Search

International audience; The paper reports from analyses of one Norwegian secondary school mathematics teacher (Isaac) in his transition from university teacher education to employment in secondary school. The process of becoming a mathematics teacher is studied in terms of identity, based on the teacher’s participation within and at the boundaries of communities of practice at university and school. Adopting a longitudinal case-study design and methods from narrative analysis, the case of Isaac displays tensions between desires for own mathematics teaching and experiences of possibilities in practice. The case illustrates how the concept of identity is helpful for gaining insight into mathematics teachers’ ability and legitimacy to contribute to, and take responsibility for, the meanings that matter regarding mathematics, its teaching and learning, in their professional debut.

Based on a commognitive framework, we analyse the reasoning-and-proving processes of two teachers, and we identify the actions and routines that are visible when working on a given task. The data consist of video recordings of the teachers’ attempts to validate a stated hypothesis involving multiplicative reasoning. Six categories of what characterises the teachers’ initiation into a reasoning-and-proving discourse are identified. The findings reveal that some actions related to substantiation routines seem to be applicable for novice teachers. Examples of this include questioning validity and the use of words related to deductive reasoning. However, the teachers’ participation in the discourse is characterised by ritualised actions, as in their use of visual mediators. Furthermore, the analysis discloses the teachers’ tendency to use construction-related actions in what was designed to be a validating activity. Published by European Society for Research in Mathematics Education. Copyright the authors 2019.

International audience; The paper discusses a theoretical framework for investigating the process of becoming a mathematics teacher, based on the need to better understand how mathematics and teaching combine in developing mathematics teacher identities. Identity is understood as a function of participation in and at the boundaries of various communities of practice, during university teacher education and at school. In order to reveal possible relationships between developing teacher identities and the discipline of mathematics, teachers' changing concept images of mathematics are embedded within the definition of identity.

I studien, Sosialiseringseffekt i skolen: Praksisfellesskapers påvirkning på nyutdannede matematikklæreres identitet, undersøkes ulike praksisfellesskapers påvirkning på nyutdannede matematikklæreres identitet som beskrevet gjennom deres fortellinger. Studien er gjort på bakgrunn av en arbeidsdefinisjon av sosialiseringseffekten. Med utgangspunkt i et situert læringssyn er sosialiseringseffekten definert som praksis¬fellesskapers påvirkning på en lærers identitet. I undersøkelsen gjennomføres narrative intervju med tre nyutdannede matematikk¬lærere. Utgangspunktet for metodevalget er en operasjonalisering av identitetsbegrepet, hvor egenfortelling innlemmes i definisjonen. Narrative intervju gir både en biografisk dybde i de nyutdannede matematikklærernes opplevelser, og en bredde i de historiske, sosiale og kollektive sammenhenger som er forbundet med opplevelsene. Metoden gjør det derfor mulig å tegne læreridentiteter. I tillegg utarbeides det en videreutvikling av begrepet sosialiseringseffekt, som gjøres på bakgrunn av en teoretisk studie av identi¬tets¬begrepet. Videre berikes teoriutviklingen med de nyutdannede matematikk¬lærernes beskrivelser av sin yrkesdebut. Resultatene viser at sosialisering av nyutdannede matematikklære kan foregå gjennom skjulte og synlige praksisfellesskaper, og de rommer både lærer- og elevgrupper, i tillegg til samarbeidsgrupper i lærerutdanningens praksisperioder. Metaforen, den didaktiske kontrakt, har gjort det mulig å skildre elevers reaksjoner på en lærers klasseroms¬praksis, og har derfor bidratt til beskrivelser av læreres sosialisering inn i klasserommets praksisfellesskap. Videre belyses og utdypes det i undersøkelsen at sosialiseringsprosesser er et samspill mellom individets valg og situasjonens begrensende faktorer. Et situert læringssyn koordinerer kognitive og sosiale aspekter i identitetsbegrepet. For å kunne beskrive individers innvirkning på sosialiserings¬prosessen har det i tillegg vist seg hensiktsmessig å sette identitetsbegrepet i sammenheng med habitusteori.

