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The Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn (DLSS) equation is a fourth order in space non-linear evolution equation. This equation arises in the study of interface fluctuations in spin systems and quantum semiconductor modelling. In this paper, we present a finite element discretization for a exponential formulation of a coupled-equation approach to the DLSS equation. Using the available information about the physical phenomena, we are able to set the corresponding boundary conditions for the coupled system. We prove existence of the discrete solution by fixed point argument. Numerical results illustrate the quantum character of the equation. Finally a test of order of convergence of the proposed discretization scheme is presented. La ecuación de Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn (DLSS) es una ecuación de evolución no lineal de cuarto orden. Esta aparece en el estudio de las fluctuaciones de interface de sistemas de espín y en la modelación de semicoductores cuánticos. En este artículo, se presenta una discretización por elementos finitos para una formulación exponencial de la ecuación DLSS abordada como un sistema acoplado de ecuaciones. Usando la información disponible acerca del fenómeno físico, se establecen las condiciones de contorno para el sistema acoplado. Se demuestra la existencia de la solución discreta global en el tiempo via un argumento de punto fijo. Los resultados numéricos ilustran el carácter cuántico de la ecuación. Finalmente se presenta un test del orden de convergencia de la discretización porpuesta.

ilustraciones, graficas Actualmente se conoce que la diabetes es una de las enfermedades con mayor número de pacientes en el mundo y su prevalencia va en aumento. Entre las complicaciones que puede provocar encontramos que es una causa importante de ceguera, amputación e insuficiencia renal; por consiguiente, se considera una enfermedad de alto costo y un problema de salud pública. Con el propósito de entender la dinámica insulina-glucosa, se propone un modelo de Ecuaciones Diferenciales Estocásticas a partir del método de compartimentos y sus probabilidades de transición, en el cual se consideran perturbaciones aleatorias que representan la variación en los niveles de producción de insulina secretada desde el páncreas o una fuente externa, la ingesta de alimentos y otros factores fisiológicos. La solución del sistema es obtenida mediante el método numérico de Euler Maruyama y los resultados indican que el promedio de las trayectorias estocásticas se aproxima a la solución determinística, donde los parámetros de interacción, producción de insulina y la función alimento muestran una sensibilidad importante en la variación de las trayectorias, con lo cual se plantearon diversos escenarios para la simulación de la diabetes controlada y no controlada. Las probabilidades estimadas para un tiempo fijo, sugiere que un diabético que sigue de manera rigurosa un tratamiento puede mantener sus niveles de glucosa en sangre aproximada a los de una persona sana con una probabilidad cercana al 80%, esto es, la probabilidad de que un diabético se encuentre en el estado de normoglicemia durante un día. (Texto tomado de la fuente) It is currently known that diabetes is one of the diseases with the largest number of patients in the world and its prevalence is increasing. Among the complications that it can cause, we find that it is an important cause of blindness, amputation and kidney failure; therefore, it is considered a high cost disease and a public health problem. for the purpose of understanding the glucose-insulin dynamics model it is proposed Stochastic Differential Equations from the method of compartments and its transition probabilities, in which random disturbances are considered that represent the variation in the levels of secreted insulin production from the pancreas or an external source, food intake and other physiological factors. The solution of the system is obtained using the Euler Maruyama numerical method and the results indicate that the average of the stochastic trajectories approximates the deterministic solution, where the interaction parameters, insulin production and the function food show an important sensitivity in the variation of the trajectories, with which various scenarios were proposed for the simulation of controlled and uncontrolled diabetes. The estimated probabilities for a fixed time, suggest that a diabetic who rigorously follows a treatment can keep his blood glucose levels close to those of a healthy person with a probability close to 80 %, that is, the probability that a diabetic is in the state of normoglycemia for one day. Maestría Magíster en Ciencias - Matemática Aplicada

