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Orientadores: Marco Antonio Teixeira, Jaume Llibre Salo Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Os problemas discutidos nesta tese concentram-se principalmente na teoria dos sistemas dinâmicos não diferenciáveis, da qual vários tópicos são abordados. Os resultados principais podem ser resumidos da seguinte forma. Primeiramente, relaxa-se as hipóteses dos teoremas clássicos da teoria "averaging" para o cálculo de soluções periódicas de sistemas dinâmicos não diferenciáveis. Em segundo lugar, com relação a sistemas dinâmicos planares lineares por partes com duas zonas, mostra-se que ao oscilar a linha de descontinuidade obtém-se diferentes configurações de ciclos limite. Em particular, prova-se que para um dado número natural n existe um sistema dinâmico planar linear por partes com duas zonas tendo exatamente n ciclos limite. Além disso, usando a teoria de Chebyshev, fica estabelecido limites superiores ótimos para o número máximo de ciclos limites que algumas classes de sistemas dinâmicos planares lineares por partes com duas zonas podem ter quando o conjunto de descontinuidade é uma linha reta. Em terceiro lugar, introduz-se, no contexto de sistemas de Filippov, o conceito de órbita de Shilnikov deslizante e, em seguida, considera-se o problema Shilnikov para este caso. Por fim, estuda-se as recentes extensões das convenções de Filippov para soluções de sistemas dinâmicos descontínuos, obtendo-se resultados referentes a regularização e "pinching" no contexto destas novas convenções Abstract: The problems discussed in this thesis focuses mainly in the theory of nonsmooth differential system. Several topics of this subject are treated. The main results may be resumed as following. First, the hypotheses of the classical averaging theorems are relaxed to compute periodic solutions of nonsmooth differential systems. Second, regarding planar piecewise linear differential system with two zones it is shown that oscillating the line of discontinuity several configurations of limit cycles can be obtained. In addition it is proved that for a given natural number n there exists a planar piecewise linear differential system with two zones having exactly n limit cycles. Moreover, using the Chebyshev theory, it is established sharp upper bounds for the maximum number of limit cycles that some classes of planar piecewise linear differential systems with two zones can have when the set of discontinuity is a straight line. Third, the concept of sliding Shilnikov orbit is introduced in the context of Filippov systems, then the Shilnikov problem is considered for this case. Finally, the recent extensions of the Filippov's conventions for solutions of discontinuous differential systems is studied and some results concerning its regularization are established. Moreover the pinching of continuous systems is studied in the context of these new conventions Doutorado Matemática Doutor em Matemática CAPES FAPESP 2012/10231-7

