Search

Mechanical buckling response of isotropic and orthotropic plates using the two variable refined plate theory is presented in this paper. The theory takes account of transverse shear effects and parabolic distribution of the transverse shear strains through the thickness of the plate; hence it is unnecessary to use shear correction factors. Governing equations are derived from the principle of virtual displacements. The nonlinear strain-displacement of Von Karman relations are also taken into consideration. The closed-form solution of a simply supported rectangular plate subjected to in-plane loading has been obtained by using the Navier method. Numerical results are presented for the present efficient sinusoidal shear deformation theory, demonstrating its importance and accuracy in comparison to other theories.

This article discusses the impulse effects of various loads on triangular, isosceles, elastic, isotropic plates. Analytical solutions of the direct problem of determining the internal moments and deflections of the plate, as well as the numerical results of calculations of specific loading case are presented. Goal. The goal is to develop a method for solving direct problems of determining internal moments and deflections in rectangular triangular, isosceles, elastic, thin, isotropic plates. Methodology. To solve the direct problem, the Navier method, the classical theory of modeling vibrations of thin plates and the Laplace transform are used. Results. A technique has been obtained that allows one to obtain numerical and analytical dependences for calculating the internal moments and deflections in a triangular plate. Originality. For the first time, a technique was developed for solving direct non-stationary problems to determine the internal moments and deflections in rectangular triangular, isosceles, elastic, thin, isotropic plates based on the classical theory. Practical value. The obtained analytical dependences can be used to simulate impulse vibrations of square and isosceles rectangular triangular thin isotropic elastic plates, which can be critical structural elements., В цій статті розглядаються імпульсні впливи різних навантажень на трикутні, рівнобедрені, пружні, ізотропні пластини. Дослідження проводяться з використанням класичної теорії пластин. Наведено аналітичний розв’язок прямої задачі з визначення внутрішніх моментів і прогинів пластини, а також числові дані розрахунку конкретного випадку навантаження.

