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Questa tesi di dottorato è dedicata allo studio della teoria della quantizzazione delle bialgebre di Lie e alle costruzioni universali ad essa collegate. Diamo una nuova trattazione dell'associatore di Drinfeld derivante dalla connessione di Knizhnik–Zamolodchikov, mostrando le sue principali identità e proprietà attraverso la valutazione concreta di trasporti paralleli rispetto a connessioni piatte lungo cammini ben scelti. Abbiamo utilizzato matematica universitaria in tutti i ragionamenti, semplificando le trattazioni precedenti esistenti in letteratura. Forniamo una versione più dettagliata della quantizzazione delle bialgebre di Lie di P. Ševera, esibendo dimostrazioni esplicite e diagrammatiche di tutte le affermazioni categoriche. Mostriamo inoltre che tale costruzione è compatibile con i moduli di Drinfeld–Yetter e con i twist. Diamo una nuova dimostrazione del lemma di Hensel di Enriquez–Etingof, che è un risultato che gioca un ruolo chiave nella dimostrazione dell’invertibilità del funtore di quantizzazione di Etingof–Kazhdan. La nostra dimostrazione coinvolge tecniche di algebra lineare di base e teoria degli anelli. Infine, presentiamo una descrizione combinatorica dell'algebra universale Drinfeld-Yetter di Appel–Toledano Laredo, la quale svolge un ruolo nella teoria dei funtori universali di quantizzazione. Definiamo l'insieme dei mosaici di Drinfeld–Yetter e l'insieme dei telai di Drinfeld–Yetter, e li usiamo per dare una descrizione combinatorica di tale algebra., This Ph.D. thesis is devoted to the study of the theory of quantization of Lie bialgebras and related universal constructions. We give a new treatment of the Drinfeld associator arising from the Knizhnik–Zamolodchikov connection, showing its main identities and properties through concrete evaluation of parallel transports with respect to flat connections along well–chosen paths. We used undergraduate Mathematics in all the reasonings, simplifying the previous treatments existing in literature. We provide a more detailed version of P. Ševera’s quantization of Lie bialgebras, giving explicit and diagrammatic proofs of all the categorical statements. We then show that such a construction is compatible with Drinfeld–Yetter modules and twists. We give a new proof of the Enriquez–Etingof Hensel’s lemma, which is a statement playing a key role in the proof of the invertibility of the Etingof–Kazhdan quantization functor. Our proof involves techniques of basic linear algebra and ring theory. Finally, we present a combinatorial description of the Appel–Toledano Laredo universal Drinfeld– Yetter algebra, which is involved in the theory of universal quantization functors. We define the set of Drinfeld–Yetter mosaics and the set of Drinfeld–Yetter looms, and we use them to give a combinatorial description of such an algebra.

In questa tesi viene presentata la soluzione data da Pavel Etingof e David Kazhdan al problema della quantizzazione delle bialgebre di Lie, formulato da Vladimir Drinfeld nel 1992. Il problema consiste nel trovare un funtore che, data una bialgebra di Lie, costruisca una algebra di Hopf che la quantizzi. Nel primo capitolo vengono presentati gli aspetti di teoria delle categorie necessarie per la lettura. Nel secondo capitolo, introduciamo le nozioni di algebra, coalgebra, bialgebra e algebra di Hopf, con particolare attenzione alla loro teoria delle rappresentazioni. Nel terzo capitolo, presentiamo le nozioni base della teoria delle algebre di Lie, per poi definire le nozioni di coalgebra di Lie e di bialgebra di Lie. Vengono quindi definite le triple di Manin e il doppio di Drinfeld di una bialgebra di Lie. Nel quarto capitolo definiamo la nozione di quantizzazione di una bialgebra di Lie, e presentiamo i quantum groups di Drinfeld e Jimbo, che ne sono un esempio nel caso delle algebre di Kac-Moody simmetrizzabili. Infine, nel quinto ed ultimo capitolo presentiamo la costruzione della quantizzazione di Etingof e Kazhdan. Tale tecnica di quantizzazione si suddivide in diversi passi, ed è basata sulla dualità di Tannaka-Krein. In un primo momento, analizziamo il caso in cui la bialgebra di Lie è di dimensione finita. In seguito, adattiamo la costruzione del caso finito dimensionale al caso infinito dimensionale.

