Search

We study the Poincaré boundary-value problem with measurable in terms of the logarithmic capacity boundary data for semilinear Poisson equations defined either in the unit disk or in Jordan domains with quasihyperbolic boundary condition. The solvability theorems as well as their applications to some semilinear equations, modelling diffusion with absorption, plasma states and stationary burning, are given. Крайова задача Гільберта належить до найважливіших з огляду на її численні застосування, зокрема, до крайових задач Діріхле, Пуанкаре та Неймана в гідромеханіці. Перший підхід до її розв’язання був запропонований самим Гільбертом і заснований на теорії сингулярних інтегральних рівнянь. На цьому шляху доведено існування її розв’язків для неперервних за Гельдером граничних даних. Лузін уперше встановив існування розв’язків задачі Діріхле при довільних вимірних даних для гармонічних функцій в одиничному крузі в термінах кутових (недотичних) границь м. в. на одиничному колі. Раніше нами були сформульовані теореми існування розв’язків крайової задачі Гільберта при довільних вимірних даних для узагальнених гармонічних функцій з джерелами. Знайдені розв’язки не були класичними, оскільки наш підхід ґрунтувався на інтерпретації граничних значень у сенсі кутових (недотичних) границь, що стало традиційним інструментом геометричної теорії функцій, але не PDE. Представлена стаття містить аналогічні теореми існування розв’язків задачі Пуанкаре про похідні за напрямками на межі і, зокрема, задачі Неймана при довільних граничних даних вимірних відносно логарифмічної ємності уздовж недотичних шляхів для напівлінійних рівнянь Пуассона. Наведено застосування цих результатів до деяких напівлінійних рівнянь математичної фізики, що моделюють різні фізичні процеси, такі як дифузія з абсорбцією, процес стаціонарного горіння та стани плазми.

We prove the existence of solutions for the Hilbert boundary-value problem with arbitrary measurable data for the nonlinear equations of the Vekua’s type ∂Z̅̄f(z) = h(z)q(f(z)). The found solutions differ from the classical ones, because our approach is based on the notion of boundary values in the sense of angular limits along nontangential paths. The results obtained can be applied to the establishment of existence theorems for the Poincaré and Neumann boundary-value problems for the nonlinear Poisson equations of the form ΔU(z) = H(z)Q(U (z )) with arbitrary measurable boundary data with respect to the logarithmic capacity. They can be also applied to the study of some semilinear equations of mathematical physics modeling such processes as the diffusion with absorption, plasma states, stationary burning etc. in anisotropic and inhomogeneous media. Дана робота містить теореми існування розв’язків граничної задачі Гільберта з довільними вимірними даними для відповідних нелінійних рівнянь типу Векуа ∂Z̅̄f(z) = h(z)q(f(z)). Знайдені розв’язки не є класичними, оскільки наш підхід базується на інтерпретації граничних значень у сенсі кутових (вздовж недотичних шляхів) границь, що є традиційним інструментом геометричної теорії функцій, але не рівнянь у частинних похідних. Одержані результати можуть бути застосовані до встановлення теорем існування для граничної задачі Пуанкаре і, зокрема, для задачі Неймана для нелінійних рівнянь Пуасона виду ΔU(z) = H(z)Q(U(z)) з довільними вимірними даними відносно логарифмічної ємності. Таким чином, вони можуть буть застосовані також до напівлінійних рівнянь математичної фізики під час моделювання різних фізичних процесів, таких як дифузія з абсорбцією, стани плазми, стаціонарне горіння і т. д. в анізотропних і неоднорідних середовищах. Останнє буде змістом наших подальших статей.

