Search

This thesis is dedicated to the study of differential inclusions involving normal cones of nonregular sets in Hilbert spaces. In particular, we are interested in the sweeping process and its variants. The sweeping process is a constrained differential inclusion involving normal cones which appears naturally in several applications such as elastoplasticity, electrical circuits, hysteresis, crowd motion, etc.This work is divided conceptually in three parts: Study of positively alpha-far sets, existence results for differential inclusions involving normal cones and characterizations of Lyapunov pairs for the sweeping process. In the first part (Chapter 2), we investigate the class of positively alpha-far sets. This class of nonregular sets is very general and includes convex, uniformly prox-regular and uniformly subsmooth sets, among others. It turns out that this class is the best suited to the study of differential inclusions involving normal cones.In the second part (Chapter 3 to the first part of Chapter 8), we provide several existence results for the sweeping process and its variants. In order to do that, we consider three approaches: The Catching-up algorithm, the Galerkin-like method and the Moreau-Yosida regularization. The first method is the most classic in the study of differential inclusions involving normal cones. We used it in the case where the set considered is fixed.The second method (Galerkin-like) consists in approximating the original problem by projecting the state into a finite-dimensional Hilbert space, but not the velocity. Approximate problems always have a solution and, under some compactness conditions, we prove that they converge strongly pointwisely (up to a subsequence) to a solution of the original differential inclusion. Moreover, it is shown that this method is well adapted to deal with differential inclusions involving normal cones, by providing general existence results for the generalized sweeping process. As a result, existence of solutions for the first order and second order sweeping process is obtained. Furthermore, this method is used to show existence of solutions of the perturbed sweeping process with nonlocal initial conditions.The third method is the Moreau-Yosida regularization technique which consists in approximating a given differential inclusion by a penalized one, depending on a positive parameter and then to pass to the limit when the parameter goes to zero. This method is used to deal with state-dependent sweeping processes governed by uniformly subsmooth sets.Finally, in the third part (Second part of Chapter 8 and Chapter 9), we give some characterizations of weak Lyapunov pairs and weak invariance for the perturbed sweeping process with uniformly subsmooth sets., Esta tesis está dedicada al estudio de inclusiones diferenciales con conos normales de conjuntos no regulares en espacios de Hilbert. En particular, nos interesa el proceso de arrastre y sus variantes. El proceso de arrastre es una inclusión diferencial restringida con conos normales que aparece naturalmente en varias aplicaciones tales como elastoplasticidad, histéresis, circuitos eléctricos, movimiento de multitudes, etc.Este trabajo está dividido conceptualmente en tres partes: Estudio de los conjuntos ''alpha-far'', existencia de soluciones para las inclusiones diferenciales con conos normales y caracterizaciones de los pares de Lyapunov para el proceso de arrastre en espacios de Hilbert separable.En la primera parte (Capítulo 2), investigamos la clase de conjuntos positivamente ''alpha-far''. Esta clase de conjuntos no regulares es muy general e incluye los conjuntos convexos, uniformemente prox-regulares y uniformemente sub-lisos, entre otros. Esta clase de conjuntos es la mejor adaptada al estudio de inclusiones diferenciales con conos normales.En la segunda parte (Capítulo 3 hasta la primera parte del Capítulo 8), se entregan varios resultados de existencia para el proceso de arrastre y sus variantes. Para ello, consideramos tres enfoques: el algoritmo de rectificación (Catching-up algorithm), el método de tipo Galerkin y la regularización de Moreau-Yosida. El primer método es el más clásico en el estudio de inclusiones diferenciales gobernadas por conos normales. Aquí es utilizado en el caso donde el conjunto considerado es fijo. El segundo método (de tipo Galerkin) consiste en aproximar el problema original proyectando el estado sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita, pero no la velocidad. Los problemas aproximados siempre tienen una solución y, bajo ciertas condiciones de compacidad, se demuestra que ellos convergen fuertemente (salvo subsucesión) a una solución de la inclusión diferencial original. Más aún, se muestra que este método está bien adaptado para tratar inclusiones diferenciales con conos normales, proporcionando resultados generales de existencia para el proceso de arrastre generalizado. En consecuencia, se obtiene la existencia de soluciones para el proceso de arrastre de primer y segundo orden. Adicionalmente, este método es utilizado para mostrar la existencia de soluciones del proceso de arrastre con condiciones iniciales no locales.El tercer método es la técnica de regularización de Moreau-Yosida que consiste en aproximar una inclusión diferencial por una penalizada, en función de un parámetro positivo, para luego pasar al límite cuando el parámetro tiende a cero. Este método es utilizado para tratar el proceso de arrastre dependiente del estado gobernado por conjuntos uniformemente sub-lisos.Finalmente, en la tercera parte (segunda parte del Capítulo 8 y Capítulo 9), se proporcionan algunas caracterizaciones de los pares de Lyapunov débiles y la invariancia débil para el proceso de arrastre perturbado con conjuntos uniformemente sub-lisos., Cette thèse est consacrée à l'étude des inclusions différentielles sur les espaces de Hilbert séparables avec des cônes normaux à des ensembles