Solution for cylindrical shell under concentrated force is a fundamental problem which allow to consider many other cases of loading and geometries. Existing solutions were based on simplified assumptions, and the ranges of accuracy of them still remains unknown. The common idea is the expansion of them into Fourier series with respect to circumferential coordinate. This reduces the problem to 8th order even differential equation as to axial coordinate. Yet the finding of relevant 8 eigenfunctions and exact relation of 8 constant of integrations with boundary conditions are still beyond the possibilities of analytical treatment. In this paper we apply the decaying exponential functions in Galerkin-like version of weighted residual method to above-mentioned 8th order equation. So, we construct the sets of basic functions each to satisfy boundary conditions as well as axial and circumferential equilibrium equations. The latter gives interdependencies between the coefficients of circumferential and axial displacements with the radial ones. As to radial equilibrium, it is satisfied only approximately by minimizations of residuals. In similar way we developed technique for application of Navier like version of WRM. The results and peculiarities of WRM application are discussed in details for cos2j concentrated loading, which methodologically is the most complicated case, because it embraces the longest distance over the cylinder. The solution for it clearly exhibits two types of behaviors – long-wave and short-wave ones, the analytical technique of treatment of them was developed by first author elsewhere, and here was successfully compared. This example demonstrates the superior accuracy of two semi analytical WRM methods. It was shown that Navier method while being simpler in realization still requires much more (at least by two orders) terms than exponential functions., Решение для цилиндрической оболочки под действием сосредоточенной силы является одной из фундаментальных проблем, которая позволяет рассматривать многие другие случаи нагружения и геометрии. Существующие решения были основаны на упрощенных предположениях, и диапазоны их точности до сих пор остаются неизвестными. Общей идеей является разложение их в ряд Фурье по окружной координате. Это сводит задачу к дифференциальному уравнению 8-го порядка по осевой координате. Тем не менее, поиск соответствующих 8 собственных функций и точной связи 8 констант интегрирования с граничными условиями все еще находится за пределами возможностей аналитического решения. В этой статье мы применяем затухающие экспоненциальные функции в галеркинской версии метода взвешенных невязок (МВН) к указанному уравнению 8-го порядка. Наборы базисных функций строятся так, что каждая из них удовлетворяет граничным условиям, а также уравнениям осевого и окружного равновесия. Последние дают взаимозависимости коэффициентов окружных и осевых перемещений с радиальными. Что касается радиального равновесия, то оно достигается только приближенно за счет минимизации невязок. Аналогичным образом мы разработали методику применения Навье-подобной версии МВН. Подробно обсуждаются результаты и особенности применения МВН для сосредоточенной нагрузки вида cos2j, которая методически является наиболее сложным случаем, поскольку охватывает наибольшее расстояние по цилиндру. Решение для него явно демонстрирует два типа поведения - длинноволновое и коротковолновое, аналитическая методика их построения была разработана первым автором в другой работе, и здесь было успешно проведено сравнение. Этот пример демонстрирует превосходную точность двух полуаналитических методов, Навье и МВН. Показано, что метод Навье, будучи более простым в реализации, все же требует гораздо больше слагаемых (по крайней мере, на два порядка), чем метод взвешенных невязок с использованием экспоненциальных функций., Рішення для циліндричної оболонки під дією зосередженої сили є однією з основних проблем, яка дозволяє розглянути багато інших випадків навантаження та геометрії. Існуючі рішення базувались на спрощених припущеннях, і діапазони їх точності досі залишаються невідомими. Загальна ідея полягає в розкладі їх у ряди Фур'є за окружною координатою. Це зводить задачу до диференційного рівняння 8-го порядку відносно осьової координати. Проте знаходження відповідних 8 власних функцій та точне співвідношення 8 констант інтегрування з граничними умовами все ще перевищують можливості аналітичної обробки. У цій роботі ми застосовуємо затухаючі експоненційні функції у галер-кінській версії методу зважених нев’язок (МЗН) до вказаного вище рівняння 8-го порядку. Отже, ми будуємо набори базисних функцій, кожна з яких задовольняє граничним умовам, а також окружному і осьовому рівнянням рівноваги. Останні дають взаємозалежності між коефіцієнтами окружних та осьових переміщень з радіальними. Що стосується радіальної рівноваги, то вона задовольняється лише приблизно за рахунок мінімізації нев’язок. Подібним чином ми розробили методику застосування Нав'є-подібної версії МЗН. Результати та особливості застосування МЗН детально обговорюються для концентрованого навантаження виду cos2j, що методологічно є найскладнішим випадком, оскільки воно охоплює найбільшу відстань над циліндром. Рішення для нього чітко демонструє два типи поведінки - довгохвильову та короткохвильову, аналітична методика їх побудови була розроблена першим автором в іншій роботі, і тут успішно порівняна. Цей приклад демонструє відмінну точність двох напіваналітичних методів, Нав’є та МЗН. Було показано, що метод Нав'є, хоч і є простішим у реалізації, все ж вимагає набагато більше доданків (принаймні, на два порядки), ніж метод зважених нев’язок з використанням експоненційних функцій.

