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Para favorecer el aprendizaje de las matemáticas, el profesorado debe ser capaz de analizar, interpretar y evaluar la actividad matemática de sus estudiantes, tomando decisiones sobre la comprensión y dificultades que muestran al resolver tareas matemáticas. Esta competencia de análisis cognitivo permite, al docente, comprender los procesos de aprendizaje matemático y establecer diferentes posibilidades de institucionalización del conocimiento matemático implicado. [Objetivo] El presente trabajo tiene como objetivo describir los resultados de la evaluación de los conocimientos y competencias de futuros profesores de Educación Primaria para interpretar las respuestas de estudiantes a tareas de comparación de probabilidades, identificar estrategias incorrectas y reconocer razonamiento proporcional en la actividad matemática. Asimismo, se analizan las distintas formas de actuación que proponen los futuros docentes con objeto de que los alumnos superen las dificultades que los llevaron a dar una solución inadecuada. [Metodología] Para tal fin, se ha realizado una investigación de carácter descriptivo y cualitativo, para la cual se ha contado con la colaboración de 116 futuros profesores de Educación Primaria de la Universidad de Almería (España). La intervención se llevó a cabo una vez finalizado el proceso de formación en torno a los contenidos matemáticos del Bloque de Estadística y Probabilidad. [Resultados] Entre los resultados obtenidos destacamos un conocimiento didáctico-matemático del razonamiento proporcional y probabilístico que impide a los futuros profesores interpretar y tomar decisiones en relación con las respuestas de los alumnos. [Conclusiones] Estos resultados ponen de manifiesto la necesidad de implementar intervenciones formativas que permitan solventar adecuadamente estas situaciones habituales en los centros educativos., To promote mathematical learning, teachers must be able to analyze, interpret and assess students’ mathematical activity, making decisions about their understanding of, and difficulties in, solving mathematical tasks. This cognitive analysis skill enables teachers to understand mathematical learning processes and to establish different ways of institutionalizing the mathematical knowledge involved. [Objective] This work is intended to present the results of an assessment of preservice Primary Education teachers’ knowledge and abilities to interpret students’ responses to probability comparison tasks, identify incorrect strategies and recognize proportional reasoning in mathematical activity. Furthermore, the strategies proposed by preservice teachers to help students overcome the difficulties that led them to obtain inadequate solutions are analyzed. [Methodology] Descriptive and qualitative research was carried out with the collaboration of 116 preservice Primary Education teachers from the University of Almería (Spain). The investigation was carried out once the process of training in the mathematical contents of Statistics and Probability had been completed. [Results] One of the most important results obtained is a didactic-mathematical knowledge of the type of proportional and probabilistic reasoning that impedes preservice teachers in their interpretation and decision-making about student responses. [Conclusions] These results highlight the need to implement educational solutions to adequately resolve these common situations in schools., Para aperfeiçoar o aprendizado matemático, os professores devem ser capazes de analisar, interpretar e avaliar a atividade matemática de seus estudantes, tomando decisões sobre sua compreensão e dificuldades em resolver tarefas matemáticas. Esta competência de análise cognitiva permite ao professor compreender os processos de aprendizagem matemática e estabelecer diferentes possibilidades de institucionalização dos conhecimentos matemáticos envolvidos. [Objetivo] O objetivo deste trabalho é descrever os resultados da avaliação dos conhecimentos e habilidades dos futuros professores da escola primária na interpretação das respostas dos estudantes às tarefas de comparação de probabilidades, identificando estratégias incorretas e reconhecendo o raciocínio proporcional na atividade matemática. Ela também analisa as diferentes formas de ação propostas pelos futuros professores com o objetivo de levar os estudantes a superar as dificuldades que os guiaram a dar uma solução inadequada. [Metodologia] Para este fim, foi realizada uma pesquisa descritiva e qualitativa com a colaboração de 116 futuros professores de Educação Primária da Universidade de Almeria (Espanha). A intervenção foi realizada uma vez concluído o processo de formação sobre o conteúdo matemático do bloco de Estatística e Probabilidade. [Resultados] Entre os resultados obtidos, destacamos um conhecimento didático-matemático de raciocínio proporcional e probabilístico que impede que futuros professores interpretem e tomem decisões em relação às respostas dos estudantes. [Conclusões] Estes resultados destacam a necessidade de implementar intervenções de treinamento que nos permitam resolver adequadamente estas situações comuns nas escolas.

Para favorecer el aprendizaje de las matemáticas, el profesorado debe ser capaz de analizar, interpretar y evaluar la actividad matemática de sus estudiantes, tomando decisiones sobre la comprensión y dificultades que muestran al resolver tareas matemáticas. Esta competencia de análisis cognitivo permite, al docente, comprender los procesos de aprendizaje matemático y establecer diferentes posibilidades de institucionalización del conocimiento matemático implicado. [Objetivo] El presente trabajo tiene como objetivo describir los resultados de la evaluación de los conocimientos y competencias de futuros profesores de Educación Primaria para interpretar las respuestas de estudiantes a tareas de comparación de probabilidades, identificar estrategias incorrectas y reconocer razonamiento proporcional en la actividad matemática. Asimismo, se analizan las distintas formas de actuación que proponen los futuros docentes con objeto de que los alumnos superen las dificultades que los llevaron a dar una solución inadecuada. [Metodología] Para tal fin, se ha realizado una investigación de carácter descriptivo y cualitativo, para la cual se ha contado con la colaboración de 116 futuros profesores de Educación Primaria de la Universidad de Almería (España). La intervención se llevó a cabo una vez finalizado el proceso de formación en torno a los contenidos matemáticos del Bloque de Estadística y Probabilidad. [Resultados] Entre los resultados obtenidos destacamos un conocimiento didáctico-matemático del razonamiento proporcional y probabilístico que impide a los futuros profesores interpretar y tomar decisiones en relación con las respuestas de los alumnos. [Conclusiones] Estos resultados ponen de manifiesto la necesidad de implementar intervenciones formativas que permitan solventar adecuadamente estas situaciones habituales en los centros educativos.