The study of the Dirichlet problem with arbitrary measurable data for harmonic functions in the unit disk D goes to the known dissertation of Luzin. His result was formulated in terms of angular limits (along nontangent paths) that are a traditional tool for the research of the boundary behavior in the geometric function theory. With a view to further developments of the theory of boundary-value problems for semilinear equations, the present paper is devoted to the Dirichlet problem with arbitrary measurable (over logarithmic capacity) boundary data for quasilinear Poisson equations in such Jordan domains. For this purpose, it is firstly constructed completely continuous operators generating nonclassical solutions of the Dirichlet boundary-value problem with arbitrary measurable data for the Poisson equations ΔU =G over the sources G ∈Lᵖ , p >1. The latter makes it possible to apply the Leray— Schauder approach to the proof of theorems on the existence of regular nonclassical solutions of the measurable Dirichlet problem for quasilinear Poisson equations of the form ΔU (z ) =H (z )⋅Q(U (z )) for multipliers H ∈Lᵖ with p >1 and continuous functions Q :ℝ→ℝ with Q(t ) /t →0 as t →∞. These results can be applied to some specific quasilinear equations of mathematical physics, arising under a modeling of various physical processes such as the diffusion with absorption, plasma states, stationary burning, etc. These results can be also applied to semilinear equations of mathematical physics in anisotropic and inhomogeneous media. Вивчення задачі Діріхле з довільними вимірними даними для гармонічних функцій в одиничному колі D сходить до відомої дисертації Лузіна. Його результат був сформульований у термінах кутових границь (уздовж недотичних шляхів), які є традиційним інструментом для дослідження граничної поведінки відображень у геометричній теорії функцій. Слідуючи цим шляхом, раніше ми довели теорему про розв’язність задачі Діріхле для рівнянь Пуассона ΔU =G з джерелами в класах G ∈Lᵖ , p >1, в жорданових областях з довільними граничними даними, вимірними відносно логарифмічної ємності. При цьому передбачалося, що області задовольняють квазігіперболічну граничну умову Герінга—Мартіо, взагалі кажучи, без відомої (А)-умови Ладиженської—Уральцевої і, зокрема, без умови зовнішнього конуса, які були стандартними для крайових задач в теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних. Відзначимо, що такі жорданові області можуть бути навіть локально неспрямлюваними. З метою подальшого розвитку теорії крайових задач для напівлінійних рівнянь у роботі досліджується задача Діріхле з довільними вимірними (відносно логарифмічної ємності) граничними даними для квазілінійних рівнянь Пуассона в таких областях. Для цього спочатку будуються повністю неперервні оператори, які породжують некласичні розв’язки крайової задачі Діріхле з довільними вимірними даними для рівнянь Пуассона ΔU =G з джерелами G ∈Lᵖ , p >1. Останнє дає змогу застосувати підхід Лере—Шаудера до доведення теорем про існування регулярних некласичних розв’язків вимірної задачі Діріхле для квазілінійних рівнянь Пуаcсона виду ΔU (z ) =H (z )⋅Q(U (z )) для множників H ∈Lp з p >1 і неперервних функцій Q : ℝ→ℝ з Q(t ) /t →0 для t →∞ . Ці результати можуть бути застосовані до деяких конкретних квазілінійних рівнянь математичної фізики, що виникають під час моделювання різних фізичних процесів, таких як дифузія з абсорбцією, стани плазми, стаціонарне горіння і т .д., а також до напівлінійних рівнянь математичної фізики в анізотропних і неоднорідних середовищах.

The study of the Dirichlet problem with arbitrary measurable data for harmonic functions in the unit disk 𝔻 is due to the dissertation of Luzin. Later on, the known monograph of Vekua was devoted to boundary-value problems only with Holder continuous data for generalized analytic functions, i.e., continuous complex-valued functions f(z) of the complex variable z = x + iy with generalized first partial derivatives by Sobolev satisfying equations of the form $$ {\partial}_{\overline{z}}f+ af+b\overline{f}=c, $$ where the complexvalued functions a; b, and c are assumed to belong to the class Lp with some p > 2 in smooth enough domains D in ℂ. Our last paper [12] contained theorems on the existence of nonclassical solutions of the Hilbert boundaryvalue problem with arbitrary measurable data (with respect to logarithmic capacity) for generalized analytic functions f : D → ℂ such that $$ {\partial}_{\overline{z}}f=g $$ with the real-valued sources. On this basis, the corresponding existence theorems were established for the Poincare problem on directional derivatives and, in particular, for the Neumann problem to the Poisson equations △U = G ∈ Lp; p > 2, with arbitrary measurable boundary data over logarithmic capacity. The present paper is a natural continuation of the article [12] and includes, in particular, theorems on the existence of solutions for the Hilbert boundary-value problem with arbitrary measurable data for the corresponding nonlinear equations of the Vekua type $$ {\partial}_{\overline{z}}f(z)=h(z)q\left(f(z)\right). $$ On this basis, existence theorems were also established for the Poincar´e boundary-value problem and, in particular, for the Neumann problem for the nonlinear Poisson equations of the form △U(z) = H(z)Q(U(z)) with arbitrary measurable boundary data over logarithmic capacity. The Dirichlet problem was investigated by us for the given equations, too. Our approach is based on the interpretation of boundary values in the sense of angular (along nontangential paths) limits that are a conventional tool of the geometric function theory. As consequences, we give applications to some concrete semi-linear equations of mathematical physics arising from modelling various physical processes. Those results can also be applied to semi-linear equations of mathematical physics in anisotropic and inhomogeneous media.

