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State-of-the-art Earth system models typically employ grid spacings of O(100 km), which is too coarse to explicitly resolve main drivers of the flow of energy and matter across the Earth system. In this paper, we present the new ICON-Sapphire model configuration, which targets a representation of the components of the Earth system and their interactions with a grid spacing of 10 km and finer. Through the use of selected simulation examples, we demonstrate that ICON-Sapphire can (i) be run coupled globally on seasonal timescales with a grid spacing of 5 km, on monthly timescales with a grid spacing of 2.5 km, and on daily timescales with a grid spacing of 1.25 km; (ii) resolve large eddies in the atmosphere using hectometer grid spacings on limited-area domains in atmosphere-only simulations; (iii) resolve submesoscale ocean eddies by using a global uniform grid of 1.25 km or a telescoping grid with the finest grid spacing at 530 m, the latter coupled to a uniform atmosphere; and (iv) simulate biogeochemistry in an ocean-only simulation integrated for 4 years at 10 km. Comparison of basic features of the climate system to observations reveals no obvious pitfalls, even though some observed aspects remain difficult to capture. The throughput of the coupled 5 km global simulation is 126 simulated days per day employing 21 % of the latest machine of the German Climate Computing Center. Extrapolating from these results, multi-decadal global simulations including interactive carbon are now possible, and short global simulations resolving large eddies in the atmosphere and submesoscale eddies in the ocean are within reach.

In this thesis, we develop efficient numerical methods to solve the viscous-plastic sea ice model on high resolution grids, with a cell size up to 2 km. This model describes the dynamical and thermodynamical large-scale processes in sea ice and plays an important role in climate models. The sea ice component in climate models accounts for more than 20% of the overall computational effort. Thus, the development of efficient numerical methods is topic of current research. Sea ice dynamics are modeled by a system of equations coupling a nonlinear momentum equation, and transport processes. Currently, existing methods are based on implicit discretizations of the nonlinear momentum equation and converge either poorly or not at all on high resolution grids. Within a finite element framework, we present a new efficient Newton solver, globalized with a line search method and accelerated, with respect to convergence, by the operator-related damped Jacobian method. Using this novel approach we significantly improve the robustness of currently applied Newton solvers. We proove that the Jacobian of the sea ice model is positive definite, which provides global convergence of the Newton scheme, assuming an optimal damping parameter. As the used linear solver in the Jacobian-free Newton-Krylov approach is extremely costly, mainly due to the absence of efficient preconditioners, we introduce the geometric multigrid method as preconditioner to the linear solver. Analyzing an idealized test case on a 2 km grid, we find that the multigrid preconditioner is able to reduce the iteration count of the linear solver by up to 80% compared to an incomplete lower upper factorization as preconditioner. As the convergence rate of the multigrid method is robust with increasing mesh resolutions, it is a suitable method for sea ice simulations at high spatial resolutions. In the final part of the thesis, we develop a goal oriented error estimator for partitioned solution approaches, which is applicable to the sea ice model. The error estimator is based on the dual weighted residual method and derived for a general class of non-stationary differential equations coupled to a transport process. We observe a highly accurate error estimator for a system consisting of Burgers equation and a transport process. While the error estimator is accurate on simple sea ice configurations, efficiency worsens once stronger spatial structure, such as leads, in the ice appear. Finally, we develop a mesh refinement strategy that is based on the error estimator and evaluate it for the sea ice model. Applying adaptive meshes, we reach the same accuracy of a functional of intrest using 9 times less nodes., In der vorliegenden Arbeit entwickeln wir effiziente numerische Methoden zur Lösung des visko-plastischen Meereismodells auf hochaufgelösten Gittern, mit einer Gitterweite von bis zu 2 km. Das Meereismodell beschreibt die Dynamik und Thermodynamik des Meereises und ist ein wichtiger Bestandteil in Klimamodellen. Die Simulation der Meereisdynamik kann in gekoppelten Klimamodellen mehr als 20% des Gesamtaufwandes in Anspruch nehmen, weshalb die Entwicklung effizienter Methoden zur Simulation der Meereisdynamik Teil der gegenwärtigen Forschung ist. Die Meereisdynamik wird durch ein System bestehend aus einer nichtlinearen Momentengleichung und Transportgleichungen modelliert. Derzeitige Methoden zur Lösung der implizit diskretisierten Momentengleichung des Meereismodells konvergieren entweder langsam oder gar nicht mit zunehmender örtlicher Auflösung. Im Rahmen eines Finite- Elemente-Ansatzes präsentieren wir ein neues Newton-Verfahren, globalisiert mit dem Liniensuchverfahren und beschleunigt hinsichtlich der Konvergenz durch die operatorrelated damped Jacobian Methode. Die neue Methode erhöht die Robustheit des derzeitig verwendeten Newton-Lösers signifikant. Wir beweisen, dass die Jacobi-Matrix des Meereismodells positiv definit ist, weshalb das Newton-Verfahren unter der Verwendung eines optimalen Dämpfungsparameters global konvergiert. Die gegenwärtig verwendeten linearen Löser im Newton-Verfahren sind numerisch sehr teuer aufgrund eines fehlenden effizienten Vorkonditionierers. Wir führen das geometrische Mehrgitterverfahren als Vorkonditionierer des linearen Lösers ein. In einem idealisierten Test zeigen wir, dass der Mehrgitter-Vorkonditionierer im Vergleich zu einem ILU-Vorkonditionierer die Anzahl der Iterationen des linearen Lösers um 80% reduziert. Das Mehrgitterverfahren ist robust hinsichtlich örtlicher Gitterverfeinerung, daher ist es eine geeignete Methode zur Meereissimulation auf hochaufgelösten Gittern. Im letzten Teil der Doktorarbeit, entwickeln wir einen zielorientierten Fehlerschätzer für partitionierte Lösungsansätze, der für das Meereismodell anwendbar ist. Der Fehlerschätzer basiert auf dem dual gewichteten Fehlerschätzer und ist für ein gekoppeltes System, bestehend aus instationären partiellen Differentialgleichungen und einem Transportprozess, hergeleitet. Am Beispiel der Burgersgleichung gekoppelt an einen Transportprozess, zeigen wir, dass der Fehlerschätzer akkurat ist. Im Fall des Meereismodells ist der Fehlerschätzer akkurat für einfache Konfigurationen des Modells. Die Genauigkeit des Fehlerschätzers nimmt ab, sobald sich starke Strukturen, beispielsweise Risse im Meereis, entwickeln. Abschließend leiten wir, basierend auf dem Fehlerschätzer, einen Gitterverfeinerungsalgorithmus her und werten diesen für das Meereismodell aus. Unter der Verwendung von adaptiven Gittern können wir die gleiche Genauigkeit eines Zielfunktionals mit neun mal weniger Knoten erreichen.