This investigation was prepared within the framework research project: PID2019-105601GB-I00/AEI /10.13039/501100011033 and Research Group FQM-126 (Regional Government of Andalusia)., The study aimed to explore the strategies used by Costa Rican primary school students when comparing urn probabilities. The sample was intentional and consisted of 55 6th graders. Using an interpretive approach, we analyzed the children’s responses to a questionnaire of five probability comparison items taken from previous studies, including different levels of proportional reasoning. Results indicate that problems in the first levels of proportional reasoning were solved easily by students, while problems at higher levels increased in difficulty. One-variable strategies, which compare only the favorable or unfavorable cases in both urns, are predominant; although there are correspondence strategies, few students show complete proportional reasoning. Aside from slight variations, results are similar to previous studies, which suggests that this task is influenced more by the child’s level of maturity than by the instruction received., El objetivo del estudio fue explorar las estrategias que emplean niños y niñas de 6º curso de educación primaria costarricenses al comparar probabilidades en contextos de urnas. La muestra participante fue intencional y estuvo formada por 55 estudiantes de primaria. La investigación tiene un enfoque interpretativo, donde se analizan sus respuestas a un cuestionario formado por cinco ítems de comparación de probabilidades, tomados de investigaciones previas, que tienen en cuenta diferentes niveles de razonamiento proporcional. Los resultados indican que el estudiantado de la muestra resuelve con facilidad los problemas que corresponden a los primeros niveles de razonamiento proporcional, y aumentan su dificultad en los niveles superiores. Predominan las estrategias de una variable, en que se comparan solo los casos favorables o desfavorables de las dos urnas, y aunque aparecen estrategias de correspondencia, es poca la cantidad de estudiantes que muestran un razonamiento proporcional completo. Los resultados son similares, con ligeras variaciones, a los estudios previos, lo que indica que en esta tarea influye más la maduración del alumnado que la enseñanza recibida., O estudo teve como objetivo explorar as estratégias aplicadas por estudantes do 6º ano do ensino fundamental costarriquenho ao comparar probabilidades no contexto das urnas. A amostragem participativa foi intencional e composta por 55 meninos e meninas do ensino fundamental. A pesquisa tem uma abordagem interpretativa, em que são analisadas as respostas desse público em um questionário conformado por cinco itens de comparação de probabilidades, coletados de pesquisas prévias que levam em consideração diferentes níveis de raciocínio proporcional. Os resultados indicam que os estudantes da amostra solucionam facilmente problemas que correspondem aos primeiros níveis de raciocínio proporcional, e aumentam a dificuldade em níveis superiores. São predominantes as estratégias de uma variável, nos quais são comparados somente os casos favoráveis ou desfavoráveis das duas urnas e, ainda que aparecem estratégias de correspondência, é pouca a quantidade de estudantes que demonstram um raciocínio proporcional completo. Os resultados são semelhantes, com ligeiras variações, aos estudos prévios, indicando que nesta tarefa a maturidade da infância influencia mais do que o ensino recebido., Junta de Andalucia FQM-126, PID2019-105601GB-I00/AEI /10.13039/501100011033

El objetivo del estudio fue explorar las estrategias que emplean niños y niñas de 6º curso de educación primaria costarricenses al comparar probabilidades en contextos de urnas. La muestra participante fue intencional y estuvo formada por 55 estudiantes de primaria. La investigación tiene un enfoque interpretativo, donde se analizan sus respuestas a un cuestionario formado por cinco ítems de comparación de probabilidades, tomados de investigaciones previas, que tienen en cuenta diferentes niveles de razonamiento proporcional. Los resultados indican que el estudiantado de la muestra resuelve con facilidad los problemas que corresponden a los primeros niveles de razonamiento proporcional, y aumentan su dificultad en los niveles superiores. Predominan las estrategias de una variable, en que se comparan solo los casos favorables o desfavorables de las dos urnas, y aunque aparecen estrategias de correspondencia, es poca la cantidad de estudiantes que muestran un razonamiento proporcional completo. Los resultados son similares, con ligeras variaciones, a los estudios previos, lo que indica que en esta tarea influye más la maduración del alumnado que la enseñanza recibida.

