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O tema desse trabalho s~ao as pot^encias simb olicas de ideais perfeitos de codimens~ ao 2 com apresenta c~ao linear. Estudamos mais profundamente os casos onde os elementos s~ao formas lineares gerais e onde a matriz de sizigias e uma variante da matriz de Hankel. A principal contribui c~ao na abordagem presente e o uso da teoria birracional subjacente a alguns desses ideais para mostrar uma profunda rela c~ao entre os geradores das pot^encias simb olicas e os fatores de invers~ao decorrentes da aplica c~ao inversa.

O tema desse trabalho s~ao as pot^encias simb olicas de ideais perfeitos de codimens~ ao 2 com apresenta c~ao linear. Estudamos mais profundamente os casos onde os elementos s~ao formas lineares gerais e onde a matriz de sizigias e uma variante da matriz de Hankel. A principal contribui c~ao na abordagem presente e o uso da teoria birracional subjacente a alguns desses ideais para mostrar uma profunda rela c~ao entre os geradores das pot^encias simb olicas e os fatores de invers~ao decorrentes da aplica c~ao inversa.

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico Nesta dissertação tratamos alguns aspectos da teoria das formas quadráticas sobre um corpo, das álgebras com divisão e das álgebras centrais simples. Objetos importantes estudados são o anel de Witt, o grupo de Brauer, as álgebras de Clifford e o teorema de Wedderburn sobre a estrutura das álgebras centrais simples. Essas teorias são profundamente ligadas entre si e tem conexões com outras áreas como a teoria dos corpos, a geometria algébrica, a topologia algébrica, a teoria das representações e a física teórica. Matemáticos ilustres como Brauer, Clifford, Emmy Noether, Gauss, Hamilton, Hasse, Hurwitz e Wedderburn trabalharam nos temas detalhados nesta dissertação

This thesis deals with equigenerated Gorenstein ideals of nite colength in a standard graded ring R = k[x1; : : : ; xn] over an in nite eld k. We focus especially on such ideals of codimension 3, by looking at properties involving the Macaulay inverse system, the degree of socle, the reduction number, and the Cohen-Macaulayness of the associated Rees algebra. A special attention is devoted to the classical problem of general forms, as in the well-known conjecture of Fröberg. Our interest is to understand the sparsity of Gorenstein ideals generated by general forms. We conjecture that if I R is an ideal generated by a general set of r n+2 forms of degree d 2, then I is Gorenstein if and only if d = 2 and r = n+1 2 1. We prove this conjecture for n = 3 and one of its implications for arbitrary n. Another theme considered in this thesis is what we called the colon problem, a subject related to the presentation of a Gorenstein ideal as a link I = (xm1 ; : : : ; xmn ) : f, for a form f 2 R. If I has nite colength and linear resolution, we establish under what conditions the form f is uniquely determined, in addition to determining its degree. As we show, this problem is related to the so-called Newton dual introduced by Costa Simis and further studied by various recent authors. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Esta tese versa sobre ideais de Gorenstein equigerados de co-comprimento nito em um anel de polinômios graduado standard R = k[x1; : : : ; xn] sobre um corpo in nito k. Focalizamos especialmente o caso de codimensão 3, estudando propriedades envolvendo o sistema inverso de Macaulay, o grau do socle, o número de redução, e a Cohen-Macaulicidade da álgebra de Rees associada. Uma atenção especial é dedicada ao problema clássico de formas gerais, no espírito da conjectura de Fröberg. Nosso interesse é entender a rarefação de ideais de Gorenstein gerados por formas gerais. Nessa direção conjecturamos que se I R é um ideal gerado por r n + 2 formas de grau d 2, então I é Gorenstein se, e somente se, d = 2 e r = n+1 2 1. Provamos esta conjectura para n = 3 e uma das implicações para n arbitrário. Outro tema abordado é o aqui denominado problema do quociente, relacionado à apresentação de um ideal Gorenstein na forma I = (xm1 ; : : : ; xmn ) : f, para certa forma f 2 R. Se I tem co-comprimento nito e resolução linear, estabelecemos sob quais condições a forma f é unicamente determinada e qual é seu grau. Mostramos também que esse problema está relacionado com a noção de dual de Newton, introduzido por Costa Simis e posteriormente estudado por vários autores recentes.