ilustraciones, gráficas En este trabajo se plantea el problema del régimen de suministro de insulina en un paciente diabético como un problema de control óptimo, de tal manera que no se genere sobredosis o insuficiencia del medicamento hormonal. La interacción entre la glucosa e insulina se modela como un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias que involucra seis parámetros, cada uno de ellos asociado a un hecho biológico de la dinámica glucosa-insulina en el organismo, por ejemplo, el aumento de la insulina por presencia de glucosa o la reducción de glucosa por proceso metabólico del cuerpo. Se usan datos de niveles de glucosa e insulina para la estimación de los parámetros del modelo, por medio de la implementación computacional de un método numérico adaptado a las condiciones propias del sistema de ecuaciones. Posteriormente, el problema de control óptimo se resuelve de manera directa empleando el método de programación cuadrática secuencial. Resultados numéricos muestran el potencial de esta propuesta en la regulación del azúcar en sangre de estos pacientes. (Texto tomado de la fuente). In this work, we formulate the supply regimen insulin problem for a diabetic patient as an optimal control problem, such that there is not overdose or insufficient medication. We model the glucose and insulin interaction as nonlinear ordinary differential equations system that involves six parameters, each one of these parameters are associated to a biological factor of glucose-insulin dynamic, for example, the growth of insulin level due to the presence of glucose, or reduction of glucose as a result of metabolic process in the body. We use levels of glucose and insulin data in order to estimate the model parameters, implementing numerical methods computationally. In the last part of the work, we solve the optimal control problem numerically, employing Sequential Quadratic Programming (SQP) method. Numerical results show the potential of this proposal in sugar regulation in the blood of these patients. Incluye anexos Maestría Magíster en Ciencias - Matemática Aplicada Biología matemática

El proyecto consiste en un estudio enfocado en el análisis y comparación de dos métodos matemáticos para calcular y evaluar la atenuación acústica en términos de la pérdida por transmisión sonora (TL) de silenciadores pasivos, dispositivos diseñados y utilizados para el control de ruido, los métodos escogidos son Elementos Finitos (FEM) y Matriz de Transferencia (MMT). Se analiza el comportamiento del sonido por medio de la ecuación de onda acústica y para el caso particular de la propagación sonora en ductos la ecuación de Helmholtz, esta formulación permite la definición del problema matemático y físico para posteriormente resolverlo mediante los métodos mencionados, de igual forma se usan soluciones empírico-analíticas utilizadas como referencia, el modelo definido para el desarrollo del trabajo corresponden a un modelo bidimensional (2D). Se consideran diferentes tipologías de silenciadores pasivos para el estudio comparativo, así mismo para los modelos escogidos se realiza una evaluación de dos condiciones: con y sin absorción sonora en las paredes internas de los ductos. Como punto de partida se toma la propagación sonora en el modelo más sencillo correspondiente a un ducto rectangular, luego se implementan los modelos para las morfologías escogidas inicialmente validándolos con datos experimentales obtenidos de la literatura y posteriormente solucionando casos particulares para diferentes tamaños de silenciadores. Por último se analizan y evalúan los resultados obtenidos de TL por cada uno de los métodos para los distintos tipos de silenciadores permitiendo realizar comparaciones generales y particulares de acuerdo a los datos conseguidos, y se permite concluir la eficiencia del MMT para geometrías simples y su limitación a las característica morfológicas del modelo, por otra parte FEM logra gran correspondencia con modelos más complejos y su gran ventaja radica en que tiene en cuenta la propagación sonora y variables como la longitud de onda, por lo cual ofrece una lectura más acertada del comportamiento del fenómeno físico real. Se destacan como aportes principales del trabajo: Realizar un análisis comparativo para los diferentes casos de estudio de los valores de TL para los métodos FEM y MMT y simular la atenuación sonora para silenciadores mixtos implementando MMT. Abstract. El proyecto consiste en un estudio enfocado en el análisis y comparación de dos métodos matemáticos para calcular y evaluar la atenuación acústica en términos de la pérdida por transmisión sonora (TL) de silenciadores pasivos, dispositivos diseñados y utilizados para el control de ruido, los métodos escogidos son Elementos Finitos (FEM) y Matriz de Transferencia (MMT). Se analiza el comportamiento del sonido por medio de la ecuación de onda acústica y para el caso particular de la propagación sonora en ductos la ecuación de Helmholtz, esta formulación permite la definición del problema matemático y físico para posteriormente resolverlo mediante los métodos mencionados, de igual forma se usan soluciones empírico-analíticas utilizadas como referencia, el modelo definido para el desarrollo del trabajo corresponden a un modelo bidimensional (2D). Se consideran diferentes tipologías de silenciadores pasivos para el estudio comparativo, así mismo para los modelos escogidos se realiza una evaluación de dos condiciones: con y sin absorción sonora en las paredes internas de los ductos. Como punto de partida se toma la propagación sonora en el modelo más sencillo correspondiente a un ducto rectangular, luego se implementan los modelos para las morfologías escogidas inicialmente validándolos con datos experimentales obtenidos de la literatura y posteriormente solucionando casos particulares para diferentes tamaños de silenciadores. Por último se analizan y evalúan los resultados obtenidos de TL por cada uno de los métodos para los distintos tipos de silenciadores permitiendo realizar comparaciones generales y particulares de acuerdo a los datos conseguidos, y se permite concluir la eficiencia del MMT para geometrías simples y su limitación a las característica morfológicas del modelo, por otra parte FEM logra gran correspondencia con modelos más complejos y su gran ventaja radica en que tiene en cuenta la propagación sonora y variables como la longitud de onda, por lo cual ofrece una lectura más acertada del comportamiento del fenómeno físico real. Se destacan como aportes principales del trabajo: Realizar un análisis comparativo para los diferentes casos de estudio de los valores de TL para los métodos FEM y MMT y simular la atenuación sonora para silenciadores mixtos implementando MMT. Maestría