Рішення для циліндричної оболонки під дією зосередженої сили є однією з основних проблем, яка дозволяє розглянути багато інших випадків навантаження та геометрії. Існуючі рішення базувались на спрощених припущеннях, і діапазони їх точності досі залишаються невідомими. Загальна ідея полягає в розкладі їх у ряди Фур'є за окружною координатою. Це зводить задачу до диференційного рівняння 8-го порядку відносно осьової координати. Проте знаходження відповідних 8 власних функцій та точне співвідношення 8 констант інтегрування з граничними умовами все ще перевищують можливості аналітичної обробки. У цій роботі ми застосовуємо затухаючі експоненційні функції у галеркінській версії методу зважених нев’язок (МЗН) до вказаного вище рівняння 8-го порядку. Отже, ми будуємо набори базисних функцій, кожна з яких задовольняє граничним умовам, а також окружному і осьовому рівнянням рівноваги. Останні дають взаємозалежності між коефіцієнтами окружних та осьових переміщень з радіальними. Що стосується радіальної рівноваги, то вона задовольняється лише приблизно за рахунок мінімізації нев’язок. Подібним чином ми розробили методику застосування Нав'є-подібної версії МЗН. Результати та особливості застосування МЗН детально обговорюються для концентрованого навантаження виду cos2, що методологічно є найскладнішим випадком, оскільки воно охоплює найбільшу відстань над циліндром. Рішення для нього чітко демонструє два типи поведінки - довгохвильову та короткохвильову, аналітична методика їх побудови була розроблена першим автором в іншій роботі, і тут успішно порівняна. Цей приклад демонструє відмінну точність двох напів аналітичних методів, Нав’є та МЗН. Було показано, що метод Нав'є, хоч і є простішим у реалізації, все ж вимагає набагато більше доданків (принаймні, на два порядки), ніж метод зважених нев’язок з використанням експоненційних функцій. Solution for cylindrical shell under concentrated force is a fundamental problem which allow to consider many other cases of loading and geometries. Existing solutions were based on simplified assumptions, and the ranges of accuracy of them still remains unknown. The common idea is the expansion of them into Fourier series with respect to circumferential coordinate. This reduces the problem to 8th order even differential equation as to axial coordinate. Yet the finding of relevant 8 eigenfunctions and exact relation of 8 constant of integrations with boundary conditions are still beyond the possibilities of analytical treatment. In this paper we apply the decaying exponential functions in Galerkin-like version of weighted residual method to above-mentioned 8th order equation. So, we construct the sets of basic functions each to satisfy boundary conditions as well as axial and circumferential equilibrium equations. The latter gives interdependencies between the coefficients of circumferential and axial displacements with the radial ones. As to radial equilibrium, it is satisfied only approximately by minimizations of residuals. In similar way we developed technique for application of Navier like version of WRM. The results and peculiarities of WRM application are discussed in details for cos2 concentrated loading, which methodologically is the most complicated case, because it embraces the longest distance over the cylinder. The solution for it clearly exhibits two types of behaviors – long-wave and short-wave ones, the analytical technique of treatment of them was developed by first author elsewhere, and here was successfully compared. This example demonstrates the superior accuracy of two semi analytical WRM methods. It was shown that Navier method while being simpler in realization still requires much more (at least by two orders) terms than exponential functions. Решение для цилиндрической оболочки под действием сосредоточенной силы является одной из фундаментальных проблем, которая позволяет рассматривать многие другие случаи нагружения и геометрии. Существующие решения были основаны на упрощенных предположениях, и диапазоны их точности до сих пор остаются неизвестными. Общей идеей является разложение их в ряд Фурье по окружной координате. Это сводит задачу к дифференциальному уравнению 8-го порядка по осевой координате. Тем не менее, поиск соответствующих 8 собственных функций и точной связи 8 констант интегрирования с граничными условиями все еще находится за пределами возможностей аналитического решения. В этой статье мы применяем затухающие экспоненциальные функции в галеркинской версии метода взвешенных невязок (МВН) к указанному уравнению 8-гопорядка. Наборы базисных функций строятся так, что каждая из них удовлетворяет граничным условиям, а так же уравнениям осевого и окружного равновесия. Последние дают в заимозависимости коэффициентов окружных и осевых перемещений с радиальными. Что касается радиального равновесия, то оно достигается только приближенно за счет минимизации невязок. Аналогичным образом мы разработали методику применения Навье-подобной вер-сии МВН. Подробно обсуждаются результаты и особенности применения МВН для сосредоточенной нагрузки вида cos2, которая методически является наиболее сложным случаем, поскольку охватывает наибольшее расстояние по цилиндру. Решение для него явно демонстрирует два типа поведения - длинноволновое и коротковолновое, аналитическая методика их построения была разработана первым автором в другой работе, и здесь было успешно проведено сравнение. Этот пример демонстрирует превосходную точность двух полуаналитических методов, Навьеи МВН. Показано, что метод Навье, будучи более простым в реализации, все же требует гораздо больше слагаемых (по крайней мере, на два порядка), чем метод взвешенных невязок с использованием экспоненциальных функций.