This investigation was prepared within the framework research project: PID2019-105601GB-I00/AEI /10.13039/501100011033 and Research Group FQM-126 (Regional Government of Andalusia). The study aimed to explore the strategies used by Costa Rican primary school students when comparing urn probabilities. The sample was intentional and consisted of 55 6th graders. Using an interpretive approach, we analyzed the children’s responses to a questionnaire of five probability comparison items taken from previous studies, including different levels of proportional reasoning. Results indicate that problems in the first levels of proportional reasoning were solved easily by students, while problems at higher levels increased in difficulty. One-variable strategies, which compare only the favorable or unfavorable cases in both urns, are predominant; although there are correspondence strategies, few students show complete proportional reasoning. Aside from slight variations, results are similar to previous studies, which suggests that this task is influenced more by the child’s level of maturity than by the instruction received. El objetivo del estudio fue explorar las estrategias que emplean niños y niñas de 6º curso de educación primaria costarricenses al comparar probabilidades en contextos de urnas. La muestra participante fue intencional y estuvo formada por 55 estudiantes de primaria. La investigación tiene un enfoque interpretativo, donde se analizan sus respuestas a un cuestionario formado por cinco ítems de comparación de probabilidades, tomados de investigaciones previas, que tienen en cuenta diferentes niveles de razonamiento proporcional. Los resultados indican que el estudiantado de la muestra resuelve con facilidad los problemas que corresponden a los primeros niveles de razonamiento proporcional, y aumentan su dificultad en los niveles superiores. Predominan las estrategias de una variable, en que se comparan solo los casos favorables o desfavorables de las dos urnas, y aunque aparecen estrategias de correspondencia, es poca la cantidad de estudiantes que muestran un razonamiento proporcional completo. Los resultados son similares, con ligeras variaciones, a los estudios previos, lo que indica que en esta tarea influye más la maduración del alumnado que la enseñanza recibida. O estudo teve como objetivo explorar as estratégias aplicadas por estudantes do 6º ano do ensino fundamental costarriquenho ao comparar probabilidades no contexto das urnas. A amostragem participativa foi intencional e composta por 55 meninos e meninas do ensino fundamental. A pesquisa tem uma abordagem interpretativa, em que são analisadas as respostas desse público em um questionário conformado por cinco itens de comparação de probabilidades, coletados de pesquisas prévias que levam em consideração diferentes níveis de raciocínio proporcional. Os resultados indicam que os estudantes da amostra solucionam facilmente problemas que correspondem aos primeiros níveis de raciocínio proporcional, e aumentam a dificuldade em níveis superiores. São predominantes as estratégias de uma variável, nos quais são comparados somente os casos favoráveis ou desfavoráveis das duas urnas e, ainda que aparecem estratégias de correspondência, é pouca a quantidade de estudantes que demonstram um raciocínio proporcional completo. Os resultados são semelhantes, com ligeiras variações, aos estudos prévios, indicando que nesta tarefa a maturidade da infância influencia mais do que o ensino recebido. Junta de Andalucia FQM-126 PID2019-105601GB-I00/AEI /10.13039/501100011033

Este artículo de investigación es el resultado de un proyecto de investigación sobre el pensamiento algebraico temprano en entornos tecnológicos de aprendizaje y se reportan resultados sobre el razonamiento proporcional como una ruta de acceso al pensamiento algebraico temprano. El estudio fue realizado con 109 estudiantes de educación básica de escuelas públicas, del Estado de México y de la Ciudad de México y uno de los objetivos del estudio fue validar un instrumento sobre el razonamiento proporcional. Para ello, se utilizó una metodología mixta, un estudio de tipo observacional, longitudinal y comparativo con tres etapas: 1. Evaluación inicial sobre el razonamiento proporcional, 2.Validación de un instrumento sobre el razonamiento proporcional, 3. Entrevista clínica abierta. Los resultados revelan que los alumnos logran comprender ideas de proporcionalidad aritmética y geométrica y variación proporciona, y comprenden los problemas que involucran la relación funcional, como una consecuencia del tránsito del pensamiento aditivo al multiplicativo. En lo que respecta al instrumento de evaluación, se propuso un modelo hipotético de validez convergente y divergente de constructo en la medición del razonamiento proporcional y el modelo resultante obtuvo aceptables indicadores prácticos de bondad de ajuste y coeficientes de confiabilidad altos. Además el instrumento mostró tener validez convergente y divergente de constructo. Finalmente, podemos concluir que el razonamiento proporcional es una ruta viable hacia el pensamiento algebraico, a pesar de que los estudiantes no han desarrollado aún todas las estructuras cognitivas y matemáticas para comprender la complejidad del pensamiento proporcional, los resultados de este estudio permitieron dilucidar etapas tempranas en el desarrollo cognitivo de los niños con tareas y enfoques pertinentes.

Resumen Aunque suele haber un consenso bastante generalizado en educación matemática a favor de los modelos de instrucción de tipo constructivista, la cuestión de su pertinencia no deja de ser controvertida. Entre los modelos extremos centrados, bien en el estudiante o en el profesor, se pueden encontrar otros modelos de tipo mixto en los que ambos agentes del proceso educativo tienen papel protagonista, dependiendo del contenido cuyo aprendizaje se pretende y de los conocimientos previos de los estudiantes. En este trabajo se describe y fundamenta la implementación de un modelo instruccional de tipo mixto, que contempla una primera fase en la que el profesor adquiere el papel protagonista introduciendo el tema, una segunda fase de trabajo colaborativo entre profesor y alumnos, en la que resuelven conjuntamente una situación-problema, seguida de una tercera fase en la que los alumnos trabajan de manera autónoma. Este modelo ha sido experimentado con alumnos de 5° curso de primaria, siendo su objetivo crearles un primer encuentro con los problemas de proporcionalidad directa. Aunque se trata de un estudio de caso que no permite generalizar los resultados, la evaluación de los aprendizajes logrados permite formular hipótesis sobre la influencia del modelo mixto de instrucción en los aprendizajes de los alumnos, las cuales se pueden contrastar en nuevos ciclos de investigación sobre este tema y en contextos similares. Abstract Although there is a fairly generalized consensus in mathematics education in favour of constructivist-type instructional models, their pertinence is controversial. Between the extreme centered models, either on the student or on the teacher, we find other mixed type models, where both educational process agents play a leading role, depending on the intended content and the students’ previous knowledge. In this article, we describe and base the implementation of a three stages mixed-type instructional model: In a first phase, the teacher acquires the leading role by introducing the theme; in a second phase of collaborative work between teacher and students, they jointly solve a situation-problem, and in a third phase the students work autonomously. This model has been experimented with 5th grade primary school students, with the objective of creating a first encounter with direct proportionality problems. Although this is a case study that does not allow the generalization of results, the evaluation of the learning achieved serves to formulate hypotheses about the influence of the instructional mixed model on student learning, which can be tested in new research cycles on this subject and in similar contexts.