El presente documento propone una metodología de evaluación de los sistemas pensionales considerando no sólo el costo actuarial de cada pensión sino la probabilidad de acceder al beneficio. Adicionalmente se exponen los resultados de la aplicación de dicha metodología para la evaluación de los cambios paramétricos recientes que ha sufrido el Régimen de Prima Media en Colombia. Los cambios evaluados corresponden a la modificación de parámetros establecida en la Ley 797 de 2003 y la implementación del esquema de Beneficios Económicos Periódicos. El modelo permite cuantificar los incentivos que otorga el sistema a individuos con diferentes características de salario, probabilidad de cotización, incremento salarial y tasa de descuento. De los resultados del modelo se puede concluir que, si bien los nuevos parámetros de la Ley 797 permiten reducir los costos inherentes al sistema pensional, _estos en parte se reducen como consecuencia de mayores restricciones de acceso a la pensión. De otro lado la implementación de otros mecanismos como los Beneficios Económicos periódicos presentan una gran oportunidad para que, bien reglamentados, focalicen parte de los subsidios a las poblaciones de menores ingresos y menores probabilidades de cotización. Abstract. This document proposes a methodology pension systems evaluation considering the actuarial cost of each pension as well as the probability of receiving these benefits. Additionally presents the results of the application of the methodology for the evaluation of recent parametric changes suffered by the Defined Benefits Regime in Colombia. The regulatory changes evaluated correspond to the modification of the parameters established in the law 797 of 2003 and the implementation of the scheme of periodic economic benefits. The model allows to quantify the incentives given by the system to individuals with different characteristics of wage, probability of contribution, salary increase and rate of discount. From the results of the model, it can be concluded that, although the new parameters of the 797 law can reduce costs in the pension system, the reduction has been done via a reduction of the access probabilities. In the other hand, the implementation of other mechanisms as the scheme of periodic economic benefits are good opportunities to focus pension resources to low income populations. Maestría

El desarrollo de la humanidad ha traído consigo la implementación de sistemas que permiten verificar la identidad de una persona analizando varios rasgos biométricos tales como las retinas, huellas dactilares, rostro u otros. Para el uso de tales metodologías se requiere de la presencia física del firmante; a diferencia de los requeridos si la información a verificar es una firma manuscrita sobre un documento; ejemplos de tales situaciones son los actuales casos de falsificación de firmas dados en Interbolsa en 2012 y la recolección de firmas manuscritas, iniciada el 2 de enero de 2013 para la revocatoria del alcalde Petro. En el presente trabajo se desarrolla un modelo matemático para la verificación de firmas basado en técnicas de optimización dinámica y transformada de Radon. Básicamente se presentan dos clases de análisis, con un pre-procesamiento previo basado en tratamiento de imágenes digitales. El primer análisis consiste en comparar una firma registrada contra una firmante entrante y esto con el algoritmo (DTW) Dynamic Time Wrapping que permite encontrar similitudes entre series dependientes del tiempo. Para el segundo análisis se calcula la Transformada de Radon de cada una de las firmas tal que el resultado son los diferentes perfiles de la firma tomados a diferentes ángulos, donde seguidamente se realiza la comparación entre perfiles de forma que permita establecer un criterio de discriminación de firmas. Los resultados numéricos se obtuvieron usando un conjunto de firmas, que entre otras, nos permitirá análisis posteriores. Abstract. Day by day the human beings have developed systems that allow verifying a person’s identity just analyzing several biometric features such as retinas, fingertips, face and others. In order to use these methodologies we require the physical presence of the individual; however, there are problems related to identity verification when the only available information is a handwritten signature on a document. Examples of such situations are the current signature forgeries cases in Colombia like the Interbolsa brokerage, firm scandal and the request to revoke Petro’s mandate to govern Bogota, by collecting signatures. In the work presented here, we develop a mathematical model for signature verification based on techniques of dynamic optimization and Radon Transform. Basically, we perform two kinds of analysis after pre-processing a digital image of a signature. The first analysis is ”to compare”the test signature against an incoming signature through Dynamic Time Wrapping algorithm (DTW) to determine a similarity cost between them. For the second analysis the Radon Transform of each signature is computed, the results are several signature profiles from different angles; then, a comparison between profiles is performed that allow us to establish a signature discrimination criteria. Numerical results are presented using a database of signatures. The results of this study could be used as a questioned document examination tool. Maestría