In questa tesi viene discusso il problema dell’integrazione in termini finiti. Non è sempre possibile infatti esprimere la primitiva di una funzione data tramite un numero finito di operazioni aritmetiche (somma, differenza, prodotto, divisione) di esponenziali, logaritmi, costanti e radici n-esime. La tesi è formata da tre capitoli. Nel primo capitolo vengono introdotti i prerequisiti di teoria dei campi e teoria di Galois necessari per la lettura. Nel secondo capitolo vengono sviluppati gli elementi di base dell’algebra differenziale, con particolare attenzione ai campi differenziali. Il secondo capitolo si chiude con il teorema di Liouville, uno dei risultati più noti della teoria dell’algebra differenziale. Nel terzo capitolo si applicano i risultati ottenuti nel secondo capitolo al campo differenziale C(z), e si definisce un criterio per stabilire se una specifica classe di funzioni ammette una primitiva elementare. Infine vengono presentati due esempi di funzioni che non ammettono una primitiva elementare.

In questa tesi viene presentata la soluzione data da Pavel Etingof e David Kazhdan al problema della quantizzazione delle bialgebre di Lie, formulato da Vladimir Drinfeld nel 1992. Il problema consiste nel trovare un funtore che, data una bialgebra di Lie, costruisca una algebra di Hopf che la quantizzi. Nel primo capitolo vengono presentati gli aspetti di teoria delle categorie necessarie per la lettura. Nel secondo capitolo, introduciamo le nozioni di algebra, coalgebra, bialgebra e algebra di Hopf, con particolare attenzione alla loro teoria delle rappresentazioni. Nel terzo capitolo, presentiamo le nozioni base della teoria delle algebre di Lie, per poi definire le nozioni di coalgebra di Lie e di bialgebra di Lie. Vengono quindi definite le triple di Manin e il doppio di Drinfeld di una bialgebra di Lie. Nel quarto capitolo definiamo la nozione di quantizzazione di una bialgebra di Lie, e presentiamo i quantum groups di Drinfeld e Jimbo, che ne sono un esempio nel caso delle algebre di Kac-Moody simmetrizzabili. Infine, nel quinto ed ultimo capitolo presentiamo la costruzione della quantizzazione di Etingof e Kazhdan. Tale tecnica di quantizzazione si suddivide in diversi passi, ed è basata sulla dualità di Tannaka-Krein. In un primo momento, analizziamo il caso in cui la bialgebra di Lie è di dimensione finita. In seguito, adattiamo la costruzione del caso finito dimensionale al caso infinito dimensionale.

In questa tesi viene discusso il problema dell’integrazione in termini finiti. Non è sempre possibile infatti esprimere la primitiva di una funzione data tramite un numero finito di operazioni aritmetiche (somma, differenza, prodotto, divisione) di esponenziali, logaritmi, costanti e radici n-esime. La tesi è formata da tre capitoli. Nel primo capitolo vengono introdotti i prerequisiti di teoria dei campi e teoria di Galois necessari per la lettura. Nel secondo capitolo vengono sviluppati gli elementi di base dell’algebra differenziale, con particolare attenzione ai campi differenziali. Il secondo capitolo si chiude con il teorema di Liouville, uno dei risultati più noti della teoria dell’algebra differenziale. Nel terzo capitolo si applicano i risultati ottenuti nel secondo capitolo al campo differenziale C(z), e si definisce un criterio per stabilire se una specifica classe di funzioni ammette una primitiva elementare. Infine vengono presentati due esempi di funzioni che non ammettono una primitiva elementare.