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We investigate the convergence of sequences of nonlinear integrodifferential reaction-diffusion equations when the Fickian terms belong to a class of convex functionals defined on a Hilbert space, equipped with the Mosco-convergence, and the non Fickian terms belong to a class of convex func-tionals, whose restrictions to a compactly embedded subspace is equipped with the $\Gamma$-convergence. As a consequence we prove a homogenization theorem for this class under a stochastic homogenization framework.

International audience

International audience; Notre but est de proposer un modèle d'un géomatériau composite aléatoirement renforcé de type TexSolTM[1, 2] (un mélange sable-fil). La stratégie de modélisation consiste à découper un cube de TexSolTM en fines plaques, le problème initial est alors décomposé en n modèles plaque donnant une formulation 2D homogène et déterministe après passage à la limite par Γ-convergence (voir [3] pour la méthode). Nous reconstruisons alors une structure 3D homogène et déterministe par une intégration variationnelle. Nos différents résultats sont validés par une étude numérique.

By using ergodic theory and a variational process, we study the macroscopic behavior of a thin body with micro hight stiffness fibers randomly distributed according to a stationary point process. The thickness of the body, the stiffness and the size of the cross sections of the fibers depend on a small parameter ε. The variational limit functional energy obtained when ε tends to 0 is deterministic and depends on two variables: one is the deformation of a two dimensional body and describes the behavior of the medium in the matrix, the other captures the limit behavior of deformations in the fibers when the thickness, the stiffness and the size section become increasingly thin.

National audience; See http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/59/28/74/ANNEX/r_RI23L674.pdf

International audience; Nous considérons l'assemblage de deux corps hyperélastiques (non-linéaire) liés par un adhésif hyperélastique de faible rigidité (non linéaire) occupant une petite couche d'épaisseur ε. Une stratégie numérique du problème n'est pas vraiment envisageable en raison du grand nombre de degrés de liberté lié au maillage de la fine couche de colle et du très mauvais conditionnement du système dû à la très faible rigidité de la colle. Il est donc pertinent de proposer un modèle variationnel équivalent évitant ces types de comportement.

La prise en compte d'une liaison non réduite à l'adhésion pure entre adhésif et adhérent conduit à une liaison asymptotique globale traduisant la mise en série de cette liaison avec la liaison classique limite fournie par le très mince adhérent élastique.

International audience

Comparison results of the solutions for two variational inequalities with the same operateur and two convex sets defined by pointwise constraints are obtained with little restrictive hypotheses. As a corollary, we prove uniqueness results and more genrally monotonicity properties for a large class of variational inequalities associated with convex sets whose pointwise constraints are standard. With these results one can show when the operateur fails to be smooth at zero, some variational inequalities can develop a free boundary. Finally, thaks to our uniqueness theorem, the existence method that we have used allows us to solve numerically a non-linear problem with a transport term, Un théorème de comparaison des solutions relatives à des convexes des contraintes pour des inéquations variationnelles à même opérateur est démontré sous des hypothèses peu restrictives. De nombreux résultats de monotonie et d'unicité sont obtenus pour des problèmes aux convexes standards définis par des contraintes ponctuelles. Le résultat de comparaison ainsi obtenu permet de prouver l'existence d'une frontière libre pour une inéquation variationnelle lorsque l'opérateur présente en un certain sens une singularité en zéro. Enfin une méthode d'existence, utilisant un théorème de point fixe, jointe au théorème d'unicité, permet de résoudre numériquement un problème non linéaire possédant un terme de transport