En el siguiente trabajo se deduce un modelo para estudiar la dinámica espacio-temporal de una población considerándola como un proceso de difusión, el enfoque a considerar es una consecuencia del modelo de camino aleatorio, luego se resuelve el modelo básico en forma analítica en una y dos dimensiones, considerando inicialmente el coeficiente de difusión constante y luego considerándolo dependiente de la densidad de población. Se consideran y resuelven en forma analítica las siguientes variaciones del modelo de difusión, el crecimiento exponencial a partir de la natalidad y la mortalidad, el crecimiento logístico a partir de la competencia entre individuos de la misma población y la advección a partir del transporte. Como tal el modelo matemático está determinado por una ecuación diferencial parcial parabólica no lineal, la cual se resuelve en forma exacta utilizando el método autosimilaridad de Bolzmann. Se realizan simulaciones numéricas a partir del esquema de diferencias divididas y del método explicito de Euler, para los diferentes escenarios y como caso de estudio particular se considera la dispersión de la abeja africanizada en Suramérica desde su introducción en Brasil, realizando simulaciones numéricas a partir del método de elementos finitos. Abstract. In this paper follows a model to study the spatiotemporal dynamics of a population regarding it as a difusion process, the approach to consider is a consequence of the random walk model, then the basic model is solved analytically in one and two dimensions initially considering the difusion coe¢ cient constant and then considering dependent density. Are considered and solved analytically in the following variations in the di¤usion model, the exponential growth from birth and mortality, logistic growth from competition between individuals of the same population and advection from transportation. As such, the mathematical model is determined by a parabolic partial difeerential equation nonlinear, which is resolved accurately using the self-similaritythe of Bolzmann method. Numerical simulations are performed from the divided diference scheme and explicit Euler method for di¤erent scenarios and as a particular case study considered the dispersion of the Africanized bee in South America since its introduction in Brazil, performing numerical simulations from finite elements method. Maestría

Algunos casos de intoxicación ocasionados por el consumo de peces tóxicos se han reportado en los últimos años en varias regiones insulares de países tropicales. Problemas gastrointestinales, cardiovasculares y neurológicos están entre los síntomas más comunes de la ciguatera, enfermedad que afecta negativamente la economía de países del Caribe y el Pacífico que dependen de la pesca y el turismo. Con el propósito de entender el transporte de biotoxinas en la red trófica marina, proponemos un modelo depredador - presa con respuesta funcional Holling Tipo I basado en dos sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, el cual es analizado bajo los enfoques cualitativo y numérico. Los resultados indican que la evolución del sistema de transporte y acumulación de toxina depende de la dinámica del sistema poblacional. / Abstract. Some diseases are caused by biotoxin accumulation in animal and plant bodies. This study proposes a predator-prey model with a Holling Type I functional response based on a system of six ordinary differential equations. The purpose of this study is to understand the biotoxin transport in a marine food web. The system exhibits eight steady points, but only four of them have mathematical sense. Both the steady conditions for these points and a numerical simulation are presented. The results of this study could be used as a tool in many ecological fields or used in natural resources improvement. Maestría