Sammendrag Denne studien har undersøkt brøkoppgaver i lærebøker, som bygger på den nye læreplanen LK20. Hensikten med studien er å få innsikt i hvilke muligheter for arbeid med resonnering og bevis det legges til rette for i lærebøkene. I den nye læreplanen handler seks av ti kompetansemål på femte trinn om brøk. Forskningsspørsmålet jeg stiller i denne studien er: Hvilke muligheter for arbeid med resonnering og bevis er å finne blant oppgaver innen temaet brøk i fire ulike lærebøker for 5. trinn? Dette er en kvalitativ studie hvor brøkoppgavene i fire lærebøker er blitt undersøkt. Datamaterialet har blitt undersøkt ved bruk av innholdsanalyse. Studiens rammeverk baserer seg på rammeverkene til A. Stylianides (2016) og G. Stylianides (2009). Studiens rammeverk støtter seg til A. Stylianides` (2007b) definisjon av bevis i skolen. Studien viser hvordan rammeverkene, med noen modifikasjoner, kan identifisere hvilke muligheter for resonnering og bevis i ligger i oppgaver i lærebøker. Resultatene fra studien viser at det er få brøkoppgaver i lærebøkene, som gir muligheter for arbeid med resonnering og bevis. Samtidig så viser studien at blant de få oppgavene som har de kvalitetene, er det gode muligheter for å arbeide med resonnering og bevis. Nøkkelord: resonnering og bevis, argumentasjon, lærebøker og læreplan

