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Neste trabalho, estudamos estruturas gradiente Einstein-type imersas em um espaço produto torcido de um intervalo I e uma variedade Riemanniana M, com função potencial h dada pela função altura. Primeiramente, obtivemos condições para que uma estrutura gradiente Einstein-type imersa no referido produto torcido seja mínima, totalmente umbílica ou totalmente geodésica. Al ́em disso, fornecemos resultados de trivialidade para a função potencial h e obtemos condições para que uma estrutura gradiente Einstein-type seja quasi-Einstein. Em seguida, caracterizamos as hiper-superfícies rotacionais possuindo uma estrutura gradiente Einstein-type em espaços produto com base real e fibra dada por um espaço forma. Estudamos também casos particulares de estruturas gradiente Einstein-type em espaços produto torcido, a saber, gradiente Ricci-harmônico solitons (GRHS). Neste caso, provamos resultados de trivialidade para as funções potencial e torção quando estas atingem um máximo ou mínimo. Finalmente, fornecemos uma família não-enumerável de exemplos geodesicamente completos não triviais de GRHS considerando a base e a fibra de um produto torcido conforme a um espaço semi-Euclidiano invariante sob a ação de um grupo de translação de codimensão um. In this work, we study gradient Einstein-type structures immersed in a warped product space of an interval I and a Riemannian manifold M, with a potential function h given by the height function. First, we obtained the necessary conditions for an Einstein-type gradient structure immersed in a warped product to be minimal, totally umbilic or totally geodesic. In addition, we provide triviality results for the potential function h. Next, we characterize the rotational hypersurfaces having a gradient Einstein-type structure in warped product, where the fiber is a space form. We also study particular cases of gradient Einstein-type structures in warped product spaces, namely, gradient Ricci-harmonic solitons (GRHS). In this case, we prove triviality results for the potential and warped functions when they reach a maximum or minimum. Finally, we provide a family non-enumerable of non-trivial geodesically complete examples of GRHS considering the base and fiber of a warped product conformal to a semi-Euclidean space invariant under the action of a translation group of codimension one. Outro

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2021. Baseado em [16] e [17], apresentamos nesta dissertação um estudo de classificação de quase solitons gradientes de Ricci e solitons gradientes de Yamabe. No primeiro caso, estudamos a classificação de quase solitons gradientes de Ricci do tipo $M = (\mathbb{R}^{n}, \Bar{g}) \times_{f} (F^{m}, g_{F})$, onde a base $\Bar{g} = \frac{1}{\varphi^{2}}g$ é invariante pela ação de um grupo de translação e a fibra $F$ é uma variedade semi-Riemanniana de Einstein. Em seguida, trabalhamos com a caracterização de quase solitons gradientes de Ricci conformemente \textit{flat} invariantes pela ação de um grupo de translação ou rotação. No segundo caso, apresentamos uma caracterização de solitons gradientes de Yamabe conformes a um espaço pseudo-Euclidiano $(\mathbb{R}^{n}, g)$, invariantes pela ação de um grupo de translação $(n 1)$-dimensiona Based on [16] and [17] we present in this dissertation a classification study of gradient Ricci almost solitons and gradient yamabe solitons. In the firt case, we studied the classification of gradient Ricci almost solitons of the type $M = (\mathbb{R}^{n}, \Bar{g}) \times_{f} (F^{m}, g_{F})$, where the base $\Bar{g} = \frac{1}{\varphi^{2}}g$ is invariant the action of a translation group and $F$ semi Riemannian Einstein fiber. Then, we work with the characterization of gradient Ricci almost solitons for a conformally \textit{flat} invariant by the actions of a translation group or rotation. In the second case, we present a characterization of gradient Yamabe solitons conformal to a pseudo-Euclidean space which is invariant under the action of an $(n-1)$-dimesional translation group