Desde los inicios de la escritura se ha visto la necesidad de transmitir mensajes de manera que sean ocultos para aquellos que no sean el destinatario. Las t�ecnicas de cifrar mensajes han sido desarrolladas desde tiempos remotos, lo cual permitió la proliferación de diversos métodos, algunos de ellos aun no han logrado ser totalmente desmantelados, como es el caso del cifrado por sustitución monoalfabética. En este trabajo se establece un método, basado en la descomposición en valores singulares y herramientas computacionales, que permite mejorar los resultados obtenidos con otros métodos de descifrado basados en el análisis de frecuencias. / Abstract. From the beggining of writing we have seen the need to hide and transmit mes- sages in a way that they will be hidden to everybody but the receiver of the message. Techniques to encrypt messages have been developed from a long time ago, which al- lowed the proliferation for diverse methods, some of them have not been completely dismantled, like the monoalphabetic substitution encryption. In this work we are looking to establish a method, based on the singular value decomposition and computational tools, to improve the results obtained with other decoding methods. Maestría

Las operaciones aéreas que involucran la ubicación y eliminación de un objetivo en tierra han sido utilizadas durante mucho tiempo por los ejércitos del aire. Este es el caso de la Fuerza Aerea Colombiana FAC donde gran parte de las operaciones que realiza son de este tipo. Consideramos operaciones aéreas donde se pretende la eliminación de un objetivo. Para ello se deben realizar diferentes estudios previos al ataque (inteligencia), que van desde la cantidad de personal asignado a la operación hasta el clima que predomina sobre el objetivo. Normalmente la FAC envía un número determinado de aviones en busca del objetivo, que dependiendo de la zona geográfica donde se encuentre y condiciones del terreno se hace más o menos accesible. Vamos a determinar los recursos que nos permitan obtener éxito total de la misión, además hallaremos la cantidad óptima de aviones que deben ser enviados, y número posible de aeronaves derribadas utilizando modelos probabilísticos y simulación analítica. / Abstract. Air operations that involve the location and elimination of a target on the ground have been used for long time by the air force. This is the case of the Colombian Air Force FAC where much of the operations carried out are of this type. We consider air operations which seeks the elimination of a target. Previously to attack we need different studies (intelligence), ranging from the number of personnel assigned to the operation to the climate that prevails on the target. FAC normally sends a certain number of aircraft in search of the objective, depending on the geographic area where you are and the terrain becomes more or less accessible. We will determine the resources that allow us to achieve total success of the mission, and find the optimal number of aircraft to be sent, and possible number of downed aircraft using probabilistic models and analytical simulation. Maestría

La restauración de imágenes consiste en recuperar, de la mejor manera posible la imagen original, a partir de su correspondiente imagen degradada (fotografía borrosa) y del conocimiento a priori de las causas de la degradación. El problema de recuperar una imagen borrosa es conocido con el nombre de deblurring. Este aparece con frecuencia en ciencias y áreas tecnológicas, tales como la óptica, la medicina y la astronomía. Matemáticamente, el debluring de imágenes está íntimamente conectado a procesos de difusión reversos, los cuales pertenecen al tipo de problemas conocidos como problemas inversos, que suelen ser notoriamente mal propuestos. Así el problema de recuperar una imagen borrosa es altamente inestable y sensible a pequeños cambios en los datos haciendo que su solución por métodos clásicos no sea eficiente. Las métodos de regularización son técnicas que nos ayudan a subsanar este problema de manera adecuada. Tales métodos pueden asegurar la existencia y la estabilidad del deblurring de imágenes, a menudo a costa de perder ciertos detalles en las imágenes originales. Este trabajo se enfoca en los métodos de regularización relacionados con la descomposición en valores singulares, como son regularización de Tikhonov y de truncamiento. Se presentan algunos ejemplos de recuperación de imágenes borrosas y su análisis. / Abstract. Images restoration consist of recovering in the best possible way the original image from its degraded images (blurred photograph) and by using the priori knowledge of the degradation causes. The problem of recovering a blurred image is known as the deblurring. This occurs frequently in areas of science and technology, such as optics, medicine and astronomy. Mathematically, deblurring images is intimately connected to reverses diffusion processes, which belong to the type of problems known as inverse problems that tend to be notoriously poorly proposed. Thus the problem of recovering a blurred image is highly unstable and sensitive to small changes in data. In particular, classical methods are not efficient to achieve an acceptable solution. Regularization methods are techniques that help us to overcome this problem properly. Such methods can ensure the existence and stability of the deblurring images, often at the expense of losing certain details in the original images. This work focuses on regularization methods related decomposition in singular values such as truncation and Tikhonov regularization. Some examples of blurry image restoration and their analysis are presented. Maestría