The study of the Dirichlet problem in the unit disk 𝔻 with arbitrary measurable data for harmonic functions is due to the famous dissertation of Luzin [31]. Later on, the known monograph of Vekua [48] has been devoted to boundary-value problems (only with Holder continuous data) for the generalized analytic functions, i.e., continuous complex valued functions h(z) of the complex variable z = x + iy with generalized first partial derivatives by Sobolev satisfying equations of the form 𝜕zh + ah + b $$ \overline{h} $$ = c ; where it was assumed that the complex valued functions a; b and c belong to the class Lp with some p > 2 in smooth enough domains D in ℂ. The present paper is a natural continuation of our previous articles on the Riemann, Hilbert, Dirichlet, Poincar´e and, in particular, Neumann boundary-value problems for quasiconformal, analytic, harmonic, and the so-called A−harmonic functions with boundary data that are measurable with respect to logarithmic capacity. Here, we extend the corresponding results to the generalized analytic functions h : D → ℂ with the sources g : 𝜕zh = g ∈ Lp, p > 2 , and to generalized harmonic functions U with sources G : △U = G ∈ Lp, p > 2. This paper contains various theorems on the existence of nonclassical solutions of the Riemann and Hilbert boundary-value problems with arbitrary measurable (with respect to logarithmic capacity) data for generalized analytic functions with sources. Our approach is based on the geometric (theoretic-functional) interpretation of boundary-values in comparison with the classical operator approach in PDE. On this basis, it is established the corresponding existence theorems for the Poincar´e problem on directional derivatives and, in particular, for the Neumann problem to the Poisson equations △U = G with arbitrary boundary data that are measurable with respect to logarithmic capacity. These results can be also applied to semilinear equations of mathematical physics in anisotropic and inhomogeneous media.

We establish constructive conditions for the solvability of a nonlinear autonomous boundary-value problem in the presence of parametric resonance and develop a scheme for the construction of solutions of this problem. We propose a convergent iterative algorithm for finding approximate solutions of the nonlinear autonomous Noetherian boundary-value problem for a system of ordinary differential equations in the case of parametric resonance. As an example of application of the constructed iterative algorithm, we determine approximate solutions of the periodic boundary-value problem for the autonomous Duffing-type equation with parametric perturbation.

For a matrix differential-algebraic boundary-value problem, we establish the conditions of existence and the structure of the best (in a sense of the least-squares method) pseudosolution of this matrix differentialalgebraic boundary-value problem.

The necessary and sufficient conditions of solvability of nonlinear differential-algebraic boundary-value problems and a convergent iterative scheme of construction of approximations to their solutions are found. An improved classification of the solutions of such problems is given.

We present a new approach to the study of semilinear equations of the form div[A(z)▽u]=f(u), the diffusion term of which is the divergence uniform elliptic operator with measurable matrix functions A(z), whereas its reaction term f(u) is a continuous non-linear function. We establish a theorem on the existence of weak C(Ḋ)∩W¹′²loc(D) solutions of the Dirichlet problem with arbitrary continuous boundary data in any bounded domains D without degenerate boundary components and give applications to equations of mathematical physics in anisotropic media. Запропоновано новий підхід до вивчення напівлінійних рівнянь виду div[A(z)∇u]=f(u), дифузний член яких є дивергентним рівномірно еліптичним оператором з вимірними матричними функціями A(z), тоді як його реакційний член f(u) є неперервною нелінійної функцією. Доведено теорему про існування слабких C(Ḋ)∩W¹′²loc(D) розв'язків задачі Діріхле з довільними неперервними граничними даними в довільних обмежених областях D без вироджених граничних компонент і дано застосування до рівнянь математичної фізики в анізотропних середовищах. Предложен новый подход к изучению полулинейных уравнений вида div[A(z)∇u]=f(u) , диффузионный член которых является дивергентным равномерно эллиптическим оператором с измеримыми матричными функциями A(z) , тогда как его реакционный член f(u) является непрерывной нелинейной функцией. Доказана теорема о существовании слабых C(Ḋ)∩W¹′²loc(D) решений задачи Дирихле с произвольными непрерывными граничными данными в любых ограниченных областях D без вырожденных граничных компонент и даны приложения к уравнениям математической физики в анизотропных средах.