En este trabajo se muestra la aplicación de algunas herramientas teóricas del enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática para el diseño y análisis de tareas dirigidas a estudiantes de grado cuarto de educación básica primaria. Específicamente, lo que corresponde al primer nivel donde se analizan los sistemas de prácticas y los objetos matemáticos previos y emergentes presentes en la solución de tareas enfocadas hacia un acercamiento de la proporcionalidad. El análisis de la práctica matemática de los estudiantes se contextualiza en una secuencia de tareas, que se desarrollaron de forma virtual, algunas desarrolladas de manera asincrónica y socializadas en los encuentros sincrónicos y otras desarrolladas de forma grupal a través de los mismos encuentros sincrónicos. Se destaca como esta propuesta permitió no sólo que los estudiantes en educación primaria tuvieran un primer acercamiento con situaciones de proporcionalidad, sino que además permitió que por medio la cognición individual e institucional lograran ir en la vía hacia un desarrollo del razonamiento proporcional, el cual se ve reflejado por medio de acciones como, el establecimiento del valor unitario, la relación entre las dos cantidades de cada magnitud, el uso inicial del concepto de razones y proporciones y finalmente la claridad del uso de la variación en cada situación, a tal punto que lograron llegar a establecer de forma verbal reglas generales para indagar por cierta cantidad desconocida, a través de un lenguaje natural y contextualizado con la tarea propuesta. This work shows the application of some theoretical tools of the onto-semiotic approach to knowledge and mathematical instruction for the design and analysis of tasks aimed at fourth grade students of elementary education. Specifically, which corresponds to the first level where the systems of practices and the previous and emerging mathematical objects present in the solution of tasks focused on an approach of proportionality are analyzed. The analysis of the student's mathematical practice is contextualized in a sequence of tasks, which are developed in virtual form, some developed asynchronously and socialized in synchronous meetings. It is highlighted how this proposal allowed not only that students in elementary education had a first approach with situations of proportionality, but also allowed that through individual and institutional cognition they manage to go in life towards a development of proportional reasoning, which is reflected by means of actions such as the establishment of the unit value, the relationship between the two quantities of each magnitude, the initial use of the concept of ratios and proportions and finally the clarity of the use of the variation in each situation, to such an extent who managed to verbally establish general rules to inquire about a certain unknown quantity, through a natural language and contextualized with the proposed task. Maestría

Este trabajo ha sido elaborado con la colaboración de los proyectos EDU2017-87411-R y el Proyecto de Redes de Investigación en Docencia Universitaria 2019-20, denominación de la Red: (4873) Desarrollo de competencias docentes para la enseñanza de las matemáticas en la formación de profesores de matemáticas de secundaria.

Este trabajo forma parte de un proyecto de investigación, dirigido a atender deficiencias de futuros profesores de matemática sobre la proporcionalidad. Se informa sobre los resultados de un proceso de diagnóstico en torno al conocimiento de la proporcionalidad, observado en una sección de estudiantes del octavo semestre (último) de la carrera de educación matemática. La metodología desarrollada es de tipo investigación-acción. Los resultados indican que los futuros profesores de matemática muestran un conocimiento sesgado sobre la proporcionalidad, basado en aspectos parciales que no caracterizan esa noción. Se concluye sobre la necesidad de una “reconstrucción integral” del conocimiento de la proporcionalidad en la formación de futuros profesores. This work is part of a research project, aimed at addressing deficiencies on proportionality of prospective mathematics teachers. It reports on the results of a diagnostic process around the knowledge of proportionality, observed in a section of students in the eighth (last) semester of the mathematical education career. The methodology applied is action-research. The results indicate that prospective mathematics teachers show a biased knowledge about proportionality based on partial aspects that do not characterize that notion. It concludes on the need for a “global re-construction” of the knowledge on proportionality in the preservice teachers training. 761-777 rmauro@ula.ve yrondon@ula.ve mariaburgos@ugr.es Cuatrimestral www.human.ula.ve/adocente/educere www.redalyc.com

In this paper, we describe and analyze the results of an Action-Research teaching experience concerning compound proportional situations, which involved students in 7th and 8th grades. The teaching proposal is developed according to the analysis of didactic objects and the problems of the traditional teaching practice. This piece of research had been carried out over four academic years. Two cycles of Action-Research were completed during this period. The wide sample, with about 120 students involved in each cycle, and the variety of information collection tools used during the action phase, allow us to reach strong conclusions on the feasibility, strengths and improvable aspects of the teaching proposal., En este trabajo describimos y analizamos los resultados de una experiencia de enseñanza de la proporcionalidad compuesta llevada a cabo con alumnos de 1.º y 2.º de secundaria bajo el paradigma de la investigación-acción. La propuesta de enseñanza está elaborada a partir del análisis de los objetos didácticos y los problemas de la enseñanza tradicional. La experimentación se llevó a cabo durante cuatro cursos académicos, en los que se realizaron dos ciclos de investigación-acción. La amplia muestra de trabajo, con unos 120 alumnos involucrados en cada ciclo, y la variedad de instrumentos de recogida de información utilizados durante la fase de acción permiten la obtención de conclusiones sólidas sobre la viabilidad y los puntos fuertes, así como sobre los aspectos mejorables de la propuesta.