São Cristóvão, SE

In this dissertation, we will make a brief introduction to Ramsey’s theory. As an application of the results presented we will demonstrate the theorem of a version of the celebrated Fermat’s Last Theorem in the context of residual bodies Zp. Nessa dissertação faremos uma breve introdução à teoria de Ramsey. Como aplicação dos resultados apresentados demonstraremos o teorema de uma versão do celebrado Último Teorema de Fermat no contexto dos corpos residuais Zp. São Cristóvão, SE

The central object of this dissertation are the algebraic hypersurfaces. The main aspect we wish to address is how these hypersurfaces can be represented. More specifically, it is discussed implicit and parametric representations. We will show the advantages and disadvantages of each one of them and also discuss the problem of obtaining a representation from the other. O objeto central de estudo dessa dissertação são as hipersuperfícies algébricas. O principal aspecto que desejamos abordar é sobre como essas hipersuperfícies podem ser representadas. Mais especificamente, discutimos sobre as representações implícita e paramétrica. Mostraremos quais são as vantagens e desvantagens de cada uma delas e também discutimos o problema de obter uma representação a partir da outra. São Cristóvão, SE

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES This paper aims at presenting a study about the concept and calculation of flat figures areas. For such, it was carried out a historical survey about the development of the idea of area, as well as the precise definition of what could be the area of a flat region. In addition, we seek to show demonstrations of the relationships that are used to determine elementary polygons areas (square, rectangle, parallelogram, triangle, diamond and trapezoid) and also of a circle, where we have tried to present a historical survey since the discovery of the number pi to the perimeter and area relationships. We have also included the notion of areas of curvilinear regions areas calculations by means of Differential and Integral Calculus, which is the most suitable method for dealing with flat surfaces areas delimited by curves. In he same way, we discoursed about the Pick Theorem and the Shoelace Theorem, which are not widely used at elementary and highschool, however, they can be taught in basics mathematics education, in order to enrich knowledge about the methods for determining polygons areas. We finished the stud by discussing equidecomponibility between polygons, which involves decomposing a given polygon P into smaller figures, and by means of a rearrangement of these pieces, to obtain a polygon Q. We also present the Bolyai-Gerwien’s Theorem, which deals, in general terms, with equivalence between polygons with the same areas. Este trabalho tem por objetivo apresentar um estudo realizado sobre o conceito e o cálculo de áreas de figuras planas. Para tal foi realizado um levantamento histórico acerca do desenvolvimento da ideia de área, bem como a definição precisa do que vem a ser a área de uma região plana. Além disso, procuramos expor as demonstrações das relações que são utilizadas para determinar áreas dos polígonos elementares (quadrado, retângulo, paralelogramo, triângulo, losango e trapézio) e também do círculo, onde buscamos apresentar uma sondagem histórica desde a descoberta do número pi, até as relações de perímetro e área. Incluímos também a noção do cálculo de áreas de regiões curvilíneas por meio do Cálculo Diferencial e Integral, o qual é o método mais indicado para tratar sobre áreas de superfícies planas delimitadas por curvas. Do mesmo modo, dissertamos acerca do Teorema de Pick e do Teorema do Cadarço (Shoelace Theorem), os quais não são muito utilizados de forma genérica nos níveis fundamental e médio, contudo podem ser ministrados no ensino básico de matemática, de forma a enriquecer os conhecimentos sobre métodos para determinar áreas de polígonos. Finalizamos o estudo discorrendo sobre equidecomponibilidade entre polígonos, que versa sobre decompor um dado polígono P em figuras menores e por meio de um rearranjo dessas peças, obter um outro polígono Q e também apresentamos o Teorema de Bolyai-Gerwien, que trata, em linhas gerais, sobre equivalência entre polígonos que apresentam áreas iguais. São Cristóvão, SE

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES This work has as main goal to make a detailed study of Gorenstein rings and your role in local duality theory. At the beginning, some pre-requisites are studied like the Krull dimension of modules, Koszul Complexes and Cohen-Macaulay rings. Concerning to this last topic, we studied in more detail the regular rings and the complete intersection rings. We showed that all this rings are Gorenstein. Also, we present the characterization of Gorenstein rings in terms of the concept of type of a ring. Ultimately, we present the concept of canonical module, highlighting your role in Local Duality Theory over maximal Cohen-Macaulay modules. Esta dissertação tem como objetivo principal fazer um estudo detalhado dos anéis de Gorenstein e seu papel na teoria de dualidade local. Iniciamos estudando alguns pré-requisitos como dimensão de krull de módulos, complexos de Koszul e anéis Cohen-Macaulay. Neste último tópico, estudamos com mais detalhes os anéis regulares e de interseção completa. Mostramos que todos estes anéis são Gorenstein. Caracterizamos os anéis de Gorenstein a partir do conceito de tipo de anel. Por fim, estudamos o modulo canônico, destacando seu papel na teoria de dualidade local sobre anéis Cohen-Macaulay máximos. São Cristóvão