Orientador: Marco Antonio Teixeira Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: O Método de Averaging é uma ferramenta clássica, muito útil no estudo do comportamento de sistemas dinâmicos suaves. Uma das utilidades de tal método consiste em transformar o problema de encontrar soluções periódicas, de um sistema dinâmico, em um problema de se encontrar soluções de uma determinada equação algébrica. Os resultados clássicos, para o estudo de soluções periódicas de sistemas dinâmicos, assumem que tais sistemas sejam, no mínimo, de classe C2. Recentemente, utilizando principalmente a Teoria do Grau de Brouwer, o Método de Averaging foi estendido para o estudo de soluções periódicas de sistemas dinâmicos, assumindo somente a hipótese de continuidade do sistema. Por outro lado, o campo da matemática que versa sobre os sistemas dinâmicos descontínuos, chamados frequentemente de Sistemas de Filippov, teve nos últimos anos um rápido desenvolvimento. Tal campo, se tornou, certamente, uma das fronteira comuns entre a Matemática, a Física, a Engenharia e outras áreas afins. Apesar do rápido desenvolvimento que essa área da matemática vem tendo, existem ainda poucas ferramentas para se trabalhar com os Sistemas de Filippov, bem como, inúmeros problemas em abertos. Desenvolvemos aqui, uma extensão do Método de Averaging que nos permite estudar soluções periódicas de uma classe de Sistemas de Filippov. Estão contidos nessa classe de Sistemas de Filippov estudada, os modelos matem áticos de inúmeros fenômenos mecânicos. Dentre eles, estudamos com detalhes o fenômeno de sincronização de osciladores harmônicos fracamente acoplados. Apontamos também, uma série de problemas similares, a ser trabalhado num futuro próximo, envolvendo complicações típicas dos Sistemas de Filippov Abstract: The Averaging Method is a classical and matured tool that provides a useful means to study the behavior of nonlinear smooth dynamical systems. One of the main applications of this method consists to transform the problem of finding periodic solutions of a dynamical systems in a problem of finding solutions of an algebraic equation. The classical results for studying the periodic solutions of differential systems need at least that those systems be of class C2. Recently, the Averaging Theory has been extended for studying periodic orbits to continuous differential systems using mainly the Brouwer degree. On the other hand, the mathematical field which study the discontinuous dynamical systems, called Filippov Systems, is a subject that has been developing at a very fast pace in recent years. This field has become certainly one of the common frontiers between Mathematics, Physics, Engineering, and other related sciences. In spite of the fast developing of this subject, there are just a few tools to work with Filippov Systems as well as numerous open problems. Our main objective, in this work, is to extend the averaging method for studying the periodic solutions of a class of Filippov Systems. Thus, overall results are presented to ensure the existence of limit cycles of such systems. In this class, of Filippov Systems, are contained the models of many mechanical phenomenon. Among these, we study in details the synchronization phenomena of harmonic oscillators weakly coupled. We also point out some similar problems to be studied in the future, involving usual complications of Filippov Systems Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Orientador: Sahibzada Waleed Noor Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: A hipótese de Riemann é considerada o mais importante problema aberto da matemática pura, o qual afirma que os zeros não triviais da função zeta de Riemann estão localizados sobre a ''linha crítica''. Esse problema tem sido estudado por aproximadamente um século e meio, mas ainda não se tem nenhuma prova para ela. O objetivo principal desta dissertação é apresentar reformulações em alguns espaços de Hilbert desta conjectura, principalmente o Teorema de Nyman-Beurling e seu respectivo refinamento feito por Baez-Duarte. Também serão apresentadas algumas outras equivalências recentes da hipótese de Riemann Abstract: The Riemann hypothesis is considered the most important open problem of pure mathematics, which states that the non-trivial zeros of the Riemann zeta function lie on the ''critical line''. This problem has been studied for about a century and a half, but there is still no proof for it. The main purpose of this thesis is to present some Hilbert space reformulations of this conjecture, mainly the Nyman-Beurling Theorem and its respective refinement by Baez-Duarte. Some other recent equivalences of the Riemann hypothesis will also be presented Mestrado Matemática Mestre em Matemática CAPES

Orientador: Douglas Duarte Novaes Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Esta dissertação se divide em duas partes. A primeira é composta pelos Capítulos 1 e 2, onde apresentamos as convenções de Filippov para o estudo dos sistemas dinâmicos descontínuos e uma introdução à teoria geométrica de perturbação singular, respectivamente. A segunda parte consiste dos Capítulos 3 e 4. No Capítulo 3 desenvolvemos as recentes extensões das convenções de Filippov para soluções de sistemas dinâmicos descontínuos, assim introduzimos o conceito dos modos não lineares de deslize e mostramos alguns resultados que relacionam a dinâmica gerada por esses modos com a dinâmica do sistema regularizado nesta abordagem. Finalmente, no Capítulo 4 aplicamos a teoria dos Capítulos anteriores para estudar um oscilador amortecido. Mostramos que usando uma combinação não linear podemos modelar de forma mais adequada a força de atrito comparado com o análise que se obtem mediante as convenções de Filippov Abstract: This work splits into two parts. The first part consist of Chapters 1 and 2, where we present the Filippov¿s conventions for the study of the discontinuous vector fields and an introduction to the geometric singular perturbation theory, respectively. The second part consist of Chapters 3 and 4. In Chapter 3, we develop the recent extensions of the Filippov¿s conventions for solutions of discontinuous differential systems, which is the concept of nonlinear sliding modes and we prove some results that relate the dynamics generated by these modes with the dynamics of the regularized system. Finally, in Chapter 4 we apply the theory of previous Chapters to study a dry-friction oscillator. We show that using a nonlinear combination we can modelling more appropriately the friction force of the problem compared with the analysis that we get by the Filippov¿s convention Mestrado Matemática Mestre em Matemática CAPES