Este documento contiene la recopilación del trabajo de investigación en el aula, realizado con el propósito de comprender los niveles de argumentación que tienen los estudiantes del grado 7° de la Institución Educativa Alfonso Vanegas Sierra, para lo cual se hizo un proceso de intervención en el aula, en pro de identificar y describir estos niveles desde la adaptación que realiza uno de los autores teóricos en cuanto a niveles de argumentación se refiere. Esta acción de comprensión argumentativa se realizó con el diseño de una unidad didáctica con cuestionarios, talleres y actividades que permitió solucionar situaciones en contexto con ayuda del software dinámico geogebra, y sin él, con el tópico de proporcionalidad directa; luego de la recolección de la información, a 6 estudiantes de 29 en total en el grado, se hizo el análisis, la triangulación y la la discusión de los resultados, evidenciando los niveles argumentativos en que se encuentran ellos, al igual, que el software dinámico geogebra fue una herramienta motivadora que despertó el interés y la curiosidad en los estudiantes pues a través de la representación gráfica y analítica, permitió la aprehensión y comprensión del tópico utilizado y que como herramienta tecnológica contribuyó al inicio de un proceso argumentativo idóneo en los estudiantes además de un desarrollo competente y una actitud positiva hacia las matemáticas, brindó soluciones a situaciones que se presentan en su entorno educativo, cultural y económico de los estudiantes viendo algunas de las aplicaciones de este tema de forma más didáctica y eficaz. This document contains the compilation of the research work in the classroom, carried out with the purpose of understanding the levels of argumentation that the students of the 7th grade of the Alfonso Vanegas Sierra Educational Institution have, for which an intervention process was made in the classroom, in order to identify and describe these levels from the adaptation made by one of the theoretical authors in terms of argumentation levels. This argumentative understanding action was carried out with the design of a didactic unit with questionnaires, workshops and activities that allowed solving situations in context with the help of geogebra dynamic software, and without it, with the topic of direct proportionality; after the collection of the information, 6 students of 29 in total in the grade, the analysis, triangulation and discussion of the results were made, evidencing the argumentative levels in which they are, as well as the software Dynamic geogebra was a motivating tool that aroused interest and curiosity in students because through graphic and analytical representation, it allowed the apprehension and understanding of the topic used and that as a technological tool contributed to the beginning of an ideal argumentative process in students In addition to a competent development and a positive attitude towards mathematics, he provided solutions to situations that arise in his students' educational, cultural and economic environment, seeing some of the applications of this topic in a more didactic and effective way.

La competencia docente mirar profesionalmente permite a los maestros identificar aspectos relevantes en situaciones de enseñanza-aprendizaje. En particular, mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes implica usar el conocimiento para identificar detalles matemáticos importantes en las respuestas de los estudiantes, interpretar su comprensión matemática y decidir qué proponer a continuación. El empleo de tareas profesionales en los programas de formación de maestros de primaria permite desarrollar esta competencia. Los objetivos de este estudio son presentar los principios para el diseño de estas tareas profesionales y los resultados obtenidos tras el diseño de una tarea profesional sobre razonamiento proporcional y su implementación con 91 estudiantes para maestro de educación primaria. El diseño de la tarea profesional consta de un documento teórico acerca del desarrollo de la comprensión del razonamiento proporcional, que permite a los estudiantes para maestro responder a tres cuestiones acerca de identificar, interpretar y decidir qué hacer para que progresen estudiantes de primaria con diferentes características en la comprensión, basándose en sus respuestas escritas a un problema. Los resultados tras la implementación muestran que la tarea profesional y el documento teórico proporcionado ayudaron a los estudiantes para maestro a atender los detalles matemáticos de las respuestas de los estudiantes, a interpretar su comprensión y a decidir qué proponer a continuación como maestros. Esta investigación ha contado con una ayuda del Programa de Redes-I3CE de investigación en docencia universitaria del Instituto de Ciencias de la Educación de la Universidad de Alicante (convocatoria 2018-19). Ref.: 4401. Además, ha sido financiada por el Ministerio de Ciencia e Innovación (MINECO, España) EDU2017-87411-R.

1 recurso en línea (191 páginas) : figuras, tablas., La presente tesis de maestría se enmarca en la línea de investigación del razonamiento proporcional de la Educación Matemática, y tiene como objetivo general: caracterizar los significados parciales de los objetos matemáticos razón, proporción y proporcionalidad (RPP), emergentes de las prácticas matemáticas de un grupo de estudiantes de grado séptimo, de una institución educativa de la ciudad de Tunja, al resolver situaciones problemas relacionadas con proporcionalidad directa. El marco teórico y metodológico desde el cual se desarrolla la investigación corresponde al Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos (EOS) y por tanto, en relación con sus planteamientos teóricos y metodológicos, el estudio se desarrolla bajo un enfoque de investigación cualitativa y a través de un diseño fenomenológico. Para el logro del objetivo de la investigación se reconstruye el significado global de los objetos RPP a través de un estudio histórico-epistemológico: en esta dirección, se realiza el análisis epistémico de seis problemas entendidos como fenómenos los cuales dieron paso al surgimiento de los significados parciales de los objetos RPP a través de la historia. Se continua con el diseño y análisis de dos situaciones de aprendizaje, aplicadas a los estudiantes de grado séptimo y finalmente, se caracterizan los significados parciales de los objetos RPP presentes en las prácticas matemáticas de los estudiantes a través del análisis cognitivo, siguiendo el marco teórico del EOS. Entre los principales resultados de la tesis se evidencia en las prácticas matemáticas de los estudiantes, la emergencia de cuatro significados parciales del objeto matemático razón, denominados: razón como relator, razón como operador, razón como correlator y razón como transformador; en relación a la proporción emergen tres significados parciales, denominados: proporción a través de razonamientos por analogía, proporción a través de razonamientos analíticos y proporción a través de la regla de tres, y en relación a la proporcionalidad emerge el significado parcial denominado: proporcionalidad – sistemas de cambio, este último significado permite unificar de forma sistemática los significados parciales de los objetos matemáticos razón y proporción., Bibliografía y webgrafía: páginas 188-191, Maestría, Magíster en Educación Matemática

Esta tesis se encuentra en la intersección de dos líneas de investigación: por un lado, la que trata de caracterizar la competencia docente mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes y el conocimiento del profesor. El objetivo de esta investigación es caracterizar perfiles de estudiantes para maestro en relación al conocimiento matemático de los estudiantes para maestro y de la competencia docente mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes en relación a las fracciones, razón y proporción como fundamentos del desarrollo del razonamiento proporcional.

