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Cholera is a bacterial disease that is commonly transmitted through contaminated water, leading to severe diarrhea and rapid dehydration that can prove fatal if left untreated. The complexity of the disease spread arises from the convergence of several distinct and interrelated factors, which previous research has often failed to consider. A significant scientific limitation of the existing literature is the simplistic assumption of linear or logistic dynamics of the disease spread, thereby impeding a thorough assessment of the effectiveness of control strategies. Since environmental factors are the most influential determinant of Vibrio bacterial growth in nature and are responsible for the resurgence, propagation, and disappearance of cholera epidemics, we have proposed a S-I-R-S model that combines bacterial dynamics with the Allee effect. This model takes into account the environmental influence and allows for a better understanding of the disease dynamics. Our results have revealed the phenomenon of bi-stability, with backward and forward bifurcation. Furthermore, our findings have demonstrated that the Allee effect provides a robust framework for characterizing fluctuations in bacterial populations and the onset of cholera outbreaks. This framework can be used for assessing the effectiveness of control strategies, including regular environmental sanitation programs, adherence to hygiene protocols, and monitoring of unfavorable weather conditions.

The aim of this work is to analyze theoretically and numerically the dynamics of a network of excitatory and inhibitory neurons of ordinary differential equations (ODE) of Hodgkin-Huxley type (HH) inspired by the primary visual cortex V1. The model emphasizes an approach combining a driven stochastic drive for each neuron and recurrent inputs resulting from the network activity. After a review of the dynamics of a single HH equation, for both deterministic and stochastic driven case, we proceed to the analysis of the network. Our numerical analysis highlights emergent properties such as partial synchronization and synchronization, waves of excitability, and oscillations in the gamma-band frequency.; L'objectif de ce travail est d'analyser théoriquement et numériquement la dynamique d'un réseau de neurones excitateurs et inhibiteurs d'équations différentielles ordinaires (ODE) de type Hodgkin-Huxley (HH) inspiré du cortex visuel primaire V1. Le modèle met l'accent sur une approche combinant un entraînement stochastique entraîné pour chaque neurone et des entrées récurrentes résultant de l'activité du réseau. Après un examen de la dynamique d'une seule équation HH, pour les cas déterministes et stochastiques, nous procédons à l'analyse du réseau. Notre analyse numérique met en évidence des propriétés émergentes telles que la synchronisation et la synchronisation partielles, les ondes d'excitabilité et les oscillations dans la fréquence de la bande gamma.

This thesis is devoted to the study of the dynamics of complex systems. We consider coupled networks built with multiple instances of deterministicdynamical systems, defined by ordinary differential equations or partial differential equations of parabolic type, which describe an evolution problem.We study the link between the internal dynamics of each node in the network, its topology, and its global dynamics. We analyze the coupling conditions which favor a particular dynamics at the network's scale, and study the impact of the interactions on the bifurcations identified on each node. In particular, we consider coupled networks of reaction-diffusion systems; we analyze their asymptotic behavior by searching positively invariant regions, and proving the existence of exponential attractors of finite fractal dimension, derived from energy estimates which suggest the dissipative nature of those networks of reaction-diffusion systems.Our framework includes the study of multiple applications. Among them, we consider a mathematical model for the geographical analysis of behavioral reactions of individuals facing a catastrophic event. We present the modeling choices that led to the study of this evolution problem, and its mathematical study, with a stability and bifurcation analysis of the equilibria. We highlight the decisive role of evacuation paths in coupled networks built from this model, in order to reach the expected equilibrium corresponding to a global return of all individuals to the daily behavior, avoiding a propagation of panic. Furthermore, the research of emergent periodic solutions in complex networks of oscillators brings us to consider coupled networks of hamiltonian systems, for which we construct polynomial perturbationswhich provoke the emergence of limit cycles, question which is related to the sixteenth