Frédéric Havet, Rudini Menezes Sampaio, Rennan Dantas, Parallelism, Graphs and Optimization Research Group (ParGO), Universidade Federal do Ceará = Federal University of Ceará (UFC), Combinatorics, Optimization and Algorithms for Telecommunications (COATI), Inria Sophia Antipolis - Méditerranée (CRISAM), Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-COMmunications, Réseaux, systèmes Embarqués et Distribués (Laboratoire I3S - COMRED), Laboratoire d'Informatique, Signaux, et Systèmes de Sophia Antipolis (I3S), Université Nice Sophia Antipolis (1965 - 2019) (UNS), COMUE Université Côte d'Azur (2015-2019) (COMUE UCA)-COMUE Université Côte d'Azur (2015-2019) (COMUE UCA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Côte d'Azur (UCA)-Université Nice Sophia Antipolis (1965 - 2019) (UNS), COMUE Université Côte d'Azur (2015-2019) (COMUE UCA)-COMUE Université Côte d'Azur (2015-2019) (COMUE UCA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Côte d'Azur (UCA)-Laboratoire d'Informatique, Signaux, et Systèmes de Sophia Antipolis (I3S), COMUE Université Côte d'Azur (2015-2019) (COMUE UCA)-COMUE Université Côte d'Azur (2015-2019) (COMUE UCA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Côte d'Azur (UCA), INRIA Sophia Antipolis - I3S, FUNCAP/CNRS project GAIATO INC-0083- 00047.01.00/13, ANR-13-BS02-0007,Stint,Structures Interdites(2013), Université Nice Sophia Antipolis (... - 2019) (UNS), COMUE Université Côte d'Azur (2015-2019) (COMUE UCA)-COMUE Université Côte d'Azur (2015-2019) (COMUE UCA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Côte d'Azur (UCA)-Université Nice Sophia Antipolis (... - 2019) (UNS), COMUE Université Côte d'Azur (2015-2019) (COMUE UCA), and FUNCAP-CNRS project GAIATO
Let $\mathcal{G}_T$ be the infinite triangular grid. For any positive integer $k$, we denote by $T_k$ the subgraph of $\mathcal{G}_T$ induced by the vertex set $\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times[k]\}$.A set $C\subset V(G)$ is an {\it identifying code} in a graph $G$ if for all $v\in V(G)$, $N[v]\cap C\neq \emptyset$, and for all $u,v\in V(G)$, $N[u]\cap C\neq N[v]\cap C$, where $N[x]$ denotes the closed neighborhood of $x$ in $G$.The minimum density of an identifying code in $G$ is denoted by $d^*(G)$.In this paper, we prove that $d^*(T_1)=d^*(T_2)=1/2$, $d^*(T_3)=d^*(T_4)=1/3$, $d^*(T_5)=3/10$, $d^*(T_6)=1/3$ and $d^*(T_k)=1/4+1/(4k)$ for every $k\geq 7$ odd. Moreover, we prove that $1/4+1/(4k)\leq d^*(T_k)\leq 1/4+1/(2k)$ for every $k\geq 8$ even.; Soit $\mathcal{G}_T$ la grille triangulaire infinie. Pour pout entier strictement positif $k$, nous notons $T_k$ le sous-graphe de $\mathcal{G}_T$ induit par l'ensemble des sommets $\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times[k]\}$.Un ensemble $C\subset V(G)$ est un {\it code identifiant} d'un graphe $G$ si pour tout $v\in V(G)$, $N[v]\cap C\neq \emptyset$, et pour tout $u,v\in V(G)$, $N[u]\cap C\neq N[v]\cap C$, o\`u $N[x]$ est le voisinage ferm\'e de $x$ dans $G$.La densit\'e minimum d'un code identifiant de $G$ est not\'ee $d^*(G)$.Dans ce rapport, nous montrons que $d^*(T_1)=d^*(T_2)=1/2$, $d^*(T_3)=d^*(T_4)=1/3$, $d^*(T_5)=3/10$, $d^*(T_6)=1/3$ et $d^*(T_k)=1/4+1/(4k)$ pour tout $k\geq 7$ impair. De plus, nous montrons que $1/4+1/(4k)\leq d^*(T_k)\leq 1/4+1/(2k)$ pour tout $k\geq 8$ pair.