Denne studien har undersøkt matematisk resonnering i barneskolen, der formålet har vært å bidra med kunnskap om hvordan elever på 7.trinn arbeider med og samarbeider om resonneringsaktiviteter i matematikk. Denne kunnskapen har lagt grunnlag for refleksjoner rundt hva matematisk resonnering kan bety og være i barneskolen, og hvilke utfordringer elevene møter. Studiens forskningsspørsmål er: Hva kjennetegner to elevgruppers deltakelse i en diskursiv aktivitet med matematisk resonnering? Studien har gjennom en kvalitativ tilnærming brukt deltakende observasjon som metode for datainnsamling. To elevgrupper på henholdsvis tre og fire elever har blitt observert i samarbeid om oppgaver knyttet til generalisert aritmetikk i hundrerkartet. Datainnsamlingen ble gjennomført som gruppediskusjoner, der deltakende observatør kun stilte spørsmål og fulgte opp elevutsagn. Datamaterialet ble analysert ved hjelp av tematisk analyse med induktiv tilnærming, og åpen koding. Analyseverktøyet består av tre ulike teoretiske rammeverk: en modell for matematisk resonnering i skolen, et analytisk rammeverk for argumenters struktur og et rammeverk for elevers deltakelse i en matematisk diskurs. Modellen som ble benyttet har grunnlag i en bred betydning av matematisk resonnering, og inkluderer både et prosessaspekt og et strukturaspekt. Resonneringsprosessene er eksemplifisering, generalisering, formulering av hypoteser, identifisering av mønster, sammenligning, klassifisering, begrunnelse, bevis og formelle bevis. Strukturaspektet inkluderer deduksjon, induksjon og abduksjon. Det analytiske rammeverket for argumenter strukturerer en sammenfatning av elevenes utsagn i resonneringsprosessen etter data, konklusjon, hjemmel og ryggdekning. Den overordnede rammen for studien tar utgangspunkt i et sosiokulturelt syn på læring som deltakelse, og det er elevenes deltakelse i en diskursiv aktivitet med matematisk resonnering som er analysert. Resultatene fra studien viser ulike kjennetegn på elevenes deltakelse i den diskursive aktiviteten med matematisk resonnering. Først og fremst framsatte elevene mange hypoteser, hvorav kun noen få ble begrunnet. Elevene hadde en utstrakt bruk av eksempler, der eksemplene støttet resonneringsprosessene sammenligning, generalisering, formulering av hypoteser og begrunnelser. I begge elevgruppene ble det gitt begrunnelser, i form av empiriske argument og forklaringer som kunne vært videre utarbeidet til generisk argument. Elevene deltok dessuten i det sosiale samspillet gjennom å inkludere hverandre, bekrefte og uttrykke uenighet. Resultatene fra studien indikerer at elevene ikke opplevde behov for å begrunne hypotesene sine og at de møtte på utfordringer i forsøket på å begrunne. De hadde en eksempelbruk som delvis var produktiv, og deres sosiale samspill bidro tilsynelatende til progresjon i deres matematiske diskusjoner. Resultatene viser at elevene kan delta i en diskursiv aktivitet med matematisk resonnering, og legger grunnlag for refleksjoner rundt didaktiske implikasjoner. This study has investigated mathematical reasoning in primary school, with the purpose of contributing to knowledge about how pupils in 7th grade work with and collaborate on reasoning activities in mathematics. This knowledge has provided a basis for reflections on what mathematical reasoning can be, as well as the meaning of it in primary school, and the challenges pupils experience in their work. The research question for this study is: What characterizes the participation of two groups of pupils in a discursive activity of mathematical reasoning? Through a qualitative approach, the study has used participant observation as a method for data collection. Two groups of pupils of three and four pupils, respectively, have been observed in collaboration on tasks related to generalized arithmetic in the hundreds chart. The data collection was conducted as group discussions, where the participating observer was restricted to ask questions and follow up pupils utterances. Data was analyzed using thematic analysis with an inductive approach and through open coding. The analysis tool consists of three theoretical frameworks: a model of mathematical reasoning for school mathematics, an analytic framework for the structure of arguments and a framework for pupils participation in a mathematical discourse. The model is built on a broad meaning of mathematical reasoning, including both a process aspect and a structural aspect. The reasoning processes are exemplifying, generalizing, conjecturing, identifying a pattern, comparing, classifying, justifying, proving and formal proving. The structural aspect includes deduction, induction and abduction. The analytic framework for the arguments structures a set of pupils statements from the reasoning processes by data, claim, warrant and backing. The main theoretical framework is based on a sociocultural perspective on learning as participation, and it is the pupils’ participation in a discursive activity with mathematical reasoning that has been analyzed. The results of the study show different characteristics of the pupils participation in the discursive activity of mathematical reasoning. First, the pupils formulated a lot of hypotheses, of which only a few were justified. The pupils had an extensive use of examples, where the examples supported the reasoning processes of comparing, generalizing, conjecturing and justifying. Both groups produced arguments, some empirical arguments and some explanations that had potential for being further developed into generic arguments. The pupils also participated in the social interaction by including each other, confirming and expressing disagreement. Results indicate that pupils saw no need to justify their hypotheses and that they encountered challenges in their attempts to justify. They had an example use that were partially productive, and their social interaction apparently contributed to progression in their mathematical discussions. The results show that pupils can participate in a discursive activity with mathematical reasoning, and provide a basis for reflections on didactical implications.