Hilbert's problem.; Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des systèmes complexes. Nous construisons des réseaux couplés à partir de multiples instances de systèmes dynamiques déterministes, donnés par des équations différentielles ordinaires ou des équations aux dérivées partielles de type parabolique, qui décrivent un problème d'évolution. Nous étudions le lien entre la dynamique interne à chaque nœud du réseau, les éléments de la topologie du graphe portant ce réseau, et sa dynamique globale. Nous recherchons les conditions de couplage qui favorisent une dynamique globale particulière à l'échelle du réseau, et étudions l'impact des interactions sur les bifurcations identifiées sur chaque nœud. Nous considérons en particulier des réseaux couplés de systèmes de réaction-diffusion, dont nous étudions le comportement asymptotique, en recherchant des régions positivement invariantes, et en démontrant l'existence d'attracteurs exponentiels de dimension fractale finie, à partir d'estimations d'énergie qui révèlent la nature dissipative de ces réseaux de systèmes de réaction-diffusion. Ces questions sont étudiées dans le cadre de quelques applications. En particulier, nous considérons un modèle mathématique pour l'étude géographique des réactions comportementales d'individus, au sein d'une population en situation de catastrophe. Nous présentons les éléments de modélisation associés, ainsi que son étude mathématique, avec une analyse de la stabilité des équilibres et de leurs bifurcations. Nous établissons l'importance capitale des chemins d'évacuation dans les réseaux complexes construits à partir de ce modèle, pour atteindre l'équilibre attendu de retour au comportement du quotidien pour l'ensemble de la population considérée, tout en évitant une propagation du comportement de panique. D'autre part, la recherche de solutions périodiques émergentes dans les réseaux d'oscillateurs nous amène à considérer des réseaux complexes de systèmes hamiltoniens pour lesquels nous construisons des perturbations polynomiales qui provoquent l'apparition de cycles limites, problématique liée au XVIème problème de Hilbert.

This thesis is devoted to the study of the dynamics of some problems Leslie Gower-type predator-prey with ordinary differential equations and reaction-diffusion equations. The main objective is to make mathematical analysis, numerical simulation of constructed models. The thesis is divided in three parts : The first part is devoted to a predator-prey system with prey harvesting, the model is given by an ordinary differential equation system. The aim of this part is to study the impact of harvesting on the system behavior. In the second part, we introduce the spatial dimension in the dynamic model considered without harvesting, modeling a food chain of two species with diffusion on the circular area and Holling Type II response function. We perform a complete theoretical analysis of the spatiotemporal dynamics model built and the system study on the circular area. A similar mathematical study is conducted as part of the functional response of Benddington-DeAngelis.We study, also the qualitative behavior of a food chain of three species with a Holling type II response function. In the last party, we introduce of cross-diffusion terms in the considered dynamic model in order to have the effect of the latter on the system behavior.; Cette thèse est consacrée à l’étude de la dynamique de quelques problèmes de proie-prédateur de type Leslie-Gower avec des systèmes d’équations différentielles ordinaires et des équations de réaction-diffusion. L’objectif principal est de faire l’analyse mathématique, la simulation numérique des modèles construits. La thèse est divisée en trois parties : La première partie est consacrée à un système proie-prédateur avec récolte de proie, le modèle est donné par un système d’équation différentielle ordinaire. Le but de cette partie est d’étudier l’impact de la récolte sur le comportement du système. Dans la deuxième partie, nous introduisons la dimension spatiale dans le modèle dynamique considéré sans récolte, modélisant une chaîne alimentaire de deux espèces avec diffusion sur un domaine circulaire et une fonction de réponse de Holling type II. Nous effectuons une analyse théorique complète de la dynamique spatio-temporelle du modèle construit ainsi que l’étude du système sur le domaine circulaire. Une étude mathématique similaire est menée dans le cadre de la réponse fonctionnelle de Benddington-DeAngelis. Nous étudions, aussi le comportement qualitatif d’une chaîne alimentaire de trois espèces avec une réponse fonctionnelle de Holling type II. Dans la dernière partie, nous introduisons des termes de diffusions croisées dans le modèle dynamique considéré dans le but d’avoir l’effet de ce dernier sur le comportement du système.