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES David Mumford introduced the concept of regularity of a coherent beam into the projective space in terms of local cohomology, generalizing a classic argument of Castelnuovo. In this dissertation under view of commutative algebra, we will introduce the concept of regularity of finitely generated graduated modules on the ring of polynomials. First, we perform a preliminary study on dimension theory and especially on Hilbert’s function. We also studied the basics of Cohen- Macaulay modules, properties of Betti’s graduated numbers, and the local cohomology functors. In the main chapter, we define the regularity of Castelnuovo-Mumford using the free resolution shifts. Soon after, we show that the definition of regularity can be given in terms of local cohomology, with emphasis on the cases of Artinian and Cohen-Macaulay modules. David Mumford introduziu o conceito de regularidade de um feixe coerente no espac¸o projetivo em termos de cohomologia local, generalizando um argumento cl´assico de Castelnuovo. Nessa dissertac¸ ˜ao sob a vis˜ao da ´algebra comutativa, introduziremos o conceito de regularidade de m´odulos graduados finitamente gerados sobre o anel de polinˆomios. Primeiramente realizamos um estudo preliminar sobre teoria da dimens˜ao e em especial sobre a func¸ ˜ao de Hilbert. Tamb´em estudamos noc¸ ˜oes b´asicas em m´odulos Cohen-Macaulay, propriedades dos n´umeros graduados de Betti e dos funtores de cohomologia local. No cap´ıtulo principal, definimos a regularidade de Castelnuovo-Mumford utilizando os shifts de resoluc¸ ˜oes livres. Logo ap´os, mostramos que a definic¸ ˜ao de regularidade pode ser dada em termos de cohomologia local, dando ˆenfase aos casos de m´odulos Artinianos e Cohen-Macaulay. São Cristóvão, SE

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES In this work we study the notion of R-algebra. Roughly, they are structures that generalize some arithmetic properties of the body of complex numbers. The ?exibi- lity in this generalization is the non-requirement of properties such as commutativity, associativity and identity element existence. We focus primarily on the ?nite dimen- sional division R-algebras. As is well known, modulo isomorphisms exist exactly four of those R-algebras. In the development of the dissertation we will discuss in detail its main algebraic and geometric properties. Nesse trabalho estudamos a noção de R-álgebra. A grosso modo, elas são es- truturas que generalizam algumas propriedades aritméticas do corpo dos números complexos. A ?exibilidade nessa generalização é a não exigência de propriedades como comutatividade, associatividade e existência de elemento identidade. Focamos principalmente nas R-álgebras de divisão de dimensão ?nita. Como é bem conhe- cido, módulo isomor?smos existem exatamente quatro dessas R-álgebras. No desen- volvimento da dissertação discutiremos detalhadamente suas principais propriedades algébricas e geométricas.