Denne studien har undersøkt elevers arbeid med å formulere og begrunne hypoteser. Hensikten har vært å få innsikt i elevers arbeid med resonnering og bevis ved avslutning av grunnskolen, som kilde til refleksjon over muligheter og utfordringer med arbeid med resonnering og bevis i skolen. Studiens forskningsspørsmål er: Hva kjennetegner en gruppe 10.-trinnelevers deltakelse i en matematisk diskurs av resonnering og bevis? Studien har benyttet kvalitative metoder med observasjon av to grupper, hver med tre elever, sitt arbeid med en oppgave om sammenhenger i multiplikasjon. Elevene arbeidet alene uten støtte, og fikk ikke undervisning rettet mot resonnering og bevis i forbindelse med studien. Datamaterialet ble analysert ved hjelp av induktiv analyse med åpen koding, en modell av matematisk resonnering, og et rammeverk for elevers deltagelse i en matematisk diskurs. Det overordnede teoretiske rammeverket tar utgangspunkt i et sosiokulturelt syn på læring som deltagelse, og det er elevenes felles deltagelse i små grupper som er analysert. Studien benyttet en modell som baserer seg på en vid definisjon av resonnering og bevis, som inkluderer et prosessaspekt og et strukturelt aspekt. Resonneringsprosessene er eksemplifisering, sammenligning, identifisering av et mønster, generalisering, formulering av en formodning, klassifisering, begrunnelse, formulering av et bevis og formulering av et formelt bevis. Det strukturelle aspektet inkluderer deduksjon, induksjon og abduksjon. Studien viser hvordan elever kan delta i arbeid med resonnering og bevis, noe som kan gi grunnlag for refleksjon om undervisningspraksis. Resultatene fra studien viser at elevene deltar i de fleste av resonneringsprosessene, både med formulering av hypoteser, og med begrunnelser og bevis. Studien viser også at elevene bruker eksempler som støtte i alle resonneringsprosessene, både for å formulere og revidere hypoteser, og i formulering av begrunnelser og bevis. Elevene uttrykker usikkerhet om hvordan de skal forklare, og de baserer seg på andres aksept og ikke på kriterier for bevis for å vurdere eget arbeid. Resultatene viser at elevene forsøker å forklare og vise hvorfor en påstand er sann på tre måter: ved gjentatt sammenligning av nye eksempler for å finne mulige sammenhenger, utregning ved hjelp av et numerisk eksempel, og et generisk bevis. Til tross for at elevene ved en anledning formulerer et bevis, indikerer studien at de har liten kjennskap til hvordan de kan forklare eller vise hvorfor en matematisk påstand er sann. Nøkkelord: matematisk resonnering, bevis, resonnering og bevis, kommognisjon, diskurs, læring som deltagelse. This study has looked at the participation of students in formulating and justifying hypotheses. The purpose has been to get insight in students’ work with reasoning and proof at the end of their ten years of compulsory education, as a source of reflection on possibilities and challenges with reasoning and proof in school mathematics. The research question is: What characterizes a group of year 10 students’ participation in a mathematical discourse of reasoning and proof? The study has used qualitative methods with observation of two groups, each with three students, working on a task about relations in multiplication. The students worked alone without support and was not given instruction on reasoning and proof in connection with the study. Data was analyzed using inductive analysis with open coding, a model of mathematical reasoning, and a framework for student participation in a mathematical discourse. The main theoretical framework is based on a sociocultural view of learning as participation, and it is the common participation of students in small groups that have been analyzed. The study used a model based on a wide definition of reasoning and proof, which includes a process aspect and a structural aspect. The reasoning processes are exemplifying, comparing, identifying a pattern, generalizing, conjecturing, classifying, justifying, proving and formal proving. The structural aspect includes deduction, induction and abduction. The study shows how students can participate in work on reasoning and proof, possibly leading to reflection about instruction practice. The results of the study show that students participate in most of the reasoning processes, both with formulation of hypotheses, and justification and proof. The study also shows that the students use examples as support in all reasoning processes, both in formulation and revision of hypotheses, and in justification and proof. The students express insecurity about how to explain, and they base assessment of their work on the acceptance of other people, not on criteria for proof. Results show that the students try to explain and show why a statement is true in three ways: repeated comparisons of new examples to find possible relations, calculations based on a numerical example, and a generic proof. Even though the students formulate a proof, the study indicates that they have little knowledge of how they can explain or show why a mathematical statement is true. Keywords: mathematical reasoning, proof, reasoning and proof, commognition, discourse, learning as participation.