Метод зважених нев’язок набув широкої популярності протягом останніх років, особливо завдяки застосуванню в методах скінчених елементів. Він полягає в наближеному виконанні диференціальних рівнянь, тоді як граничні умови мають виконуватись точно. Ця мета досягається правильним вибором множин пробних (базових) функцій, які дають нев’язки. Нев’язки множать навагові функції та мінімізують, інтегруючи по всій області задачі. Множина пробних і вагових функцій визначає особливість та переваги кожного конкретного методу. Найбільш популярним є вибір пробних і вагових функцій у вигляді тригонометричних або поліноміальних функцій. У двовимірних задачах часто використовуються так звані “балочні функції”, які є рішеннями більш простих одновимірних задач для балки. В даній методичній роботі ми досліджуємо можливість використання множин функцій, побудованих на послідовних експо-ненціальних функціях, які точно задовольняють граничним умовам. Метод досліджено на прикладі простої осесиметричної задачі оболонки, точне рішення якої відоме для будь-якого навантаження. Для кількох прикладів розподіленого або концентрованого навантаження запропонований метод порівнюється з аналогічним методом Нав'є, в якому використовуються тригонометричні функції. Також ретельно досліджується правильний вибір вагових функцій. Зазначається, що запропоновані множини симетричних чи антисиметричних експоненціальних функцій мають хорошу перспективу для застосування в більш складних задачах структурної механіки. Weighted residuals method gained a wide popularity during last years especially due to its application in finite element methods. Its goal is in approximate satisfaction of the governingfferential equations while boundary conditions are to be fulfilled exactly. This goal is achieved by the proper choice of the sets of so-called trial (basic) functions which give the residuals. Residuals are multiplied by weight functions and minimized by integration over the whole area of task. In fact, they determine the peculiarity and advantages of each particular method. Most popular is the choice of trial and weight (test) function as the trigonometric and polynomial functions. In 2D applications so-called “beam functions” are often used, which are solutions of much simpler 1D problems for beam. In this methodological paper we explore the possibility of using the sets of functions constructed on the consequent exponential func-tions, which satisfy boundary conditions. The method is investigated on example of very simple 1D axisymmetrical task for shell, where exact solution exists for any loading. For several examples of distributed or concentrated loading the proposed method is compared with similar Navier’s method, which is the expansion on trigonometric functions. Also the proper choice of weight functions is carefully investigated. It is noted, that proposed sets (symmetrical or asymmetrical) of exponential functions has a good perspective in applica-tion for more complicated problems in structural mechanics. Метод взвешенных невязок приобрел широкую популярность в последние годы, особенно благодаря применению в методах конечных элементов. Он состоит в приближенном выполнении дифференциальных уравнений, тогда как граничные условия должны выполняться точно. Эта цель достигается правильным выбором множества пробных (базовых) функ-ций, которые дают невязки. Невязки умножают навесовые функциии минимизируют, интегрируя по всей области задачи. Множество пробных и весовых функций определяет особенность и преимущества каждого конкретного метода. Наиболее популярным является выбор пробных и весовых функций в виде тригонометрических и липолиномиальных функций. Вдвумерных задачах часто используются так называемые "балочные функции", которые являются решениями более простых одномерных задач для балки. В данной методической работе мы исследуем возможность использования множеств функций, построенных на последовательных экспоненциальных функциях, которые точно удовлетворяют граничным условиям. Метод исследован на примере простой осесимметричной задачи оболочки, точное решение которой известно для любой нагрузки. Для нескольких примеров распределенной или концентрированной нагрузки предложенный метод сравн ивается с аналогичным методом Навье, в котором используются тригонометрические функции. Также тщательно исследуется правильный выбор весовых функций. Отмечается, что предложенные множества симметричных или антисимметричных экспоненциальных функций имеют хорошую перспективу для применения в более сложных задачах структурной механики.

Trabalho final de mestrado para obtenção do grau de mestre em Engenharia Mecânica Submitted by Sónia Gonçalves (srgoncalves@sa.isel.pt) on 2019-06-25T20:19:14Z No. of bitstreams: 1 Dissertação_1993.pdf: 11078834 bytes, checksum: 454bd691a0e7892a66f0ef5f15ce012a (MD5) Made available in DSpace on 2019-06-25T20:19:14Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação_1993.pdf: 11078834 bytes, checksum: 454bd691a0e7892a66f0ef5f15ce012a (MD5) Previous issue date: 2019-03-26 N/A

Bu çalışmada, birinci mertebe kayma deformasyonu teorisine dayalı olarak fonksiyonel derecelendirilmiş kirişlerin serbest titreşim analizi Navier tipi çözüm yöntemi kullanılarak yapılmıştır. Hareket denklemleri Lagrange eşitlikleri ile türetilmiş, problemin çözümünde ise trigonometrik fonksiyonlar kullanılmıştır. Farklı sınır şartlarına, hacimsel oran fonksiyonunun farklı k değerlerine ve kirişin açıklığının yüksekliğine oranına bağlı olarak doğal frekanslar sayısal olarak hesaplanmıştır. Sayısal sonuçlar literatürle kıyaslanmış ve oldukça uyumlu oldukları görülmüştür., In this study, the free vibration analysis of functionally graded (FG) beams is performed Navier type solution method according to the first-order shear deformation beam theory. The governing equations are derived from the Lagrange’s equations, and they are solved by using trigonometric series. Natural frequencies are calculated numerically for different boundary conditions, power-law indices and span-to-height ratios. Comparisons show in good agreement with the literature.