Submitted by Emanuel Varela Cardoso (emanuel.varela@ufcg.edu.br) on 2019-01-11T11:29:13Z No. of bitstreams: 1 RAINELLY CUNHA DE MEDEIROS – TESE (PPGMat) 2017.pdf: 933766 bytes, checksum: e69ef65818c6ffb29f96fdbdf3db3e2a (MD5) Made available in DSpace on 2019-01-11T11:29:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 RAINELLY CUNHA DE MEDEIROS – TESE (PPGMat) 2017.pdf: 933766 bytes, checksum: e69ef65818c6ffb29f96fdbdf3db3e2a (MD5) Previous issue date: 2017-03-10 Capes Nesta tese nós estudamos certas degenerações/especializações da matriz quadrada genérica sobre um corpo k de característica zero juntamente com suas principais estruturas subjacentes, tais como o determinante da matriz, o ideal gerado por suas derivadas parciais, o mapa polar de nido por essas derivadas, a matriz Hessiana e o ideal dos menores submáximos da matriz. Os tipos de degenerações da matriz quadrada genérica consideradas aqui são: (1) degeneração por clonagem" (repetição de uma variável); (2) substituição de um subconjunto de entradas por zeros, em uma disposição estratégica; (3) outras degenerações dos tipos acima partindo de certas especializações da matriz quadrada genérica, tais como a matriz genérica simétrica e a matriz quadrada genérica de Hankel. O foco em todas essas degenerações é nos invariantes descritos acima, com destaque para o comportamento homaloide do determinante da matriz. Para tal, empregamos ferramentas provenientes álgebra comutativa, com ênfase na teoria de ideais e na teoria de Sizigia. In this thesis we study certain degenerations/specializations of the generic square matrix over a eld k of characteristic zero along its main related structures, such the determinant of the matrix, the ideal generated by its partial derivative, the polar map de ned by these derivatives, the Hessian matrix and the ideal of submaximal minors of the matrix. The degeneration types of the generic square matrix considered here are: (1) degeneration by \cloning" (repeating) a variable; (2) replacing a subset of entries by zeros, in a strategic layout; (3) further degeneration of the above types starting from certain specializations of the generic square matrix, such as the generic symmetric matrix and the generic square Hankel matrix. The focus in all these degenerations is in the invariants described above, highlighting on the homaloidal behavior of the matrix determinant. For this, we employ tools coming from commutative algebra, with emphasis on ideal theory and syzygy theory.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES The purpose of this dissertation is to introduce the notion of local cohomology as well as some of its applications. Initially, we performed a brief review on the main homological tools used in this work, such as: homology of a complex, isomorphism of complexes, injective resolutions, derived functors, etc. Next, we detail properties of the injective modules in the context of Noetherian rings. Finally, we present di erent ways of de ning local cohomology and we show how this notion is used to investigate the arithmetical rank of an ideal. O objetivo dessa dissertação é introduzir a noção de cohomologia local bem como algumas de suas aplicações. Inicialmente, realizamos um breve apanhado sobre as principais noções homológicas utilizadas no trabalho, tais como: homologia de um complexo, isomorfismo de complexos, resoluções injetivas, funtores derivados, etc. Em seguida, detalhamos propriedades dos módulos injetivos no contexto dos anéis Noetherianos. Finalmente, apresentamos formas variadas de definir cohomologia local e mostramos como essa noção é utilizada para investigar o posto aritmético de um ideal.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES The notion of symbolic power dates back to W. Krull, who used it in the proof of the famous theorem of principal ideal, this a crucial milestone in the short history of commutative algebra. Later, O. Zariski, M. Nagata, D. Rees and others have shown how this purely algebraic notion has important signi cance in algebraic geometry. In this paper we study the symbolic powers showing some of its most fundamental properties and their connections with various aspects of algebraic geometry and commutative algebra. A no ção de potência simb ólica remonta a W. Krull, que a usou na prova do c élebre teorema do ideal principal, este um marco crucial na curta hist ória da álgebra comutativa. Mais adiante, O. Zariski, M. Nagata, D. Rees e outros mostraram como esta no ção puramente alg ébrica tem importante signi ficado em geometria alg ébrica. Neste trabalho estudaremos as potências simb ólicas evidenciando algumas de suas propriedades mais fundamentais e suas conexões com aspectos variados da geometria alg ébrica e álgebra comutativa.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior In this study we are evaluating the modular congruencies related to some of its application fields. Another important aspect explored is the existing relationship between the modular congruencies and the finite fields. We will show among other results that the structure of a finite field is completely determined by its cardinality. We will also display a ludic application for the finite field through the so called solitary games. Neste trabalho estudamos as congruências modulares com vistas a algumas de suas aplicações. Outra vertente explorada é o entrelaçamento existente entre as congruências modulares e os corpos finitos. Mostraremos, entre outros resultados, que a estrutura de um corpo finito é completamente determinada por sua cardinalidade. Também exibiremos uma aplicação curiosa para os corpos finitos através do chamado jogo do solitário (ou, resta um).

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Optimization problems are interesting both from the theoretical and practical point of view. In this thesis we address this subject, presenting problems of analytical nature, algebraic, geometric and combinatorial that can be addressed in basic education. Our main goal is to show how much content already taught in school can be used in attractive way for students through real-world problems can be solved with the use of mathematics. Also tried to suggest some topics that, although not part of the standard curriculum can be implemented by integrating diverse part. Problemas de otimização são interessantes tanto do ponto de vista teórico quanto prático. Nesta dissertação abordamos este assunto, apresentando problemas de natureza analítica, algébrica, geométrica e combinatória que podem ser abordados no ensino básico. Nosso principal objetivo é evidenciar como muito dos conteúdos já ensinados na escola podem ser utilizados de forma atrativa para os alunos, através de problemas do cotidiano que podem ser resolvidos com o uso da matemática. Também experimentamos sugerir alguns temas que, embora não façam parte do currículo padrão, podem ser implementados integrando a parte diversificada.