Esta tese trata de dois problemas distintos. A saber, estudamos (P1) Rigidez de espaços métricos que suportam a desigualdade de CKN; (P2) Solitons de Yamabe gradiente com estrutura de produto torcido B ×f F. Para o primeiro problema, provamos que os espaços métricos com medida que suportam a desigualdade de CKN tem crescimento de volume n-dimensional, isto ´e, existe uma constante universal C0 > 0 tal que, m(Bx(ρ)) ≥ C0ρn, ∀x ∈ M, ρ > 0. Como aplica¸c˜ao, obtemos Teoremas de Rigidez nos seguintes espa¸cos: Variedades Riemannianas, Variedades de Finsler e Espaços de Alexandrov. Para o segundo problema, considerando um soliton de Yamabe gradiente (B ×f F, g, h, ρ), obtemos resultados de trivializa¸c˜ao para h e f assumindo hipóteses sobre B. Al´em disso, sob uma hipótese envolvendo a curvatura de Ricci da base RicgB , provamos estimativas para h, f e para curvatura escalar scalg, ademais, no caso particular da função torção, apresentamos uma bela obstrução na construção dos solitons de Yamabe produto torcido. Por fim, utilizando as técnicas de soluções invariantes, classificamos os solitons de Yamabe gradientes com base conformemente plana steady que são invariantes pela ação do grupo de translações de codimensão 1. This thesis deals with two distinct problems. Namely, we study [(P1)] Rigidity of metric spaces that support CKN inequality; [(P2)] Gradient Yamabe solitons on top of warped product manifolds B x f F. For the first problem, we prove that the metric measure spaces that support the CKN inequality have n-dimensional volume growth, that is, there exists a universal constant C 0gt; 0 such that, m(B x (ρ)) ≥ C 0 ρ n , ∀x ∈ M, ρ gt; 0. As application, some rigidity theorems are obtained in the following spaces: Riemannian manifolds, Finsler manifolds and Alexandrov spaces. For the second problem, taking a gradient Yamabe soliton (B x f F, g, h, ρ), we obtain triviality results for h and f by means of some hypotheses on the base B. Furthermore, under a hypothesis involving the Ricci curvature of the base Ric gB , we prove estimates for h, f and for scalar curvature scal g , in addition, by means of a warping gradient estimates, we present a beautiful obstruction in the construction of gradient Yamabe solitons on warped product manifolds. Finally, by making use of invariant solution techniques, we classify all steady gradient Yamabe solitons with a conformally flat base that is invariant by the action of a codimension 1 translation group. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES

Neste trabalho, provamos que todas as métricas conformes ao espaço pseudo-Euclidiano ( , ), invariantes pela ação de um grupo de translação ( -1)-dimensional e rotação são gradiente quasi Ricci soliton. Provamos também que todas as métricas conformes a = ( , ̅) , invariante por translação e Ricci flat, são gradiente quasi Ricci solitons. Classificamos todas as variedades de Einstein do tipo = ( , ̅) , onde ̅ , invariantes pela ação do grupo de translação ( -1)-dimensional e Ricci flat com . Se é um gradiente Ricci soliton do tipo = ( , ̅) e a fibra é Ricci flat então é steady e exibimos todas as soluções. Finalmente provamos que se o produto torcido = ( , ̅) for um gradiente Ricci soliton com Ricci flat, e além disso, então é steady. In this work, we prove that all metrics conformal to the pseudo-Euclidean space ( , ), invariant under the action ( -1)-dimensional translation group and also invariants by a pseudo orthogonal group action are gradient Ricci almost solitons. We also prove that all metrics conformal to = ( , ̅) , invariant under the action ( -1)-dimensional translation group and Ricci flat are gradient Ricci almost soliton. We classify all Einstein manifolds of the type = ( , ̅) , where ̅ , invariant under the action ( -1)-dimensional translation group and Ricci flat with . If is gradiente Ricci soliton of type = ( , ̅) and the fiber is Ricci flat then is teady and we provide all such solutions. Finally we prove that if the warped product = ( , ̅) is a gradient Ricci soliton with Ricci flat, and further, then is steady Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Goiás - FAPEG

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) The aim of this dissertation is to show a demonstration of a fundamental theorem for existence of isometric immersions for hypersurfaces in a warped product space where the base is a interval and the fiber is a spatial form, both with semi-Riemannian metrics, and in addition to that, present an application of this theorem for horizons in a Robertson-Walker spacetime of dimension 4, both based on the work of Marie Am´elie Lawn and Miguel Ortega in [J. Geom. Phys. 90 (2015) 55-70]. Such a result, generalizes fundamental theorems for hypersurfaces obtained, by B. Daniel for Riemannian products in [Trans. Amer. Math. Soc. 361 (2009) 6255-6282], by Q. Chen and C.R. Xiang for Riemannian warped products in the case of fibers with zero sectional curvature in [Acta Math. Sinica. 26 (2010) 2269-2282]; and by J. Roht, in the case of Lorentzian products with Riemannian fibers in [Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 8 (2011) 1269-1290]. Also, based on the demonstration of local uniqueness of B. Daniel’s fundamental theorem, we prove that the isometric immersion obtained in Lawn and Ortega’s theorem, is unique up to a global isometry. O objetivo desta dissertação é exibir uma demonstração de um teorema fundamental de existência de imersões isométricas para hipersuperfícies num espaço produto torcido em que a base é um intervalo e a fibra é uma forma espacial, ambos com métricas semi-riemannianas, e além disso, apresentar uma aplicação deste teorema para horizontes num espaço-tempo de tipo Robertson-Walker de dimensão 4, ambas baseadas no trabalho de Marie Amélie Lawn e Miguel Ortega em [J. Geom. Phys. 90 (2015) 55-70]. Tal resultado, generaliza teoremas fundamentais para hipersuperfícies obtidos, por B. Daniel em 2009 para produtos Riemannianos em [Trans. Amer. Math. Soc. 361 (2009) 6255-6282], por Q. Chen e C.R. Xiang para produtos torcidos Riemannianos no caso que as fibras têm curvatura seccional zero em [Acta Math. Sinica. 26 (2010) 2269-2282]; e por J. Roht no caso de produtos Lorentzianos com fibras Riemannianas em [Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 8 (2011) 1269-1290]. Também, baseados na demonstração da parte da unicidade local do teorema fundamental de B. Daniel, provamos que a imersão isométrica obtida no teorema de Lawn e Ortega, é única a menos de uma isometria global.