The present paper is a natural continuation of our last articles on the Riemann, Hilbert, Dirichlet, Poincaré, and, in particular, Neumann boundary-value problems for quasiconformal, analytic, harmonic functions and the so-called A-harmonic functions with arbitrary boundary data that are measurable with respect to the logarithmic capacity. Here, we extend the corresponding results to generalized analytic functions h : D→C with sources g:∂žh = g∈Lᵖ, p > 2, and to generalized harmonic functions U with sources G : ΔU=G∈Lᵖ, p > 2. Our approach is based on the geometric (functional-theoretic) interpretation of boundary values in comparison with the classical operator approach in PDE. Here, we will establish the corresponding existence theorems for the Poincaré problem on directional derivatives and, in particular, for the Neumann problem to the Poisson equations ΔU=G with arbitrary boundary data that are measurable with respect to the logarithmic capacity. A few mixed boundary-value problems are considered as well. These results can be also applied to semilinear equations of mathematical physics in anisotropic and inhomogeneous media. Робота є продовженням досліджень крайових задач Рімана, Гільберта, Діріхле, Пуанкаре і, зокрема, Неймана, для квазіконформних, аналітичних, гармонічних і так званих A-гармонічних функцій із довільними граничними даними, які є вимірюваними відносно логарифмічної ємності. Тут відповідні результати поширено на узагальнені аналітичні функції h : D→C з джерелом : g:∂žh = g∈Lᵖ, p > 2 , і на узагальнені гармонічні функції U з джерелом G ΔU=G∈Lᵖ, p > 2. Даний підхід заснований на геометричній (теоретико-функціональній) інтерпретації крайових задач у порівнянні з класичним операторним під ходом у теорії РЧП. Встановлені відповідні теореми існування для задачі Пуанкаре для похідної за напрямком і, зокрема, для задачі Неймана для рівняння Пуассона ΔU=G з довільними граничними даним и, що є вимірюваними відносно логарифмічної ємності. Також розглянуто декілька змішаних граничних задач. Ці результати можуть буть також застосовані до напівлінійних рівнянь математичної фізики в анізотропних та неоднорідних середовищах.

The study of the Dirichlet problem with arbitrary measurable boundary data for harmonic functions in the unit disk is due to the famous Luzin dissertation. Later on, the known monograph of Vekua was devoted to boundary-value problems for generalized analytic functions, but only with Hölder continuous boundary data. The present paper contains theorems on the existence of nonclassical solutions of Riemann and Hilbert problems for generalized analy tic functions with sources whose boundary data are measurable with respect to the logarithmic capacity. Our ap proach is based on the geometric interpretation of boundary values in comparison with the classical operator approach in PDE. On this basis, one can derive the corresponding existence theorems for the Poincaré problem on directional derivatives to the Poisson equations and, in particular, for the Neumann problem with arbitrary boundary data that are measurable with respect to the logarithmic capacity. These results can be also applied to semilinear equations of mathematical physics in anisotropic inhomogeneous media. Вивчення задачі Діріхле з довільними вимірюваними граничними даними для гармонічних функцій в одиничному крузі має витоки з відомої дисертації Лузіна. Пізніше Векуа дослідив узагальнені аналітичні функції, але тільки для граничних даних, неперервних за Гельдером. Ця робота містить теореми існування некласичних розв'язків задач Рімана і Гільберта для узагальнених аналітичних функцій з джерелом, граничні дані яких є вимірюваними відносно логарифмічної ємності. Наш підхід заснований на геометричній інтерпретації граничних значень на відміну від класичного операторного підходу в теорії рівнянь з частинними похідними. На цій основі можна отримати відповідні теореми існування задачі Пуанкаре для похідної за напрямком для рівняння Пуассона і, зокрема, для задачі Неймана з довільними граничними даними, вимірюваними відносно логарифмічної ємності. Ці результати можуть бути застосовані до напівлінійних рівнянь математичної фізики в анізотропних і неоднорідних середовищах.

In monographs of N. V. Azbelev, A. M. Samoilenko, and A. A. Boichuk, constructive methods of study of Noether boundary-value problems have been developed. These methods continue the investigation of periodic problems stated by H. Poincare, A. M. Lyapunov, N. M. Krylov, N. N. Bogolyubov, I. G. Malkin, and O. Veivoda by the methods of small parameter. We propose an improved scheme of study of autonomous Noether boundary-value problems for nonlinear systems in critical cases. In the case of multiple roots of the equation for generating constants, we obtain sufficient conditions of existence of solutions to an autonomous boundary-value problem not solved with respect to the derivative. The effectiveness of the scheme proposed is illustrated by an example of the periodic problem for the Lienard equation.