This thesis is devoted to the study of the dynamics of some problems Leslie Gower-type predator-prey with ordinary differential equations and reaction-diffusion equations. The main objective is to make mathematical analysis, numerical simulation of constructed models. The thesis is divided in three parts : The first part is devoted to a predator-prey system with prey harvesting, the model is given by an ordinary differential equation system. The aim of this part is to study the impact of harvesting on the system behavior. In the second part, we introduce the spatial dimension in the dynamic model considered without harvesting, modeling a food chain of two species with diffusion on the circular area and Holling Type II response function. We perform a complete theoretical analysis of the spatiotemporal dynamics model built and the system study on the circular area. A similar mathematical study is conducted as part of the functional response of Benddington-DeAngelis.We study, also the qualitative behavior of a food chain of three species with a Holling type II response function. In the last party, we introduce of cross-diffusion terms in the considered dynamic model in order to have the effect of the latter on the system behavior.; Cette thèse est consacrée à l’étude de la dynamique de quelques problèmes de proie-prédateur de type Leslie-Gower avec des systèmes d’équations différentielles ordinaires et des équations de réaction-diffusion. L’objectif principal est de faire l’analyse mathématique, la simulation numérique des modèles construits. La thèse est divisée en trois parties : La première partie est consacrée à un système proie-prédateur avec récolte de proie, le modèle est donné par un système d’équation différentielle ordinaire. Le but de cette partie est d’étudier l’impact de la récolte sur le comportement du système. Dans la deuxième partie, nous introduisons la dimension spatiale dans le modèle dynamique considéré sans récolte, modélisant une chaîne alimentaire de deux espèces avec diffusion sur un domaine circulaire et une fonction de réponse de Holling type II. Nous effectuons une analyse théorique complète de la dynamique spatio-temporelle du modèle construit ainsi que l’étude du système sur le domaine circulaire. Une étude mathématique similaire est menée dans le cadre de la réponse fonctionnelle de Benddington-DeAngelis. Nous étudions, aussi le comportement qualitatif d’une chaîne alimentaire de trois espèces avec une réponse fonctionnelle de Holling type II. Dans la dernière partie, nous introduisons des termes de diffusions croisées dans le modèle dynamique considéré dans le but d’avoir l’effet de ce dernier sur le comportement du système.

The neuron, a fundamental unit in the nervous system, is a point of interest in many scientific disciplines. Thus, there are some mathematical models that describe their behavior by ODE or PDE systems. Many of these models can then be coupled in order to study the behavior of networks, complex systems in which the properties emerge. Firstly, this work presents the main mechanisms governing the neuron behaviour in order to understand the different models. Several models are then presented, including the FitzHugh-Nagumo one, which has a interesting dynamic. The theoretical and numerical study of the asymptotic and transitory dynamics of the aforementioned model is then proposed in the second part of this thesis. From this study, the interaction networks of ODE are built by coupling previously dynamic systems. The study of identical synchronization phenomenon in these networks shows the existence of emergent properties that can be characterized by power laws. In the third part, we focus on the study of the PDE system of FHN. As the previous part, the interaction networks of PDE are studied. We have in this section a theoretical and numerical study. In the theoretical part, we show the existence of the global attractor on the space L2(Ω)nd and give the sufficient conditions for identical synchronization. In the numerical part, we illustrate the synchronization phenomenon, also the general laws of emergence such as the power laws or the patterns formation. The diffusion effect on the synchronization is studied.; Le fonctionnement d'un neurone, unité fondamentale du système nerveux, intéresse de nombreuses disciplines scientifiques. Il existe ainsi des modèles mathématiques qui décrivent leur comportement par des systèmes d'EDO ou d'EDP. Plusieurs de ces modèles peuvent ensuite être couplés afin de pouvoir étudier le comportement de réseaux, systèmes complexes au sein desquels émergent des propriétés. Ce travail présente, dans un premier