedades. Para ello se introduce un nuevo invariante, más fino que el índice de Conley, que llamamos índice local.El cuarto capítulo presenta una situación distinta en la que también existen bloques aislantes regulares, que es la que se refiere a atractores sin explosiones externas. En la línea del trabajo precedente, se utilizan dichos bloques aislantes para estudiar propiedades geométricas de tales atractores, así como su relación con la geometría global del espacio de fases.Los capítulos quinto y sexto analizan aún dos ejemplos más de contextos en los que se tiene de modo natural la existencia de bloques aislantes regulares. En concreto, se estudian las propiedades topológicas y dinámicas del borde de un atractor estable y del borde de la región de atracción de un atractor estable.

Under suitable hypotheses the well known notion of first prolongational set J(+) gives rise to a multivalued map Psi : X -> 2(X) which is continuous when the upper semifinite topology is considered in the hyperspace of X. Some important dynamical concepts such as stability or attraction can be easily characterized in terms of Psi and moreover, the classical result that an attractor in R '' has the shape of a finite polyhedron can be reinforced under the hypotheses that the mapping Psi is small and has a selection., Depto. de Álgebra, Geometría y Topología, Fac. de Ciencias Matemáticas, TRUE, pub

International Conference on Geometric Topology Honoring the 100th Birth Anniversary of Karol Borsuk, JUL 03-10, 2005, Bedlewo, POLAND, This article aims to explore the theory of unstable attractors with topological tools. A short topological analysis of the isolating blocks for unstable attractors with no external explosions leads quickly to sharp results about their shapes and some hints on how Conley's index is related to stability. Then the setting is specialized to the case of flows in R-n, where unstable attractors are seen to be dynamically complex since they must have external explosions, Depto. de Álgebra, Geometría y Topología, Fac. de Ciencias Matemáticas, TRUE, pub

A compact stable attractor K of a continuous flow on a locally compact metric space is shape equivalent to a compact positively invariant neighbourhood P in its basin of attraction, the shape equivalence being induced by the inclusion map. In the present article a simple counterexample is given to show that ∂K is in general not shape equivalent to ∂P , and an inquiry is set afoot as to the circumstances under which ∂K is shape equivalent to or shape dominates ∂P ., DGI, Depto. de Álgebra, Geometría y Topología, Fac. de Ciencias Matemáticas, Instituto de Matemática Interdisciplinar (IMI), TRUE, pub

Suppose phi : M x R -> M is a continuous flow on a locally compact metrizable space M and K is an ( asymptotically stable) attractor. Let D =partial derivative A( K) be the boundary of the basin of attraction of K. In the present paper it will be shown how the Conley index of D plays an important role in determining the topological nature of D and allows one to obtain information about the global dynamics of phi in M., Depto. de Álgebra, Geometría y Topología, Fac. de Ciencias Matemáticas, TRUE, pub