Nesse trabalho, apresentaremos alguns conceitos de métricas quasi-Einstein. A partir disso, enunciaremos e demonstraremos resultados de rigidez para métricas quasi-Einstein, até que tenhamos material suficiente para a demonstração de um resultado de rigidez para métricas quasi-Einstein em dimensão dois. Por fim, daremos alguns conceitos de métricas kähler, provaremos um teorema e por fim demonstraremos um corolário que conecta o teorema principal do nosso trabalho com as métricas Kähler. In this work, we will present some concepts of quasi-Einstein metrics. From this, we will enunciate and demonstrate rigidity results for quasi-Einstein metrics until we have enough material to demonstrate a stiffness result for quasi-Einstein metrics of dimension two. Finally, we will give some concepts of Kähler metrics, prove a theorem and finally demonstrate a corollary that connects the main theorem of our work with Kähler metrics. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES

Este trabalho está baseado nos artigos [26] e [27], onde estudamos Variedades de Einstein e gradiente Ricci solitons com estrutura de produto torcido. Provamos que: se M é um produto torcido Einstein com curvatura escalar não positiva e base compacta, então a função torção é constante, ou seja, o produto torcido é Riemanniano. Mostramos ainda que o produto Riemanniano Rp ×F é um gradiente Ricci soliton se e somente se F for gradiente Ricci soliton. Em seguida, mostramos que se o produto torcido R×f F for gradiente Ricci soliton com f ′′(t) 6= 0, então F é Einstein. Usando estes resultados construímos exemplos de gradiente Ricci soliton não trivial com a fibra sendo Einstein ou gradiente Ricci soliton não trivial. Finalmente consideramos o produto torcido Lorentziano sendo gradiente Ricci soliton e obtivemos critérios análogos ao Riemanniano para que F seja Einstein ou gradiente Ricci soliton. This work is based on the articles [26] and [27], where we studied Einstein manifolds and gradient Ricci soliton with twisted product structure. As a result, we prove the following: if M is an Einstein warped product space with nonpositive scalar curvature and compact base, then M is a Riemannian product space. Besides, we show that the Riemannian product Rp×F is a gradient Ricci soliton if and only if F is Ricci soliton gradient. Then, we show that the warped product R×f B is gradient Ricci solitons with f ′′ 6= 0, therefore F is Einstein. By using these results, we build nontrivial examples of gradient Ricci soliton where the fiber is either an Einstein manifold or a nontrivial gradient Ricci soliton. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES

Nesta tese, primeiramente, estudamos variedades produto torcido semi-Riemannianas de Einstein, considerando-se o caso em que a base é conforme ao espaço pseudo- Euclidiano n -dimensional e invariante sob a ação de um grupo de translações (n1)-dimensional. Construímos novos exemplos de métricas produto torcido Einstein com curvatura de Ricci zero quando a fibra é Ricci -flat. Em particular, obtemos soluções explícitas, no caso de vácuo, para a equação de campo de Einstein. Em seguida, provamos que quando a variedade M = B f F é um Ricci soliton gradiente a função potencial depende apenas da base e a fibra F é necessariamente uma variedade de Einstein. Fornecemos todas as soluções, no caso de Ricci soliton gradiente steady, quando a base é conforme ao espaço pseudo- Euclidiano n -dimensional, invariante sob a ação de um grupo translações (n1) - dimensional, e a fibra F é Ricci -flat. In this thesis, primarily, we studied warped products semi-Riemannian Einstein manifolds. We considered the case in that the base is conformal to an n-dimensional pseudo- Euclidean space and invariant under the action of an (n 1)-dimensional translation group. We constructed new examples of Einstein warped products with zero Ricci curvature when the fiber is Ricci-flat. In particular, we obtain explicit solutions, in the case vacuum, for Einstein field equation. Furthermore, we consider M = B f F warped product gradient Ricci solitons. We proved that the potential function depends only on the base and the fiber F is necessarily Einstein manifold. We provide all such solutions in the case of steady gradient Ricci solitons when the base is conformal to an n-dimensional pseudo-Euclidean space, invariant under the action of an (n1)-dimensional translation group, and the fiber F is Ricci-flat. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES