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Não recebi financiamento We started this work by reviewing an application of periodic quantum graph theory to model monolayer hexagonal materials with δ_a and δ_b parameters associated with the different types of atoms located in their vertices. We verified that materials of this nature have gaps in their spectral bands and express the size of this opening according to these parameters. In the Chapters 2 and 3, extend this modeling to equal bilayers, stacked in type AA and AA′, and in the Chapters 4, we studied heterostructures with two mixed layers and the “sandwich” hexagonal boron graphene-nitride: a single graphene sheet between two layers of hBN, and a single hBN sheet between two layers of graphene. In each of these configurations, we use the Schrödinger operator with its respective boundary conditions and we introduced a weak t_0 interaction parameter between the connections of different layers. We analyzed initially the dispersion relationship obtained in these models regarding the existence of conical or parabolic touches and confirmed, in rigorous models, known results in the physical literature, namely: hBN bilayers do not have Dirac cones, but, in AA stacking we identified the presence of parabolic touches. In the case of mixed bilayers, our study allows us to conclude that the inclusion of an hBN layer over a graphene layer can induce a gap in the graphene sheet and we express the width of this gap according to the parameters t_0 e δ_a. In the study of “sandwiches”, hBN-graphene-hBN and graphene-hBN-graphene, for certain particular values of the parameters, we found that the inclusion of a single graphene sheet between two sheets of hBN does not eliminate the gap of the hBN, but induces a reduction in the width of the spectral gap in an order of magnitude; by on the other hand, in the case graphene-hBN-graphene, the graphene cone at the origin prevails in this sandwich, but it also caused gaps in the other Dirac cones of the graphene. Such results can be justified by the fact that, in these heterostructures, carbon atoms have interacted with other inequivalent hBN, nitrogen, and boron atoms, causing a reduction or increase of the gaps. Finally, in the last chapter, we consider hexagonal quantum graphs and we adapt our proposal to include a magnetic field in the hBN sheet. We demonstrate that if the magnetic flux is constant in the hexagonal network and is a rational multiple of 2π, then there will be values of thisflux such that, for certain boundary conditions at the vertices (modeling the hBN), the conical touches in the operator scattering relation will cease to exist and we guarantee the existence of gaps. Iniciamos este trabalho revisando uma aplicação da teoria de grafos quânticos periódicos para modelar monocamada de materiais hexagonais com parâmetros δ_a e δ_b associados aos tipos de átomos distintos situados em seus vértices. Verificamos que materiais dessa natureza possuem lacunas em suas bandas espectrais e expressamos o tamanho dessa abertura em função desses parâmetros. Nos Capítulos 2 e 3, estendemos essa modelagem para bicamadas iguais, empilhadas no tipo AA e AA′, e no Capítulo 4, estudamos heteroestruturas com duas camadas mistas e os “sanduíche” grafeno-nitreto de boro hexagonal: folha de grafeno entre hBN, e hBN entre grafenos. Em cada uma dessas configurações, usamos o operador de Schrödinger com suas respectivas condições de contorno e introduzimos um parâmetro de interação fraca t_0 entre as conexões de diferentes camadas. Analisamos analiticamente a relação de dispersão obtida nesses modelos quanto à existência de toques cônicos ou parabólicos e confirmamos, em modelos rigorosos, resultados conhecidos na literatura física, a saber: bicamadas de hBN não possuem cones de Dirac, porém no empilhamento AA identificamos a presença de toques parabólicos. No caso de bicamadas mistas, nosso estudo permite concluir que a inclusão de uma camada de hBN sobre uma de grafeno pode induzir um gap na folha de grafeno e expressamos a largura desse gap em função dos parâmetros t_0, δ_a. No estudo dos “sanduíches”, hBN-grafeno-hBN e grafeno-hBN-grafeno, para certos valores particulares dos parâmetros, verificamos que a inclusão de uma folha de grafeno entre duas de hBN não elimina o gap do hBN, mas induz uma redução na largura da lacuna espectral em uma ordem de grandeza; por outro lado, no caso grafeno-hBN-grafeno, o cone do grafeno na origem prevalece neste sanduíche, porém também provocou lacunas nos outros cones de Dirac do grafeno. Tais resultados podem ser justificados pelo fato de que, nessas heteroestruturas, os átomos de carbono terem interagido com outros átomos inequivalentes de hBN, nitrogênio e boro, provocando redução ou aumento das lacunas. Por fim, no último capítulo, consideramos grafos quânticos hexagonais e adaptamos nossa proposta para incluir um campo magnético na folha de hBN. Demonstramos que se o fluxo magnético for constante na rede hexagonal e for múltiplo racional de 2π, então existirão valores desse fluxo de forma que, para certas condições de contorno nos vértices (modelando o hBN), os toques cônicos na relação de dispersão do operador deixarão de existir e garantimos a existência de lacunas.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) We find one parametrization of all self-adjoint extensions of the magnetic Schrödinger operator, in a quasi-convex domain with compact boundary, and magnetic potentials with low regularity. In this parametrization we use boundary-triples, which also gives a new characterization of all self-adjoint extensions of the Laplacian in quasi-convex domains. Then we discuss gauge transformations for such self-adjoint extensions and generalize, for all self-adjoint extensions, a characterization, due to Helffer, of the gauge equivalence of the Dirichlet magnetic operator with the Dirichlet Laplacian. The relation to the Aharonov-Bohm effect, including irregular solenoids, is also discussed. In particular, in case of (bounded) quasi-convex domains it is shown that if some extension is unitarily equivalent (through the multiplication by a smooth unit function) to a realization with zero magnetic potential, then the same occurs for all self-adjoint realizations Obteremos uma parametrização para as extensões auto-adjuntas do operador Schrödinger com potencial magnético, com componentes com pouca regularidade, defnido em um domínio quase-convexo com fronteira compacta. Esta parametrizações utiliza triplas de fronteira, o que em particular também permite uma nova caracterização das extensões auto-adjuntas do laplaciano em domínios quase-convexos. Em seguida, estudamos transformações de gauge para tais extensões e generalizamos, para todas as extensões auto-adjuntas, um critério de Helffer para equivalência unitária do operador de Schrödinger magnético com condição de Dirichlet e o laplaciano de Dirichlet. A relação com o efeito Aharonov-Bohm, incluindo solenóides irregulares, será discutida. Em particular, no caso dos domínios quase-convexos limitados, mostramos que se uma extensão qualquer é gauge equivalente a uma realização com potencial nulo, então o mesmo ocorre com todas as outras extensões. CAPES: 88882.426759/2019-01

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) We study the spectrum and the dynamical localization of some discrete quantum systems with uniform electric fields under suitable perturbations with exponential decay in the matrix elements. We consider three particular situations. (1) In the first situation, we study the discrete Schr¨odinger operator in one dimension under bounded perturbations. (2) We also consider the discrete 2D Schr¨odinger operator. (3) Finally we study the 2D case under time periodic perturbation. The proofs are based on the KAM technique. Estudamos o espectro e a localização dinâmica de alguns sistemas quânticos discretos, com campo elétrico uniforme, sob perturbações adequadas com decaimento exponencial nos elementos de matriz. Consideramos três situações particulares. (1) Na primeira situação, estudamos o correspondente operador de Schrödinger em 1D e perturbações limitadas. (2) Consideramos também o operador de Schrödinger discreto 2D com campo elétrico e perturbações com uma norma adequada. (3) Finalmente estudamos a condição SULE para o operador com dependência temporal periódica. Em todas as situações, as demonstrações são baseadas na técnica KAM.

Não recebi financiamento In this work we explain an elegant and accessible proof of the Fundamental Theorem of Algebra using the Lagrange Multipliers method. We believe this will be a valuable resource not only to Mathematics students, but also to students in related areas, as the Lagrange Multipliers method that lies at the heart of the proof is widely taught. Neste trabalho expomos uma demonstração acessível e elegante do Teorema Fundamental da Álgebra utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. Acreditamos que este trabalho seria uma fonte valiosa não são para estudantes de Matemática, mas também para estudantes de áreas relacionadas, uma vez que o método dos multiplicadores de Lagrange é amplamente ensinado em cursos de exatas.

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) We study the Aharonov-Bohm effect model by adding a scalar potential in the initial Hamiltonian. Using known techniques of quantum confinement, we show that under certain conditions of divergence on this potential, the family of self-adjoint extensions is reduced to a single operator, which would then be the Schrödinger operator for this situation. The lack of boundary conditions to define this operator is interpreted as no particle interaction with the boundary of the solenoid. We checked the possible manifestation of the Aharonov-Bohm effect in this model without interaction with the solenoid border by studying the dependence of the first eigenvalue associated with the Schrödinger operator with respect to a parameter directly related to the magnetic flux by the solenoid. We have shown that this dependence is non-trivial and periodic, which strictly confirms the Aharonov-Bohm effect for this situation. We also study some particular cases whose explicit solution can be achieved, the solenoid with zero radius in a limited and unlimited region of the plane. Estudamos o modelo de efeito Aharonov-Bohm adicionando um potencial escalar no Hamiltoniano inicial. Usando técnicas conhecidas de confinamento quântico, demonstramos que, sob certas condições de divergência sobre este potencial, a família das extensões autoadjuntas se reduz a um único operador, o qual seria então o operador de Schrödinger para esta situação. A falta de condições de fronteira para a definição deste operador é interpretada como não interação da partícula com a fronteira do solenoide. Verificamos a possível manifestação do efeito de Aharonov-Bohm neste modelo sem contato com a fronteira do solenóide estudando a dependência do primeiro autovalor associado ao operador de Schrödinger com relação a um parâmetro diretamente relacionado ao fluxo magnético pelo solenóide. Demonstramos que esta dependência é não trivial e periódica, o que confirma rigorosamente o efeito de Aharonov-Bohm para este modelo. Estudamos também alguns caso particulares cuja resolução explícita pode ser obtida, como o solenóide com raio nulo numa região limitada e ilimitada do plano. FAPESP: 2012/21480-8

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) We present a study of rank-one perturbations of self-adjoint and unitary operators, in particular related to the so-called Kotani’s trick. In Chapter 2 we recall relevant definitions and elementary facts. In Chapter 3 we present recent results by Marx, which involve self-adjoint operators and Hausdorff measures. A generalization of such results to the set of unitary operators is described in Chapter 4. Apresentaremos um estudo realizados sobre pertubações de posto 1 de operadores auto-adjuntos e unitários, particularmente relacionados ao chamado truque de Kotani. O Capítulo 2 consiste na exposição de definições elementares e fatos básicos que serão utilizados nos outros capítulos. O Capítulo 3 consiste na exposição de um estudo feito de um artigo recente de Marx sobre o tema, envolvendo operadores autoadjuntos e medidas de Hausdorff. Uma generalização dos resultados obtidos no artigo já mencionado para o contexto de operadores unitários é discutida no Capítulo 4.

Financiadora de Estudos e Projetos First we briefly discuss the spectral properties of the Robin Laplacian in a straight and infinitely long planar strip with Robin coupling parameter changing signs. Assuming that such parameter is a constant outside a compact set, we find the essential spectrum, and also derive a sufficient condition that guarantees the existence of bound states. Next, we have studied the Laplacian in some thin curved domains in the plane and space, with a particular type of Robin boundary conditions and cross-sections; such conditions are nonhomogeneous, in the sense that the Robin coupling parameter depends on the curvature of the reference curve. We derive, when the diameter of the cross sections tends to zero, effective operators by means of a kind of convergence of the resolvents. With such modeling framework, the main novelties are that the curvature contributes with a repulsive potential whereas the torsion (in the spatial case) plays no role to effective operators. Iniciamos com uma breve análise das propriedades espectrais do laplaciano de Robin em uma faixa reta infinita, com parâmetro de acoplamento de Robin mudando de sinal. Assumindo que tal parâmetro é uma constante fora de um compacto, encontramos o espectro essencial, e também derivamos uma condição suficiente que garante a existência de estados ligados. Em seguida, temos nos dedicado a estudar o laplaciano em alguns domínios finos e encurvados no plano e no espaço, com um tipo particular de condições de contorno de Robin e de seções transversais; tais condições são não homogêneas, no sentido de que o parâmetro de acoplamento de Robin depende da curvatura da curva de referência. Obtivemos, quando o diâmetro das seções transversais tendem a zero, operadores efetivos por meio de um tipo de convergência em norma dos resolventes. Com essa estrutura de modelagem, as principais novidades são que a curvatura contribui com um potencial repulsivo enquanto a torção (no caso espacial) não desempenha nenhum papel para os operadores efetivos.

Financiadora de Estudos e Projetos In this work we approach the nonrelativistic quantum mechanics from the point of view of mathematical physics; we present estimates of some dynamical quantities that are used to describe the return probability to the initial state. Such estimates are related to Hausdorff and packing dimensions of the relevant spectral measures. After defining such dimensions we discuss some tools to characterize the quantum dynamics of a particle in one dimension. Then we summarize some standard facts from the literature and the quantities we are interested in. Finally, as an application, estimates of some dynamical quantities based on concepts from statistical mechanics are presented. Na abordagem da mecânica quântica não-relativística e do ponto de vista da física matemática, neste trabalho apresentamos estimativas de quantidades que descrevem o crescimento de magnitudes físicas que caracterizam a evolução temporal de um sistema quântico, tal como o momento associado a probabilidade de retorno. Estas estimativas envolvem as dimensões de Hausdorff e de empacotamento da medida espectral associada ao grupo unitário que descreve a evolução temporal de um sistema. Em primeiro lugar, introduzimos as medidas de Hausdorff e empacotamento de uma medida. A continuacão, definimos as ferramentas que nos permitirão caracterizar matematicamente a dinâmica de uma partícula em uma dimensão. Em seguida apresentamos um resumo que inclui resultados da teoria de operadores auto-adjuntos e grupos unitários de evolução, tais como o teorema espectral e o teorema de Stone, os quais serão relevantes em nosso estudo. Após isso, apresentamos as quantidades que desejamos estimar e suas estimativas. Finalmente, o leitor encontrará uma aplicação destas estimativas, que consiste na estimativa de quantidades definidas a partir de conceitos da mecânica estatística.

Universidade Federal de Minas Gerais One of the biggest problem in the mathematical modeling of the Aharonov- Bohm Effect is the interaction between the electron and the solenoid border. Such interaction translates into boundary conditions on that border, which causes great ambiguity because in principle it is not clear what the most appropriate choice. In quantum mechanics this conditions represent self-adjoint extensions of the Schrödinger operator of the problem. On the other hand, recent works has demostrated that it is possible to confine quantum particles in certain regions of Rn with magnetic fields sufficientily intense near the border of that region. Mathematically this corresponds to essentially selfadjoint Schrödinger operators, which means exemption from the particle interation with the solenoid border In this work we intend to combine the two situations mentions above to study the Aharonov-Bohm effect in the plane, adding then external magnetic fields and potentials that are suffiently intense in the solenoid border so that the related Schrödinger operator is essentially self-adjoint. Um dos grandes problemas na modelagem matemática do efeito Aharonov- Bohm é a interação do elétron com a fronteira do solenóide. Tal interação se traduz em condições de contorno nessa fronteira, o que causa grande ambiguidade, pois em princípio não é clara qual a escolha mais adequada. Em mecânica quântica essas condições de fronteira se traduzem em extensões auto-adjuntas do operador de Schrödinger do problema. Por outro lado, trabalhos recentes têm demonstrado que é possível confinar partículas quânticas a regiões determinadas de Rn com o uso de campos magnéticos suficientemente intensos nas fronteiras dessas regiões. Matematicamente isso corresponde a operadores de Schrödinger essencialmente auto-adjuntos, o que significa a isenção de interação da partícula com a fronteira. Neste trabalho pretendemos combinar as duas situações mencionadas acima para estudar o efeito Aharonov-Bohm no plano, adicionando então campos magnéticos e potenciais externos que sejam suficientemente intensos na fronteira do solenóide de modo que o operador de Schrödinger associado seja essencialmente auto-adjunto.

Financiadora de Estudos e Projetos In this work we study dimensional reductions in some quantum systems; such reductions occur due to confinement of the particle from a tube in space to a curve. Our main goal is to find the effective hamiltonian operator that describes the motion of the particle after confinement. We consider three particular situations. (1) In the first situation, we study an infinitely long tube generated by a curve with non-trivial torsion and curvature. Here the tube cross sections always have the same diameter. (2) We also study tubes in space deformed in a specific way, i.e., the diameter of the cross sections have a unique global maximum. Such tubes also have non-trivial torsion and curvature. (3) Finally, we analyze the question of which self-adjoint extension of the one-dimensional hydrogen atom would be physically relevant. We consider such atom in a three-dimensional tube and take the limit as the tube converges to the x axis, and it is shown that the Dirichlet (at the origin) extension is always obtained after such confinement. Neste trabalho estudamos reduções de dimensões em alguns sistemas quânticos; tais reduções ocorrem devido ao confinamento do movimento de partículas, inicialmente em tubos no espaço, a curvas. Nosso principal objetivo é encontrar o operador efetivo que descreve o movimento da partícula após o confinamento. (1) Na primeira situação estudamos um tubo infinito gerado por uma curva com torção e curvaturas não-triviais. Aqui as seções transversais possuem sempre o mesmo diâmetro. (2) Estudamos também tubos no espaço deformados de uma forma específica, ou seja, o diâmetro das seções transversais possui um único máximo global. Tais tubos também apresentam curvatura e torção não-triviais. (3) Finalmente analisamos a questão de qual extensão auto-adjunta do átomo de hidrogênio unidimensional seria fisicamente relevante. Consideramos tal átomo num tubo tridimensional e estudamos o limite de quando o tubo converge ao eixo-x, e isso mostrou que a extensão de Dirichlet foi sempre obtida após o confinamento.

Financiadora de Estudos e Projetos In this work we study the Hamiltonian of the hydrogen atom in 1, 2 and 3 dimensions. Especifically, it is defined as a self-adjoint operator in the Hilbert space L2(Rn), n = 1, 2, 3. Nevertheless, the main goal is to study the hydrogen atom 1-D. Particularly, for this is model we address some problens related to the singularity of the Coulomb potential. Neste trabalho vamos estudar o Hamiltoniano do átomo de hidrogênio em 1, 2 e 3 dimensões. Especificamente, queremos defini-lo como um operador auto-adjunto no espaço de Hilbert L2(Rn), n = 1, 2, 3. No entanto, o principal objetivo é estudar o átomo de hidrogênio 1-D. Em particular, para este modelo, abordaremos algumas questões relacionadas à singularidade do potencial de Coulomb −1/|x|.

Financiadora de Estudos e Projetos We study if a time-dependent system is either dynamically stable or unstable, i.e., if the expected value of a positive and discrete observable is a bounded function of time or not. Initially we consider topological properties of the orbits of the states of the system and how these properties are related to dynamical stability. In the case of periodic time dependence, we present a formula that allows one to decide about stability from the behavior of the matrix elements of the resolvent associated with the Floquet operator. Finally, we give an example of Floquet operator with purely point spectrum and exponentially decaying eigenfunctions and dynamical instability. Estudamos se um sistema dependente do tempo ´e dinamicamente est´avel ou inst´avel, i.e., se o valor esperado de um observ´avel positivo e discreto ´e uma fun¸c ao limitada do tempo ou n ao. Inicialmente consideramos propriedades topol´ogicas das ´orbitas dos estados do sistema e como estas propriedades se relacionam com a estabilidade din amica. No caso de depend encia temporal peri´odica apresentamos uma f´ormula que permite decidir sobre a estabilidade conhecendo o comportamento dos elementos de matriz do resolvente do operador de Floquet em rela¸c ao a uma determinada base do espa¸co de Hilbert. Finalmente, apresentamos um exemplo de operador de Floquet com espectro pontual puro e autofun¸c oes decaindo exponencialmente cujo sistema ´e dinamicamente inst´avel.