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The eigenvalues of the normalized Laplacian of a graph provide information on its structural properties and also on some relevant dynamical aspects, in particular those related to weight-dependent walk. In this paper, we first present a study on the transition weight matrix of a weighted network. To get the eigentime identity for weight-dependent walk and weighted counting of spanning trees, we need to obtain all the eigenvalues and their multiplicities of the transition weight matrix. Then we obtain the recursive relationship of its eigenvalues at two successive generations of transition weight matrix. By substituting, we can obtain the relationship of normalized Laplacian matrix's eigenvalues at two successive generations. Using the relationship and Vietas formulas, we obtain the scalings of the eigentime identity. Afterwards, we classify normalized Laplacian matrix's eigenvalues and compute the product of all nonzero normalized Laplacian eigenvalues by the product recursive relationship. The product is used to obtain weighted counting of spanning trees. Finally, by weighted counting of spanning trees, we validate the obtained eigenvalues and their multiplicities. The obtained results show that the weight factor has a strong effect on the behavior of weight-dependent walks. Key words: weighted network, eigentime identity, weighted counting of spanning trees, eigenvalue, multiplicity. Les valeurs propres du Laplacien normalise d'un graphe nous renseignent sur ses proprietes structurelles et sur certains aspects dynamiques pertinents, en particulier sur ceux relies a la marche ponderee. Nous presentons d'abord ici une etude de la matrice des poids/ponderations de transition d'un reseau pondere. De facon a obtenir l'identite du temps propre (eigentime identity) pour la marche ponderee et le comptage pondere des arbres couvrants, nous devons trouver toutes les valeurs propres et leur multiplicite de la matrice de poids de transition. Ensuite, nous obtenons la relation recursive de ses valeurs propres a deux generations successives de la matrice des poids de transition. Par substitution, nous trouvons la relation des valeurs propres de la matrice laplacienne normalisee a deux generations successives. Utilisant cette relation et la formule de Vietas, nous obtenons les echelles de l'identite du temps propre. Apres coup, nous classons les valeurs propres de la matrice laplacienne et calculons le produit de toutes les valeurs propres laplaciennes normalisees non nulles par la relation recursive de produit. Le produit est utilise pour trouver le comptage pondere des arbres couvrants. Finalement, par comptage pondere des arbres couvrants, nous validons les valeurs propres obtenues et leurs multiplicites. Les resultats obtenus montrent que le facteur de poids a un effet important sur le comportement des marches ponderees. [Traduit par la Redaction] Mots-cles: reseau pondere, identite du temps propre, comptage pondere des arbres couvrants, valeur proper, multiplicite., 1. Introduction In recent years, the study of networks associated with complex systems, especially the weighted networks, have received much attention from researchers from different scientific fields [1-3]. The eigentime [...]