Orientador: Douglas Duarte Novaes Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Nesta tese, temos como objeto de estudo principal uma classe de sistemas diferenciais descontínuos com variedade de descontinuidade não-linear. Estamos interessados em determinar condições que garantam a existência de soluções periódicas para tais sistemas. Para isso, desenvolvemos a Teoria de Melnikov de ordem arbitrária para uma classe de sistemas descontínuos com variedade de descontinuidade não-linear. Além disso, realizamos uma comparação dessa teoria com a Teoria da Média. A recém-desenvolvida teoria de Melnikov é então aplicada para estudar o número de ciclos limite bifurcando de um centro em uma classe de sistemas perturbativos lineares por partes com uma curva de descontinuidade algébrica. Tal problema é reduzido ao estudo do número de zeros em combinações lineares de funções tomadas em um conjunto ordenado de funções. Este último problema pode ser atacado por meio da Teoria de Chebyshev. Assim, novas famílias de funções ordenadas são classificadas como sistemas-ECT ou sistemas-ET com acurácia. Como consequência, limites inferiores foram obtidos para o número máximo de ciclos limite bifurcando na família estudada de sistemas lineares por partes com uma curva de descontinuidade algébrica Abstract: In this thesis, we are mainly concerned with discontinuous differential systems with nonlinear switching manifold. We are interested in determining conditions that guarantee the existence of periodic solutions for such systems. For this, we developed the Melnikov Theory of arbitrary order for a class of discontinuous systems with non-linear switching manifold. A comparison with the Averaging Theory is performed. The newly developed Melnikov theory is then applied to study the number of limit cycles bifurcating from a center in a class of perturbed piecewise linear systems with an algebraic curve of discontinuity. As usual, such a problem is reduced to the study of the number of zeros of linear combinations of functions taken in an ordered set of functions. This equivalent problem can be attacked by means of Chebyshev Theory. New families of ordered functions are classified as ECT-system or ET-systems with accuracy. Accordingly, lower bounds were obtained for the maximum number of limit cycles bifurcating in the considered family of piecewise linear systems with an algebraic curve of discontinuity Doutorado Matemática Doutora em Matemática CAPES 001

Orientador: Douglas Duarte Novaes Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Essa dissertação é focada no estudo de condições suficientes para a existência de toros invariantes no espaço de fase estendido de sistemas padrão da Teoria da Média, também chamada de Teoria Averaging. A demonstração dos resultados está fortemente ancorada na teoria de variedades invariantes normalmente hiperbólicas. Serão apresentados conceitos básicos dessas duas teorias, necessários para a compreensão completa da demonstração que iremos desenvolver. O percurso da demonstração também nos incentivou a apresentar uma discussão sobre a existência de folheações invariantes pelo fluxo de vizinhanças de ciclos limites atratores hiperbólicos no plano Abstract: This dissertation centers on results providing sufficient conditions for the existence of invariant tori in the extended phase space of systems in the standard form according to the averaging theory. The proof of the results relies strongly on the theory of normally hyperbolic invariant manifolds. Fundamental concepts of those two theories will be presented, as they will be necessary for full comprehension of the proof we will present for the main result. The path to proving this result has also motivated us to introduce a brief exposition of results regarding the existence of foliations of neighbourhoods of attracting hyperbolic limit cycles that are invariant under the flow of the field Mestrado Matemática Mestre em Matemática CNPQ 132319/2019-5

Orientador: Douglas Duarte Novaes Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho, realizamos um estudo qualitativo de alguns aspectos globais dos sistemas de Filippov. Utilizando métodos provenientes da Teoria Qualitativa dos Sistemas Dinâmicos, são abordados problemas sobre persistência de conjuntos minimais (ciclos limites, toros invariantes, etc) e comportamento assintótico das soluções. Primeiramente, utilizamos o critério de Lyapunov para estudar condições sob as quais as soluções de determinada família de inclusões diferenciais são todas ilimitadas. Posteriormente, considerando uma família de equações diferenciais descontínuas de segunda ordem, F, estabelecemos transformações de modo a viabilizar o uso de algumas ferramentas da Teoria KAM. Tais ferramentas garantem a existência de uma infinidade de toros invariantes e soluções periódicas, bem como resultados sobre o comportamento assintótico das soluções. Por fim, utilizamos o Método de Melnilkov para obter resultados parciais acerca da existência de ciclos limite para equações diferenciais em F Abstract: In this work, we performed a qualitative study of some global aspects of Filippov systems. By using methods from the qualitative theory of smooth dynamical systems, we addressed problems related to the persistence of minimal sets (limit cycles, invariant tori, etc) and to the asymptotic behavior of the solutions. Firstly, we used the Lyapunov criterion to study conditions in which the solutions of a particular family of defferential inclusions are all unbounded. Subsequently, considering a family of second order discontinuous differential equations, F, we established transformations in order to make feasible the use of some tools of the KAM Theory. Such tools ensure the existence of infinitely many invariant tori and periodic solutions, as well as they ensure results on the asymptotic behavior of solutions. Finally, we used the Melnilkov Method to obtain partial results on the existence of limit cycles for differential equations in F Mestrado Matemática Mestre em Matemática FAPESP 2016/25459-4 CNPQ 131536/2017-7