temps, les principaux mécanismes régissant ce fonctionnement pour en comprendre la modélisation. Plusieurs modèles sont alors présentés, jusqu'à celui de FitzHugh-Nagumo (FHN), qui présente une dynamique très intéressante.C'est sur l'étude théorique mais également numérique de la dynamique asymptotique et transitoire du modèle de FHN en EDO, que se concentre la seconde partie de cette thèse. A partir de cette étude, des réseaux d'interactions d'EDO sont construits en couplant les systèmes dynamiques précédemment étudiés. L'étude du phénomène de synchronisation identique au sein de ces réseaux montre l'existence de propriétés émergentes pouvant être caractérisées par exemple par des lois de puissance. Dans une troisième partie, on se concentre sur l'étude du système de FHN dans sa version EDP. Comme la partie précédente, des réseaux d'interactions d'EDP sont étudiés. On entreprend dans cette partie une étude théorique et numérique. Dans la partie théorique, on montre l'existence de l'attracteur global dans l'espace L2(Ω)nd et on donne des conditions suffisantes de synchronisation. Dans la partie numérique, on illustre le phénomène de synchronisation ainsi que l'émergence de lois générales telles que les lois puissances ou encore la formation de patterns, et on étudie l'effet de l'ajout de la dimension spatiale sur la synchronisation.

The neuron, a fundamental unit in the nervous system, is a point of interest in many scientific disciplines. Thus, there are some mathematical models that describe their behavior by ODE or PDE systems. Many of these models can then be coupled in order to study the behavior of networks, complex systems in which the properties emerge. Firstly, this work presents the main mechanisms governing the neuron behaviour in order to understand the different models. Several models are then presented, including the FitzHugh-Nagumo one, which has a interesting dynamic. The theoretical and numerical study of the asymptotic and transitory dynamics of the aforementioned model is then proposed in the second part of this thesis. From this study, the interaction networks of ODE are built by coupling previously dynamic systems. The study of identical synchronization phenomenon in these networks shows the existence of emergent properties that can be characterized by power laws. In the third part, we focus on the study of the PDE system of FHN. As the previous part, the interaction networks of PDE are studied. We have in this section a theoretical and numerical study. In the theoretical part, we show the existence of the global attractor on the space L2(Ω)nd and give the sufficient conditions for identical synchronization. In the numerical part, we illustrate the synchronization phenomenon, also the general laws of emergence such as the power laws or the patterns formation. The diffusion effect on the synchronization is studied.; Le fonctionnement d'un neurone, unité fondamentale du système nerveux, intéresse de nombreuses disciplines scientifiques. Il existe ainsi des modèles mathématiques qui décrivent leur comportement par des systèmes d'EDO ou d'EDP. Plusieurs de ces modèles peuvent ensuite être couplés afin de pouvoir étudier le comportement de réseaux, systèmes complexes au sein desquels émergent des propriétés. Ce travail présente, dans un premier temps, les principaux mécanismes régissant ce fonctionnement pour en comprendre la modélisation. Plusieurs modèles sont alors présentés, jusqu'à celui de FitzHugh-Nagumo (FHN), qui présente une dynamique très intéressante.C'est sur l'étude théorique mais également numérique de la dynamique asymptotique et transitoire du modèle de FHN en EDO, que se concentre la seconde partie de cette thèse. A partir de cette étude, des réseaux d'interactions d'EDO sont construits en couplant les systèmes dynamiques précédemment étudiés. L'étude du phénomène de synchronisation identique au sein de ces réseaux montre l'existence de propriétés émergentes pouvant être caractérisées par exemple par des lois de puissance. Dans une troisième partie, on se concentre sur l'étude du système de FHN dans sa version EDP. Comme la partie précédente, des réseaux d'interactions d'EDP sont étudiés. On entreprend dans cette partie une étude théorique et numérique. Dans la partie théorique, on montre l'existence de l'attracteur global dans l'espace L2(Ω)nd et on donne des conditions suffisantes de synchronisation. Dans la partie numérique, on illustre le phénomène de synchronisation ainsi que l'émergence de lois générales telles que les lois puissances ou encore la formation de patterns, et on étudie l'effet de l'ajout de la dimension spatiale sur la synchronisation.