II Congreso Internacional Virtual sobre el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos (CIVEOS-2), 23-26 de marzo de 2017. [http://enfoqueontosemiotico.ugr.es/] En este trabajo informamos sobre algunos de los resultados de un proceso de diagnóstico, en el contexto del desarrollo de un proyecto de investigación, dirigido a mejorar la formación didáctico-matemática de futuros profesores de matemática, en torno al conocimiento de la proporcionalidad. El diagnóstico se realiza inscrito en una investigación-acción que comprende la aplicación de un instrumento en el cual evaluamos algunos aspectos relativos al conocimiento sobre proporcionalidad, a una muestra de futuros profesores de matemática que se encuentran en el último periodo de su formación inicial. Los resultados indican que el conocimiento exhibido por los futuros profesores, al resolver situaciones relativas a la proporcionalidad (definición, ejemplificación, tabulación, y representación), es poco apropiado. In this paper we report some results of a diagnostic process, in the context of developing a research project, aimed at improving the didactic-mathematical training of preservice mathematics teachers, based on the knowledge of proportionality. The diagnosis is carried out in an action research framework that includes the application of an instrument in which we evaluate some aspects related to knowledge about proportionality, to a sample of prospective mathematics teachers who are in the last period of their undergraduate training. The results indicate that the performance of prospective teachers, when solving situations related to proportionality (definition, modeling, tabulation, and representation), is inappropriate. El proyecto en el que se inscribe este reporte de investigación ha sido financiado por el CDCHTA-ULA, bajo el código: H-1448-13-04-A.

Se realiza un estudio sobre el razonamiento proporcional y la proporcionalidad directa con estudiantes del grado sexto de la Institución Educativa Ismael Perdomo Borrero del municipio de Gigante - Huila, con el objeto de utilizar la noción de proporcionalidad en sus diversas representaciones e interpretaciones, como una estrategia que permita al estudiante la solución de situaciones problemas en los contextos de medición, variación y aleatoriedad. Con los cuatro pasos para la solución de problemas propuestos por Polya, se analizan los procedimientos y estrategias con las que los estudiantes dieron solución a las situaciones problemas que se les planteaba. Se llevaron a cabo talleres de transposición didáctica, afianzamiento y profundización con los cuales los estudiantes asimilaron el concepto de proporcionalidad directa empleando el mismo en la solución de problemas que implicaban repartos proporcionales, porcentajes, razones de cambio y probabilidades; además se logró que los estudiantes pasaran de un razonamiento aditivo al de tipo multiplicativo Abstract : A study on proportional reasoning and direct proportionality was carried out with sixth grade students from the Ismael Perdomo Borrero Educational Institution in the municipality of Gigante - Huila, in order to use the notion of proportionality in its various representations and interpretations, as a strategy that allows the student to solve problem situations in the contexts of measurement, variation and randomness. With the four steps for problem solving proposed by Polya, we analyze the procedures and strategies with which the students solved the problem situations before them. The the proportionality concept was assmimilated through different didactic, reinforcement and deepening workshops which allowed students to apply the concept in solving problems where proportional distributions, percentage, change reason and probabilities exercises were established; in addition, students were able to move from an additive reasoning to a multiplicative one Maestría

Este estudio examina el conocimiento del razonamiento proporcional de estudiantes para maestro (EPM) y cómo reconocen características de la comprensión de los estudiantes. 92 EPM resolvieron 12 problemas vinculados a 12 sub-constructos del razonamiento proporcional y analizaron tres respuestas de estudiantes a cada uno de los problemas anteriores. Los resultados indican que los EPM resuelven los problemas correctamente y reconocen la comprensión de los estudiantes en algunos sub-constructos vinculados al esquema fraccionario, pero tienen dificultades para resolver y reconocer la comprensión en los sub-constructos relacionados con la discriminación de situaciones proporcionales y no proporcionales y con la comparación de razones. Estos resultados sugieren que el conocimiento del razonamiento proporcional y el reconocimiento de evidencias de la comprensión de los estudiantes dependen de cada sub-constructo considerado. This study examines pre-service teachers’ knowledge of proportional reasoning and how they recognize characteristics of student’s understanding. Ninety-two pre-service teachers solved 12 problems related to the 12 sub-constructs of proportional reasoning and analyzed three students’ answers to each of the above problems. Results indicate that pre-service teachers solve problems correctly and recognize students’ understanding in some sub-constructs linked to the fractional scheme but have difficulty in solving and recognizing students’ understanding in the sub-constructs related to the discrimination between proportional and non-proportional situations and the ratio comparison. These results suggest that the knowledge of proportional reasoning and the recognition of students’ understanding relay on the sub-constructs considered. Esta investigación ha recibido el apoyo del Proyecto I+D+i EDU2011-27288 del Ministerio de Ciencia e Innovación, España.