Orientador: Douglas Duarte Novaes Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O problema do centro-foco é um problema clássico da teoria qualitativa de sistemas dinâmicos e consiste em distinguir se uma singularidade de um sistema planar é um centro ou um foco. Este problema vem sendo estudado por mais de cem anos e ainda se encontra em aberto mesmo para o caso de campos suaves polinomiais. Um entendimento completo está longe de ser alcançado. O desenvolvimento de ferramentas computacionais algébricas tem contribuído imensamente para uma melhor compreensão do problema. Nesta dissertação estudamos o problema para o caso de campos suaves onde a origem é uma singularidade monodrômica. Além disso, exploramos o problema para o caso descontínuo. Para o caso contínuo o método introduzido por Poincaré e Lyapunov reduz o problema em encontrar uma integral primeira para o sistema, o qual, por sua vez, é equivalente ao problema de encontrar uma variedade algébrica de um ideal gerado por uma família de polinômios. Para sistemas descontínuos (suaves por partes) Gassul-Torregrossa introduziram uma abordagem alternativa a fim de facilitar o cálculo dos coeficientes de Lyapunov assumindo que origem é uma singularidade monodrômica. Finalmente, exploramos o problema do centro-foco assumindo que a origem é uma singularidade do tipo dobra-dobra. Em particular, introduzimos um método para calcular os coeficientes de Lyapunov para este caso Abstract: The center-focus problem is a classical problem in the qualitative theory of dynamic systems and it consists in characterizing whether a singularity of a planar system is a center or a focus. This problem have been studied for more than hundred years and still is open even for polynomial systems. A whole understanding of the problem is far to be reached. The development of algebric softwares have been helping for a wider understanding of the problem. In this dissertation we have studied the problem in the continuous case assuming that the origin is a monodromic singularity. In addition we explored the problem for the discontinuous case. For the continuous case an aproach introduced by Poincaré and Lyapunov reduces the centerfocus problem in finding a first integral for the system, which is equivalent to find an algebric variety for the ideal generated by a family of polynomials. For the discontinuous systems, Gassul-Torregrossa introduced an alternative aproach to simplify the computation of the Lyapunov constants assuming that the origin is a monodromic singularity. Finally, we also explore center-focus problem assuming that the origin is a fold-fold singularity. In particular, we introduce a method for computing the Lyapunov constants for this case Mestrado Matemática Mestre em Matemática CAPES

