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El estudio del infinito en matemática educativa desde una perspectiva cognitiva se ha centrado en analizar el infinito potencial y actual. A partir de la teoría APOE (Acción, Proceso, Objeto, Esquema), esta noción se ha explicado en términos de procesos iterativos infinitos y objetos trascendentes, respectivamente. En este artículo se presenta una descomposición genética, que sustenta el diseño de dos problemas relacionados con la recta tangente a una curva, en el que se toman en consideración los aspectos dinámicos y estáticos del infinito. A través de una entrevista realizada a un profesor universitario, se presenta evidencia de Totalidad, una posible nueva estructura que permite que el individuo conciba un Proceso como un todo, aunque no pueda aplicar Acciones sobre ella., From a cognitive perspective, the study of infinity in mathematics education has focused on analyzing the potential and actual infinities. From the point of view of APOS (Action, Process, Object, Schema) theory, these notions have been explained in terms of iterative infinite processes and transcendent objects, respectively. In this article a genetic decomposition that supports the design of two problems related to the tangent line to a curve, where dynamic and static aspects have been taken into consideration, is presented. By means of an interview with a university instructor, evidence of Totality, a possible new structure that allows an individual to conceive a Process as a whole without being able to apply Actions to it is presented.

This paper presents a theoretical model for the study of mathematical talent, grounded in the Anthropological Theory of Didactics (ATD) and the notion of creativity. This model proposes two components of creative mathematical activity: the mathematical component, which supports mathematical techniques; and the creative component, defined by four functions: producing new techniques, optimizing techniques, considering tasks from different angles, and adapting a technique. Based on the theoretical model and a reference epistemological model on infinite sequences, a learning design comprising six problem situations was developed and then implemented in an institution established to foster mathematical talent. The analysis of two tasks performed by a pair of children offers a case study that illustrates how tackling challenging tasks of the same kind, in a favorable institutional setting, makes it possible to develop mathematical talent., Se presenta un modelo teórico para el estudio del talento matemático, fundamentado en la Teoría Antropológica de lo Didáctico y la noción de creatividad. En dicho modelo se proponen dos componentes de la actividad matemática creativa: la Componente Matemática, que sustenta las técnicas matemáticas; y la Componente Creativa, definida por cuatro funciones: producir técnicas nuevas, optimizar técnicas, considerar tareas desde diversos ángulos y adaptar una técnica. Con base en los modelos Teórico y Epistemológico de Referencia sobre sucesiones infinitas, se genera un diseño didáctico conformado por seis situaciones problemáticas y se implementa en una institución creada para potenciar el talento matemático. El análisis de dos tareas realizadas por una pareja de niños constituye un estudio de caso, que permite ilustrar que enfrentar tareas retadoras de un mismo tipo, bajo condiciones institucionales propicias, posibilita el desarrollo del talento matemático.

Two refined genetic decompositions (DGs) are proposed, as a result of the application of the APOS Research Cycle, which describe mental structures and mechanisms for the concept of value and eigenvector in two case studies. The first DG0 models the prior knowledge that high school students (14 – 16 years old) must achieve in R2 order to build this concept in the university —this model is based on vector rotation and the concept of scalar multiple—. The second DG1 models in R2 the construction of eigenvalue and eigenvector in firstyear university students and shows how to rely on secondary education to structure that concept from relationships between the linear transformation and the scalar multiple vector as a generator of a line. The data analysis allows to validate the DG’s and outline a cognitive path for learning the concept of eigenvalue and eigenvector in R2., Se proponen dos descomposiciones genéticas (DG’s) refinadas, como resultado de la aplicación del Ciclo de investigación de APOE, que describen estructuras y mecanismos mentales para el concepto de valor y vector propio en dos casos de estudio. La primera DG0 modela los conocimientos previos que estudiantes de secundaria (14 – 16 años) deben lograr para construir en la universidad dicho concepto en R2 , —este modelo se sustenta en la rotación de vectores y el concepto de múltiplo escalar—. La segunda DG1 modela en R2 la construcción de valor y vector propio en estudiantes universitarios de primer año y muestra cómo apoyarse en tópicos de secundaria para estructurar dicho concepto a partir de relaciones entre la transformación lineal y el vector múltiplo escalar como generador de una recta. El análisis de datos permite validar las DG’s y bosquejar un camino cognitivo para el aprendizaje del concepto de valor y vector propio en R2.