II Congreso Internacional Virtual sobre el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos (CIVEOS-2), 23-26 de marzo de 2017. [http://enfoqueontosemiotico.ugr.es/], En este trabajo informamos sobre algunos de los resultados de un proceso de diagnóstico, en el contexto del desarrollo de un proyecto de investigación, dirigido a mejorar la formación didáctico-matemática de futuros profesores de matemática, en torno al conocimiento de la proporcionalidad. El diagnóstico se realiza inscrito en una investigación-acción que comprende la aplicación de un instrumento en el cual evaluamos algunos aspectos relativos al conocimiento sobre proporcionalidad, a una muestra de futuros profesores de matemática que se encuentran en el último periodo de su formación inicial. Los resultados indican que el conocimiento exhibido por los futuros profesores, al resolver situaciones relativas a la proporcionalidad (definición, ejemplificación, tabulación, y representación), es poco apropiado., In this paper we report some results of a diagnostic process, in the context of developing a research project, aimed at improving the didactic-mathematical training of preservice mathematics teachers, based on the knowledge of proportionality. The diagnosis is carried out in an action research framework that includes the application of an instrument in which we evaluate some aspects related to knowledge about proportionality, to a sample of prospective mathematics teachers who are in the last period of their undergraduate training. The results indicate that the performance of prospective teachers, when solving situations related to proportionality (definition, modeling, tabulation, and representation), is inappropriate., El proyecto en el que se inscribe este reporte de investigación ha sido financiado por el CDCHTA-ULA, bajo el código: H-1448-13-04-A.

Un dominio particular del conocimiento matemático para la enseñanza es el conocimiento de matemáticas especializado. Este estudio se centra en examinar el conocimiento de matemáticas especializado en el ámbito del razonamiento proporcional de un grupo de estudiantes para maestro de Educación Primaria. Los resultados muestran que los estudiantes para maestro tienen un conocimiento especializado sobre el razonamiento proporcional limitado puesto de manifiesto por la dificultad en identificar situaciones no proporcionales, en desarrollar formas de razonar en relación a la construcción de la unidad y en manejar el significado multiplicativo de la idea de operador. A particular domain of mathematical knowledge for teaching is the specialized content knowledge. This study focuses on examining pre-service primary school teachers' mathematical content knowledge related to proportional reasoning. Results show that pre-service teachers' mathematical content knowledge is limited. These results are supported by pre-service teachers' difficulties in identifying non-proportional situations, in the development of ways of thinking related to the construction of the unit and in the use of the meaning of operator. Esta investigación ha recibido el apoyo del Proyectos I+D+i EDU2011-27288 del Ministerio de Ciencia e Innovación, España. Y del Proyecto emergente GRE10-10 de la Universidad de Alicante, España.

RESUMEN: Razones, proporciones y proporcionalidad constituyen un campo ampliamente investigado en los últimos cincuenta años. Evaluaciones recientes muestran que estos objetos de conocimiento siguen siendo difíciles de aprender para la mayoría de los estudiantes, lo que constituye un certero indicador de la necesidad de hacer mayor investigación didáctica que permita nuevas comprensiones de dicha problemática y, por esa vía, lograr mayores impactos en el sistema educativo. En este artículo se revisan y comentan algunas investigaciones recientes sobre razón, proporción y proporcionalidad. De acuerdo con la perspectiva de análisis, se agrupan en tres momentos: cognitivo, epistémico y semióticoantropológico. Finalmente, se plantean algunos problemas de investigación a manera de conclusión. ABSTARCT: Ratio, proportion and proportionality are a field that has been the object of a wide research in the last fifty years. Recent evaluations show that, for most students, it is still difficult to learn these objects of knowledge, which is an actual indicator that more didactic research should be made in order to come up with new ways to understand these problem areas. This way, it could have a great impact on the educational system. In this article, we revise and we make comments on some of the recent research on ratio, proportion and proportionality. According to an analysis perspective, we classify them into three groups: the cognitive and the epistemic perspective, and the semioticanthropological one. We finally pose some problems of research for the conclusion. COL0106193 COL0008002

Uno de los objetivos en la formación de maestros desde el área de didáctica de las matemáticas es desarrollar la competencia una mirada profesional sobre la enseñanza y aprendizaje. Ser capaz de mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes implica poder identificar o reconocer evidencias de la manera en que los estudiantes resuelven los problemas, interpretar dichas evidencias relacionándolas con ideas teóricas sobre cómo aprenden los estudiantes, y tener argumentos para justificar la toma de decisiones sobre qué tareas ayudan a consolidar o desarrollar la comprensión de los estudiantes. En esta comunicación se presentan los primeros resultados obtenidos tras la implementación de un módulo de enseñanza en el Grado en Maestro en Educación Primaria, centrado en desarrollar la competencia docente mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes de educación primaria en el dominio matemático específico del razonamiento proporcional.

Este estudio analiza las relaciones implicativas entre las estrategias usadas por 136 estudiantes de primer curso de educación secundaria en la resolución de problemas lineales y no lineales. En primer lugar, se describen las estrategias ocupadas por los alumnos y después, empleando el software CHIC, se identifican sus relaciones implicativas. Los resultados muestran que es importante que los estudiantes comprendan la idea de razón para que sean capaces de identificar las situaciones lineales; de igual manera, aportan información sobre los posibles precursores del desarrollo del razonamiento proporcional en los estudiantes de educación secundaria.