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico The present dissertation aims to show the algebraic systematization of the sets N, Z, Q, R and C as extensions that preserve arithmetic and algebraic properties. Despite this fact, we will see that this field studies is not limited there. We will present that after C there is a formalization of Hamilton´s quaternions, also known as hypercomplex numbers. And these, like the other sets, are very important for mathematics and the environment we live in. Furthermore, we seek to approach the complex numbers in a dynamic that allows observe its importance in general. Therefore, this work intends to deepen the study on the subject in question leaving scope for the need for professional development. Making noticeable diversified forms to be developed in the teaching-learning process that enable a differentiated learning that will underpin the student knowledge for personal, social and academic future. In developing this dissertation, we started with the process of systematization of natural numbers to real. Consequently we commented on the emergence and formalization of complex numbers where then we exposed its usefulness in a global way. Lastly, we closed this work with an approach on Hamilton´s quaternions, traveling in a different mathematical field, important and encouraging us go deep in scientific research. A presente dissertação tem como objetivo mostrar a sistematização algébrica/axiomática dos conjuntos N, Z, Q, R, e C como extensões que preservam propriedades aritméticas e algébricas. Apesar desse fato, veremos que esse campo de estudos não se limita por aí. Apresentaremos que após C existe a formalização dos quatérnios de Hamilton, também conhecidos como números hipercomplexos. Esses, assim como os demais conjuntos, são muito importantes para a matemática e o meio em que vivemos. Além disso, buscamos abordar os números complexos em um dinâmica que possibilite observar sua importância de forma geral. Assim, este trabalho pretende aprofundar o estudo sobre o tema em questão, deixando margem para a necessidade do aperfeiçoamento profissional. Tornando perceptíveis formas diversificadas a serem desenvolvidas no processo de ensino-aprendizagem que possibilitam um aprendizado diferenciado, que alicerçará o conhecimento discente para o futuro pessoal, social e acadêmico. No desenvolvimento desta dissertação iniciamos com o processo de sistematização dos números naturais aos reais. Consequentemente comentamos sobre o surgimento e formalização dos números complexos, onde em seguida expomos sua utilidade de forma global. Por fim, fechamos este trabalho com uma abordagem sobre os quatérnios de Hamilton, viajando em um campo matemático diferente, importante e que nos incentiva ir a fundo à pesquisa científica.

The main objective of this dissertation is to present an algebraic method capable of determining a solution, if any, of a non linear polynomial equation systems using Gröbner basis. In order to accomplish that, we first present some concepts and theorems linked to polynomial rings with several undetermined and monomial ideals where we highlight the division extended algorithm, the Hilbert Basis and the Buchberger´s algorithm. Beyond that, using basics of Elimination and Extension Theorems, we present an algebraic solution to the map coloring that use 3 colors as well as a general solution to the Sudoku puzzle. O objetivo principal desse trabalho é, usando bases de Gröbner, apresentar um método algébrico capaz de determinar a solução, quando existir, de sistemas de equações polinomiais não necessariamente lineares. Para tanto, necessitamos inicialmente apresentar alguns conceitos e teoremas ligados a anéis de polinômios com várias indeterminadas e de ideais monomiais, dentre os quais destacamos o algoritmo extendido da divisão, o teorema da Base de Hilbert e o algoritmo de Buchberger. Além disso, usando noções básicas da Teoria de eliminação e extensão, apresentamos uma solução algébrica para o problema da coloração de mapas usando três cores, bem como um solução geral para o puzzle Sudoku.

First in this dissertation we make a brief overview about basic tools of commutative algebra required for understanding the rest of the text. Then, we present the definition of symbolic powers and we discuss their basic properties, mainly emphasizing questions such as primary decomposition and calculation of generators. We conclude this work by showing actual results that relate the symbolic powers with other notions in commutative algebra and algebraic geometry. Nesta dissertação fazemos inicialmente um breve apanhado sobre ferramentas básicas de álgebra comutativa úteis para o entendimento do resto do texto. Em seguida, apresentamos a definição de potências simbólicas e discutimos suas propriedades mais elementares, destacando sobretudo questões como decomposição primária e cálculo de geradores. Finalizamos o trabalho mostrando resultados atuais que relacionam as potências simbólicas com outras noções da álgebra comutativa e geometria algébrica.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES This thesis aims to present aspects of parametric equations and planar a ne transformations that can be exploited in basic education. With respect to parameterizations we present a succession of elementary examples and make the comparison between the parametric and Cartesian equations - highlighting the advantages of using one over the other. Furthermore, we discussed the process of obtaining the Cartesian equations from parametric and importance of this type of equations for physics. With respect to a ne transformations our interest is to look at them from the perspective of Felix Klein program, in which a geometry is classi ed as a set of objects on the action of a group set. We emphasize some special transformations and their importance in the generation of the a nity group and the implementation of coordinated of change process. We emphasize that we have not aimed this work to be fully applied as teaching materials for elementary education, what we want is it to be a provocateur to the teacher researcher instinct . A presente disserta c~ao tem como objetivo apresentar aspectos das equa c~oes param etricas e das transforma c~oes a ns planares que podem ser explorados no ensino b asico. No que diz respeito as parametriza c~oes apresentamos uma sucess~ao de exemplos elementares e fazemos a compara c~ao entre as equa c~oes param etricas e as cartesianas - destacando as vantagens de usar uma em detrimento da outra. Al em disso, discutimos sobre o processo de obter as equa c~oes cartesianas a partir das param etricas e a import^ancia dessa modalidade de equa c~oes para a f sica. No que se refere as transforma c~oes a ns nosso interesse e olhar para elas segundo a perspectiva do programa de Felix Klein, onde uma geometria e classi cada como um conjunto de objetos sobre a a c~ao de um grupo xado. Enfatizamos algumas transforma c~oes especiais e a import^ancia das mesmas na gera c~ao do grupo de a nidades e na implementa c~ao do processo de mudan ca de coordenadas. Ressaltamos que n~ao temos como objetivo que essa material seja totalmente aplicado como material did atico para o ensino b asico, o que desejamos e que ele seja um provocador ao instinto pesquisador do professor.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES This thesis aims to show that the theory of graphs, especially matching, can be studied in high school and gradually as the implementation of this theory in the classroom can foster in students interest in mathematics. Thus, this paper aims to demystify the idea that mathematics content ends with high school approaching students the theories recently developed in academy. The graph theory is considered an e cient tool to solve problems in various areas. There are numerous situations that can be modeled by that enable develop a range of skills, so it becomes so appealing to anyone who comes into contact with it. For the development of this thesis began our study addressing basic concepts of graph theory useful for understanding this work then present some problems that can be worked in high school and nalized with a speci c topic of this theory, matchings, with many applications that can be modeled as contextualized and practical problems of everyday life. A presente disserta ção tem como objetivo mostrar que a teoria de grafos, sobretudo emparelhamentos, pode ser abordada no ensino m édio de forma gradativa. E como a implementa ção desta teoria em sala de aula pode despertar nos estudantes o interesse pela matem atica. Dessa forma, este trabalho pretende desmitifi car a ideia de que a matem atica se encerra com o conte udo do ensino m édio aproximando os estudantes das teorias desenvolvidas recentemente na academia. A teoria dos grafos é considerada uma ferramenta e ficiente para resolver problemas em diferentes áreas. São in úmeras situa ções que podem ser modeladas por grafos que possibilitam desenvolver uma s érie de habilidades, por isso ela se torna tao atraente para quem entra em contato com a mesma. Para o desenvolvimento desta disserta ção, iniciamos nosso estudo abordando conceitos b ásicos da teoria de grafos úteis a compreensão deste trabalho, em seguida apresentamos alguns problemas que podem ser trabalhados no ensino m édio e a nalisamos com um t ópico específi co desta teoria, emparelhamentos, com muitas aplica coes que podem ser contextualizadas e modeladas como problemas pr áticos do nosso cotidiano.

Fundação de Apoio a Pesquisa e à Inovação Tecnológica do Estado de Sergipe - FAPITEC/SE The Rees algebra of an ideal is an algebraic construction that takes place in commutative algebra and algebraic geometry. Currently, the study of arithmetic and homological properties of this object is cause for diverse research in commutative algebra. Our main goal in this work is to address aspects such as dimension and defining equations of the Rees algebra and other algebras that relate to it. A álgebra de Rees de um ideal é uma construção algébrica que ocupa lugar de destaque na álgebra comutativa e na geometria algébrica. Atualmente, o estudo de propriedades aritméticas e homológicas desse objeto é motivo de diversas pesquisas em álgebra comutativa. Nosso principal objetivo nesse trabalho é tratar de aspectos como dimensão e equações de definição da álgebra de Rees e de outras álgebras que relacionam-se com ela.