These last years several infectious diseases have appeared or reappeared. These phenomenon are not new and several factors, such as climatic changes, the increase of exchanges and travels, have influenced the increase, the maintenance or the emergence of several infectious diseases. The study of this kind of diseases is recent (introduced in the 1990's by S. Morse). In this work, we consider a tropical disease: Chikungunya. This disease, caused by an arbovirus (arthropode-borne virus), is a vector borne disease transmitted by mosquitoes from \textit{Aedes} genus. For about fifty years, several epidemics have been reported, like in Africa and Asia and more recently in the Réunion Island (2005-2006) and in Italy (2007). It is currently not possible to predict the emergence of such events, that can be geographically localized, sporadic or epidemic. The mathematical modeling then appears to be a useful tool in order to understand their evolution. These models help us taking decisions and direct control efforts. In this work, we first present biological characteristics about the vector and the virus transmission to human population. Then models are proposed and studied (Ordinary differential equations, delay differential equations, optimal control) describing the mosquito population dynamics, based on the biological life cycle (eggs/larvae/pupae/adult) using stage structure models. This model is then integrated in a transmission virus model, described thanks to a SI-SIR epidemiological model. Different scenarios and control strategies, including control technics, that may be applied to limit the number of infection and the vector proliferation, are studied. Then a metapopulation model including human and vector displacements is formulated and studied in the case of the Réunion Island, where the environment is modeled using a network. Finally a comparison and validation of these models are given, based on the real seroprevalence data observed in the Réunion Island and obtained from the INVS (the French institution for public health watching).; Ces dernières années plusieurs maladies infectieuses sont apparues ou ré-apparues. Ce phénomène n'est pas nouveaux et de nombreux facteurs, tels que les changements climatiques, l'intensification des échanges et des voyages, favorisent l'extension, le maintien ou l'émergence de nombreuses maladies infectieuses. L'étude de ces maladies dites (ré-)émergentes est relativement récente (années 1990, concept introduit par S. Morse). Dans cette thèse nous nous intéressons au cas d'une maladie tropical : le Chikungunya. Cette maladie due à un arbovirus (\textit{arthropod-borne virus}) est une maladie vectorielle transmise par les moustiques du genre \textit{Aedes}. Depuis une cinquantaine d'années, plusieurs épidémies ont été recensées, notamment en Afrique et en Asie et plus récemment sur l'île de la Réunion (2005-2006) et en Italie (2007). À l'heure actuelle, il n'est malheureusement pas possible de prédire l'émergence de nouveaux évènements, ceux-ci pouvant être plus ou moins localisés géographiquement, sporadiques ou épidémiques. La modélisation mathématique de ces maladies se révèle donc un atout considérable dans la tentative de compréhension de leur évolution. Ces modèles aident ainsi la prise de décisions et orientent les différentes actions. Dans ce travail nous présentons dans un premiers temps, les caractéristiques biologiques du vecteur et le mode transmission de la maladie à la population humaine. Nous formulons et étudions plusieurs modèles (EDO, Contrôle, EDR) décrivant la dynamique de croissance des différents stades d'évolution du vecteur (œuf/larve/nymphe/adulte) en utilisant des modèles structurés par classes. Cette dynamique est alors couplée à un modèle de transmission de la maladie, décrit par des modèles de type SI-SIR. Différentes stratégies de contrôle, intégrant les techniques de luttes contre la maladie et la prolifération de la population de moustique sont également étudiées. La formulation d'un modèle de type métapopulationnel, décrivant les déplacements humains et vecteurs ainsi qu'une modélisation de l'environnement de l'Île de la Réunion, nous permettent de valider nos modèles grâce à une comparaison aux données de seroprévalence enregistrées et estimées par l'INVS (Institut de Veille Sanitaire).