Esta tesis doctoral se enmarca en el ámbito de la didáctica de las Matemáticas, concretamente en la línea de investigación sobre el análisis de la práctica docente del profesor de Matemáticas en el aula. Tiene como objetivo general de investigación el análisis de la actividad docente en lo que concierne a la temática específica de proporcionalidad en Sexto curso de Primaria y en el Primer curso de Secundaria Obligatoria. Los ejes fundamentales en los que se apoya el marco teórico de esta investigación, centrada en la construcción del conocimiento para la enseñanza de la proporcionalidad, son: el Knowledge Quartet (Rowland, 2005, 2008, 2009), el Mathematical Knowledge for Teaching (Ball, 2008), en particular el Horizon Content Knowledge, y los factores que intervienen en el razonamiento multiplicativo y en la proporcionalidad (Lamon, 2007). La proporcionalidad supone comprender la estructura subyacente a una situación en la cual existe una relación invariante especial entre dos magnitudes que están relacionadas y que cambian a la vez. Comprender la proporcionalidad implica relacionar la razón escalar entre dos valores de la misma magnitud y la razón de proporcionalidad entre la dos magnitudes, así como reconocer la función de proporcionalidad. Uno de los objetivos del trabajo, de carácter metodológico, ha consistido en la construcción de indicadores para el análisis de la práctica del profesorado, de acuerdo con el modelo del Knowledge Quartet de Rowland (Fundamento-Transformación-Conexión-Contingencia). Elegimos este modelo porque es un marco conceptual basado en la práctica, adecuado para analizar episodios de clase, centrándose sobre todo en el contenido matemático del episodio y en el papel que desempeñan el Subject Matter Knowledge (SMK) y el Pedagogical Content Knowledge (PCK) del profesor. La metodología utilizada es de tipo cualitativo y se centra en el estudio de casos. La investigación se ha contextualizado en alumnos que fueron observados y grabados en Sexto curso de Primaria y en el Primer Curso de Secundaria Obligatoria, obteniendo así los datos para nuestra investigación a partir de la grabación en el aula en dos años sucesivos (datos recogidos en el marco del proyecto EDU 2009-07298). Este ha sido un contexto adecuado para estudiar satisfactoriamente la práctica docente -tanto del profesor de Primaria, de formación generalista, como del profesor de Secundaria, de formación especialista-, además de estudiar la transición de etapa de Primaria a Secundaria. De un total de 48 episodios, 15 de Sexto curso de Primaria y 33 del Primer curso de Secundaria, se han seleccionado y analizado 6 episodios (correspondientes a dos profesores distintos, uno de Primaria y otro de Secundaria) en los que el profesor construye el concepto de proporcionalidad, explica una técnica como la de reducción a la unidad y relaciona dicha técnica con el concepto. Los resultados de la investigación nos han permitido, en primer lugar, elaborar un instrumento para realizar el análisis de la actividad docente en el aula; en segundo lugar, analizar desde la práctica docente cuáles son los objetivos del profesor al enseñar el tema de proporcionalidad y cómo construye el concepto de proporcionalidad; y finalmente, explicar las consecuencias que una determinada construcción del concepto de proporcionalidad tiene en el aprendizaje de una alumna concreta. El análisis de la práctica realizado en esta investigación nos ha mostrado la importancia de la elección de los ejemplos concretos para la comprensión tanto del concepto de proporcionalidad como de la técnica de reducción a la unidad. También nos ha mostrado que no se puede separar enseñanza de aprendizaje, puesto que a un determinado modelo de enseñanza le corresponde un determinado aprendizaje que lleva asociado tanto una construcción de los conceptos por parte de los alumnos como un conjunto de dificultades., The following thesis belongs to the field of didactics in mathematics, specifically in the research on the analysis of teaching practice by the mathematics teacher in the classroom. Its overall research objective is the analysis of teaching activity regarding the specific issue of proportionality and the levels involved in the study are Sixth grade of Primary and the First grade of Secondary. The cornerstones on which the theoretical framework of this research rests, focusing on the construction of knowledge for teaching proportionality, are: Knowledge Quartet (Rowland, 2005, 2008, 2009), the Mathematical Knowledge for Teaching (Ball 2008), particularly the Horizon Content Knowledge, and the factors involved in the multiplicative reasoning and the proportionality (Lamon, 2007). Understanding proportionality means understanding the underlying structure in situations in which there is a relationship between two invariant magnitudes that are related and simultaneously changing its structure. Understanding the proportionality involves relating the scalar ratio between two values of the same magnitude and the proportionality ratio between the two magnitudes, and, at the same time, to examine the function of proportionality. One of the objectives of the work, from the methodological point of view, involved the construction of indicators for the analysis of the teacher’s practice, according to Rowland’s Knowledge Quartet model (Foundation-Transformation-Connection-Contingency). This model was chosen because it is a conceptual framework based on the practice, suitable for analyzing in-class episodes, focusing primarily on the mathematical content of the episode and the teacher’s role of the Subject Matter Knowledge (SMK) and the Pedagogical Content Knowledge (PCK). The methodology is qualitative and is focused on case studies: students were observed and recorded in Sixth grade of Primary and the First grade of Secondary, obtaining data for our research from classroom recordings in a two successive years (data collected in the project EDU 2009-07298). This has been a proper context for studying both teaching practice- both for Elementary teacher of general training and for Secondary teacher of specialist-training, and study the transition from Primary to Secondary. From a total of 48 episodes, 15 of Sixth grade of Primary and 33 of First grade of Secondary, 6 of them were selected and analyzed (corresponding to two different teachers, one in Primary and one in Secondary) to be analyzed on how the teacher builds proportionality concept, explains a technique such as reduction to unity and relates this technique with the concept. The results of the research have allowed us, first, to develop an instrument for analysis of teaching in the classroom; secondly, to analyze, from the teaching practice side, what the objectives of the teacher are in order to teach the subject of proportionality and how to build the concept of proportionality; and finally, to explain what the consequences of a particular construction of the concept of proportionality are in the learning process of a particular student. The practice analysis conducted in this research has shown us the importance of the choice of particular examples so as to understand both the concept of proportionality and the reduction technique unit. It has also shown us that splitting teaching from learning makes no sense, since a particular teaching model corresponds to a particular learning process that leads to both a construction of concepts by students and a set of difficulties.