non réguliers. En particulier, nous nous sommes intéressés à l'étude des processus de rafle et de ses variantes. Le processus de rafle est une inclusion différentielle contrainte avec des cônes normaux qui apparaissent naturellement dans plusieurs applications telles que l'elastoplasticité, les circuits électriques, l'hystérésis, le mouvement de foule, etc.Ce travail est divisé conceptuellement en trois parties : Étude des ensembles positivement ''alpha-far'', existence de solutions pour les inclusions différentielles avec des cônes normaux et caractérisations des paires de Lyapunov pour le processus de rafle dans des espaces de Hilbert séparables.Dans la première partie (Chapitre 2), nous étudions la classe d'ensembles positivement ''alpha-far''. Cette classe d'ensembles non réguliers est très générale et comprend des ensembles convexes, uniformément prox-réguliers et uniformément sous-lisses, entre autres. Il se trouve que cette classe est la mieux adaptée à l'étude des inclusions différentielles avec des cônes normaux.Dans la deuxième partie (Chapitre 3 à la première partie du Chapitre 8), nous fournissons plusieurs résultats d'existence pour le processus de rafle et ses variantes. Pour cela, nous considérons trois approches : L'algorithme de rattrapage (Catching-up algorithm), la méthode de type Galerkin et la régularisation de Moreau-Yosida.La première méthode est la plus classique dans l'étude des inclusions différentiels gouvernées par des cônes normaux. On l'a utilisé dans le cas où l'ensemble considéré est fixe.La deuxième méthode (de type Galerkin) consiste à approcher le problème original en projetant l'état sur un espace de Hilbert de dimension finie, mais pas la vitesse. Les problèmes approchés ont toujours une solution et, sous certaines conditions de compacité, on montre qu'ils convergent fortement (via une sous-suite) vers une solution de l'inclusion différentielle initiale. En outre, on montre que cette méthode est bien adaptée pour traiter les inclusions différentielles avec des cônes normaux, en fournissant des résultats généraux d'existence pour le processus de rafle généralisé. En conséquence, l'existence de solutions pour le processus de rafle de premier ordre et de deuxième ordre est obtenue. En plus, cette méthode est utilisée pour montrer l'existence de solutions du processus de rafle perturbé avec des conditions initiales non locales.La troisième méthode est la technique de régularisation de Moreau-Yosida qui consiste à approcher une inclusion différentielle donnée par une pénalisée, en fonction d'un paramètre positif, puis passer à la limite lorsque le paramètre tend vers zéro. Cette méthode est utilisée pour traiter les processus de rafle dépendants de l'état régis par des ensembles uniformément sous-lisses.Finalement, dans la troisième partie (Deuxième partie du Chapitre 8 et Chapitre 9), on fournit des caractérisations des paires de Lyapunov faibles et l'invariance faible pour le processus de rafle perturbé avec des ensembles uniformément sous-lisses.

We are interested in modelling crowd motion in emergency evacuation. The aim of this thesis is to propose a mathematical model and a numerical method to handle contacts, in order to deal with local interactions between people and to describe the whole dynamics of the pedestrian traffic. We propose a microscopic model for crowd motion which rests on two principles. On the one hand, each individual has a spontaneous velocity that he would like to have in the absence of other people. On the other hand, the actual velocity must take into account congestion. By specifying the link between these two velocities, the evolution problem takes the form of a first order differential inclusion. Its well-posedness is proved with the help of results concerning sweeping processes by uniformly prox-regular sets. Then we present a numerical scheme and prove its convergence. In order to compute a specific spontaneous velocity (the one directed by the shortest path avoiding the obstacles), we present an object oriented programming to simulate the evacuation of any building consisting of several floors. To conclude, we describe other choices of spontaneous velocity (for example, by including individual strategies) and we present associated numerical results. These numerical simulations allow us to recover some characteristics of pedestrian traffic.; Nous nous intéressons à la modélisation des mouvements de foule causés par des situations d'évacuation d'urgence. L'objectif de cette thèse est de proposer un modèle mathématique et une méthode numérique de gestion des contacts, afin de traiter les interactions locales entre les personnes pour finalement mieux rendre compte de la dynamique globale du trafic piétonnier. Nous proposons un modèle microscopique de mouvements de foule reposant sur deux principes. D'une part, chaque personne a une vitesse souhaitée, celle qu'elle aurait en l'absence des autres. D'autre part, la vitesse réelle des individus prend en compte une certaine contrainte d'encombrement maximal. En précisant le lien entre ces deux vitesses, le problème d'évolution prend la forme d'une inclusion différentielle du premier ordre. Son caractère bien posé est démontré en utilisant des résultats sur les processus de rafle par des ensembles uniformément prox-réguliers. Ensuite, nous présentons un schéma numérique et démontrons sa convergence. Pour calculer une vitesse souhaitée particulière (celle dirigée par le plus court chemin évitant les obstacles), nous présentons une programmation orientée objet ayant pour but de simuler l'évacuation d'une structure de plusieurs étages présentant une géométrie quelconque. Nous finissons avec d'autres choix de vitesse souhaitée (par exemple, en ajoutant des stratégies individuelles) et présentons les résultats numériques associés. Ces simulations numériques permettent de retrouver certains phénomènes observés lors de déplacements piétonniers.