This article shows the construction of the change of basis matrix in l inear a lgebra. Based on the APO S theory as a theoretical and methodological framework, the structures and mental mechanisms are described to obtain a genetic decomposition based on the conceptions that students have about such a concept. A diagnostic test was applied to 28 undergraduate students (18 21 years of age). Semi structured interviews were also conducted. The results show at least two trajectories in the construction of change of basis matrix concept which differ in the internalization of mental actions., Este artículo muestra la construcción de la matriz de cambio de base en á lgebra l ineal. Con funda- mento en la teoría APOE como marco teórico y metodológico, se describen las estructuras y mecanismos mentales para obtener una descomposición genética a partir de las concepciones que estudiantes de una licenciatura de matemáticas tienen sobre dicho concepto. Se aplicó una prueba diagnóstica a 28 estu- diantes universi tarios (18 21 años de edad). P osteriormente se realizaron entrevistas semiestructuradas. Los resultados muestran al menos dos trayectorias en la construcción de la matriz de cambio de base las cuales se diferencian en la interiorización de las acciones mentales.

The present study aims to examine the mental structures that a person can develop to construct the mathematical concept of infinity in two particular contexts: “the paradox of Achilles and the tortoise” and the “Sierpin´ski triangle”. Based on the genetic generic decomposition of the infinite, proposed by Roa-Fuentes and Oktaç (2014), this investigation focuses on the study of the particular characteristics, mechanisms and structures produced by each context. The analysis of data from work done by postgraduate students (in Mathematics and Mathematics Education) shows how from the infinite iterative process (potential infinity) advances towards to a transcend object (actual infinity). Furthermore, the results reflect the importance of the coordination mechanism in the construction of infinite iterative process., En este estudio se analizan las estructuras mentales que un individuo puede desarrollar al construir el concepto de infinito en dos contextos particulares: la paradoja de Aquiles y la tortuga y el triángulo de Sierpin´ski. Con base en la descomposición genética genérica del infinito, planteada por Roa-Fuentes y Oktaç (2014), se estudian las características particulares de las estructuras y los mecanismos que cada contexto genera. El análisis de los datos a partir del trabajo llevado a cabo por estudiantes de posgrado en Matemáticas y Educación Matemática, muestra cómo se da paso de un proceso iterativo infinito (infinito potencial) a un objeto trascendente (infinito actual). Además se muestra la importancia del mecanismo de coordinación para la construcción de procesos iterativos infinitos.

En este escrito se analiza el desarrollo del proceso de generalización de estudiantes entre 9 y 12 años, a partir del estudio de situaciones sobre patrones en diferentes representaciones. Para esto se consideran las actividadesbásicas del proceso de generalización propuestas por Kaput en 1999: 1. Identificar similitudes en un conjunto de casos, 2. Extender el razonamiento propio más allá del rango en el cual se originó y 3. Derivar resultados más amplios de casos particulares. Los resultados muestran que después de unproceso de instrucción los estudiantes logran identificar algunos patrones en secuencias numéricas y geométricas; sin embargo, tienen grandes dificultades para generalizarlos ya sea de manera verbal o mediante una expresión general.

Este trabajo propone tres escenarios construidos en un software dinámicoque buscan relacionar el cálculo diferencial y el integral a través de laconstrucción comprensiva del teorema fundamental del cálculo. Dichosescenarios fueron construidos tomando como base las cuatro fases quesustentan el uso de herramientas tecnológicas en la resolución de un problemapropuestas por Santos y Moreno (2013). Se resalta el acercamientovisual y empírico a través de la construcción de la derivada como la pendientede la recta tangente a una curva, la construcción de la integral definidacomo el área bajo la curva en un intervalo cerrado y cómo éstas serelacionan en el teorema fundamental del cálculo.