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Nous présentons une approche prometteuse afin de réduire les difficultés liées aux maillages de géométries avec frontières courbes pour l'analyse avec des éléments finis d'ordre supérieur. Une analyse par XFEM d'ordre supérieur dans le cas de la modélisation des interfaces matériau-vide est testée sur un ensemble représentatif de problèmes d'élasticité linéaire. Les frontières implicites courbes sont approximées à l'intérieur d'un maillage grossier non structuré en utilisant les informations paramétriques extraites de la représentation paramétrique (la plus populaire en conception CAO). Cette approximation génère un sous-maillage gradué (SMG) à l'intérieur des éléments traversés par la frontière qui sera utilisé à des fins d'intégrations numérique. Exemples de géométries et des expériences numériques illustrent la précision et la robustesse de l'approche proposée. We present a promising approach to reduce the difficulties associated with meshing complex curved domain boundaries for higher-order finite elements. In this work, higher-order XFEM analyses for strong discontinuity in the case of linear elasticity problems are presented. Curved implicit boundaries are approximated inside an unstructured coarse mesh by using parametric information extracted from the parametric representation (the most common in Computer Aided Design CAD). This approximation provides local graded sub-mesh (GSM) inside boundary elements (i.e. an element split by the curved boundary) which will be used for integration purpose. Sample geometries and numerical experiments illustrate the accuracy and robustness of the proposed approach.

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.; International audience; La génération de maillages d'ordre supérieur pour la technique « p-version » des éléments finis reste difficile à traiter avec des mailleurs automatiques. La construction de maillage d'ordre supérieur conduit à la non-validité des éléments courbes situés près de la frontière de l'objet, par exemple à cause d'une distorsion excessive. L'objet de ce travail est la mise en œuvre d'une nouvelle approche qui permet de réaliser des simulations sur des géométries dont la frontière est non-conforme au maillage, permettant de séparer la qualité de l'approximation géométrique de la discrétisation spatiale (maillage). D'autres méthodes comme l'analyse isogéométrique proposent au contraire de les lier [1]. Pour cela, nous utilisons une représentation implicite du domaine (Level set) et la méthode des éléments finis étendus (XFEM) [2]. Dans un premier temps, nous proposons des stratégies afin de construire des objets implicites à partir d'une représentation paramétrique [3], qui reste la plus populaire en conception CAO. Nous montrons qu'il est possible d'utiliser les informations des équations paramétriques de l'objet pour représenter correctement les frontières courbes indépendamment de la discrétisation spatiale (maillage). Dans un deuxième temps, nous utilisons cette représentation d'objet par Level sets sur un maillage fixe pour mener des études éléments finis indépendamment du maillage. Pour cela, nous étendons l'intégration numérique classique utilisée dans la méthode des éléments finis étendus (XFEM). Nous montrons ensuite que la considération de l'information exacte des frontières courbes en utilisant la représentation paramétrique permet d'avoir un taux de convergence optimal en utilisant XFEM d'ordre supérieur. [1]Hughes, T., Cottrell, J., Bazilevs, Y., 2005. Isogeometric analysis : Cad, finite elements, nurbs, exact geometry and mesh refinement. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. [2]Moës, N., Dolbow, J., Belytschko, T., 1999.A finite element method for crack growthwithout remeshing. Int. J. Numer. Meth. Engrg. [3]Moumnassi, M., Belouettar, S., Béchet, E., Bordas, S. P., Quoirin, D., Potier-Ferry, M., 2011. Finite element analysis on implicitly defined domains: An accurate representation based on arbitrary parametric surfaces. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.

The Finite Element Method (FEM) is widely used for numerical simulations of physical problems formulated in terms of partial differential equations (PDE). A crucial step in the process of analysis by this method is the discretization of the geometry to construct a mesh representing the approximation space of the problem. However, high quality mesh that conforms to the curved boundaries and sharp features, whose depends on the numerical results, still requires a significant amount of human time in the global process of analysis. The aim of this work is to implement a new approach that allows performing simulations on an object whose boundaries do not conform to the mesh, while retaining the benefits of FEM. For this purpose, the implicit representation of the domain (Level set) and the eXtended Finite Element Method (XFEM) are used. In the first step, the focus is to build objects by using Level sets independently of the spatial discretization (i.e. a simple mesh). Strategies have been developed to build implicit objects from the parametric representation (the most common in Computer Aided Design CAD), to preserve sharp features and correctly represent curved boundaries. In a second step, the focus lies on adapting XFEM to achieve a proper numerical integration and to preserve the stability of mixed formulations for managing Dirichlet constraints. The last part consists in verifying the accuracy and rate convergence in the case of implicit curved boundaries and of non-conforming objects to the mesh; La méthode des éléments finis (ÉF) est largement utilisée pour la simulation numérique de problèmes physiques formulés en terme d'équations aux dérivées partielles (EDP). Une étape cruciale du processus d'analyse par cette méthode est la discrétisation de la géométrie du domaine afin de construire le maillage sur lequel est formulé l'espace d'approximation du problème. Cependant, la création d'un maillage de qualité conforme aux frontières courbes et aux arêtes vives, dont dépend les résultats numériques, nécessite encore un apport significatif de temps humain lors du processus globale d'analyse. L'objet de ce travail est la mise en oeuvre d'une nouvelle approche qui permet de réaliser des simulations sur un objet dont la frontière est non-conforme au maillage, tout en conservant les avantages des ÉF. Pour cela, on utilise une représentation implicite du domaine (Level set) et la méthode des éléments finis étendus (XFEM). Dans un premier temps, on s'intéresse à construire des objets par Level sets indépendamment de la discrétisation spatiale (i.e. un maillage simple). Des stratégies ont été développées afin de construire des objets implicites à partir de la représentation paramétrique la plus populaire en conception CAO, de préserver les arêtes vives et pour pouvoir représenter correctement les frontières courbes. Dans un deuxième temps, on s'intéresse à l'adaptation de la méthode XFEM afin de réaliser une intégration numérique correcte et de préserver la stabilité des formulations mixtes pour la gestion de la contrainte de Dirichlet. La dernière partie consiste à vérifier la précision et les taux de convergence dans le cas des frontières courbes et pour des objets entièrement non-conformes au maillage

The goal of this chapter is to review recent avenues of investigation to alleviate meshing difficulties in computational mechanics and give a few exemplar applications. Keywords: meshing; enrichment; meshfree methods; extended finite element methods; isogeometric analysis; advanced remeshing techniques.