Orientador: Ricardo Miranda Martins Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Nesta dissertação estudamos o problema de determinar limites superiores para o número de órbitas periódicas isoladas que podem bifurcar a partir de um centro usando perturbações lineares e não-lineares por partes em duas zonas. Consideramos sempre as zonas como setores angulares. Para encontrar tais limites superiores, usaremos funções de Poincaré-Pontryagin-Melnikov para várias famílias de equações diferenciais descontínuas. O cálculo do mapa de Poincaré próximo ao ponto crítico é feito com um novo método baseado em uma decomposição adequada de certas 1-formas diferenciais associadas à expressão do sistema em coordenadas polares. Esta decomposição simplifica todas as expressões envolvidas no procedimento. As perturbações utilizadas são polinomiais por partes e a variedade de descontinuidade é importante para determinar os limites superiores. Trabalhamos com perturbações lineares e perturbações polinomiais de grau n. Estudamos o caso em que a variedade de descontinuidade é regular e também o caso em que ela é não-regular (duas semi-retas ligadas em um ponto). Em ambos os casos, o ponto singular do sistema não-perturbado está na variedade de descontinuidade. Provamos que, para perturbações polinomiais de grau $n$, temos no máximo Nn -1 ciclos limite bifurcando até um estudo de ordem N, quando a variedade de descontinuidade é regular. Mostramos também que, para perturbações lineares podem bifurcar no máximo N ciclos limite até um estudo de ordem N e a variedade de descontinuidade não-regular. Em geral, pode-se concluir que a variedade de descontinuidade não-regular aumenta o número de órbitas periódicas em comparação com o caso em que as duas zonas são separadas por uma reta Abstract: In this dissertation we study the problem of determining upper bounds for the number of isolated periodic orbits that can bifurcate from a center using linear and and nonlinear piecewise perturbations in two zones, where the zones are angular sectors. To find such upper bounds we use Poincaré-Pontryagin-Melnikov¿s functions for several families of discontinuous differential equations. The determination of the Poincaré map near the critical point is done with another method, based on an adequate decomposition of certain differential one-forms. This decomposition simplifies all of the expressions involved in the procedure. The perturbations, which are here piecewise polynomial, and the manifold of discontinuity are important for determining the upper bounds. We work with linear perturbations and polynomial perturbations of degree $n$. With respect to the manifold of discontinuity, we study two cases: the regular (line of discontinuity) and the non-regular one. In both cases, the singular points of the unperturbed system is contained in the manifold of discontinuity. We prove that for polynomial perturbations of degree $n$, no more than $ Nn -1 $ limit cycles appear until a study of order $ N $, when the manifold of discontinuity is regular. We also prove that for linear perturbations they can bifurcate in at most N limit cycles up to a study of degree N and the manifold of discontinuity is non-regular. In general, one can conclude that the presence of a non-regular manifold of discontinuity increases the number of periodic orbits compared to the case where the two zones are separated for a line Mestrado Matemática Mestre em Matemática CAPES 1693688

Orientadores: Douglas Duarte Novaes, Marco Antonio Teixeira Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Compreender como as singularidades tangenciais evoluem em processos de regularização foi um dos primeiros problemas relacionados à regularização dos sistemas de Filippov. Neste trabalho, estamos interessados em C^n-regularizações de sistemas Filippov em torno de singularidades tangenciais regulares visíveis de multiplicidade par. Mais especificamente, usando a Teoria de Fenichel e os Métodos de Blow-up, nosso objetivo é entender como as trajetórias do sistema regularizado transitam pela região de regularização. Aplicamos nossos resultados para investigar as C^n-regularizações dos ciclos limites de fronteira com contato de multiplicidade par com a variedade de deslize. Além disso, estamos interessados na regularização de sistemas de Filippov em torno de conexões homoclínicas com singularidades tangenciais regulares. Fornecemos condições para garantir a existência de ciclos limites bifurcando-se de tais conexões. Condições adicionais também são fornecidas para garantir a estabilidade e unicidade de tais ciclos limites. Todas as provas são baseadas na construção do mapa de primeiro retorno do sistema de Filippov regularizado em torno de conexões homoclínicas. Tal mapa é obtido usando a nossa caracterização do comportamento local do sistema de Filippov regularizado em torno de singularidades tangenciais regulares. Teoremas de ponto fixo e argumentos de Poincaré-Bendixson também são usado Abstract: Understanding how tangential singularities evolves under smoothing processes was one of the first problem concerning regularization of Filippov systems. In this work, we are interested in C^n-regularizations of Filippov systems around visible regular-tangential singularities of even multiplicity. More specifically, using Fenichel Theory and Blow-up Methods, we aim to understand how the trajectories of the regularized system transits through the region of regularization. We apply our results to investigate C^n-regularizations of boundary limit cycles with even multiplicity contact with the switching manifold. Moreover, we are concerned about smoothing of Filippov systems around homoclinic-like connections to regular-tangential singularities. We provide conditions to guarantee the existence of limit cycles bifurcating from such connections. Additional conditions are also provided to ensured the stability and uniqueness of such limit cycles. All the proofs are based on the construction of the first return map of the regularized Filippov system around homoclinic-like connections. Such a map is obtained by using our characterization of the local behaviour of the regularized Filippov system around regular-tangential singularities. Fixed point theorems and Poincaré-Bendixson arguments are also employed Doutorado Matemática Doutor em Matemática CAPES 001 CNPQ 141170/2019-0

Orientador: Gabriel Ponce Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Esta dissertação tem como principal objetivo estudar as propriedades fundamentais dos sistemas dinâmicos centrando nossa atenção nos difeomorfismos de Anosov de classe C2. Faremos observações sobre caraterísticas relevantes para esta classe de difeomorfismo, sendo nosso resultado principal a ergodicidade destes difeomorfismos. A demonstração da ergodicidade de tais difeomorfismos será feita a partir de uma análise geométrica, usando o argumento de Hopf, mostrando primeiro a existência e continuidade absoluta das folheações estável e instável e então usando o argumento de Hopf concluir a ergodicidade dos difemorfismos de Anosov Abstract: This thesis aims to study of the fundamental properties of the dynamical systems focusing our attention on the Anosov diffeomorphism of class C2. We will make observations about relevant characteristics of this class of diffeomorphism, being our main result that these diffeomorphisms are ergodic. The proof of the ergodicity of Anosov diffeomorphismos will be made from a geometric analysis using the Hopf argument showing first the existence and absolute continuity of the stable and unstable foliations, and then using Hopf¿s argument to conclude the ergodicity of Anosov¿s difemorphisms Mestrado Matemática Mestra em Matemática FAEPEX 2242/17

Orientador: Douglas Duarte Novaes Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Este trabalho consiste no estudo soluções periódicas de equações diferenciais contínuas através da Teoria \emph{Averaging} e de métodos topológicos, como os graus de Brouwer e de Coincidência. Nosso principal objetivo é fornecer condições suficientes para garantir o surgimento de soluções periódicas de equações diferenciais contínuas não-Lipschitz dependendo de um parâmetro pequeno. A fim de motivar este estudo, apresentamos a Teoria \emph{Averaging} clássica para equações diferenciais suaves periódicas, sua recente extensão para mais alta ordem para estudar soluções periódicas de equações diferenciais Lipschitz, e também sua versão topológica de primeira ordem para estudar as soluções periódicas de equações diferenciais contínuas não-Lipschitz. Desta forma, torna-se natural perguntar-se sobre resultados topológicos de mais alta ordem para estudar soluções periódicas de equações diferencias contínuas não-Lischitz. Aqui, como nossa principal contribuição, fornecemos tais resultados. Além disso, é feita uma discussão sobre Teoria do Grau, onde o Grau de Coincidência para perturbações $ L- $compactas de operadores lineares de Fredholm de índice zero é construído Abstract: This work is concerned with the study of periodic solutions of continuous differential equations by means of the averaging theory and topological methods, such as Brouwer and coincidence degrees. Our main goal is to provide sufficient conditions ensuring the birth of periodic solutions of non-Lipschitz continuous differential equations depending upon a small parameter. In order to motivate this study, we present the classical Averaging Theory for periodic smooth differential equations, its recent higher order generalization for studying periodic solutions of Lipschitz differential equations, and also its topological first order version for studying periodic solutions of continuous non-Lipschitz differential equations. Thus, it becomes natural to inquire about higher order topological results for studying periodic solutions of continuous non-Lipschitz differential equations. Here, as our main contribution, we provide such results. Furthermore, a discussion on Degree Theory is carried out in which the Coincidence Degree of $ L- $compact perturbations of linear Fredholm mappings of index zero is constructed Mestrado Matemática Mestre em Matemática CAPES

Orientador: Ricardo Miranda Martins Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O estudo de conjuntos minimais é um dos mais importantes tópicos na área de sistemas dinâmicos, pois permite uma maior compreensão do seu comportamento qualitativo global. Neste contexto, a simplicidade dos sistemas lineares inspira confiança na ideia de que sistemas lineares por partes não podem apresentar uma dinâmica muito rica. Neste texto, temos como objetivo provar que esta ideia está errada. Para isso, considerando sistemas lineares por partes contínuos, primeiro estudamos algumas formas normais e, em seguida, provamos a existência de conjuntos minimais tipicamente encontrados em sistemas não lineares. Mais especificamente, estudamos a existência de ciclos limite e ciclos homoclínicos no caso tridimensional Abstract: The study of minimal sets is one of the most important topics in the field of dynamical systems, for it allows a bigger understanding of its global qualitative behavior. In this context, the simplicity of linear systems inspire trust in the idea that piecewise linear systems can¿t have a very rich dynamics. In this text, we have as objective to prove that this idea is wrong. In order to do so, regarding continuous piecewise linear systems, we first study some normal forms, and then prove the existence of minimal sets typically found on non-linear systems. More specifically, we study the existence of limit cycles and homoclinic cycles in the tridimensional case Mestrado Matemática Mestre em Matemática CAPES