Assume that Ω is a domain in the complex plane ℂ and A(z) is a symmetric 2×2 matrix function with measurable entries, detA = 1; and such that 1/K|ξ|2 ≤ 〈A(z)ξ, ξ〉 ≤ K|ξ|2, ξ ∈ ℝ2, 1 ≤ K

Assume that Ω is a regular domain in the complex plane ℂ, and A(z) is a symmetric 2×2 matrix with measurable entries, det A = 1, and such that 1/K|ξ|2 ≤ 〈A(z)ξ, ξ〉 ≤ K|ξ|2, ξ ∈ ℝ2, 1 ≤ K < ∞. We study the blow-up problem for a model semilinear equation div (A(z)∇u) = eu in Ω and show that the well-known Liouville–Bieberbach function solves the problem under an appropriate choice of the matrix A(z). The proof is based on the fact that every regular solution u can be expressed as u(z) = T(ω(z)), where ω : Ω → G stands for a quasiconformal homeomorphism generated by the matrix A(z), and T is a solution of the semilinear weihted Bieberbach equation △T = m(w)e in G. Here, the weight m(w) is the Jacobian determinant of the inverse mapping ω−1(w).

We study semilinear elliptic equations of the form div(A(z)∇u) = f(u) in Ω⊂ C, where A(z) stands for a symmetric 2×2 matrix function with measurable entries, det A =1, and such that 1/ K |ξ|² ≤ 〈A(z)ξ,ξ〉 ≤ K |ξ|², ξ ∈ R², 1≤ K < ∞. Making use of our Factorization theorem, we give some explicit solutions for the above equation if f = e^u or f = e^q, when matrices A(z) are chosen in an appropriate form. Досліджено напівлінійне диференціальне рівняння виду div(A(z)∇u)=f(u) в Ω⊂C, де A(z) — симетрична 2×2 матрична функція з вимірними коефіцієнтами, detA=1, і така, що 1/K|ξ|2⩽⟨A(z)ξ,ξ⟩⩽K|ξ|2,ξ∈R2,1⩽K

We study the Dirichlet problem for quasilinear partial differential equations of the form Δu(z) = h(z)f(u(z)) in the unit disk D ⊂ C with continuous boundary data. Here, the function h : D→R belongs to the class L^p(D), p > 1, and the continuous function f : R→R is assumed to have the nondecreasing |f| of |t| and such that f(t) / t →0 as t →∞. We prove the existence of a continuous solution u of the problem in the Sobolev class W^2,p loc (D). Moreover, we show that if p > 2 , then u∈ C^1,α loc (D) with α = (p − 2)/p. Вивчається задача Діріхле для квазілінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних виду Δu(z) = h(z)f(u(z)) в одиничному колі D ⊂ C з неперервними граничними умовами. Тут функція h :D→R належить класу Lp(D), p > 1, і неперервна функція f : R→R припускається такою, що її | f | як функція від | t | є неспадною і такою, що f (t) / t →0 при t →∞ . Доводиться існування неперервного розв’язку u даної проблеми в класі Соболєва W^2,p loc (D). Більш того, показано, що якщо p > 2 , то C^1,α loc (D) з α = (p − 2)/p. Изучается задача Дирихле для квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных вида Δu(z) = h(z)f(u(z)) в единичном круге D ⊂ C с непрерывными граничными условиями. Здесь функция h :D→R принадлежит классу Lp(D), p > 1, и непрерывная функция f : R→R предполагается такой, что ее | f | как функция от | t | является неубывающей и такой, что f (t) / t →0 при t →∞. Доказывается существование непрерывного решения u рассматриваемой проблемы в классе Соболева W^2,p loc (D). Более того, показано, что если p > 2 , то C^1,α loc (D) с α = (p − 2)/p.

We consider generalizations of the Bieberbach equation with nonlinear right parts, which makes it possible to study many problems of mathematical physics in inhomogeneous and anisotropic media with smooth characteristics. We establish interconnections of these semilinear equations with quasiconformal mappings, obtain on this basis, a series of theorems on the existence of their solutions that blow-up on the boundary of a unit disk, as well as on punctured unit disks and rings, and give their explicit representations. Розглянуто узагальнення рівняння Бібербаха з нелінійними правими частинами, які дають можливість вивчати багато проблем математичної фізики в неоднорідних та анізотропних середовищах з гладкими характеристиками. Встановлено взаємозв'язки цих напівлінійних рівнянь з квазіконформними відображеннями і на цій основі отримано ряд теорем існування їх розв'язків, що вибухають на границі одиничного круга, проколотих одиничних кіл та кільцях, а також наведено їх явні зображення. Рассмотрены обобщения уравнения Бибербаха с нелинейными правыми частями, которые позволяют изучать многие проблемы математической физики в неоднородных и анизотропных средах с гладкими характеристиками. Установлены взаимосвязи этих полулинейных уравнений с квазиконформными отображениями и на этой основе получен ряд теорем существования их решений, взрывающихся на границе единичного круга, проколотых единичных кругах и кольцах, а также приведены их явные представления.