These last years several infectious diseases have appeared or reappeared. These phenomenon are not new and several factors, such as climatic changes, the increase of exchanges and travels, have influenced the increase, the maintenance or the emergence of several infectious diseases. The study of this kind of diseases is recent (introduced in the 1990's by S. Morse). In this work, we consider a tropical disease: Chikungunya. This disease, caused by an arbovirus (arthropode-borne virus), is a vector borne disease transmitted by mosquitoes from \textit{Aedes} genus. For about fifty years, several epidemics have been reported, like in Africa and Asia and more recently in the Réunion Island (2005-2006) and in Italy (2007). It is currently not possible to predict the emergence of such events, that can be geographically localized, sporadic or epidemic. The mathematical modeling then appears to be a useful tool in order to understand their evolution. These models help us taking decisions and direct control efforts. In this work, we first present biological characteristics about the vector and the virus transmission to human population. Then models are proposed and studied (Ordinary differential equations, delay differential equations, optimal control) describing the mosquito population dynamics, based on the biological life cycle (eggs/larvae/pupae/adult) using stage structure models. This model is then integrated in a transmission virus model, described thanks to a SI-SIR epidemiological model. Different scenarios and control strategies, including control technics, that may be applied to limit the number of infection and the vector proliferation, are studied. Then a metapopulation model including human and vector displacements is formulated and studied in the case of the Réunion Island, where the environment is modeled using a network. Finally a comparison and validation of these models are given, based on the real seroprevalence data observed in the Réunion Island and obtained from the INVS (the French institution for public health watching).; Ces dernières années plusieurs maladies infectieuses sont apparues ou ré-apparues. Ce phénomène n'est pas nouveaux et de nombreux facteurs, tels que les changements climatiques, l'intensification des échanges et des voyages, favorisent l'extension, le maintien ou l'émergence de nombreuses maladies infectieuses. L'étude de ces maladies dites (ré-)émergentes est relativement récente (années 1990, concept introduit par S. Morse). Dans cette thèse nous nous intéressons au cas d'une maladie tropical : le Chikungunya. Cette maladie due à un arbovirus (\textit{arthropod-borne virus}) est une maladie vectorielle transmise par les moustiques du genre \textit{Aedes}. Depuis une cinquantaine d'années, plusieurs épidémies ont été recensées, notamment en Afrique et en Asie et plus récemment sur l'île de la Réunion (2005-2006) et en Italie (2007). À l'heure actuelle, il n'est malheureusement pas possible de prédire l'émergence de nouveaux évènements, ceux-ci pouvant être plus ou moins localisés géographiquement, sporadiques ou épidémiques. La modélisation mathématique de ces maladies se révèle donc un atout considérable dans la tentative de compréhension de leur évolution. Ces modèles aident ainsi la prise de décisions et orientent les différentes actions. Dans ce travail nous présentons dans un premiers temps, les caractéristiques biologiques du vecteur et le mode transmission de la maladie à la population humaine. Nous formulons et étudions plusieurs modèles (EDO, Contrôle, EDR) décrivant la dynamique de croissance des différents stades d'évolution du vecteur (œuf/larve/nymphe/adulte) en utilisant des modèles structurés par classes. Cette dynamique est alors couplée à un modèle de transmission de la maladie, décrit par des modèles de type SI-SIR. Différentes stratégies de contrôle, intégrant les techniques de luttes contre la maladie et la prolifération de la population de moustique sont également étudiées. La formulation d'un modèle de type métapopulationnel, décrivant les déplacements humains et vecteurs ainsi qu'une modélisation de l'environnement de l'Île de la Réunion, nous permettent de valider nos modèles grâce à une comparaison aux données de seroprévalence enregistrées et estimées par l'INVS (Institut de Veille Sanitaire).